湖南省衡陽市三0一子弟中學高二數學理測試題含解析

湖南省衡陽市三0一子弟中學高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設α、β、γ為兩兩不重合的平面，l、m、n為兩兩不重合的直線．給出下列四個命題：①若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；

②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③若α∥β，l?α，則l∥β；

④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中真命題的個數是(

)A、1

B、2

C、3

D、4參考答案：B略2.若關于的不等式的解集是,則關于的不等式的解集是（）A．

B．

C.

D．參考答案：D3.“a≥2”是“直線l：2ax﹣y+2a2=0（a＞0）與雙曲線C：﹣=1的右支無焦點”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】求出直線l：2ax﹣y+2a2=0（a＞0）與雙曲線C：﹣=1的右支無焦點的充分必要條件，結合集合的包含關系判斷即可．【解答】解：∵直線l：2ax﹣y+2a2=0（a＞0）與雙曲線C：﹣=1的右支無焦點，∴直線l的斜率不小于雙曲線C的漸近線y=x的斜率，即2a≥，∵a＞0，∴a≥1，故a≥2是a≥1的充分不必要條件，故選：A．4.定義在R上的函數f(x)滿足：則不等式（其中e為自然對數的底數）的解集為（

）A.

B. C.

D.參考答案：A【分析】構造函數，利用導數判斷函數的單調性，結合原函數的性質和函數值，即可求解【詳解】設，則，函數在定義域上單調遞增，，，又，，故選：A．5.若函數（）在上為減函數，則的取值范圍為

（

）A．(0,3]

B．[2,3]

C．(0,4]

D．[2,+∞)參考答案：B6.（2016?棲霞市校級模擬）已知命題p：對任意x∈R，總有3x≤0；命題q：“x＞2”是“x＞4”的充分不必要條件，則下列命題為真命題的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q參考答案：B【考點】復合命題的真假．【專題】轉化思想；函數的性質及應用；簡易邏輯．【分析】先判斷命題p與q的真假，再利用復合命題真假的判定方法即可判斷出結論．【解答】解：對于命題p：對任意x∈R，總有3x＞0，因此命題p是假命題；命題q：“x＞2”是“x＞4”的必要不充分條件，因此命題q是假命題．因此命題￢p與￢q都是真命題．則下列命題為真命題的是（￢p）∧（￢q）．故選：B．【點評】本題考查了復合命題真假的判定方法、指數函數的單調性、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．7.在的展開式中，二項式系數最大的項的系數為（

）A．20

B．－20

C．24

D．－24參考答案：B的展開式中，二項式系數最大的項是其系數為-20．8.如圖，在三棱柱中，若、分別為、的中點，平面將三棱柱分成體積為、的兩部分，那么為（

）A．3：2

B．7：5

C．8：5

D．9：5參考答案：B9.在△ABC中，根據下列條件解三角形，其中有兩解的是A．b=10，A=，C=，

B．a=30，b=25，A=，

C．a=7，b=8，A=，

D．a=14，b=16，A=.參考答案：D10.如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱長均為2，其正（主）視圖如圖所示，則此三棱柱側（左）視圖的面積為（）A． B．4 C． D．參考答案：D【考點】簡單空間圖形的三視圖．【分析】由正視圖得到三視圖的高，也即其側視圖的高；底面正三角形的高即為側視圖的寬，據以上分析可求出此三棱柱的側視圖的面積．【解答】解：由已知正三棱柱及其正視圖可知：其側視圖是一個高與正視圖的相同、寬是底面正三角形的高的矩形．由三棱柱的正視圖的高為2，可得其側視圖的高也為2．∵底面是邊長為2的正三角形，∴其高為．∴此三棱柱側視圖的面積=2×=．故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，若，則=____.參考答案：【答案】略12.設復數，若為實數，則x=

參考答案：

13.設等比數列{}的公比q＝2，前n項的和為，則的值為_____________．參考答案：14.不等式

解集為

．參考答案：15.設P是直線上的一個動點，過P作圓的兩條切線，若的最大值為60°，則b=

．參考答案：16.設為隨機變量，，若隨機變量的數學期望，則

．(結果用分數表示)參考答案：

17.在四面體ABCD中，E，F分別是AC、BD的中點，若AB=CD=4，EF⊥AB，則EF與CD所成之角

參考答案：600三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數列{an}中，a1=2，對任意的p,q∈N*，有ap+q=ap+aq.

(1)求數列{an}的通項公式.

(2)若數列{bn}滿足:an=－+－+…+(－1)n+1(n∈N*)求數列{bn}的通項.(3)設Cn=3n+λbn(n∈N*)是否存在實數λ，當n∈N*時，Cn+1>Cn恒成立，若存在，求實數λ的取值范圍，若不存在，說明理由.參考答案：(1)取p=n,q=1，則an+1=an+a1=an+2∴an+1－an=2（n∈N*)∴{an}是公差為2，首項為2的等差數列.∴an=2n……………（4分)(2)－+－+…+(－1)n+1=an(n≥1)…①∴－+…+(－1)n=an－1(n≥2)…②①－②得：(－1)n+1=an－an－1=2(n≥2)∴bn=(－1)n+1(2n+1+2)(n≥2)當n=1時，a1=，∴b1=6滿足上式∴bn=(－1)n+1(2n+1+2)

(n∈N*)(3)Cn=3n+(－1)n+1(2n+1+2)λ(n∈N*)

假設存在λ，使Cn+1>Cn(n∈N*)

3n+1+(－1)n+2(2n+2+2)λ>3n+(－1)n+1(2n+1+2)λ

[(－1)n+2(2n+2+2)－(－1)n+1(2n+1+2)]λ>3n－3n+1=－2·3n

當n為正偶數時，（2n+2+2n+1+4)λ>－2·3n

(3·2n+1+4)λ＞－2·3n恒成立

即λ>=

當n=2時，=－，∴λ>－當n為正奇數時，－(3·2n+1+4)λ>－2·3n恒成立λ<當n=1時，=綜上，存在實數λ，且λ∈(－,)19.（1）求與直線3x+4y-7=0垂直，且與原點的距離為6的直線方程；（2）求過A(1,2)和B(1,10)且與直線x-2y-1=0相切的圓的方程。參考答案：(1)(2)或20.過點P(-3,1)作圓的兩條切線，求這兩條切線的傾斜角。參考答案：解析：k=，傾斜角分別為30°和150°。（心線距法或幾何法）21.設數列{an}的前n項和為Sn，對一切n∈N*，點（n，）都在函數f（x）=x+的圖象上．（1）求a1，a2，a3的值，猜想an的表達式，并用數學歸納法證明；（2）將數列{an}依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），（a22，a23），（a24，a25，a26），（a27，a28，a29，a30）；…分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{bn}，求b2018﹣b1314的值．參考答案：【分析】（1））得到數列遞推式，代入計算可得結論，猜想an的表達式，再用數學歸納法證明，（2）因為an=2n（n∈N*），所以數列{an}依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），每一次循環(huán)記為一組．由于每一個循環(huán)含有4個括號，故b100是第25組中第4個括號內各數之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列，且公差為20，同理，由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20，利用等差數列的通項公式即可；【解答】解（1）∵點（n，）在函數f（x）=x+的圖象上，∴=n+，∴Sn=n2+an．令n=1得，a1=1+a1，∴a1=2；令n=2得，a1+a2=4+a2，∴a2=4；令n=3得，a1+a2+a3=9+a3，∴a3=6．由此猜想：an=2n，用數學歸納法證明如下：①當n=1時，由上面的求解知，猜想成立．②假設n=k（k≥1）時猜想成立，即ak=2k成立，則當n=k+1時，注意到Sn=n2+an（n∈N*），故Sk+1=（k+1）2+ak+1，Sk=k2+ak．兩式相減得，ak+1=2k+1+ak+1﹣ak，所以ak+1=4k+2﹣ak．由歸納假設得，ak=2k，故ak+1=4k+2﹣ak=4k+2﹣2k=2（k+1）．這說明n=k+1時，猜想也成立．由①②知，對一切n∈N*，an=2n成立，（2）因為an=2n（n∈N*），所以數列{an}依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循環(huán)記為一組．由于每一個循環(huán)含有4個括號，故b2018是第505組中第2個括號內各數之和，b1314是第329組中第2個括號內各數之和．由分組規(guī)律知，各組第1個括號中所有數組成的數列是等差數列，且公差為20．同理，由各組第2個括號中所有第1個數、所有第2個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20．故各組第2個括號中各數之和構成等差數列，且公差為40．記b2，b6，b10，…b4n+2，．．，為{dn}，則dn為等差數列且公差為40，因為b2018=d505，b1314=d329，所以b2018﹣b1314=×40=7040．22.如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，，，，.（1）求BC的長：（2）求△ABC的面積．參考答案：（1）；（2）【分析】（1）在中利用余弦定理可求