遼寧省大連市第二十一中學2022-2023學年高二數(shù)學理下學期摸底試題含解析

遼寧省大連市第二十一中學2022-2023學年高二數(shù)學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.我們把離心率之差的絕對值小于的兩條雙曲線稱為“相近雙曲線”，已知雙曲線，則下列雙曲線中與是“相近雙曲線”的為

(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：B2.某班周四上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課，安排語文、數(shù)學、英語、物理、體育、音樂6門課，若要求體育不排在上午第一、二節(jié)，并且體育課與音樂課不相鄰，（上午第四節(jié)與下午第一節(jié)理解為相鄰），則不同的排法總數(shù)為（）A．312 B．288 C．480 D．456參考答案：A【考點】D8：排列、組合的實際應用．【分析】根據(jù)題意，對體育課的排法分2種情況討論：①、若體育課排在上午第三、四節(jié)和下午第一節(jié)，②、若體育課排在下午第二節(jié)，每種情況下分析音樂和其他4門課程的排法數(shù)目，計算可得每種情況的排法數(shù)目，由加法原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，體育不排在上午第一、二節(jié)，則體育課只能排在上午第三、四節(jié)和下午第一、二節(jié)，分2種情況討論：①、若體育課排在上午第三、四節(jié)和下午第一節(jié)，體育課有3種排法，音樂與體育課不相鄰，體育課前后2節(jié)課不能安排音樂，有3種排法，將剩下的4門課全排列，安排其余的4節(jié)課，有A44=24種排法；此時有3×3×24=216種排法；②、若體育課排在下午第二節(jié)，音樂與體育課不相鄰，音樂課不能排在下午第一節(jié)，有4種排法，將剩下的4門課全排列，安排其余的4節(jié)課，有A44=24種排法；則此時有4×24=96種排法；故不同的排法總數(shù)為216+96=312種；故選：A．3.當θ是第四象限時,兩條直線和的位置關(guān)系是（

）

A．平行

B．垂直

C．相交但不垂直

D．重合參考答案：B4.過橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于P、Q兩點，F(xiàn)2為右焦點，若△PQF2為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)F1（﹣c，0），根據(jù)已知條件容易判斷|PQ|與2c的關(guān)系，列出方程即可求出離心率．【解答】解：如圖，設(shè)F1（﹣c，0），△PQF2為等邊三角形，可得：?=2c，∴2ca=b2=（a2﹣c2），可得2e=﹣，解得e=∴該橢圓離心率為：．故選：B．5.已知集合，，則A∩B=（

）A.{－1,0,1} B.{－1,0} C.{0,1} D.{－1,1}參考答案：B【分析】先求集合，然后求.【詳解】因為，所以，選B.【點睛】本題考查了集合的交集.6. 函數(shù)的圖象在處的切線的傾斜角為（

） A． B． C． D．參考答案：D略7.過雙曲線的右焦點作直線與雙曲線交A、B于兩點，若，這樣的直線有（

）A.一條

B.兩條

C.三條

D.四條參考答案：C略8.某公司的班車在7∶30，8∶00，8∶30發(fā)車，小明在7∶50至8∶30之間到達發(fā)車站坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是A．

B．

C．

D．參考答案：D設(shè)小明到達時間為y，當在7：50至8：00，或8：20至8：30時，因為小明等車時間不超過分鐘，故，故選D．考點：幾何概型概率公式．9.已知拋物線的焦點坐標是，則它的標準方程為（

）(A)

（B）

(C)

(D)參考答案：D10.若，則 （

）A．－1 B． C．－7 D．7參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知線段面，，，面于點，，且在平面的同側(cè)，若，則的長為

參考答案：略12.已知x＞0，y＞0，+=2，則2x+y的最小值為．參考答案：4【考點】基本不等式．【分析】由題意可得2x+y=（+）（2x+y）=（4+++），運用基本不等式即可得到最小值．【解答】解：∵x＞0，y＞0，+=2，∴2x+y=（+）（2x+y）=（4+++）≥（4+2）=4，當且僅當y=2x=2時取等號．故答案為：4．13.拋物線的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為N.設(shè)，AN與MF相交于點B，若，△ABM的面積為，則p的值為

．參考答案：314.已知是常數(shù)，且是區(qū)間內(nèi)任意實數(shù)，當時，函數(shù)的最大值為＿＿＿＿．參考答案：略15.已知實數(shù)x、y滿足，則z=2x+y的最大值是

．參考答案：10【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，根據(jù)圖形得出最優(yōu)解，由此求出目標函數(shù)的最大值．【解答】解：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示；根據(jù)圖形知，由解得A（4，2）；目標函數(shù)z=2x+y過點A時，z取得最大值為zmax=2×4+2=10．故答案為：10．16.已知點滿足，則其落在區(qū)域的概率等于

．參考答案：17.一物體在力

（單位:N）的作用下，沿與力F相同的方向，從處運動到處.（單位：m）.力所作的功為

參考答案：40略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知兩點A（﹣2，0），B（2，0），直線AM、BM相交于點M，且這兩條直線的斜率之積為．（Ⅰ）求點M的軌跡方程；（Ⅱ）記點M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點P的橫坐標為1，直線PE、PF與圓（x﹣1）2+y2=r2（）相切于點E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點分別為Q、R．求△OQR的面積的最大值（其中點O為坐標原點）．參考答案：【考點】KG：直線與圓錐曲線的關(guān)系；J3：軌跡方程．【分析】（Ⅰ）設(shè)點M（x，y），由題意可得，利用斜率計算公式即可得出．化簡即可．（II）把x=1代入曲線C的方程，可得點P（）．由于圓（x﹣1）2+y2=r2的圓心為（1，0），利用對稱性可知直線PE與直線PF的斜率互為相反數(shù)．設(shè)直線PE的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立可得（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，由于x=1是方程的一個解，可得方程的另一解為．同理．可得直線RQ的斜率為kRQ=．把直線RQ的方程代入橢圓方程，消去y整理得x2+tx+t2﹣3=0．利用弦長公式可得|RQ|．再利用點到直線的距離公式可得：原點O到直線RQ的距離為d．利用和基本不等式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)點M（x，y），，∴．整理得點M所在的曲線C的方程：（x≠±2）．（Ⅱ）把x=1代入曲線C的方程，可得，∵y＞0，解得，∴點P（）．∵圓（x﹣1）2+y2=r2的圓心為（1，0），∴直線PE與直線PF的斜率互為相反數(shù)．設(shè)直線PE的方程為，聯(lián)立，化為（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，由于x=1是方程的一個解，∴方程的另一解為．同理．故直線RQ的斜率為=．把直線RQ的方程代入橢圓方程，消去y整理得x2+tx+t2﹣3=0．∴|RQ|==．原點O到直線RQ的距離為d=．∴==．當且僅當t=時取等號．∴△OQR的面積的最大值為．19.設(shè)f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥對任意實數(shù)a≠0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．參考答案：【考點】3R：函數(shù)恒成立問題；R5：絕對值不等式的解法．【分析】（1）運用絕對值的含義，對x討論，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉絕對值，得到不等式組，解出它們，再求并集即可得到解集；（2）運用絕對值不等式的性質(zhì)，可得不等式右邊的最大值為3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去絕對值的方法，即可解得x的范圍．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈?，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集為；

（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，當且僅當（1+）（2﹣）≤0時，取等號．由不等式f（x）≥對任意實數(shù)a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或，解得x≤﹣或x≥，故實數(shù)x的取值范圍是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．20.(本小題滿分12分)已知A、B、C為△ABC的三內(nèi)角，且其對邊分別為a、b、c，若cosBcosC－sinBsinC=0.5.(1)求A；(2)若，b+c=4，求△ABC的面積.參考答案：解：(Ⅰ)∵，∴，又∵0<B+C<π，∴，∵A+B+C=π，∴.(Ⅱ)由余弦定理a2=b2+c2－2bccosA，得，

即：，∴bc=4，∴.21.橢圓的對稱中心在坐標原點，一個頂點為，右焦點F與點的距離為2。(1)求橢圓的方程；(2)斜率的直線與橢圓相交于不同的兩點M,N滿足,求直線l的方程。

參考答案：解：（1）依題意，設(shè)橢圓方程為，則其右焦點坐標為 ，由，得，即，解得。又∵，∴，即橢圓方程為。

(4分)（2）方法一:由知點在線段的垂直平分線上，由消去得即

（*）

(5分)由,得方程(*)的,即方程(*)有兩個不相等的實數(shù)根。

(6分)設(shè)、，線段MN的中點，則，，，即

，∴直線的斜率為，

(9分)由，得，∴，解得：，

(11分)∴l(xiāng)的方程為或。

(12分)方法二:直線l恒過點(0,-2),且點(0,-2)在橢圓上,∴不妨設(shè)M(0,-2),則|AM|=4

(6分)∴|AN|=4,故N在以A為圓心,4為半徑的圓上,即在的圖像上.

聯(lián)立化簡得,解得

(8分)當y=-2時,N和M重合,舍去.

當y=0時,,因此

(11分)∴l(xiāng)的方程為或。

(12分)

略22.已知函數(shù)f（x）=（a∈R）（1）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范圍；（2）求f（x）在（0，1]上的最大值．參考答案：【考點】6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）問題轉(zhuǎn)化為a≤x2﹣lnx，令g（x）=x2﹣lnx，求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，得到g（x）的最小值，從而求出a的范圍；（2）先求出f（x）的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過討論a的范圍，求出f（x）的最大值即可．【解答】解：（1）f（x）≤1即：a≤x2﹣lnx，令g（x