歷年高考數(shù)學(xué)（理）知識(shí)清單-專題23 填空題解題方法與技巧（考點(diǎn)解讀）（原卷+解析版）

1專題23填空題解題方法與技巧考情解讀數(shù)學(xué)填空題是一種只要求寫出結(jié)果，不要求寫出解答過程的客觀性試題，是高考數(shù)學(xué)中的三種?？碱}型之一，填空題的類型一般可分為完形填空題、多選填空題、條件與結(jié)論開放的填空題.這說明了填空題是數(shù)學(xué)高考命題改革的試驗(yàn)田，創(chuàng)新型的填空題將會(huì)不斷出現(xiàn).因此，我們?cè)趥淇紩r(shí)，既要關(guān)注這一新動(dòng)向，又要做好應(yīng)試的技能準(zhǔn)備．解題時(shí)，要有合理的分析和判斷，要求推理、運(yùn)算的每一步都正確無誤，還要求將答案表達(dá)得準(zhǔn)確、完整.合情推理、優(yōu)化思路、少算多思將是快速、準(zhǔn)確地解答填空題的基本要求.填空題具有小巧靈活、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)算量不大等特點(diǎn).(1)根據(jù)填空時(shí)所填寫的內(nèi)容形式，可以將填空題分成兩種類型：①定量型：要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系；②定性型：要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對(duì)象或者填寫給定數(shù)學(xué)對(duì)象的某種性質(zhì).(2)根據(jù)填空題出題設(shè)問的多少，又可以將填空題分成兩類形式：①單空題：與全國卷出題方式相同，一題一空，根據(jù)一般填空題的特點(diǎn)，四招速解；②多空題：是浙江高考填空題的一大特色，一題多空，出題的目的是提高知識(shí)覆蓋面的考查，降低難度，讓學(xué)生能分步得分；本質(zhì)上來說和單空題區(qū)別無非就是多填一空，其解題方法和單空題相同，但多空題有它自身的特色，搞清多空之間設(shè)問的關(guān)系能使我們的解題事半功倍.高頻者點(diǎn)突破一、單空題解題方法一、直接法這是解填空題的基本方法，它是直接從題設(shè)條件出發(fā)、利用定義、定理、性質(zhì)、公式等知識(shí)，通過變形、推理、運(yùn)算等過程，直接得到結(jié)果.例1、若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b11，a4＝b4＝8，則＝_______【變式探究】設(shè)a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，其中i，j為互相垂直的單位向量，又(a＋b)⊥(a－b)，則實(shí)數(shù)m=.【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝在區(qū)間(－2，+∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解題方法二、特殊值法當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以從題2中變化的不定量中選取符合條件的恰當(dāng)特殊值(特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點(diǎn)、特殊方程、特殊模型等)進(jìn)行處理，從而得出探求的結(jié)論．為保證答案的正確性，在利用此方法時(shí)，一般應(yīng)多取幾個(gè)特例.例2、若函數(shù)f(x)滿足：f(1)4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，則f(2018)＝.=.【變式探究】過拋物線y＝ax2(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別是p，q，則＋＝________.解題方法三、數(shù)形結(jié)合法對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡(jiǎn)捷地解決問題，得出正確的結(jié)果.例3、如果不等式＞(a－1)x的解集為A，且A{x|0＜x＜2}，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【變式探究】已知實(shí)數(shù)x，y滿足(x－3)2＋y2＝3，則的最大值是.解題方法四、等價(jià)轉(zhuǎn)化法通過“化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化陌生為熟悉”，將問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出正確的結(jié)果.例4、不等式＞ax＋的解集為(4，b)，則ab=.【變式探究】不論k為何實(shí)數(shù)，直線y＝kx＋1與曲線x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解題方法五、圖象分析法對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對(duì)圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果．這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點(diǎn)間距離等，求解的關(guān)鍵是明確幾何含義，準(zhǔn)確規(guī)范地作出相應(yīng)的圖形.例5、已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是.________【感悟提升】圖象分析法實(shí)質(zhì)上就是數(shù)形結(jié)合的思想方法在解決填空題中的應(yīng)用，利用圖形的直觀性并結(jié)合所學(xué)知識(shí)便可直接得到相應(yīng)的結(jié)論，這也是高考命題的熱點(diǎn)．準(zhǔn)確運(yùn)用此類方法的關(guān)鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求出結(jié)果.3 |x|-π【變式探究】不等式2·sinx<0，x∈[-π, |x|-π解題方法六、構(gòu)造法用構(gòu)造法解填空題的關(guān)鍵是由條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型，從而簡(jiǎn)化推導(dǎo)與運(yùn)算過程．構(gòu)造法是建立在觀察聯(lián)想、分析綜合的基礎(chǔ)之上的，首先應(yīng)觀察題目，觀察已知(例如代數(shù)式)形式上的特點(diǎn)，然后積極調(diào)動(dòng)思維，聯(lián)想、類比已學(xué)過的知識(shí)及各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)模型，深刻地了解問題及問題的背景(幾何背景、代數(shù)背景)，從而構(gòu)造幾何、函數(shù)、向量等具體的數(shù)學(xué)模型，達(dá)到快速解題的目的.例6、如圖，已知球O的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC則球O的體積等于.【感悟提升】構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向，通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題．本題巧妙地構(gòu)造出正方體，而球的直徑恰好為正方體的體對(duì)角線，問題很容易得到解決.【變式探究】在數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，則該數(shù)列的通項(xiàng)an＝.解題方法七、并列式此種類型多空題的特點(diǎn)是：根據(jù)題設(shè)條件，利用同一解題思路和過程，可以一次性得出兩個(gè)空的答案，兩空并答，題目比較簡(jiǎn)單，會(huì)便全會(huì)，這類題目在高考中一般涉及較少，?？疾橐恍┗玖康那蠼?，一般是多空題的第一個(gè)題目.例7、已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx+φ)＋b(A＞0)，則Ab＝.【變式探究】雙曲線－y2＝1的焦距是，漸近線方程是.解題方法八、分列式此種類型多空題的特點(diǎn)是：兩空的設(shè)問相當(dāng)于一個(gè)題目背景下的兩道小填空題，兩問之間沒什么具體聯(lián)系，各自成題，是對(duì)于多個(gè)知識(shí)點(diǎn)或某知識(shí)點(diǎn)的多個(gè)角度的考查；兩問之間互不干擾，不會(huì)其中一問，照樣可以答出另一問.例8、(1)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是cm2，體積是cmcm.________4x＋2－3，x≥1，(2)已知函數(shù)f(x)＝x則f(f(－3))＝【變式探究】函數(shù)f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是，單調(diào)遞減區(qū)間是.解題方法九、遞進(jìn)式此種類型多空題的特點(diǎn)是：兩空之間有著一定聯(lián)系，一般是第二空需要借助第一空的結(jié)果再進(jìn)行作答，第一空是解題的關(guān)鍵也是難點(diǎn)，只要第一空會(huì)做做對(duì)，第二空便可順勢(shì)解答.例9、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1S5＝.【變式探究】以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，且與直線x＋y＋2＝0相切的圓方程是，圓O與圓x2＋y2-2y－3＝0的位置關(guān)系是.5專題23填空題解題方法與技巧考情解讀數(shù)學(xué)填空題是一種只要求寫出結(jié)果，不要求寫出解答過程的客觀性試題，是高考數(shù)學(xué)中的三種?？碱}型之一，填空題的類型一般可分為完形填空題、多選填空題、條件與結(jié)論開放的填空題.這說明了填空題是數(shù)學(xué)高考命題改革的試驗(yàn)田，創(chuàng)新型的填空題將會(huì)不斷出現(xiàn).因此，我們?cè)趥淇紩r(shí)，既要關(guān)注這一新動(dòng)向，又要做好應(yīng)試的技能準(zhǔn)備．解題時(shí)，要有合理的分析和判斷，要求推理、運(yùn)算的每一步都正確無誤，還要求將答案表達(dá)得準(zhǔn)確、完整.合情推理、優(yōu)化思路、少算多思將是快速、準(zhǔn)確地解答填空題的基本要求.填空題具有小巧靈活、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)算量不大等特點(diǎn).(1)根據(jù)填空時(shí)所填寫的內(nèi)容形式，可以將填空題分成兩種類型：①定量型：要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系；②定性型：要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對(duì)象或者填寫給定數(shù)學(xué)對(duì)象的某種性質(zhì).(2)根據(jù)填空題出題設(shè)問的多少，又可以將填空題分成兩類形式：①單空題：與全國卷出題方式相同，一題一空，根據(jù)一般填空題的特點(diǎn)，四招速解；②多空題：是浙江高考填空題的一大特色，一題多空，出題的目的是提高知識(shí)覆蓋面的考查，降低難度，讓學(xué)生能分步得分；本質(zhì)上來說和單空題區(qū)別無非就是多填一空，其解題方法和單空題相同，但多空題有它自身的特色，搞清多空之間設(shè)問的關(guān)系能使我們的解題事半功倍.高頻考點(diǎn)突攻一、單空題解題方法一、直接法這是解填空題的基本方法，它是直接從題設(shè)條件出發(fā)、利用定義、定理、性質(zhì)、公式等知識(shí)，通過變形、推理、運(yùn)算等過程，直接得到結(jié)果.例1、若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b11，a4＝b4＝8，則＝_______【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，則a41＋3d＝8，解得d＝3；b4=-1·q3＝8，解得q2.所以a21＋3＝2，b21×(－2)＝2，所以＝1.【答案】1【變式探究】設(shè)a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，其中i，j為互相垂直的單位向量，又(a＋b)⊥(a－b)，則實(shí)數(shù)m=.6【解析】a＋b＝(m＋2)i＋(m－4)j，a－b＝mi－(m＋2)j.∴m(m＋2)i2＋[－(m＋2)2＋m(m－4)]i·j－(m＋2)(m－4)j2＝0，而i，j為互相垂直的單位向量，故可得m(m＋2)－(m＋2)(m－4)＝0，∴m2.【答案】－2【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝在區(qū)間(－2，+∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【解析】a＋b＝(m＋2)i＋(m－4)j，a－b＝mi－(m＋2)j.∴m(m＋2)i2＋[－(m＋2)2＋m(m－4)]i·j－(m＋2)(m－4)j2＝0，而i，j為互相垂直的單位向量，故可得m(m＋2)－(m＋2)(m－4)＝0，∴m2. 【答案】2解題方法二、特殊值法當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當(dāng)特殊值(特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點(diǎn)、特殊方程、特殊模型等)進(jìn)行處理，從而得出探求的結(jié)論．為保證答案的正確性，在利用此方法時(shí)，一般應(yīng)多取幾個(gè)特例.例2、若函數(shù)f(x)滿足：f(1)4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，則f(2018)＝.【解析】取x＝1，y＝0時(shí)，有f(0)＝f(1)＋f(1)取x＝1，y＝1時(shí)，有＝f(2)＋f(0)，f(2).取x＝n，y＝1，有f(n)＝f(n＋1)＋f(n－1)，同理f(n＋1)＝f(n＋2)＋f(n)，聯(lián)立得f(n＋2)f(n－1)，可得f(n＋6)＝f(n)，所以f(x)是以6為周期的函數(shù)，故f(2018)＝f(2).【答案】－=.【解析】特殊化：令a＝3，b＝4，c＝5，則△ABC為直角三角形，cosAcosC＝0，從而所求值為37【答案】【變式探究】過拋物線y＝ax2(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別是p，q，則＋＝________.【解析】設(shè)k＝0=|PQ|從而4a.【答案】4a4a把直線方程y＝代入拋物線方程得x=±，∴|PF|解題方法三、數(shù)形結(jié)合法對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡(jiǎn)捷地解決問題，得出正確的結(jié)果.例3、如果不等式＞(a－1)x的解集為A，且A{x|0＜x＜2}，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【解析】根據(jù)不等式解集的幾何意義，作函數(shù)y＝和y＝(a－1)x的圖象(如圖)，從圖上容易得出實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，+∞).【答案】[2，+∞)【變式探究】已知實(shí)數(shù)x，y滿足(x－3)2＋y2＝3，則的最大值是.【解析】可看作是過點(diǎn)P(x，y)與M(1，0)的直線的斜率，其中點(diǎn)P在圓(x－3)2＋y2＝3上，如圖，當(dāng)直線處于圖中切線位置時(shí)，斜率最大，最大值為tanθ=.【答案】解題方法四、等價(jià)轉(zhuǎn)化法通過“化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化陌生為熟悉”，將問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出正確的結(jié)果.8例4、不等式＞ax＋的解集為(4，b)，則ab=.【解析】設(shè)＝t，則原不等式可轉(zhuǎn)化為：∴a＞0，且2與(b＞4)是方程的兩根，由此可得ab＝36.36【變式探究】不論k為何實(shí)數(shù)，直線y＝kx＋1與曲線x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【解析】題設(shè)條件等價(jià)于點(diǎn)(0，1)在圓內(nèi)或圓上，2＋1≤2a＋4.∴-1≤a≤3.【答案】[－1，3]解題方法五、圖象分析法對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對(duì)圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果．這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點(diǎn)間距離等，求解的關(guān)鍵是明確幾何含義，準(zhǔn)確規(guī)范地作出相應(yīng)的圖形.例5、已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是.________【解析】如圖abc，∵(a－c)·(b－c)＝0，∴點(diǎn)C在以AB為直徑，AB的中點(diǎn)為圓心的圓上，故|OC|的最大值為圓的直徑，即|AB|的長為.【答案】【感悟提升】圖象分析法實(shí)質(zhì)上就是數(shù)形結(jié)合的思想方法在解決填空題中的應(yīng)用，利用圖形的直觀性并結(jié)合所學(xué)知識(shí)便可直接得到相應(yīng)的結(jié)論，這也是高考命題的熱點(diǎn)．準(zhǔn)確運(yùn)用此類方法的關(guān)鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求出結(jié)果. |x|-π【變式探究】不等式2·sinx<0，x∈[-π, |x|-π【解析】在同一坐標(biāo)系中分別作出y＝|x|-與y＝sinx的圖象：-π,-π0π-π,-π0π-π,-π0，π-π,-π0，π解題方法六、構(gòu)造法用構(gòu)造法解填空題的關(guān)鍵是由條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型，從而簡(jiǎn)化推導(dǎo)與運(yùn)算過程．構(gòu)造法是建立在觀察聯(lián)想、分析綜合的基礎(chǔ)之上的，首先應(yīng)觀察題目，觀察已知(例如代數(shù)式)形式上的特點(diǎn)，然后積極調(diào)動(dòng)思維，聯(lián)想、類比已學(xué)過的知識(shí)及各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)模型，深刻地了解問題及問題的背景(幾何背景、代數(shù)背景)，從而構(gòu)造幾何、函數(shù)、向量等具體的數(shù)學(xué)模型，達(dá)到快速解題的目的.例6、如圖，已知球O的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC則球O的體積等于.【解析】如圖，以DA，AB，BC為棱長構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對(duì)角線長即為球O的直徑，所以|CD|2R，所以R故球O的體積V＝=π.【答案】π【感悟提升】構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向，通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題．本題巧妙地構(gòu)造出正方體，而球的直徑恰好為正方體的體對(duì)角線，問題很容易得到解決.【變式探究】在數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，則該數(shù)列的通項(xiàng)an＝.【解析】由an＋1＝2an＋3，則有an＋1＋3＝2(an＋3)，即an＋1＋3＝2.an＋3所以數(shù)列{an＋3}是以a1＋3＝4為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以an＝2n＋1－3.【答案】2n＋1－3解題方法七、并列式此種類型多空題的特點(diǎn)是：根據(jù)題設(shè)條件，利用同一解題思路和過程，可以一次性得出兩個(gè)空的答案，兩空并答，題目比較簡(jiǎn)單，會(huì)便全會(huì)，這類題目在高考中一般涉及較少，?？疾橐恍┗玖康那蠼?，一般是多空題的第一個(gè)題目.例7、已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx+φ)＋b(A＞0)，則Ab＝. 2x+π【解析】∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋si 2x+π 2x+π∴1＋sin4＝Asin(ωx+φ 2x+π【答案】1【變式探究】雙曲線x2－y2＝1的焦距是，漸近線方程是.2_______________________【解析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，知雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，且a2＝2，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝3，即c∴焦距2c＝2，漸近線方程為y=±x，即y=±x.【答案】2y=±x解題方法八、分列式此種類型多空題的特點(diǎn)是：兩空的設(shè)問相當(dāng)于一個(gè)題目背景下的兩道小填空題，兩問之間沒什么具體聯(lián)系，各自成題，是對(duì)于多個(gè)知識(shí)點(diǎn)或某知識(shí)點(diǎn)的多個(gè)角度的考查；兩問之間互不干擾，不會(huì)其中一問，照樣可以答出另一問.例8、(1)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是cm2，體積是cmcm.________x＋2－3，x≥1，(2)已知函數(shù)f(x)＝x則f(f(－3))＝【解析】(1)由三視圖知該幾何體是一個(gè)組合體，左邊是一個(gè)長方體，交于一點(diǎn)的三條棱的長分別為2cm,4cm,2cm，右邊也是一個(gè)長方體，交于一點(diǎn)的三條棱的長分別為2cm,2cm，4cm.幾何體的表面積為(2×2＋2×4＋2×4)×2×2－2×2×2＝72(cm2)，體積為2×2×4×2＝32(cm3).(2)∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg10＝1，∴f(f(－3))＝f(1)＝1＋2－3＝0.當(dāng)x≥1時(shí)，x3≥2－3＝2－3，當(dāng)且僅當(dāng)x即x＝時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)f(x)min＝2－3＜0；當(dāng)x＜1時(shí)，l