高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性講義 第03講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

第3講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

考點(diǎn)分析

考點(diǎn)一：空間直角坐標(biāo)系

從空間某一定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系3yz,

點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，X軸、y軸、Z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別是X0y

平面、yθz平面、ZoX平面.

注：空間中一般建立右手直角坐標(biāo)系

在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向X軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向Z軸的正

方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.

考點(diǎn)二：空間中點(diǎn)的坐標(biāo)

空間一點(diǎn)4的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x,y,Z)來(lái)表示，有序數(shù)組(X,y,Z)叫做點(diǎn)4的坐標(biāo)，記作A(X，A

Z),其中X叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，Z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).

考點(diǎn)三：空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱問(wèn)題

在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(X,y,z),則有

點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是片(-x,-γ,-z)；

點(diǎn)P關(guān)于橫軸(X軸)的對(duì)稱點(diǎn)是P2(x,-y,-z)；

點(diǎn)P關(guān)于縱軸。，軸)的對(duì)稱點(diǎn)是Pi(-x,γ,-z);

點(diǎn)P關(guān)于豎軸(Z軸)的對(duì)稱點(diǎn)是Pi(-x,-y,z)；

點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面xθy的對(duì)稱點(diǎn)是P5(x,y,-z)；

點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面yθz的對(duì)稱點(diǎn)是Pb(-x,y,z)；

點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面XoZ的對(duì)稱點(diǎn)是Rj(x,-y,z).

考點(diǎn)四：空間中向量的坐標(biāo)運(yùn)算及距離公式

①空間中知道兩點(diǎn)求向量：若4(工］,了1,21),6(%2，%,22)，則

Aβ=OB-OA=(x,,y2,z2)-(x∣,yl,z1)=(x2-xl,y2-γl,z2-z1)

即:一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。

②空間中知道兩點(diǎn)求距離：若Aa,y,zJ,B(∕,%,Z2),則

222

IABI=TA?=λ∕(x2-x1)+(γ2-y1)+(z2-z1)

考點(diǎn)五：空間兩點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)算

空間中有兩點(diǎn)A(Λ?,yl,zl),B(A2,γ2,z2),則線段4B的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為[土產(chǎn),"?,工

考點(diǎn)六：向量加減法、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

若α=(x∣,χ,z∣),6=(X2，%，Z2),則

①α+b=(x∣+x2,γl+γ2,zl+z2);②α-6=(xl-x2,yi-y2,zi-z2);

+zz

(^)λa=^λxvλyx,λz^{λ&R);?a-h=xlx2+^ly2ι2

考點(diǎn)七：空間向量的模及兩向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式

若α=(F,凹，4),1=(工2，%*2)，則

①H=J無(wú)∣2+yj+zj

②C。《詞=需=/29+?工Zq2

>z

+M+ZjX2+>2+2

考點(diǎn)八：空間向量平行和垂直的條件

若α=(x],y,z∣),各=(X2，y2，Z2)，則

①a//b=a=入b=X[=AX,,X=λy2,zi—λz2(λ∈R)=土=X=-^-(x2y2z2≠0)

‘%%?

②々<=>db=OOxlX2+yly2+zlz2=0

規(guī)定：0與任意空間向量平行或垂直

典型例題

題型一：空間向量的坐標(biāo)表示

【例1】(2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí))已知O(0,0,0),N(5,T,2),A(4,2,-l),若ON=AB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)

為().

A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)

C.(1,—3,3)D.(—9,—1,-1)

【答案】B

【分析】由ON=A8，設(shè)B(x,y,z)結(jié)合空間向量的坐標(biāo)，得(5,—I,2)=(χ-4,y-2,z+l),即可求8的坐標(biāo).

【詳解】設(shè)5(x,y,z),由ON=AB得：(5「1,2)=(久一4,y—2,z+1),

x-4=5x=9

：?<y-2=T,可得<y=↑,所以點(diǎn)3的坐標(biāo)為(9,1,1).

z+1=2z=1

故選：B

【例2】(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)”2分別與點(diǎn)M(L-2,3)關(guān)于X軸和Z軸對(duì)稱，則陷=()

A.(—2,0,6)B.(2,0,-6)C.(0,4,—6)D.(0,—4,6)

【答案】A

【分析】在空間直角坐標(biāo)系中，求出點(diǎn)例(1,-2,3)關(guān)于X軸和Z軸對(duì)稱的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示即可

得解.

【詳解】依題意，點(diǎn)M(l,-2,3)關(guān)于X軸對(duì)稱點(diǎn)MI(1,2,-3),關(guān)于Z軸對(duì)稱點(diǎn)加2(-1，2,3),

所以MM2=(-2,0,6).

故選：A

【例3】(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知；，］,方是空間直角坐標(biāo)系。-個(gè)Z中X軸、)，軸、Z軸正方向上的

單位向量，且&=3；，A%=；+J+Z則點(diǎn)8的坐標(biāo)為(〉

A.(1,-1,1)B.(4,1,1)C.(1,4,2)D.(4,1,2)

【答案】B

【分析】設(shè)分X,Xz),由2?=(χ-3,y,z)=(1,1,1)得方程，即得解.

【詳解】由題得點(diǎn)43,0,0)，設(shè)B(x,y,z),??.A?=(x-3,y,z)=(l,U),

所以X—3=1,y=1,Z=1,冗=4,y=1,Z=1,

所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4』,1).

故選：B

【例4】(2022.全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知｛α∕,c｝是空間向量的一個(gè)基底，｛α+b,4-b,c｝是空間向量的另一

個(gè)基底，若向量〃在基底他,九。｝下的坐標(biāo)為(4,2,3),則向量P在基底｛α+4α-6,c｝下的坐標(biāo)為()

A.(4,0,3)B.(123)C.(3,1,3)D.(2,1,3)

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)出P在基底｛“+反。-b,c｝下的坐標(biāo)為(x,y,z),利用對(duì)照系數(shù)，得到方程組，求出結(jié)果.

【詳解】

???尸在基底｛。力,0｝下的坐標(biāo)為(4,2,3)

.*.p=4a+2b+3c

設(shè)P在基底｛α+∕2M-b,CH的坐標(biāo)為(x,y,z)

貝IJp=x(α+〃)+)(〃-/7)+ZC=(X+y)α+(x-yW+Zc

x+y=4

對(duì)照系數(shù)，可得：卜-y=2

z=3

X=3

解得：卜=1

z=3

.??°住基底伍+4。-6?下的坐標(biāo)為(3,1,3)

故選：C

【例5】(2022?福建三明?高二期末(多選題))已知正方體ABCQ-AqGR的棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系。qz,則()

A.點(diǎn)CI的坐標(biāo)為(2,0,2)B.C,A=(2,-2,-2)

C.8。的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,1)D.點(diǎn)與關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-2,2,-2)

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，可求點(diǎn)G的坐標(biāo)，由此判斷A;求出GA的坐標(biāo)，可判斷B:

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得BDi的中點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷C;根據(jù)空間點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷D.

【詳解】

根據(jù)題意可知點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0,2,2),故A錯(cuò)誤；

由空間直角坐標(biāo)系可知：42,0,0),6；4=(2,-2,-2),故8正確；

由空間直角坐標(biāo)系可知:8(2,2,0),A(0,0,2),故Ba的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,I,1),故C正確；

點(diǎn)⑸坐標(biāo)為(2,2,2),關(guān)于于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(一2,2,-2),故D正確，

故選：BCD

【例6】(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))若四邊形ABC。是平行四邊形，且A(4,l,3),8(2,-5,1),C(3,7,-5),

則頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

A.(1,1,-7)B.(5,3,1)C.(-3,1,5)D.(5,13,-3)

【答案】D

【分析】根據(jù)ABCZ)為平行四邊形，得到AB=DC,設(shè)。(x,y,z),將向量AB,DC用坐標(biāo)表示后，代入上式

即可求解.

【詳解】AB8為平行四邊形，.?.4B=OC,設(shè)。(x,y,z),則AB=(—2,-6,-2),￡>C=(3—x,7-y,—5—z),

3-x=-2x=5

.,.7-y=-6,解得＜.y=13.

—5—z=-2z=-3

故選：D.

【題型專練】

1.(2021.北京.人大附中高二期中)在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(0,l,0),3(322),點(diǎn)。滿足AO=2A8,

則點(diǎn)。的坐標(biāo)是()

A.(5,4,3)B.(3,4,3)

C.(6,3,4)D.(1,2,3)

【答案】C

【分析】設(shè)。(x,y,z),根據(jù)AO=2AB可得點(diǎn)。的坐標(biāo).

【詳解】設(shè)。(x,y,z),則AD=(X,yT,z),AB=(3,l,2),

x=6

由Ao=2A8得,k1=2即O(6,3,4),

[z=4

故選：C.

2.(2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試)已知他,仇c｝是空間向量的一個(gè)基底，｛α+b,α-6,c?｝是空間向量的另一個(gè)基底,

若向量P在基底｛α也c｝下的坐標(biāo)為(4,2,3),則向量P在基底｛a+b,α-"c｝下的坐標(biāo)為()

A.(4,0,3)B.(1,2,3)C.(3,1,3)D.(2,1,3)

【答案】C

【分析】設(shè)出P在基底｛4+6,α-b,c｝下的坐標(biāo)為(x,y,z),利用對(duì)照系數(shù)，得到方程組，求出結(jié)果.

【詳解】p在基底｛。,"。｝下的坐標(biāo)為(4,2,3)/.p=4a+2b+3c

設(shè)方在基底｛α+-B,c｝下的坐標(biāo)為(x,%z)

戈+y=4

則P=Ma+b)+y"/?)+ZC=(X+y”+(x-y)b+zc,對(duì)照系數(shù)，可得：＜x-y=2

z=3

X=3

解得：,產(chǎn)1.?“在基底｛。+〃,"，,。｝下的坐標(biāo)為(3,1,3)

z=3

故選：C

3.(2022?江蘇常州?高二期中)平行六面體ABs-ABCQ中，AC=(1,2,3),CGl,2,4),則點(diǎn)Al的坐標(biāo)為

()

A.(0,4,7)B.(-2,0,l)C.(2,0,-1)D.(2,0,1)

【答案】B

【解析】

【分析】

利用空間向量的坐標(biāo)表示，即得.

【詳解】

設(shè)A(X,y,z),

VAC=(l,2,3),Cl(-l,2,4),又AC=AG,

(1,2,3)=(-1-x,2-y,4-z),

解得x=-2,y=0,z=l,即A(-2,0,l).

故選：B.

4.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))在正方體ABs-A8∣GR中，若點(diǎn)〃是側(cè)面以＞AG的中心，則AM在基底

{A41,AD,A8}下的坐標(biāo)為()

B

1C1

A.rt4B.C.D.Γ1,i

【答案】D

【解析】

【分析】

利用向量運(yùn)算求得AM=；AAI+AO+從而確定正確選項(xiàng).

【詳解】

由題可知，M為。G的中點(diǎn),

/.AM=AD+DM=AD+^DD,+DC)=AD+^AA+AB^=^

t=-AA,+AD+-AB,

712

，坐標(biāo)為(g,l,g).

故選：D

5.(2022?河北?武安市第三中學(xué)高二階段練習(xí)(多選題))如圖，在正三棱柱ABC-ABe中，己知，ABC的

邊長(zhǎng)為2,三棱柱的高為1,BCMG的中點(diǎn)分別為D,R,以。為原點(diǎn)，分別以。C,ZM,。A的方向?yàn)閄軸、y軸

、Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列空間點(diǎn)及向量坐標(biāo)表示正確的是（）

為

A.A（O,√3,1）B.C1（1,0,1）

C.ADt=（θ,-√3,l）D.BlA=（√3,√3,-l）

【答案】ABC

【解析】

【分析】

求出等邊三角形的高AO的長(zhǎng)，根據(jù)三棱柱的棱長(zhǎng)可得各點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得向量的坐標(biāo)即可判斷.

【詳解】

在等邊LABe中，AB=2,BD=l,所以Ao=G,則4（0,G,0），A（0，G/）C（1，0，1），0（0,0，1），旦㈠，?！梗?，

則AR=（θ,-√3,l）,S1A=

故選：ABC

6.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知”=（3,T,2）,α的起點(diǎn)坐標(biāo)是（2,0,-5）,則"的終點(diǎn)坐標(biāo)為

【答案】（5,7,-3）

【解析】

【分析】

根據(jù)向量坐標(biāo)的求解方法，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，求解即可.

【詳解】

設(shè)α的終點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z),由題可得：(x-2,y,z+5)=(3,T,2),

故可得x=5,y=-l,z=-3,即α的終點(diǎn)坐標(biāo)為(5,-1,-3).

故答案為：(5,—1,-3).

7.(2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)M(l,0,2),N(T,l,0),MN=2MP,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

【答案】(0,；/,#(0,0.5,1)

【解析】

【分析】

先求出向量MN的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P(X,y,z),得出M尸的坐標(biāo)，根據(jù)條件得出方程組可得答案.

【詳解】

點(diǎn)M(l,0,2),N(—1,1,0),則MN=(-2,1,—2)

設(shè)點(diǎn)尸(x,y,z),則MP=(X-I,y,z-2)

2x-2=-2p=0

由MN=2MP，則<2y=I，BUy=p

2z-4=-2IZ=I

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(o],ι

故答案為：(θ?,?

8.(2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí))如圖所示，在正方體A8C￡>—4B∕C√λ中建立空間直角坐標(biāo)系，若正方體的

棱長(zhǎng)為1，則AB的坐標(biāo)為一，OG的坐標(biāo)為一，BQ的坐標(biāo)為

【答案】(1,0,0)(1,0,1)(-?,l,-l)

【解析】

【分析】

山題設(shè)確定A,8,RB∣,G的空間坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示求AB、OG、耳。的坐標(biāo).

【詳解】

如題圖示,

A(0,0,0),β(l,0,0),D(0,1,0),Bt(1,0,1),C1(1,1,1),

,AB=(1,0,0)-(0,0,0)=(1,0,0),

DC∣=(1,1,1)-(0,1,0)=(1,0,1),

B,D=(0,1,0)-(1,0,l)=(-1,1,-1).

故答案為：(1,0,0),(1,0,1),(-1,1-1).

題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

【例1】(2021?湖南?郴州市第三中學(xué)高二期中)在空間直角坐標(biāo)系中，AB=(1,2,3),AC=(4,5,6),則向量

BC=()

A.(—3,—3,—3)B.(3,3,3)

C.(5,7,9)D.(4,10,18)

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算和坐標(biāo)表示，計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)锳B=(1,2,3),AC=(4,5,6),

所以向量3C=AC-A3=(3,3,3).

故選：B.

【例2】(2022?浙江寧波?高一期中)已知向量)=(2,1),U(1,-2),則的坐標(biāo)為()

A.(-1,-5)B.(—1,7)C.(1,-5)D.(1,7)

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解即可

【詳解】

α=(2,1),%=(1,-2),Λii-3?=(2,1)-3(1,-2)=(2,1)-(3,-6)=(-1,7).

故選：B.

【例3】(2022?重慶?高二期末)在四面體P-ABC中，P(0,0,3),A(2,2,5),8(1,3,2),C(3,1,2),則以下選項(xiàng)

正確的有()

A.AB=(—1,1,-3)

B.網(wǎng)=IACl

C.PAlAC

D.ABAC=Il

【答案】AB

【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)表示公式、空間向量模的坐標(biāo)表示公式、空間向量垂直的性質(zhì)和數(shù)量積坐標(biāo)公

式逐一判斷即可.

【詳解】A：因?yàn)?B=(-l,l,-3),所以本選項(xiàng)正確；

B：因?yàn)锳8=(T,l,-3),AC=(1,-1,-3),

所以有=?-1)2+儼+(-3)2=√∏,?AC?=√12+(-1)2+(-3)2=√∏,

因此本選項(xiàng)正確；

C：因?yàn)镋4=(2,2,2),AC=(I,-1,-3),

所以有PA?AC=2-2-6=-6HO，因此本選項(xiàng)不正確；

D：因?yàn)閆B=(-1,1,-3),AC=(I,-1,-3),

所以A8?AC=-l-l+9=7，因此本選項(xiàng)不正確，

故選：AB

【例4】(2022?廣東?高二階段練習(xí))如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，四棱錐P-ABCD的底面ABC。是正方

形，PBJ.平面ABa且P8=AB=2,若尸C=3PQ,則點(diǎn)。的空間直角坐標(biāo)為()

A.(3,2,1)B.與用

C.(1,2,3)D.(1,2,1)

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算.

【詳解】

由題意得C(0,2,0),P(2,2,2),所以尸C=(-2,0,-2)=3尸。，

所以Po=(爭(zhēng)0,一事,所以Q的坐標(biāo)為1率0,-"+(2,2,2)=住詞.

故選:B.

[例5](2022?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))已知正六棱柱48CDEF-ABCQE耳的底面邊長(zhǎng)為1,P是正六棱柱內(nèi)

(不含表面)的一點(diǎn)，則AP?AB的取值范圍是()

CJ

?H)d?H)

【答案】A

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(x,y,z),由正六邊形的性質(zhì)可知-]<χ<;,再根據(jù)空間向量數(shù)列積公式，即

可求出結(jié)果.

【詳解】

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，H.AB=BC=CD=DE=EF=AF=l,

]/3/3/3

由正六邊形的性質(zhì)可得，A(0,0,0),8(1,0,0),尸--,^-,0,Cp?,θ,

?Q

設(shè)尸(x,y,z),其中-∕<x<∕,

所以AB=(1,0,0),AP=(x,y,z),

所以AB?AP=χ,所以48?AP的取值范圍(-g,?∣]

故選：A.

【題型專練】

1.(2021.廣東?潮州市湘橋區(qū)南春中學(xué)高二階段練習(xí))若α=(2,0,1)力=(-3,1,-1),c=(l,l,O),則α+2b_3c=

()

A.(-1,-2,0)B.(-7,-1,0)C.(-7,-1,1)D.(-7,-1,-1)

【答案】D

【分析】利用向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算求α+28-3c即可.

【詳解】a+26-3c=(2,0,l)+2?(-3,l,-l)-3?(l,1,0)=(-7,-1,-1).

故選：D

2.(2022?廣東?普寧市華僑中學(xué)高二階段練習(xí))在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCo-A瓦GA中，尸是棱CG上一動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)。是面AC的中心，則APAO的值為()

A.4B.2√2C.2D.不確定

【答案】A

【解析】

【分析】

畫出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可

【詳解】

如圖，以。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫Z,

因?yàn)檎襟wABCD-ABCa棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)。是面AC的中心，P是棱Ca上一動(dòng)點(diǎn),

所以A(2,0,0),0(1,1,0),P(0,2,z)

AP=(-2,2,z),AO=(TLO)

AP?AO=2+2+0=4

3.(2022?江蘇?東?？h教育局教研室高二期中)已知α=(4,l,2),?=(2,-1,3),則(α-θ)?(α+2b)=

【答案】6

【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求解.

【詳解】由“=(4,1,2),6=(2,-1,3),得

a-?=(4-2,1+1,2-3)=(2,2,-1),2?=(4,-2,6),

α+2A=(4+4,1-2,2+6)=(8,-1,8).

(4-∕>)?(α+2h)=2x8+2x(-1)+(-1)x8=6.

故答案為：6.

4.（2022?湖南益陽(yáng)?高二期末（多選題））已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)都是2,E,EG分別是棱AB,A。,。C的

中點(diǎn)，則（）

A.ABAC=2B.EFFG=I

C.AB?EG=QD.GEGF=I

【答案】ACD

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量級(jí)的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】

以8為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則B(0,0,0),C(l,√3,0),￡)(-1,6,0),Λ(0,,G((),√3,0),Ee與與,

所以AB=（0,-半,一半）

AC=(1,

EF=（-；，￥，O），F(xiàn)G=（；,

,EG=(0,

2811

AB-AC=一一+-=2,EFFG=一一+—=0,

3344

ARf7G_44_2√3√61√3√612

333326333

故選：ACD

5.（2022?上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí)）棱長(zhǎng)為1的正方體ABCC-A4GR，P在正方體的12條梭上運(yùn)

動(dòng)，則AC?BP的取值范圍是,

【答案】[τ,l]

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得ACBP的表達(dá)式，進(jìn)而求得ACBP的取值范圍.

【詳解】

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,A(1,O,O),C(O,1,O),B(1,1,O),

AC=(T,1,0),設(shè)P(x,y,z)(且P只在正方體的12條棱上運(yùn)動(dòng))，

則3戶=(x-l,y-l,z),

AC?BP=1-x+y-1=y—x,

0≤x≤l-l≤-x≤0

由于,所以=T≤y-x≤↑,

0≤γ≤l0≤y≤l

當(dāng)X=Ly=O時(shí)，AC?BP取最小值-1;當(dāng)X=O,y=l時(shí)，AC.BP取最大值1.

故答案為：

6.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),8(-2,1,1),C(l,-I,3),四邊形ABCD是平行四邊

形，其中AC,BD為對(duì)角線,則80=.

【答案】(5-1,4)

【分析】設(shè)氏x(chóng),y,z),根據(jù)48=QC,求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，即可求出BD

【詳解】空間三點(diǎn)A(0,2,3),3(-2,1,1),C(l,-1,3),四邊形ABa)是平行四邊形，

設(shè)。(x,y,z),AS=(-2,-1,-2),DC=(l-x,-l-j,3-z),AB=DC，

/.—2=1—x,-?=-?-yf—2=3—z,解得χ=3,y=θ,z=5,.,?D(3,0,5),

/.8。=(5,-1,4).

故答案為：(5-1,4).

7.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知正方體ABC。-ABCQ的棱長(zhǎng)為1,P為8。上一點(diǎn)，且BP=；BR.建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】p(∣,∣4

【解析】

【分析】

由圖可得A(0,0,1),8(1,1,0),設(shè)3P=(x,y,z),然后根據(jù)BP=gBR求解即可.

【詳解】

由圖可得A(0,0,1),B(IJO),設(shè)BP=(X,XZ)

因?yàn)锽P=gBR,所以=所以(x—l,y-l,z)=g(T,T,l)

,12

X-I=——X=—

33

所以IyT=-鼻1,解得｛y=q2,即Pl<W2G2G1Al

題型三：空間向量的三點(diǎn)共線與四點(diǎn)共面問(wèn)題

【例1】(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))若A(m+1,〃-1,3)、B(2m,n,m-2n)λC(Zn+3,"-3,9)三點(diǎn)共線,則

m+n=().

A.OB.?C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

直接根據(jù)々=求解即可.

【詳解】

VAB=(w-l,l,m-2n-3),AC=(2,-2,6),

,日?3.m-?1m-2n-3

由題意4得θ48//AC，π則lF-=F=——-——，

2—26

/./??=Osn=O,Λm+n=O,

故選:A.

【例2】(2022.江蘇.高二課時(shí)練習(xí))向量&=(1,1,0),6=(0,1,1),c=(1,0,1),4=(1,0,-1)中，共面的三個(gè)

向量是()

A.a,b,cB.b,c,dC.c,d,aD.d,a,b

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)向量共面滿足的坐標(biāo)關(guān)系，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】

A：若a,Z?,C共面，則α=χθ+yc,即(l,l,O)=(O,x,x)+(y,O,y),

即y=l,x=l,x+y=O,顯然不存在％y滿足題意,故a,Ac不共面；

同理，B,C中的三個(gè)向量也不共面；

D：若d,揖6共面，則d=xα+功，即(1,0,-1)=(x,x,0)+(0,y,y),

Bpx=l,x+j=O,y=-l,故存在X=Ly=T滿足題意，則d,a,6共面.

故選：D.

【例3】(2022.云南省瀘西縣第一中學(xué)高二期中)已知空間向量”=(-2,l,㈤為=(1,TO),p=(T,2,r),若

a,b,p共面，貝∣J〃?+，=()

A.—1B.OC.ID.—

2

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)共面向量，得到對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出相+，的值即可.

【詳解】

若a、b、P共面，則α=2b+2p,

即(―2,1,tri)={λ-μ,-λ+1μ,μt),

λ-μ=-2λ=—?>

故?-2+2∕z=l,故<〃=-1,

μt=mt+m=O

故選:B.

【例4】(2022?福建龍巖?高二期中)已知空間中三點(diǎn)A(mT,2),B(3,l,-4),C(l,π,-1).

⑴若A,B,C三點(diǎn)共線，求帆+〃的值；

(2)若AS,BC的夾角是鈍角，求〃?+〃的取值范圍.

【答案】(I)T;

(2)〃?+"vl3,^?jn+n≠-?.

【解析】

【分析】

(1)由向量的坐標(biāo)表示確定AB、CB,再由三點(diǎn)共線，存在；IeR使AB=∕LCB，進(jìn)而求出”,即可得

結(jié)果.

(2)由向量夾角的坐標(biāo)表示求cos<AB,BC>,再根據(jù)鈍角可得2(m-3)+2("-l)78<0,討論

<A8,8C>=開(kāi)的情況，即可求帆+〃范圍.

(1)

由題設(shè)AB=(3-皿2,-6),CB=(2,l-",-3),又A,B,C：三點(diǎn)共線,

3—nι=2Λ?λ-r∑

所以存在/IeR使AB=ACB，即J2=∕l(1-"),可得Jm=-I,

-6=-32?=0

所以∕n+〃=—1.

(2)

由BC=(—2,枕一1,3),

由(1)知：當(dāng)<AB,8C>=乃時(shí)，有/72+〃=—1；

ABBC2(愣-3)+25-1)-18

而cos<AByBC>=又AB，BC的夾角是鈍角，

IABIIBCI√40+(w-3)2?√13+(n-l)2

所以2?！?3)+2(〃-1)-18=2(機(jī)+〃)-26<O,可得利+鹿<13；

又機(jī)=o,〃=T時(shí)AB=(3,2,-6)?BC=(-2,-2,3).故cos<4B,BC)=一言<O,滿足題設(shè)；

綜上，tn+n<13,J^L∏j+n≠-?.

【例5】(2022.全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))證明43,0,5),B(2,3,0),C(0,5,0),。(1,2,5)四點(diǎn)共面，你能給出兒

種證明方法？

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

方法一、根據(jù)AC=4B+4。即可證明；方法二、根據(jù)AB=OC即可證明.

【詳解】

證明：方法一、因?yàn)锳(3,0,5),B(2,3,0),C(0,5,0),￡>(1,2,5),

所以A8=(-1,3,-5),AC=(-3,5,-5),A。=(-2,2,0),

所以AC=AB+AO，

所以A,B,C,。四點(diǎn)共面；

方法二、因?yàn)?3,0,5),β(2,3,0),C(0,5,0),D(l,2,5),

所以AB=(-1,3,-5),DC=(-1,3,-5),

所以A8=OC，

所以ABCD,

所以A,B,C,。四點(diǎn)共面.

【題型專練】

1.(2022?河南?平頂山市教育局教育教學(xué)研究室高二開(kāi)學(xué)考試(理))已知空間三點(diǎn)4(0,1,2),8(2,3,1),

C(y,2,ni),若A,8,C三點(diǎn)共線，則W=().

A.?B.1C.-D.2

22

【答案】C

【解析】

【分析】

求出向量AB與向量AC的坐標(biāo)，根據(jù)A,8,C三點(diǎn)共線，可得向量AB與向量AC共線，由此即可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)锳B=(2,2,—1),AC=(Ll,加一2),FIA,B,C三點(diǎn)共線，

所以向量AB與向量AC共線，

LL-1m—2R3

所以彳=——.1?W=-?

2-12

故選：C.

2.(2022?陜西榆林?高二期末(理))已知α=(2,-1,3),?=(-1,4,-4),c=(7,7"),若〃、b、2三個(gè)向量共

面，則實(shí)數(shù)2=

A.3B.5

C.7D.9

【答案】A

【解析】

【分析】

由空間向量共面原理得存在實(shí)數(shù)”？，〃，使得c=%α+"6,由此能求出實(shí)數(shù)人

【詳解】

解:α=(2,-1,3)>?=(-1.4,-4),c=(7,7,2),a、b、C三個(gè)向量共面，

，存在實(shí)數(shù)m,",使得c=∕nα+"匕,即有:

7=2/77-n

<7=-m+4n,

A=3m-4〃

解得m=5,∕ι=3,

.?.實(shí)數(shù)；1=3X5-4X3=3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間向量共面原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2022.浙江?效實(shí)中學(xué)高二期中)(1)設(shè)ON=(I,—2,-2),OM=(3,2,4),貝IBMN=；

(2)若P與A,B,C(A,B,C三點(diǎn)不共線)四點(diǎn)共面，且對(duì)于空間任一點(diǎn)。，都有

APOA+2OB+rOC(r∈R),則f=.

【答案】(T,-2,-3)-3

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可求;MN的坐標(biāo)，

(2)由已知可得：OP=2OA+2OB+tOC(t≡R),利用四點(diǎn)共面的充要條件列方程即可求解.

【詳解】

(1)因?yàn)镺N=(I,-2,-2),OM=(3,2,4),所以MN=ON-OM=(-2,T,-6),

所以;MN=(T-2,-3).

(2)對(duì)于空間任一點(diǎn)0,都有AP=OA+2OB+∕OC(ZGR),

則OP-OA=04+208+rOC(f∈R)g∣JOP=2。4+2OB+fOC(f∈R),

因?yàn)辄c(diǎn)P與A,B,C(A,B,C三點(diǎn)不共線)四點(diǎn)共面，

所以2+2+/=1,可得/=-3,

故答案為：(—1,—2,-3)；-3.

4.(2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試)已知”=(2,-1,3),O=(T4,-2),c=(7,5,2).若“、b、C三向量共面，則

實(shí)數(shù)4=.

【答案】y

【解析】

【分析】

由題意可得，存在實(shí)數(shù)X,y,使C=M+乃，列出方程組，即可求得答案.

【詳解】

因?yàn)棣?b不平行，且a、b、C三向量共面,

所以存在實(shí)數(shù)X,y＞使C=Xa+油，

7=2x-y

17

所以＜5=-x+4y,解得y=亍,

λ=3x-2y

故答案為：y

5.(2022?遼寧?遼河油田第二高級(jí)中學(xué)高二期中)已知向量α=(2,l,-2),6=(-2,3,1),C=(X,3,5).

(1)當(dāng)∣α+c∣=50時(shí)，求實(shí)數(shù)X的值；

⑵若向量C與向量”,B共面，求實(shí)數(shù)X的值.

【答案】(I)X=3或χ=-7.

、46

(2)——?

【解析】

【分析】

(I)由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，建立方程，求解即可；

(2)設(shè)c=/U+〃6(%〃eR),根據(jù)空間向量的坐標(biāo)線性運(yùn)算建立方程組，求解即可.

(1)

解：α+c=(x+2,4,3),

因?yàn)椴?c∣=5√∑,所以J(X+2)2+4?+32=5&,BPX2+4X-21=0,解得X=3或X=-7；

(2)

解：因?yàn)橄蛄緾與向量”，匕共面，所以設(shè)c=∕lα+W(∕l,4eR).

x=2tλ-2μ/

因?yàn)?x,3,5)=2(2,1,-2)+M—2,3/)，■3=2+3〃，所以<=-*所以實(shí)數(shù)X的值為一年.

5=-2λ+μ

11

題型四：空間向量模長(zhǎng)坐標(biāo)表示

【例1】(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))若AB=(-1,2,3),BC=(1,-1,-5),貝IJlACI=()

A.√5B.√10C.5D.10

【答案】A

【分析】先求出AC,再利用向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式即可

【詳解】因?yàn)锳C=4B+BC=(-1,2,3)+(1,-1,-5)=(0,1,-2)

所以IACl=√02+l2+(-2)2=√5

故選:A

【例2】(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知向量d=(T,2,l),0=(2,-2,0),則。在6的方向上的數(shù)量投影為

()

?/?3

A.-x∕bB.—aC.--------D.-h

24

【答案】C

【解析】

【分析】

直接由數(shù)量投影的公式求解即可.

【詳解】

a?h—lx2+2x(-2)3>/2

由題意知：”在人的方向上的數(shù)量投影為W=-

故選：C.

【例3】(2022?福建龍巖?高二期中)已知向量i=(-3,2,4),?=(l,-2.2),貝電-。卜()

A.2√I0B.40C.6D.36

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算求a-方，再利用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式求模長(zhǎng).

【詳解】

222

由題設(shè)α-b=(-4,4,2),則卜沙J(-4)+4+2=6.

故選：C

【例4】(2022?湖北?十堰市教育科學(xué)研究院高二期末(多選題))在空間直角坐標(biāo)系O-型中，

Λ(1,1,3),B(2,-2,1),則()

A.OAlOBB.∣AB∣=√14

C.|。昨2|OdD.OBAB=6

【答案】BD

【解析】

【分析】

根據(jù)空間向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A；計(jì)算空間向量的模長(zhǎng)可判斷BC；根據(jù)空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)

運(yùn)算可判斷D.

【詳解】

O4?OB=3≠0,故A錯(cuò)誤；

網(wǎng)=Jl+(-3)2+(-2)2=√17,故B正確；

因?yàn)闊?,4+4+1=3,∣OΛ∣=√1+1+9=√H,所以故C錯(cuò)誤；

因?yàn)锳B=(I,—3,—2),所以O(shè)δ?A月=2+(-2)x(-3)-2=6,故D正確.

故選：BD.

【例5】(2022.安徽省亳州市第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試)如圖,在直三棱柱ΛBC-AEC中，AB=BC=BBl=2,

ABlBC,。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段C'。上，點(diǎn)尸在線段88'上，則線段E廠長(zhǎng)的最小值為()

C.ID.√2

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，令加=2力C'"w[O,l],用;I表示出點(diǎn)E,尸坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公

式計(jì)算作答.

【詳解】

依題意，BABe,BB'兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則8(0,0,0),D(0,1,0),β,(0,0,2),C,(2,0,2),DC,=(2,-1,2),BB'=(0,0,2),

設(shè)DE=4。C)G[0,1],則E(24,1-422),設(shè)F(0,0,z),有EF=(2。,1-4,z-21),

線段E尸長(zhǎng)最短，必滿足EFJ.B8',則有EF?B8'=0,解得z=22,即EF=(22,l-∕l,0),

因此，IEFI=J(2F)2+(1-')2=J542-2∕l+l=M-g?+、≤竽,當(dāng)且僅當(dāng)2="時(shí)取"=”,

所以線段EF長(zhǎng)的最小值為亭.

故選：B

【題型專練】

1.(2022?江西?贛州市贛縣第三中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試(文))已知點(diǎn)B是4(3,4,5)在坐標(biāo)平面XOy內(nèi)的射

影，則IOBi=()

A.√34B.√4JC.5D.5√2

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出8(3,4,0),由此能求出IoBI.

【詳解】

解：：點(diǎn)B是點(diǎn)A(3,4,5)在坐標(biāo)平面Qry內(nèi)的射影，.?.8(3,4,0),

R1JlOB∣≈√32+42+02=5?

故選：C.

2.(2022?江蘇?漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí))已知空間三點(diǎn)A(l,-1,-1),8(-1,-2,2),C(2,1,1),則

AB在AC上的投影向量的模是.

2

【答案】I

【解析】

【分析】

先求得AB,AC,再根據(jù)投影向量的模的公式求解即可

【詳解】

ILllinUUinI

uniUUU∣uιn∣UimuuraAB?AC?

由題，ΛB=(-2,-3,3),AC=(l,2,2),故A8在AC上的投影向量的模Icos<AB,AC>|=卞不

∣-2-6+6∣_2

=赤+22+22=§

故答案為：~

3.(2022?江蘇常州?高二期中)已知正方體A8CD-A/B/C/Z)/的棱長(zhǎng)為3,AM=,點(diǎn)N為8/2的中點(diǎn),

則IMNI=.

【答案】叵

2

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，即可求解.

【詳解】

如圖所示，以點(diǎn)Z)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以JoA,DC,。。所在直線分別為X,y,Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則A(3,0,0),G(0,3,3),3(3,3,0),B1(3,3,3),

所以AΛ∕=gAC；=(TJl),

所以M(2,l,l),N(3,3,∣),MN=(l,2,g

故答案為：—.

2

4.(2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試)若向量。=(0,-1,1),6=(4,1,0),,a+W=回且；1>0,則實(shí)數(shù)2=

【答案】3

【解析】

【分析】

由向量模長(zhǎng)坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】

22

λa+b=[4,?-λ,λ),.?.?λa+h?=λ∕16+(l-2)+A=√29,

解得：4=—2或％=3,又幾>0,.,.A=3.

故答案為：3.

5.(2022.湖南.高二課時(shí)練習(xí))已知長(zhǎng)方體ABCQ-ABCa的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,0,0),8(1,0,0),O(0,2,0),

A((),0,3),求其余各頂點(diǎn)的坐標(biāo)以及對(duì)角線的長(zhǎng).

【答案】C(1,2,0),B1(1,0,3),C1(1,2,3),D1(0,2,3),面對(duì)角線長(zhǎng)為遂，體對(duì)角線長(zhǎng)為JiT

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的相等關(guān)系，求出各頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)模長(zhǎng)公式求出面對(duì)角線與體對(duì)角線的長(zhǎng).

【詳解】

x=l

由題意得：設(shè)C(x,y,z),則由AB=QC得：(1,0,0)=(x,y-2,z),即<y=2,所以C(l,2,0),又由

z=0

A41=SB,=CCi=DD1=(0,0,3),求得:4(1,0,3),C1(1,2,3),D1(0,2,3),其中AC=(1,2,0),故

∣AC∣=√ΓT4=√5,所以面對(duì)角線長(zhǎng)度為√LAC1=(1,2,3),所以陷∣=Jl+4+9=E

題型五：空間向量平行垂直坐標(biāo)表示

【例1】(2021.全國(guó)?高二單元測(cè)試