2023年高考數(shù)學(xué)搶分秘籍（新高考專用）6 平面向量四大定理（解析版）

秘籍06平面向量四大定理

r高考預(yù)測

概率預(yù)測☆☆☆☆

題型預(yù)測選擇題、填空題☆☆☆☆

考向預(yù)測投影向量與向量的投影的區(qū)別

Q應(yīng)試秘籍

平面向量是近幾年小題的熱點必考題型，主要考察學(xué)生對于向量的轉(zhuǎn)化也就是基底思想的熟練程度，

包含了對于復(fù)雜知識的簡單化也就是化歸與轉(zhuǎn)化的思想的掌握。近幾年的向量也出現(xiàn)過單選的壓軸題，考

察的大多為向量的三大定理之一。還有新教材新加的投影向量也是今年的熱門知識點。

【題型一】奔馳定理

c

P為AA3C內(nèi)一點，axPA+hxPB+cxPC=O>則SAPBC：SAPAC-S^AH=A：氏-

重要件論.S"BC=?S"AC=__2_

^MBCo+b+ca+b+cSMBCa+b+c

結(jié)論1：對于AABC內(nèi)的任意一點P,若"BC、APC4、A/%8的面積分別為S,、SB,Sc,貝ij：

SAPA+SI,PB+SCPC=O.

即三角形內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對的三角形的面積.

結(jié)論2：對于AA3C平面內(nèi)的任意一點P,若點P在AABC的外部，并且在NBAC的內(nèi)部或其對頂角的內(nèi)部所

在區(qū)域時，則有一S“8c-PA+S.C-PB+SPABPC=0.

結(jié)論3：對于AABC內(nèi)的任意一點P,若=則AP3C、APC4、的面積之比為

4：4：4.

即若三角形內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.

結(jié)論4：對于所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點P,A,PA+A2PB+A3PC=0,則AP8C、APC4、

APAB的面積分別為|4|：田：同.

r典例剖析

1.設(shè)點。在A45c的內(nèi)部，且2Q4+3QB+4OC=0,若AA3C的面積是27,則A4OC的面積為（）

【答案】A

【詳解】方法一延長0C到D,使得0D=20C,因為2Q4+3OB+4OC=0，所以

3

OA+-OB+2OC=0,

2

以O(shè)A,0D為邊作平行四邊形OAED,對角線交點為F,OE交AC于H,因為0力=20。，所以3亙="|歷，

311

因為OC:AE=1:2,所以0H:HE」：2,所以30"=--0B,：.0H=一一0B,所以O(shè)H=—BH,

223

所以AAOC的面積是ZVLBC面積的工，所以A4OC的面積為9.故選：A

3

S31

方法二：奔馳定理常"=七不=+所以AAOC的面積為9.故選：A

2.在AA6C中，。為其內(nèi)部一點，且滿足。4+OC+3O6=0，則AAO3和A40c的面積比是（）

A.3：4B.3:2C.1:1D.1:3

【答案】D

【解析】

取AC中點M，則由。4+OC+3Q3=0得20M=-30B，所以2|0M|=3|0邳，O在線段BM上，

1*1litSAO8:SAOC=SAOB:2SAOM=\OE^:2|（?M|=1：3,選D.

方法二：極化恒等式可得面積比為1:3,所以選D.

3.在平面上有二4?C及內(nèi)一點0滿足關(guān)系式：5根阮」3+5/“-03+5左加℃=0即稱為經(jīng)典的“奔馳定

理”，若，ABC的三邊為a,b,c,現(xiàn)有q.0A+6O3+cOC=O則。為一ABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】B

ch

【詳解】記點。到4?、a的距離分別為即％，為，S0BC=^a-h2,S0Ac=；b?%,S0AB=^'\"因

為5知%.3+5白3108+5白04/,-0。=0，貝1彳外為0+；6%。8+；。/3?^^=0，即

a-hy-OA+b-hy-OB+c-hx-OC=0,又因為4.04+603+。,0。=0，所以4=均=為，所以點〃是△ABC的內(nèi)

心.

故選：B

?名校模擬

1.（2021?四川涼山?統(tǒng)考三模）如圖，尸為_43c內(nèi)任意一點，角A,B,C的對邊分別為。，h,c.總有

優(yōu)美等式工.如卓+5少”.P3+S54cpe=0成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.現(xiàn)有以下

命題：

①若尸是一ABC的重心，則有PA+P8+PC=0；

②若"A+bPB+cPC=0成立，則尸是一ABC的內(nèi)心；

21

③若AP=《A8+gAC,則以神：S3c=2:5；

④若P是A3C的外心，A=:,PA=mPB+nPC＞則，"+〃€卜后,1）.

則正確的命題有.

【答案】①②④

【詳解】對于①：如圖所示：因為。、E、尸分別為C4、A3、BC的中點,

121

所以CP=2PE,SAEC=—SABC,SAPC=qSAEC=]SABC,

=

同理可得SAPB=ABC、SBPC2ABC?

所以S△詠=SW=SNAB，又因為S△而PA+S△詠.依+SgA，C=。

所以尸A+PB+PC=0.①正確.

A

B

FC

對于②：記點尸至IJA3、BC、C4的距離分別為九、色、%,S△如c=ga也，=gc4，因

為S~*cP4+SiAcP3+S?MBPC=0,則g4%，A+g6a，8+gc,￥PC=0,即

ali2PA+bh3PB+ch,PC=O,又因為aPA+/〃*+c?C=0，所以々=%=4，所以點尸是ABC的內(nèi)心.②

正確.

219131

對于③：因為APNgAB+gAC,所以P4=-MAB-《AC,PB=PA+AB=M4B-MAC,

PC=PA+AC=--AB+-AC,

55

所以SA/cl-lAB-gAcJ+SA^cl'AB-lAcj+SKAl-lAB+^AclMO,

化簡得：(一■|sAPBc+mSA%c-]SA/M,A8+1—(SAWC-^SAPAC+：$△；>“，AC=0,

乂因為AAAC不共線.

232

一七s+二S--S=0,

5PBC5PAe0PAB{S=2S.

所以:i；5=>/Pf_iC,/PK>

」S」S+-S=01S尸AC-2SPAB

5°PBC50PAC5JpAB

Aq=,q=Ii?③錯誤,

"ABC°PBC十0PAC°PABJ

對于④：因為「是，ABC的外心，4=:,所以ZBPC=',|PA|=|P@=P4,

P8.PC=網(wǎng)x|Pc|xcosNBPC=0,

因為尸A=，〃PB+〃尸C，則pA『=w2|Pfi|2+2mnPB-PC+n2\PC^,

化簡得：/+/=1,由題意知"?、"不同時為正.

[tn=cosaJi

記<^、不<a<2幾，

[/I=sina2

則初+〃=cosa+sina=V^sina+—,

因為羊<0+?<?=>一1<5抽卜+?卜-^-=>一24&5由[1+?）<1

所以6+〃￡[-0,。.④1E確.

故答案為：①②④.

2.（2022?全國?模擬預(yù)測）在A5c中，點G是ABC的重心，過點G作直線分別交線段A3,AB于點、N,

S

M（M,N不與ABC的頂點重合），則薩迎的最小值為___________.

,△CMG

A

2

【詳解】設(shè)4W=/14C，AN=〃AB,2,.因為G是一ABC的重心,

所以AG=g（AB+AC）.由M,G,N三點共線可知，

AG=kAM+（\-k}AN=UAC+（\-k）（.iAB（Q<k<{）.

u=51_1

由平面向量基本定理可知，（一.解得,,

所以1S&ANC.AN=〃=1S4cMG_CM

（）SMCG

%A8GA。31-kAC

所以S&ANG=3（］_左）S&ABG,S&CMG

因為G是“。的重心，所以％CG故

S%G_3（—）_k_\\_J3

S△CMG1__L-3公+4左-1.3左-1+44-202

3kk

當(dāng)且僅當(dāng)北=：（0<%<1）,即左=4時，等號成立.

故答案為：1+且.

2

（多選）3.（2021?全國?模擬預(yù)測）如圖，已知點G為ABC的重心，點。，E分別為4B,4C上的點，且

D,G,E三點共線，AD=mAB，AE=nAC，m>0,n>0,記V4?E,ABC,四邊形5DEC的面積分

別為5，S2,邑，則（）

A

11S,S.4S.4

A.—+—=3B.—=mnC.—^7D.—^7

mn%d3?%>

【答案】ABC

uum7uuur

【詳解】連接4G并延長交3。于點”，如圖，因G為找。的重心，則M是8C邊的中點，^,AG=-AM,

又。，G,E三點共線，HPDG=rPE(O<r<D，則有AG=(1—/)AO+/AE,

uuir1/Ulinuum、___.1_.1

而AD=mAB，AE=nAC^又AM=/(A8+AC),于是得(1-，>M3+MAC=5A3+§AC,

而A月與AC不共線，因此，(y-t)m=\,tn=\,-+-=3(\-t)+3t=3,A正確；

33tnn

VADE邊4。上的高為AEsinABAC,.ABC邊AB上的高為ACsinABAC,

-ADAEsinZBAC

cADAE

^f=l------------------=mnB正確;

%-ABACsinZBACABAC

2

由A可知，1=」一+」-22,口——-,當(dāng)且僅當(dāng)，"="=!■時取"="，則有加

3m3n\3m3n39

A4A

s,_s,_S211>1_4

即

->-而<

邑

邑9于是得S3S「S'S「S\]_叢\_q5,C正確，D錯誤.

S,9

故選：ABC

【題型二】極化恒等式

基礎(chǔ)知識：

/+\2=a2+2ab+b2?「

>=>6/./7=—3+“_（”》）]

（〃一人）=a-2ab+b

A

簡化：在△ABC中，。是邊BC的中點,則AB.AC=|AD|2-|DB2'

1111DC

善典例剖析

1.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面4BC內(nèi)一點，則尸A?（PB+PC）的最小值是（）

A-2B.——C.——D.-1

23

C

連接FE，/

解析：取8C的中點O，連接A。，PD，取A￡>的中點E，

KB

1G

山△ABC是邊長為2的等邊三角形，E為中線AD的中點二AE=-AD=—^

22

-(f)

則PA?僅8+PC）=PA.2PD=2PA.PD=2（,@一歸4）=2P@

所以\PA-（PB+PC]]

-''」min2

A

2.在中，。是利的中點，反尸是上的兩個三等分點，RACA^A'BFCF=-1-A

金

則BECE的值是______.

7BDC

【答案】-【解析】解法一：基底法

8

令DF=a,DB=b,則OC=—4OE=2a,OA=3,a，則BA=3a-h,CA=3。+〃，

BE=2a-b,CE=2a+b,BF=a-b,CF=a+b

222)22

則BFCA=9cT-b-,BFCF=cT-b,BE-CE=4a—-b

22o225'-13

由BC-CA=4，BF-CP=-1可得9，一萬=4,3—A=—1，因此a=~,b=-1

oo

因此BE.CE=47—￡—U=?.

888

解法二：極化恒等式

99--2-21-2-2

BACA=ABAC=AD'-BD^4'BFCF=FB-FC=FD-BD=-AD-BD=-l

.245-213-224.227

解得：AD=——，BD=—所以BE?CE=EB?EC=ED-BD=-AD-BD=—.

8898

3.已知球。的半徑為1,A,8是球面上的兩點，且A8=石，若點P是球面上任意一點，則P4-PB的

3_1__1_3

取值范圍是A.B.C.D.

2,22'2°4°'1

【答案】B

【解析】由球。的半徑為1,4,3是球面上的兩點，且A3=百，可得

AAOB=^\OXX)B=x=|OA+OB|=1,

PAPB=(OA-OP^(OB-0P)=OAOB~(OA+OB^OP+OP'

iiIQ

--\0A+0B\0PC0S3^一一cos，e——，故選B.

2I?2122.

4.如圖，已知正方形ABC。的邊長為2,E為A8的中點，以A為圓心，AE為半徑，作圓交AD于點E,

若P為劣弧EF上的動點，則PC.PD的最小值是1

,2122

【解析】PC.PD=PG一一CD=PG-1當(dāng)ARG三點共線時PG最小，此時

4

P'G=AG-AP'=45-1^(PC?PD}=5-2A/5

\/mmimn

?名校模擬

1.（2023?全國?模擬預(yù)測）在邊長為2的等邊三角形ABC中，〃為邊4c上的動點，則的最小值

是（）

1111

A.B.—C.D.—

2345

【答案】c

【詳解】取8c的中點為O,連接OM,

則BM.CM=（8O+OM）.（CO+OM）

=（BO+OM\[-BO+OM^=OM'-BO1=OMZ,因為當(dāng)ON_LAC時，|?！眧取得最小值,

此時WM=lxsin60=—,所以BMC"=0/-lzK）-1=-；.

故選：C

2.（2022春?安徽合肥?高一合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考期中）ABC的外接圓的圓心為。，滿足CO=mC4+”C8

Ji4m+3n=2,|C4|=4>/3,|cfl|=6,則℃8=（）.

A.36B.24C.24x/3D.12石

【答案】A

【詳解】如圖，設(shè)AC中點為P,8c中點為。，

外接圓圓心。為AC和BC垂直平分線的交點，

則COC4=（CP+PO）C4=5ar+POC4=24,

同理COCB=（C0+QO）C8=gc8，+QOC8=18,

在CO=mCA+nCB兩邊分別乘以向量CA和C8,

2

CO-CA=mCA+nCA-CB

2f

COCB=wCA-CB+nCB

即24=48，”+〃GVCB①，18=36〃+/nC4?C3②，

①+②得，

42=12（4m+3/7）+（w+rt）C4-CB=24+（/n+/?）C4-CB,

即（利+〃）C4CB=18③，

①x3+②x4得，

144=144（/M+n）+（4；7z+3w）C4-CB=144（/H+/;）+2C4-CB,

即72（,"+"）+C4.CB=72④，

聯(lián)立③④，解得C4C8=36.

故選：A

3.（2023■西藏拉薩?統(tǒng)考一模）已知直線/：立+y-4-l=0與圓O：/+9=4交于48兩點，尸為圓。

上一點，當(dāng)弦長最小時，則尸4P8的最大值為（）

A.4&B.4+4也

C.4+2&D.4-72

【答案】B

【詳解】易知直線/：丘+y—無一1=0過定點且點。在圓。內(nèi)，

當(dāng)。是弦的中點時，弦長最小，

止匕時|A到=2j22To=2A/4^2=2五

PAPB=（PQ+QA）（PQ+QB）=\PQ）\=\尸°F-2.

當(dāng)尸是線段0。的延長線與圓。的交點時，|PQ|最大，且最大值是2+0，

所以PA-PR的最大值是（2+&）-2=4+40.

故選：B.

【題型三】等和線

等和線原理：0A=X03+4OC,(4GR)=4+4=1

學(xué)典例剖析)

1

1.如圖，MA46C中，P是斜邊8C上一點，且滿足：BP=±PC,點M,N在過點P的直線上，若

2

AM=AAB,AN=〃AC,(%〃>0)，則X+2〃的最小值為()

O10

A.2B.-C.3D.——

33

【答案】B

212121

【解析】AP=-AB+-AC^—AM+—AN,因為M,N,P三點共線，所以三+」-=1,因此

33323〃3/13〃

A+2x/=(2+2x/)f—+—^=-+^+—>-+2忸」=0,選B.

'3/J)3343〃3丫343〃3

2.設(shè)A，B,。是平面內(nèi)共線的三個不同的點，點O是A，B,。所在直線外任意一點，且滿足

OC=xOA+yOB,若點C在線段A8的延長線上，則()

A.x<0.y>lB.y<0,x>lC.0<x<y<lD.0<y<x<l

【答案】A

【詳解】由題可得：x+y=l,所以0。=%。4+)0有可化為；OC=xOA+(l—x)O4

整理得：OC-OB=x(OA-OB),即：又點C在線段A5的延長線上，所以8。與反向，

所以x<0，y=l—x>l故選：A

3.如圖，NB4C=：,圓M與AB、AC分別相切于點D、E,40=1,點P是圓M及其內(nèi)部任意一點，且而=

xAD+yAE（x,y6R）,則x+y的取值范圍是（）

A.[1,4+2V3]B.[4-2V3,4+2A/3]C.[1,2+網(wǎng)D.[2-V3,2+V3]

【答案】B

【解析】

連接AM并延長分別交圓M于Q、T,連接DE,CE與AM交于R,顯然版=：而+；荏，此時x+y=l,分

別過Q、7■作DE的平行:線，由于4。=4E=1,NB4C=120°，貝=2,0"=g，貝l]4Q=2—百,4R=：,

而==(4-2g)衣=(2-V3)AD+(2-8)前，此時x+y=4-26，同理可得：AT=(2+

2

V5)而+(2+b)福%+y=4+2V3,選2.

?名校模擬

1.（2023春?安徽馬鞍山?高一馬鞍山市紅星中學(xué)?？计谥校┰诰匦?8CD中，AB=\,AD=2,動點尸在

以點/為圓心的單位圓上.若AP=4A8+〃A￡＞（4〃cR）,則4+〃的最大值為（）

A.3B.J5C.且D.2

2

【答案】C

【詳解】構(gòu)建如下直角坐標(biāo)系:AB=（0,1）,AO=（2,0）,令4P=（cos。,sin，）,[0,2T），

cos。=2〃

｛sin":'

則2+〃=sin，+晨夕=4sin（。+0）且tan。=g,

所以當(dāng)sin（6+0）=l時，2+〃的最大值為好.

2

故選：C

2.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正方形ABCD中，動點E從點8出發(fā),經(jīng)過C,D,到達A,AE=ZAB+JJAC,

則幾+〃的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.[0,1]C.[-1,2]D.[0,2]

【答案】B

【詳解】以8為坐標(biāo)原點，AB,BC所在直線分別為x軸，＞軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)鈾=1,則6（0,0）,A（l,0）,C（0,l）,D（l,l）,

當(dāng)點E在BC上時，設(shè)E（0,㈤，〃蚱[0,1],

則（―1,租）=〃一1,0）+〃（一1,1）,即｛二二=-1故2+M=1,

當(dāng)點E在8上時，設(shè)

則=L0）+〃（T,l）,即解得｛jI；，

故;1+4=1-問0,1],

當(dāng)點E在AO上時，設(shè)

則（0,=1,0）+〃（—1,1）,即=“，故4+〃=0

綜上，兀+〃的取值范圍是4+〃w[0,l].

故選：B

（多選）3.（2023?廣東深圳?深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知一的內(nèi)角B,C所對邊的長分別為a,

b,c,已知匕=4,c=6,的面積S滿足e+c）2=（4>Q+8）S+a2,點O為一筋C的外心，滿足

AO=2AB+〃AC,則下列結(jié)論正確的是（）

A.S=6B.CBAO=10C.\AO\=^^-D.2=2--

1133

【答案】ABD

【詳解】解：對于A,己知（A+C）2=（4C+8）S+〃，則^+c2+2bc-a2=（4百+8）xgbc.sinA,

由余弦定理可知加+f2-q2=2bccosA，所以2機'（cosA+l）=（2G+4）AcsinA,即

cosA+1=^V3+2jsin4=>^V3+2jsinA-cos/4=l,

2

等號兩邊同時平方,可得（7+4&kin?+2jsinAcosA+cos4=1,

則（7+46卜in?A-2（指+2binAcosA=l-cos2A=sin2A,即（6+46卜in?A-2（G+2卜inAcosA=0,

因為sinAwO,所以（6+4g卜inA=2（G+2）COSA,

%二*二羋3咚即a』

則

COSA6+4V326（6+2）33

因為4?0,兀），則A=m

6

S=^Z?csinA=^x24x^=6,A選項正確;

*j于B,==^（9=|AB||/1O|COSZOAB-|AC||AO|COSZOAC,

因為點O為：,43C的外心，所以,0際4408=3網(wǎng)，|。4際408=如小

則CB-/1O=||AB|2-1|AC|2=-X（62-42）=10,B選項正確；

對于C,由余弦定理〃=〃+c2-26cvos4=16+36-2x24x且=52-246，

2

a.,I.AIJ52-24?2。

由正弦定理號=2R=2AO,則|A0|=j—,C選項錯誤；

sinA112x-

2

對于D,因為AO=/IAB+〃AC,則4O-AB=2A8-AB+〃AC-AB=；l-62+〃-4x6x^-=362+12K〃,

QP362+1273//=18,所以62+26〃=3①，

同理AO-AC=/lA8-AC+〃AC-AC=7-4x6x券+〃.4?=12&+16〃，

即126/1+16〃=8,所以36/1+4〃=2②，

聯(lián)立①②，解得2=2-2，〃=2-手，D選項正確;

故選：ABD.

【題型四】投影向量與向量的投影

1.向量。在a方向上的投影：設(shè)。為〃、。的夾角，則網(wǎng)cos。為在〃方向上的投影.

2.投影也是一個數(shù)量，不是向量.當(dāng)。為銳角時投影為正值;當(dāng)。為直角時投影

為0：當(dāng)夕=0時投影為|川；當(dāng)。=18()時投影為-忖.

3.向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積“功等于a的長度與人在a方向上投影忖-cos。的乘積.

:典例剖析

1.（2023?云南昆明?昆明市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知非零向量。*滿足（a+26）J.（a-26）,且向量〃在

向量a方向的投影向量是!。，則向量a與b的夾角是（）

4

717171

A.-B.-C.—D.—

6323

【答案】B

【詳解】因為（a+2b）,（a-2b）,所以（a+25）.（a-26）=同2-4時=0,即悶=2網(wǎng)①.

因為向量5在向量且方向的投影向量是%，所以陣°$卜/崎=卜.

所以‘cos',司=；②，將①代入②得，cos《?卷又（a,6”[0,司，

所以（4,6）=^.

故選：B

2.（2023?湖南?校聯(lián)考二模）已知向量d,匕滿足,+匕）出=2,且忖=1,則向量a在向量。上的投影向量

為（）

A.1B.—1C.bD.-b

【答案】c

【詳解】因為W=l，（a+b^-b=a-b+b~=2,

所以=1，

abb1b.

所以，向量d在向量b上的投影向量為下『,6[=77="

故選：c.

（多選）3.（2023,廣東梅州?統(tǒng)考二模）已知向量。=（2,1）,b=（cose,sin。），c=（0,l）,則下列命題正確的

是（）

A.當(dāng)且僅當(dāng)tane=g時，allbB.a在c上的投影向量為c

C.存在仇使得A=a-cD.存在仇使得卜+可=卜-0

【答案】ABD

【詳解】向量。=（2,1）,b=（cos。,sin6）,c=（0,l）,

又寸于A,a//bo2sine=cos9=tane=—,A正確；

2

對于B,因為a.c=l，則a在展上的投影向量為"?￡=，，B正確；

\c\|c|

對于C,a-c=（2,0）,假定存在仇使得b=a—c，貝I」有cos6?=2,sine=0,

而cos?e[-l,l],即cos6=2不成立，因此不存在/使得6="_o,C錯誤；

對于D,卜+。卜,一廳<=>（4+。）2=（4-6）2=4〃力=0,即28s6+sin6=0,

則tan8=—2,因此存在仇使得卜+陷=卜-0，D正確.

故選：ABD

Q名校模擬

（多選）1.（2023?福建?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量）=（1,2）,6=（-4,2）,則（）

A.B.|<2-/?|=|<7+&|

C.人”在a上的投影向量是iD.“在a+6上的投影向量是（-3,4）

【答案】BC

【詳解】由已知可得,a-b=（5,0）,a+i=（-3,4）.

對于A項，因為(a-匕)-(a+4=5x(-3)+0x4=-15w0,故A項錯誤；

對于B項，因為卜-4=5,|a+Z?|=^(-3)2+42=5,所以k-0=卜+陷，故B項正確;

又寸于C項，因為6-a=(-5,0),(/?-a)-a=-5xl+0x2=-5,|a|=Vl2+22=y/5,

(b-a\-a&_5a

所以b-a在a上的投影向量是1-J---口=/"7^=一"，故C項正確；

對于D項，〃?(a+〃)=1x(-3)+2x4=5,|?+/?|=5,

a(a+b]〃+力51,34、

所以〃在a+b上的投影向量是J?>]―1=-.-(-3,4)=，故D項錯誤.

\a+h\\a+h\55\JJj

故選：BC.

2.（2023?安徽安慶?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知平面向量a,b滿足4=（1,0）,忖=4,且d,匕的夾角大小為

則b在d方向上的投影向量的坐標(biāo)為.

【答案】（2,0）

【詳解】因為。=（1,0）,則同=々+為=1,

根據(jù)條件由投影向量的概念可得，

b在d方向上的投影向量的坐標(biāo)為上際卜,嘴=4x*=（2,0）.

故答案為：（2,0）.

3.（2023?青海西寧?統(tǒng)考二模）已知向量“，b滿足忖=2,什=6,卜+0=1,則“在6上的投影為.

【答案】-6

【詳解】因為,+目=a+2a-b+b=4+2。力+3=1,所以=—3，

d'b-3FT

貝IJ〃在人上的投景?為慟=耳=一。3.

故答案為：-百

高考模擬練習(xí)

1.（2023?安徽?校聯(lián)考二模）如圖，在MC中，點。為線段8c的中點，點￡,尸分別是線段上靠近。,

力的三等分點，則40=（）

【答案】C

1103

【詳解】BE=BD+DE=BD--AD,則14力=]8。-jBE①;

233

CF=CD+DF=CD--AD,貝lj40=58-5。f②；

①+②兩式相加，^AD=--CF--BE,即A￡>=_BE-CF，

故選：c.

2.（2023?山東濰坊??？寄M預(yù)測）如圖所示，△/BC是邊長為8的等邊三角形，P為/C邊上的一個動點,

E尸是以8為圓心，3為半徑的圓的直徑，則PE.PF的取值范圍是（）

A.[28,46]B.[32,58]C.[39,55]D.[42,60]

【答案】C

【詳解】如圖可知，尸宮=P8+8E，PF=PB+BF，

因為B是EF的中點，所以BE=FB=-BF，

所以PE?尸尸=(PB+8￡>(P8+BF),

即PEPF=(PB+BE)?PB-BE),

所以PE-P尸=PB。-BE，=|一|，

由條件可得，|BE卜3,|AB|=|AC|=|8C|=8,

因為P為/c邊上的一個動點，

故當(dāng)P為4c中點時，網(wǎng)最小,此時網(wǎng)=46,

當(dāng)尸為N或C時，|PB|最大，|Pq=8,

所以戶8卜[46,8],

所以[48,64],又因為卜耳=3,

所以忖葉-忸耳、[39,55].

故選：C.

3.（2022?安徽?蕪湖一中校聯(lián)考三模）平面上有A3C及其內(nèi)一點O,構(gòu)成如圖所示圖形，若將OAB,AOBC,

ULIULllUUUl1

“財?shù)拿娣e分別記作Sc，Sa,Sh,則有關(guān)系式SjOA+S/jO3+SjOC=0.因圖形和奔馳車的/"g。很相似，

常把上述結(jié)論稱為"奔馳定理已知ABC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若滿足

a-OA+bOB+cOC=0＞則。為.AfiC的（

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】B

ULIUUUUtUU1SrS

【詳解】由S“?OA+S/03+SJOC=0得°A=-薩08-才°C,

bc

由aOA+bOB+cOC=0得0A=—-OB--OC,

aa

SbSc

根據(jù)平面向量基本定理可得h-浸--^r=—,

s?aS?a

延長CO交A8于E，延長80交AC于歹，

所以CE為-AC3的平分線，

同理可得BF是/ABC的平分線，

所以。為/RC的內(nèi)心.

故選：B

4.（2022秋?江西贛州?高三校聯(lián)考期中）奔馳定理.：已知點。是一至C內(nèi)的一點，若.BOC-AOC,AOB的

面積分別記為5，邑,$3,則S「OA+S2-O8+S3,OC=0."奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因

為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳"轎車的log。很相似，故形象地稱其為"奔馳定理如圖，已知。是"8C的

垂心，且OA+2OB+3OC=0，貝UcosC=（）

A

BC

A3回aMr2^5c石

101055

【答案】B

【詳解】延長CO交48于點尸，

.。是A5C的垂心，..QPJ_/W,

/.S,:S2=(；.℃.BP):(g.OC.AP)

=BP:AP=(OPtan/POB):(OPtanZPOA)=tan/COB:tanZ.COA=tan(乃-A):tan(〃-B)=tanA:tanB.

同理可得S[:S3=tanA:tanC,/.S1:S2:S3=tanA:tanB:tanC.

S]

又OA+S2OB+SVOC=Q,

tanA-OA4-tanB-OB+tanC-OC=0.

又OA+2OB+30c=0，

tanA:tan6:tanC=1:2:3.

不妨設(shè)tanA=A,tan8=2Z,tanC=3%,其中攵wO.

A/n八、tanB+tanC

tanA=-tan(B+C)=-------------,

1-tanBtanC

.2k+3k立力俎，

.?一匚詬泰‘斛侍'=土1

當(dāng)2=—1時，止匕時tanAv0,tan8v0,tanC<0,則Z,B,。都是鈍角，不合題意，舍掉.

故2=1,則tanC=3>0,故C為銳角,

sinC廠

cosC，解得cosC=——

sin2C+cos2C=l10

故選：B.

A

5.(2022春?河南安陽?高一統(tǒng)考期末)已知。是一ABC內(nèi)的一點，若的面積分別記為

H，邑，其，則5,-OA+52-O8+S3QC=0.這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的log。很相似，故形象地稱其為

"奔馳定理".如圖，己知。是A8C的垂心，且。4+2O8+3OC=0,則tan/BAC:tanZABC:tanNACB=()

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

【答案】A

【詳解］。是的垂心，延長CO,BO,40分別交邊48,AC,BC于點、P,M,N,如圖,

則CP±AB,BM±AC,ANLBC,/BOP=ABAC.ZAOP=ZABC,

S、BPOPtanZBOPtanABACStanZBAC

因此，；，同理消}二;~

“此'~US1~=~ZAP~=OPta―nZ7ATO7P^~=t~anZ7A7B^C79"tan/7A7C7B^'

于是得tanABAC:tanZABC:tanZ.ACB=5j:S2:53,

1?一一__-

又0A+2O3+3OC=O，即0C=-由〃奔馳定理〃有S/CM+S2O8+S3?OC=0,

貝13=-3。44?。8,而04與0B不共線，有荽=￡，即岳:S?：S3=1:2:3,

所以tanABAC:tanZABC:tanZA