第9課時43歸納推理教材

第9課時

第四章數(shù)學(xué)推理

第三節(jié)歸納推理

隋唐時期，我國誕生了一個大醫(yī)學(xué)家，他的名字叫孫思邈.孫思邈少年時身體不好，從此發(fā)奮學(xué)醫(yī)，他總結(jié)了唐以前的臨床經(jīng)驗和醫(yī)學(xué)理論，收集了方藥、針灸，著有《千金要方》和《千金翼方》，后人尊稱他為“藥王”.孫思邈不但勇于實踐，還善于從實踐中總結(jié)經(jīng)驗.有一次，他來到城里給人看病.一個有錢的財主連忙把他請去，說：“先生，快治治我的病吧！”孫思邈一看，就知道那人得的是腳氣病，足脛腫大，肌肉疼痛，軟弱麻木無力.他根據(jù)醫(yī)書，給病人開了藥方.不久，從鄉(xiāng)下來了一個富人，看的也是腳氣病.后來陸續(xù)來了幾個有錢的人，都是腳氣病.孫思邈就十分奇怪：為什么這些城里鄉(xiāng)下的有錢人都得了腳氣??？是不是這里的水土有問題？孫思邈走到貧苦的人家去打聽：“你們有誰得過腳氣病？”“什么是腳氣病？”那些平民不明白.孫思邈就向他們作了解釋.“噢，這種病，我們窮人從來不得，那是富人常得的病.”窮人們的話中充滿了自豪.

孫思邈查問了許多城里鄉(xiāng)下的窮人，發(fā)現(xiàn)窮人確定是不得腳氣病的.他想：這就是說明腳氣病的原因與水土無關(guān).如果與水土有關(guān)，那么窮人也應(yīng)該得這種病呀！不與水土有關(guān)，很有可能與飲食有關(guān)，不是多吃了什么，就是少吃了什么.他分析，富人吃的是葷腥細(xì)糧，而窮人吃的是素食粗糧.問題很有可能出在這里面.引子：孫思邈巧治腳氣病

孫思邈把細(xì)糧與粗糧兩相比較，發(fā)現(xiàn)精米、白面雖然好吃，但是缺少了米糠、麩皮.他想，有錢的人得腳氣病可能是缺少米糠、麩皮而引起的吧！根據(jù)這個設(shè)想，他決定試用米糠、麩皮來治腳氣病.“什么？你竟然叫我們吃這些東西？這是豬兔吃的.”富人開始十分不滿.但想到孫思邈的名聲，也就試了試，結(jié)果非常靈驗.“孫先生真是神人??！妙手回春，手到病除.”病人們個個翹起了大拇指.后來，孫思邈又發(fā)現(xiàn)杏仁等中藥，對腳氣病也有療效.現(xiàn)在科學(xué)醫(yī)學(xué)早已證明，腳氣病是因為身體里缺少維生素引起的.而米糠、麩皮、杏仁中含有較多的維生素B.引子：孫思邈巧治腳氣病評注：孫思邈就是運用邏輯中的求同求異共用歸納法找出腳氣病的病因的.孫思邈首先將患腳氣病的所有富人加以比較，發(fā)現(xiàn)他們各人的性格、脾氣等都不同，但有一個共同點，就是吃精米白面，由此得出，吃精米白面得腳氣病.其次將不患腳氣病的所有窮人加以比較，發(fā)現(xiàn)他們各人的情況也不盡相同，但也有一個共同點，就是沒有精米白面吃，由此得出，不吃精米白面（即吃粗糧）不得腳氣病.最后將這兩種情況加以比較，得出結(jié)論：吃精米白面是得腳氣病的原因.歸納法在科學(xué)研究與證明創(chuàng)造中有廣泛應(yīng)用，本節(jié)介紹歸納推理的基礎(chǔ)知識.歸納推理（方法）：以個別（或特殊）的知識（命題）作前提，導(dǎo)出一般性知識為結(jié)論（新命題）的推理方法

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歸納推理概述認(rèn)識論的角度：歸納是由個別、特殊到一般的一種認(rèn)識過程，即通過對特例或事物的一部分進(jìn)行觀察與綜合，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)和提出關(guān)于一般性結(jié)論或規(guī)律的過程，這是通過揭露對象的部分屬性過渡到對象整體屬性的過程，歸納的本質(zhì)就是從已知探索未知；歸納的最大特點是，雖然考察的只是若干個別現(xiàn)象，但是所得結(jié)論卻能超出考察的范圍.認(rèn)識論的過程簡單枚舉歸納（第一歸納法）：從一一枚舉的經(jīng)驗事實中尋找其規(guī)律性，是概括經(jīng)驗事實的最簡單方法

直覺歸納（第二歸納法）：較高層次的歸納。在這里，“歸納”指的是一種直覺思維過程：人們從某個隨機的子集合中發(fā)現(xiàn)某種共同的性質(zhì)和關(guān)系，于是頓悟式地把這種性質(zhì)或關(guān)系推廣到整個事件集合中去。歸納推理概述經(jīng)典邏輯完全歸納法：完全歸納推理（或稱完全歸納法）應(yīng)歸屬演繹推理（論證推理）而不是歸納推理不完全歸納法：歸納推理就是指不完全歸納推理，或稱不完全歸納法，或稱經(jīng)驗歸納法，或稱實驗歸納法，或簡稱歸納法等等.枚舉歸納推理枚舉歸納推理（簡單枚舉法）：根據(jù)某種屬性在部分同類對象中的重復(fù)而沒有遇到反例，從而推出該類對象的全部都有某種屬性的歸納推理.例如：假如有一袋大豆，把這袋大豆仔細(xì)攪拌之后，從中取出一撮子，發(fā)現(xiàn)每一粒都是優(yōu)質(zhì)的，沒有發(fā)現(xiàn)非優(yōu)質(zhì)的大豆，這時就可以說得到了某種合理的根據(jù)，來推斷這一袋大豆全部是優(yōu)質(zhì)的。（i）前提中被考察的對象數(shù)量越多，范圍越廣，結(jié)論的可靠程度就越高；（ii）注意考察可能出現(xiàn)的反例.因為在前提中只要發(fā)現(xiàn)一個反面事例，結(jié)論就會被推翻.為提高枚舉歸納推理結(jié)論的可靠性，以免“以偏概全”或“輕率概括”，要注意兩點：

趣說枚舉歸納推理——著名數(shù)學(xué)家華羅庚

從一個袋子里摸出來的第一個是紅玻璃球，第二個是紅玻璃球，甚至第三個、第四個、第五個都是紅玻璃球的時候，我們會出現(xiàn)一種猜想，是不是這個袋里的東西全部都是紅玻璃球？但是，當(dāng)我們有一次摸出一個白玻璃球的時候，這個猜想失敗了.這時，我們會出現(xiàn)另一個猜想：是不是袋里的東西全部都是玻璃球？但是，當(dāng)有一次摸出來的是一個木球的時候，這個猜想又失敗了.那時，我們會出現(xiàn)第三個猜想：是不是袋里的東西都是球？這個猜想對不對，還必須繼續(xù)加以檢驗，要把袋里的東西全部摸出來，才能見分曉.趣說枚舉歸納推理——英國哲學(xué)家伯特蘭?羅素在火雞飼養(yǎng)場里，有一只火雞發(fā)現(xiàn)：第一天，主人一打鈴后就給它喂食.然而，作為一個卓越的歸納主義者，它并不馬上作出結(jié)論，它繼續(xù)搜集有關(guān)主人打鈴與給它喂食之間的聯(lián)系的大量觀察事實；而且，它是在多種情況下進(jìn)行這樣觀察的：雨天和晴天，熱天和冷天，星期三和星期四…….它每天都在自己的記錄表中加進(jìn)新的觀察陳述。最后，它的歸納主義良心感到滿意，通過歸納推理得出了下述結(jié)論：“主人打鈴后就會給我喂食.”可是，事情并不像它所想象的那樣簡單和樂觀。在圣誕節(jié)前夕，當(dāng)主人打鈴后它跑出覓食時，主人卻把它抓起來并把它宰殺、烹調(diào)之后，送上了餐桌.于是，火雞通過歸納而得到的結(jié)論就被無情地推翻了.那么，愛作歸納的火雞最終被送上了餐桌，這究竟怪誰呢？或者說，火雞究竟錯在哪里呢？枚舉歸納的程序枚舉歸納推理，通常建立在觀察與實驗的基礎(chǔ)之上.一般說來，枚舉歸納法的程序為：（1）從具體問題或具體素材中枚舉各種特殊情況進(jìn)行考察.在這個環(huán)節(jié)中，要盡量選擇相互差異較大或較典型的情況加以考察，這是歸納的前提材料.（2）整理從枚舉的特殊情況中得到的材料和各種信息.這個環(huán)節(jié)是很重要的，能否獲得歸納結(jié)論往往與前提材料的整理有很大關(guān)系.通常根據(jù)不同的設(shè)想和需要，從不同的研究角度去整理.（3）形成猜想.即對整理好的材料和信息進(jìn)行分析、比較，探索其共性，然后歸納出一般情況的猜想.上述步驟可簡單概括為“試驗——歸納——猜想”.與枚舉歸納有關(guān)的幾干著名數(shù)學(xué)猜想費馬猜想：“將一個立方數(shù)表為兩個立方數(shù)和；一個四次冪表為兩個四次冪和；或者，一般地將高于次冪表為兩個同次冪和，這是不可能的”

哥德巴赫猜想：“任何大于的奇數(shù)都可以分解為三個質(zhì)數(shù)之和.”

角谷猜想：任取一個大于的自然數(shù)，反復(fù)進(jìn)行下述兩種運算：（1）若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘以再加上；（2）若是偶數(shù)，則將該數(shù)除以.從任何的奇數(shù)出發(fā)，反復(fù)進(jìn)行（1）（2）兩種計算，最后必定得到.

例說枚舉歸納法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用例如:將2008分成若干個正整數(shù)的和，求這些正整數(shù)乘積的最大值.

因果歸納推理因果歸納推理（因果歸納法）：以因果律（有因必有果）為主要根據(jù)，依據(jù)對某類事物中部分對象與某種屬性之間所具有的因果關(guān)系的分析，推出該類事物的全部對象都有某種屬性的歸納推理.發(fā)現(xiàn)黃曲霉素是致癌物質(zhì):上世紀(jì)60年代以來，人們發(fā)現(xiàn)用發(fā)霉的花生喂養(yǎng)雞、鴨、鴿、羊、貓等動物，他們大批地患癌癥死掉.后來一些科學(xué)家專門用白鼠做實驗，白鼠吃了發(fā)霉的花生，也成批地患癌癥死掉.科學(xué)家對發(fā)霉的花生進(jìn)行嚴(yán)格的化學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)它們含有大量的黃曲霉素.又經(jīng)過反復(fù)實驗，發(fā)現(xiàn)黃曲霉素是強烈的致癌物質(zhì)，終于揭示了大批動物吃發(fā)霉花生死亡的原因.

雞大量食用發(fā)霉花生成批死去，鴨大量食用發(fā)霉花生成批死去鴿大量食用發(fā)霉花生成批死去羊大量食用發(fā)霉花生成批死去白鼠大量食用發(fā)霉花生成批死去……因果歸納推理發(fā)現(xiàn)黃曲霉素是致癌物質(zhì)推理過程：……歸納推理的邏輯形式

所以，所有S都是P如果S那么Q，如果Q那么P”用來表示對象S與其屬性P之間具有因果聯(lián)系.因果歸納法在重要數(shù)學(xué)公式中的應(yīng)用“歐拉公式”的發(fā)現(xiàn)……歐拉曾觀察一些特殊的多面體，如立方體、三棱柱、五棱柱、三棱錐、四棱錐、五棱錐、八面體、塔頂體（正方體上放一個四棱錐）截角立方體（即立方體截去一個角）等，將每個多面體的F、V、E數(shù)出來，并列出下表：“歐拉公式”的發(fā)現(xiàn)首先考慮特殊的多面體的面、頂、棱數(shù)目:①面的數(shù)目是否隨著頂點的數(shù)目的增大而增大？②棱是否隨面或頂點數(shù)目增大而增大？進(jìn)一步考慮是否有“任何多面體的面數(shù)加頂點數(shù)與棱有同增趨勢”:

然后再研究一個特殊的多面體，即一個鑲嵌畫的框架狀多面體，它可以看成是一根很長的三棱柱桿，分成四段后裝配而成的

.得出猜想：“任意多面體的面、頂、棱數(shù)滿足：V+F-E=2.

修正并正確敘述猜想：任何凸多面體的面、頂點和棱的數(shù)目滿足關(guān)系式

V+F=2+E運用“靜——動”轉(zhuǎn)換（作“拓?fù)渥儞Q”）的證明猜想將所給多面體去掉一個面，再將多面體剩余的表面（設(shè)想多面體是由富有彈性的材料做成）展開成為一個平面網(wǎng)絡(luò)圖，這時頂點數(shù)和棱數(shù)都沒有變，而面數(shù)減少了，于是定理的證明歸結(jié)為對平面網(wǎng)絡(luò)圖證明“V+F-E=1”

將平面網(wǎng)絡(luò)圖作如下的三角形劃分，在左圖中，每畫一條對角線（圖中的虛線），增加一條棱、一個面，頂點數(shù)不變，故V+F-E不變；再從作過三角形劃分的平面網(wǎng)絡(luò)圖中以某種順序（從外到里）將三角形一個個移走，每移走一個三角形，減少一棱、一面，或減少兩棱、一面、一頂點，則V+F-E仍保持不變.移到最后只剩下一個三角形，對這個三角形而言，V+F-E=1正確.從而猜想正確.“歐拉公式”的發(fā)現(xiàn)“歐拉公式”證明方法：因果歸納推理常用方法

……共變法

共變法：根據(jù)被研究現(xiàn)象出現(xiàn)并發(fā)生變化的若干場合中，只有一個情況與被研究現(xiàn)象一起發(fā)生變化，由此推斷該現(xiàn)象與被研究現(xiàn)象有因果聯(lián)系

增兵減灶

公元前342年，魏國派兵攻打韓國.韓國向齊國求救.齊宣王派田忌和孫臏帶兵救援韓國.孫臏又使出他“圍魏救趙”的老法子，不去救韓，引兵直接去攻打魏國.龐涓接到魏王的告急文書，只好退兵趕回去.這時，齊國的兵馬已經(jīng)深入魏國了.龐涓下馬查看齊軍扎過營的地方，發(fā)現(xiàn)齊軍的營盤占了很大的地方.他叫人數(shù)了數(shù)做飯的爐灶，足夠萬人吃飯用的.“媽呀，怎么這么多人？”龐涓嚇得說不出話來.

第二天，龐涓帶著大軍繼續(xù)追趕，趕到齊國軍隊剛扎營的地方，仔細(xì)數(shù)了數(shù)爐灶，只剩了兩三萬人用的了.龐涓這才放了心，笑著說：“我早就知道齊軍都是膽小鬼，萬大軍到了魏國，才三天工夫，就逃散了一大半.哈哈哈！”他舍棄步兵，帶著輕銳部隊日夜兼程地按著齊國軍隊走過的路線追上去.共變法

——增兵減灶

一直追到馬陵（今河北大名縣東南），此時天已黑了.馬陵道在兩座高山之間，山路旁邊都是深澗.龐涓恨不得一步趕上齊國的軍隊，吩咐大軍摸黑往前趕.忽然前面的兵士回來報告：“前面的山道被木頭堵住了.”龐涓上前一看，果然見道旁的樹全被砍倒了，只留下一棵最大的沒砍.細(xì)細(xì)看去，上面影影綽綽好像寫著幾個大字.龐涓叫兵士拿火.幾個兵士點起火把一照，樹上寫的是：“龐涓死于樹下.”龐