第9課時43歸納推理教材

第9課時

第四章數學推理

第三節(jié)歸納推理

隋唐時期，我國誕生了一個大醫(yī)學家，他的名字叫孫思邈.孫思邈少年時身體不好，從此發(fā)奮學醫(yī)，他總結了唐以前的臨床經驗和醫(yī)學理論，收集了方藥、針灸，著有《千金要方》和《千金翼方》，后人尊稱他為“藥王”.孫思邈不但勇于實踐，還善于從實踐中總結經驗.有一次，他來到城里給人看病.一個有錢的財主連忙把他請去，說：“先生，快治治我的病吧！”孫思邈一看，就知道那人得的是腳氣病，足脛腫大，肌肉疼痛，軟弱麻木無力.他根據醫(yī)書，給病人開了藥方.不久，從鄉(xiāng)下來了一個富人，看的也是腳氣病.后來陸續(xù)來了幾個有錢的人，都是腳氣病.孫思邈就十分奇怪：為什么這些城里鄉(xiāng)下的有錢人都得了腳氣病？是不是這里的水土有問題？孫思邈走到貧苦的人家去打聽：“你們有誰得過腳氣?。俊薄笆裁词悄_氣??？”那些平民不明白.孫思邈就向他們作了解釋.“噢，這種病，我們窮人從來不得，那是富人常得的病.”窮人們的話中充滿了自豪.

孫思邈查問了許多城里鄉(xiāng)下的窮人，發(fā)現窮人確定是不得腳氣病的.他想：這就是說明腳氣病的原因與水土無關.如果與水土有關，那么窮人也應該得這種病呀！不與水土有關，很有可能與飲食有關，不是多吃了什么，就是少吃了什么.他分析，富人吃的是葷腥細糧，而窮人吃的是素食粗糧.問題很有可能出在這里面.引子：孫思邈巧治腳氣病

孫思邈把細糧與粗糧兩相比較，發(fā)現精米、白面雖然好吃，但是缺少了米糠、麩皮.他想，有錢的人得腳氣病可能是缺少米糠、麩皮而引起的吧！根據這個設想，他決定試用米糠、麩皮來治腳氣病.“什么？你竟然叫我們吃這些東西？這是豬兔吃的.”富人開始十分不滿.但想到孫思邈的名聲，也就試了試，結果非常靈驗.“孫先生真是神人啊！妙手回春，手到病除.”病人們個個翹起了大拇指.后來，孫思邈又發(fā)現杏仁等中藥，對腳氣病也有療效.現在科學醫(yī)學早已證明，腳氣病是因為身體里缺少維生素引起的.而米糠、麩皮、杏仁中含有較多的維生素B.引子：孫思邈巧治腳氣病評注：孫思邈就是運用邏輯中的求同求異共用歸納法找出腳氣病的病因的.孫思邈首先將患腳氣病的所有富人加以比較，發(fā)現他們各人的性格、脾氣等都不同，但有一個共同點，就是吃精米白面，由此得出，吃精米白面得腳氣病.其次將不患腳氣病的所有窮人加以比較，發(fā)現他們各人的情況也不盡相同，但也有一個共同點，就是沒有精米白面吃，由此得出，不吃精米白面（即吃粗糧）不得腳氣病.最后將這兩種情況加以比較，得出結論：吃精米白面是得腳氣病的原因.歸納法在科學研究與證明創(chuàng)造中有廣泛應用，本節(jié)介紹歸納推理的基礎知識.歸納推理（方法）：以個別（或特殊）的知識（命題）作前提，導出一般性知識為結論（新命題）的推理方法

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歸納推理概述認識論的角度：歸納是由個別、特殊到一般的一種認識過程，即通過對特例或事物的一部分進行觀察與綜合，進而發(fā)現和提出關于一般性結論或規(guī)律的過程，這是通過揭露對象的部分屬性過渡到對象整體屬性的過程，歸納的本質就是從已知探索未知；歸納的最大特點是，雖然考察的只是若干個別現象，但是所得結論卻能超出考察的范圍.認識論的過程簡單枚舉歸納（第一歸納法）：從一一枚舉的經驗事實中尋找其規(guī)律性，是概括經驗事實的最簡單方法

直覺歸納（第二歸納法）：較高層次的歸納。在這里，“歸納”指的是一種直覺思維過程：人們從某個隨機的子集合中發(fā)現某種共同的性質和關系，于是頓悟式地把這種性質或關系推廣到整個事件集合中去。歸納推理概述經典邏輯完全歸納法：完全歸納推理（或稱完全歸納法）應歸屬演繹推理（論證推理）而不是歸納推理不完全歸納法：歸納推理就是指不完全歸納推理，或稱不完全歸納法，或稱經驗歸納法，或稱實驗歸納法，或簡稱歸納法等等.枚舉歸納推理枚舉歸納推理（簡單枚舉法）：根據某種屬性在部分同類對象中的重復而沒有遇到反例，從而推出該類對象的全部都有某種屬性的歸納推理.例如：假如有一袋大豆，把這袋大豆仔細攪拌之后，從中取出一撮子，發(fā)現每一粒都是優(yōu)質的，沒有發(fā)現非優(yōu)質的大豆，這時就可以說得到了某種合理的根據，來推斷這一袋大豆全部是優(yōu)質的。（i）前提中被考察的對象數量越多，范圍越廣，結論的可靠程度就越高；（ii）注意考察可能出現的反例.因為在前提中只要發(fā)現一個反面事例，結論就會被推翻.為提高枚舉歸納推理結論的可靠性，以免“以偏概全”或“輕率概括”，要注意兩點：

趣說枚舉歸納推理——著名數學家華羅庚

從一個袋子里摸出來的第一個是紅玻璃球，第二個是紅玻璃球，甚至第三個、第四個、第五個都是紅玻璃球的時候，我們會出現一種猜想，是不是這個袋里的東西全部都是紅玻璃球？但是，當我們有一次摸出一個白玻璃球的時候，這個猜想失敗了.這時，我們會出現另一個猜想：是不是袋里的東西全部都是玻璃球？但是，當有一次摸出來的是一個木球的時候，這個猜想又失敗了.那時，我們會出現第三個猜想：是不是袋里的東西都是球？這個猜想對不對，還必須繼續(xù)加以檢驗，要把袋里的東西全部摸出來，才能見分曉.趣說枚舉歸納推理——英國哲學家伯特蘭?羅素在火雞飼養(yǎng)場里，有一只火雞發(fā)現：第一天，主人一打鈴后就給它喂食.然而，作為一個卓越的歸納主義者，它并不馬上作出結論，它繼續(xù)搜集有關主人打鈴與給它喂食之間的聯系的大量觀察事實；而且，它是在多種情況下進行這樣觀察的：雨天和晴天，熱天和冷天，星期三和星期四…….它每天都在自己的記錄表中加進新的觀察陳述。最后，它的歸納主義良心感到滿意，通過歸納推理得出了下述結論：“主人打鈴后就會給我喂食.”可是，事情并不像它所想象的那樣簡單和樂觀。在圣誕節(jié)前夕，當主人打鈴后它跑出覓食時，主人卻把它抓起來并把它宰殺、烹調之后，送上了餐桌.于是，火雞通過歸納而得到的結論就被無情地推翻了.那么，愛作歸納的火雞最終被送上了餐桌，這究竟怪誰呢？或者說，火雞究竟錯在哪里呢？枚舉歸納的程序枚舉歸納推理，通常建立在觀察與實驗的基礎之上.一般說來，枚舉歸納法的程序為：（1）從具體問題或具體素材中枚舉各種特殊情況進行考察.在這個環(huán)節(jié)中，要盡量選擇相互差異較大或較典型的情況加以考察，這是歸納的前提材料.（2）整理從枚舉的特殊情況中得到的材料和各種信息.這個環(huán)節(jié)是很重要的，能否獲得歸納結論往往與前提材料的整理有很大關系.通常根據不同的設想和需要，從不同的研究角度去整理.（3）形成猜想.即對整理好的材料和信息進行分析、比較，探索其共性，然后歸納出一般情況的猜想.上述步驟可簡單概括為“試驗——歸納——猜想”.與枚舉歸納有關的幾干著名數學猜想費馬猜想：“將一個立方數表為兩個立方數和；一個四次冪表為兩個四次冪和；或者，一般地將高于次冪表為兩個同次冪和，這是不可能的”

哥德巴赫猜想：“任何大于的奇數都可以分解為三個質數之和.”

角谷猜想：任取一個大于的自然數，反復進行下述兩種運算：（1）若是奇數，就將該數乘以再加上；（2）若是偶數，則將該數除以.從任何的奇數出發(fā)，反復進行（1）（2）兩種計算，最后必定得到.

例說枚舉歸納法在數學解題中的應用例如:將2008分成若干個正整數的和，求這些正整數乘積的最大值.

因果歸納推理因果歸納推理（因果歸納法）：以因果律（有因必有果）為主要根據，依據對某類事物中部分對象與某種屬性之間所具有的因果關系的分析，推出該類事物的全部對象都有某種屬性的歸納推理.發(fā)現黃曲霉素是致癌物質:上世紀60年代以來，人們發(fā)現用發(fā)霉的花生喂養(yǎng)雞、鴨、鴿、羊、貓等動物，他們大批地患癌癥死掉.后來一些科學家專門用白鼠做實驗，白鼠吃了發(fā)霉的花生，也成批地患癌癥死掉.科學家對發(fā)霉的花生進行嚴格的化學分析，發(fā)現它們含有大量的黃曲霉素.又經過反復實驗，發(fā)現黃曲霉素是強烈的致癌物質，終于揭示了大批動物吃發(fā)霉花生死亡的原因.

雞大量食用發(fā)霉花生成批死去，鴨大量食用發(fā)霉花生成批死去鴿大量食用發(fā)霉花生成批死去羊大量食用發(fā)霉花生成批死去白鼠大量食用發(fā)霉花生成批死去……因果歸納推理發(fā)現黃曲霉素是致癌物質推理過程：……歸納推理的邏輯形式

所以，所有S都是P如果S那么Q，如果Q那么P”用來表示對象S與其屬性P之間具有因果聯系.因果歸納法在重要數學公式中的應用“歐拉公式”的發(fā)現……歐拉曾觀察一些特殊的多面體，如立方體、三棱柱、五棱柱、三棱錐、四棱錐、五棱錐、八面體、塔頂體（正方體上放一個四棱錐）截角立方體（即立方體截去一個角）等，將每個多面體的F、V、E數出來，并列出下表：“歐拉公式”的發(fā)現首先考慮特殊的多面體的面、頂、棱數目:①面的數目是否隨著頂點的數目的增大而增大？②棱是否隨面或頂點數目增大而增大？進一步考慮是否有“任何多面體的面數加頂點數與棱有同增趨勢”:

然后再研究一個特殊的多面體，即一個鑲嵌畫的框架狀多面體，它可以看成是一根很長的三棱柱桿，分成四段后裝配而成的

.得出猜想：“任意多面體的面、頂、棱數滿足：V+F-E=2.

修正并正確敘述猜想：任何凸多面體的面、頂點和棱的數目滿足關系式

V+F=2+E運用“靜——動”轉換（作“拓撲變換”）的證明猜想將所給多面體去掉一個面，再將多面體剩余的表面（設想多面體是由富有彈性的材料做成）展開成為一個平面網絡圖，這時頂點數和棱數都沒有變，而面數減少了，于是定理的證明歸結為對平面網絡圖證明“V+F-E=1”

將平面網絡圖作如下的三角形劃分，在左圖中，每畫一條對角線（圖中的虛線），增加一條棱、一個面，頂點數不變，故V+F-E不變；再從作過三角形劃分的平面網絡圖中以某種順序（從外到里）將三角形一個個移走，每移走一個三角形，減少一棱、一面，或減少兩棱、一面、一頂點，則V+F-E仍保持不變.移到最后只剩下一個三角形，對這個三角形而言，V+F-E=1正確.從而猜想正確.“歐拉公式”的發(fā)現“歐拉公式”證明方法：因果歸納推理常用方法

……共變法

共變法：根據被研究現象出現并發(fā)生變化的若干場合中，只有一個情況與被研究現象一起發(fā)生變化，由此推斷該現象與被研究現象有因果聯系

增兵減灶

公元前342年，魏國派兵攻打韓國.韓國向齊國求救.齊宣王派田忌和孫臏帶兵救援韓國.孫臏又使出他“圍魏救趙”的老法子，不去救韓，引兵直接去攻打魏國.龐涓接到魏王的告急文書，只好退兵趕回去.這時，齊國的兵馬已經深入魏國了.龐涓下馬查看齊軍扎過營的地方，發(fā)現齊軍的營盤占了很大的地方.他叫人數了數做飯的爐灶，足夠萬人吃飯用的.“媽呀，怎么這么多人？”龐涓嚇得說不出話來.

第二天，龐涓帶著大軍繼續(xù)追趕，趕到齊國軍隊剛扎營的地方，仔細數了數爐灶，只剩了兩三萬人用的了.龐涓這才放了心，笑著說：“我早就知道齊軍都是膽小鬼，萬大軍到了魏國，才三天工夫，就逃散了一大半.哈哈哈！”他舍棄步兵，帶著輕銳部隊日夜兼程地按著齊國軍隊走過的路線追上去.共變法

——增兵減灶

一直追到馬陵（今河北大名縣東南），此時天已黑了.馬陵道在兩座高山之間，山路旁邊都是深澗.龐涓恨不得一步趕上齊國的軍隊，吩咐大軍摸黑往前趕.忽然前面的兵士回來報告：“前面的山道被木頭堵住了.”龐涓上前一看，果然見道旁的樹全被砍倒了，只留下一棵最大的沒砍.細細看去，上面影影綽綽好像寫著幾個大字.龐涓叫兵士拿火.幾個兵士點起火把一照，樹上寫的是：“龐涓死于樹下.”龐