第15章 波動教材

波動第十五章石子落在水面產生水波比較常見的機械波-水波當你向池塘扔一塊石子，將看到形成的水波以圓圈的形式從振源開始擴散。波動推動著水，從石子擊打水面的地方向外擴散；因此運動著的水攜帶著能量向外擴散。波僅僅使水發(fā)生上下運動，不會發(fā)生從中心向外的能量傳遞波僅僅使水發(fā)生上下運動，但是波可以攜帶能量從石子擊打水面的地方向外傳播。哪個說法對呢？開篇問題----請猜一猜比較常見的機械波-細繩上的波其他形式的波-電磁波波與振子的運動速度波沿著細繩傳播的速度和細繩上質點運動的速度相同嗎？思考：是波將海水從遠海帶到了岸上嗎？波可以傳播很遠的距離，但是介質（水和細繩）本身的運動范圍卻非常有限，介質僅僅是在平衡位置附近做簡諧振動?！?5-1波動的特征脈沖向右傳播一個傳播的波包就相當于一個擾動振源相鄰質元之間的結合力導致了波包的向前傳播隨著手(振源)的上下快速抖動，在繩子（彈性介質）上形成了一個單獨的脈沖。機械波產生的條件：

振源+彈性介質如果振源作簡諧振動，并且介質具有良好彈性，那么波隨時間和空間的演變都具有正弦的形式。空間上：如果在某一時刻給波動拍一張照片，波隨著位置的變化將具有正弦或余弦的形式。時間上：如果觀察介質中的某一質元的運動，會發(fā)現其作某一方向的簡諧振動。正弦波描述正弦波的物理量波形中的最高點叫做波峰(crest)，最低點叫做波谷(Trough)振幅是A：表示波峰的高度/波谷的深度兩個相鄰波峰間的距離叫做波長，用希臘字母λ（lambda）表示。波長等于任意兩相鄰等效點間的距離。頻率f：單位時間內通過某一點的波峰/完整周期的數目周期T：兩個相鄰的波峰通過空間同一點所需要的時間波速v：波峰（或者波形上任意一點）向前傳播的速度。波在一個周期T的時間內，向前傳播的距離是一個波長λ｝例如，波長5m，頻率3Hz的波，由于每秒有三個波峰通過某一點，而波峰與波峰之間的距離是5m，因此，第一個波峰在1s的時間內將向前傳播15m的距離，波形中的其他任意一點也是如此。所以，波速是15m/s。思考題：假設水波相鄰的兩個波峰穿過碼頭的末端的時間間隔是0.5s，那么（a）頻率是0.5Hz；（b）波速是0.5m/s；（c）波長是0.5m；（d）周期是0.5s§15-2波的種類：橫波與縱波（a）橫波：波沿著繩子從左向右傳播，繩子上的質點在垂直于波的傳播方向上下振蕩（b）縱波：介質質點的振動方向和波的傳播方向是一致的

注意：在固體中可以傳播橫波或縱波，在液體、氣體(因無剪切效應)中只能傳播縱波。振動方向傳播方向波谷波峰波密波疏橫波和縱波橫波：縱波：縱波的特征縱波具有波長、頻率和波速的概念。波長是兩個相鄰的波密（或兩個相鄰的波疏）之間的距離；頻率是每秒波疏/波密穿過固定點的數目波速是每個波疏/波密向前移動的速度，大小等于波長和頻率的乘積，

橫波的速度波的速度取決于波傳播過程中的介質的特性。如：被拉伸的細繩中橫波的波速，其大小依賴于細繩上的張力對于小振幅的波，波速：

以及細繩單位長度的質量（希臘字母mu，）；如圖，一列波沿著繩子向前傳播。當一個人的手上下抖動繩子，抖動的頻率是2.0Hz；這時波以4.0m/s的速度向右傳播。如果手抖動繩子的頻率由2.0Hz增加到3.0Hz，那么此時的波速是（a）1.0m/s，（b）2.0m/s，（c）4.0m/s（d）8.0m/s，（e）16.0m/s例題一根長80.0m直徑2.10mm的銅導線，系在兩電線桿之間。一只小鳥落在銅導線的中央（取t=0時刻），并同時沿著銅導線向兩電線桿方向發(fā)送一個小的波脈沖，脈沖波在電線桿處發(fā)生反射后又回到小鳥落點的時刻t=0.750s.試求銅導線上張力的大小。解題思路：從公式15-2可以得到，張力速度v等于距離除以時間。銅導線單位長度的質量可以由銅導線的密度和尺寸來計算解：波包的傳播速度v=（80.0m/0.750s）=107m/s于是張力:縱波的波速縱波的波速和繩子上的橫波波速（公式15-2）有相似的形式，E表示材料的彈性模量是材料的密度B表示材料的體彈性模量是液體或氣體的密度例題：回聲定位是很多動物所使用的一種感知世界的能力，比如蝙蝠、鋸齒鯨、海豚等。這些動物發(fā)射一個聲波脈沖（縱波），這個聲波脈沖被周圍物體反射以后，又再次被動物接收、感知?；芈暥ㄎ坏穆暡l率是100,000Hz.（a）試估算海洋動物回聲定位聲波的波長；（b）如果障礙物距離海洋動物100m，試問，海洋動物發(fā)射聲波以后多久能夠接收到被障礙物反射的聲波？解題思路：利用公式15-4，表12-1和表13-1，我們能夠計算縱波（聲波）在海水中的速度。波長解：（a）縱波在海水（海水的密度比純凈水稍大）中的波速可以得到：（b）聲波脈沖在動物和障礙物之間來回所需要的時間是：其他的波-地震波當地震發(fā)生的時候，可以產生橫波（S波）和縱波（P波）其他的波——海浪水波是表面波的一個例子；表面波是橫波與縱波的組合波動。波浪如何崩塌。綠色箭頭表示局部水分子團的運動速度?！?5-3波的能量波動可以將能量從一個地方傳遞到另一個地方。對于頻率為f的正弦波，當波通過介質中的某個質元時，質元將做簡諧振動，如果假設粒子簡諧振動的最大位移（振幅）為A,每個粒子的能量可以表示成:對于一個在彈性介質中傳播的三維波，質量代入粒子的能量公式可以得到：波的能量和振幅的平方成正比，和頻率的平方成正比。能量傳播的平均能流P：波的強度I定義：垂直于波的傳播方向上單位面積能流的大小。如果介質是各向同性的，隨著球面波向外傳播，波的能量將分布在更大的面積上。于是波的強度將變成：如果假設波的能流是常數，那么波的強度I與其到振源的距離r的平方成反比：如果考慮到振源距離分別是r1和r2的兩個點球面波的特征當波傳播的距離增加一倍時，波的強度將減小到原來的四分之一振幅A隨著r的增大而減小例題15-4

地震強度地震波穿越地殼在距離振源100km的地方被探測到的地震波強度是試求：距離振源400km的地方探測到的地震波強度是多少？解題思路：首先假設地震波是球面波，因此地震波的輻射強度隨著到振源距離的平方

成反比。解：400km是100km距離的4倍，因此其地震波的輻射強度是100km地點輻射強度的§15-4波函數讓我們來考察沿著x軸傳播的一維正弦波，波的傳播方向上的x點處質點偏離平衡位置的位移用D(x)表示，其波長是λ頻率是f；A表示波的振幅（即：振動的最大位移）假設波以速度v向右傳播，經過一定的時間t之后，波的每一部分都向前移動了vt的距離，如圖所示：考慮t=0時刻的任意一點，如波峰位置:其位置坐標x，經過一段時間t后，波峰向前運動了vt的距離。新的波形還是正弦波，為了描述波形中同一點的振動，將（x-vt）代換公式中的x,即可得到：上式代表沿著x軸向右（x軸正方向）傳播的正弦波的數學表達式——波函數根據可以將上式寫成如下的形式：波函數給出了t時刻波的傳播方向上，坐標為x的任意一點偏離平衡位置的位移其中周期

可化簡為：其中是角頻率，波數：這幾種表達形式是等價在的，公式中的表示相位。

波速v通常叫做相速度，因為它表示了波的相位傳播的快慢?？梢员硎緸椋簩τ谘刂鴛軸向左（x軸負方向）傳播的波t=0時，x=0時，正弦的角度通常包含一個初相角于是波動方程可化為——振動方程波與振動的關系一、波函數數學函數式表示介質中質點的振動狀態(tài)隨時間變化的關系.二、平面簡諧波的波函數平面簡諧波：波面為平面的簡諧波.xy

平面簡諧波傳播時，介質中各質點都作同一頻率的簡諧振動，在任一時刻，各點的振動相位一般不同，它們的位移也不相同。據波陣面的定義可知，任一時刻在同一波陣面上的各點有相同的相位，它們離開各自的平衡位置有相同的位移。typO點處質點的振動表達式為：P處質點在時刻t的位移為：

波動方程：描述介質中各質點的位移隨時間的變化關系.P處質點在時刻t的位移為：

因此，波線上任一點在任一時刻的位移都能由上式給出。此即所求的沿x軸正方向前進的平面簡諧波的波函數。

波函數沿x軸負方向傳播的平面簡諧波的波函數什么樣?沿x軸正方向傳播沿x軸負方向傳播P點落后o點P點超前o點時間時間波函數為：

波函數其它形式角波數

利用關系式，得和波動表式的意義：

上式代表x1處質點在其平衡位置附近以角頻率w作簡諧振動。即x

一定：令x=x1，則質點位移y

僅是時間t

的函數。即

以y為縱坐標、x為橫坐標，得到一條余弦曲線，它是t1時刻波線上各個質點偏離各自平衡位置的位移所構成的波形曲線(波形圖)。t一定:令t=t1，則質點位移y

僅是x

的函數。沿波線方向，任意兩點x1、x2的簡諧運動相位差為：x、t都變化:實線：t1時刻波形；虛線：t2時刻波形當t=t1時，當t=t1+Δt時，

在t1和t1+Δt時刻，對應的質點位置用x1和x2表示，則

令，得

在Δt時間內,整個波形向波的傳播方向移動了，波速u是整個波形向前傳播的速度。

沿x

軸負方向傳播的平面簡諧波的表達式O點簡諧運動方程：y

xoP點的運動方程為：例題頻率為的平面余弦波沿細長的金屬棒傳播，波速為如以棒上某點取為坐標原點，已知原點處質點振動的振幅為試求：（1）原點處質點的振動表達式；（2）波函數；（3）離原點10cm處質點的振動表達式；（4）離原點20cm和30cm處質點的振動相位差；（5）在原點振動0.0021s時的波形；解：由題意波長周期（1）原點處質點的振動表達式（2）波函數（3）距原點10cm處質點的振動表達式（4）兩點間距離相位差（5）時的波形例題

一橫波沿一弦線向右傳播。設已知t=0時的波形曲線如下圖中的虛線所示，波速u=12m/s。求(1)振幅；(2)波長；(3)波的周期；(4)弦上任一質點的最大速率；(5)圖中a、b兩點的相位差；(6)3T/4時的波形曲線.

t

=0解:

由波形曲線圖可看出：(2)

=40cm；(1)A=0.5cm；(3)波的周期

t

=0(4)質點的最大速率

(5)a、b兩點相隔半個波長，b點處質點比a點處質點的相位落后

。

(7)3T/4時的波形如下圖中實線所示，波峰M1和M2已分別右移

而到達

和

處。

t=3T/4練習D：一列波其中x的單位是米，t的單位是秒；試求波速是多少？（a）10m/s,(b)0.10m/s,(c)40m/s,(d)0.005m/s,(e)2.5x10-4m/s例題15-5.行波，手抓住一條水平放置的彈性長細繩的左端，手上下移動的頻率f=250Hz，幅度是2.6cm；繩子上的拉力140N，線密度，當t=0時，繩子的末端有一個向上的位移，1.6cm，繩子末端此時正在向下運動；試求：（a）波長（b）行波的方程。解：（a）波的速度：（b）在繩子的最左端，令x=0，在t=0時刻，波的相位并不等于零，向右傳播的行波表達式的一般形式是：在t=0，x=0時D=1.6cm；于是有：因此由于于是有：化簡得到：§15-6波的疊加原理疊加原理：當兩列或更多列的波同時通過空間中的同一區(qū)域時，質點合振動是它們分振動的疊加。注意：對于機械波而言，當其位移較小，且位移與介質恢復力之間滿足線性關系時疊加原理成立。而如果機械波的振幅很大，甚至超過介質的彈性范圍，疊加原理將不再成立。大多數情況下，我們所研究的系統(tǒng)都是滿足疊加原理的。比如：兩個石頭落在水面的不同點形成的水波（二維波），可以不受影響地穿過彼此而向外傳播。右圖中彈性細繩上有三列正弦波，分別具有不同的振幅和頻率。某一時刻，三列波相遇，空間位置是x的一點上，合成波的振動是三個分振動在此位置的疊加，其位移為三個分振動位移的代數和。這一合成波不再是簡單的正弦波。合成波可以看成是由許多振幅不同、波長不同、頻率不同的正弦波疊加而成一個周期為T的復雜行波可以分解為若干正弦波的線性疊加任意形式的波都可以看作是一系列正弦波的線性疊加例題15-17在t=0時刻，三列波的波函數分別是：其中A=1.0m，k=10m-1,在x=-0.40m到x=+0.40m的的范圍內畫出三列波疊加之后得到的合成波的波形。解答：第一列波第二列波第三列波作圖：一個波脈沖沿著細繩傳播。如果細繩的另一端固定，反射的波脈沖將沿著反方向傳播（圖a）如果繩子的另一端是自由的，當一個波脈沖沿著細繩向前傳播，并發(fā)生反射（圖b）§15-7

波的反射與傳播觀察不同并解釋如果細繩的末端是自由的，反射波脈沖的振動方向不發(fā)生反轉，還是保持原來的振動方向而返回。如果將繩子的末端系到一個支撐點上，當波脈沖到達支撐點時，波脈沖對支撐點施加一個向上的作用力；根據牛頓第三定律：支撐點將對波脈沖有一個反方向（向下）的反作用力。這個力使得細繩上的波脈沖產生了振動方向的反轉。當一個波脈沖沿著繩子傳播，繩子的左端是細繩（輕繩）右端是粗繩（重繩），當脈沖由細繩一端傳遞到與粗繩一端的連接點時，波脈沖的一部分發(fā)生反射，另一部分繼續(xù)向前傳播反射波的半波損失當波從波疏介質傳播到波密介質，分界面反射點不動，表明入射波在反射點反射時有相位

的突變相當于在波程上突變。這一現象稱為半波損失。波線：沿波的傳播方向作的一些帶箭頭的線。波線的指向表示波的傳播方向。波陣面：在波動過程中，把振動相位相同的點連成的面(簡稱波面)。波前：在任何時刻，波面有無數多個，最前方的波面即是波前。波前只有一個。幾個概念平面波：波面為平面球面波：波面為球面波面波線波線波面平面波球面波波線波陣面波陣面波線1、在各向同性介質中傳播時，波線和波陣面垂直。注：2、在遠離波源的球面波波面上的任何一個小部份，都可視為平面波。如果滿足一定的條件將有可能發(fā)生干涉。兩列脈沖波相向而行，相遇區(qū)域發(fā)生疊加?！?5-8波的干涉a）水波的干涉。b）一個波峰（波谷）和另一個波峰（波谷）相遇將產生干涉加強。而當一個波峰（波谷）和另一個波谷（波峰）相遇時，則產生干涉相消。兩列波同向傳播相干條件：振動方向相同頻率相同相位相同或相位差恒定

兩個相干波波源S1和

S2的振動方程分別為：S1和

S2單獨存在時,在P點引起的振動的方程為:P

點的合方程為:振幅A和相位f

0（合振幅最大）（合振幅最小）當

為其他值時，合振幅介于若f10=f20，上述條件簡化為：

（合振幅最大）（合振幅最?。┖椭g波程差a中的干涉加強，是由于兩列分振動的相位相同而產生的。b中的干涉相消，是由于一個分振動波峰和另一個分振動的波谷相遇造成的兩列水波的相位差通常介于（圖a和圖b）兩種情況之間；這時將會發(fā)生圖c部分干涉減弱的情況§15-9波的共振駐波

駐波是兩列振幅相同的相干波在同一條直線上沿相反方向傳播時疊加而成的。uAl正向行波uAl反向行波繩子上有干涉相消的一些點，繩子上的這些點始終保持靜止——波節(jié)。繩子上也有一些干涉加強的點，這些點始終以最大的振幅振動——波腹。兩點之間產生駐波的最低振動頻率如圖a所示。而圖b和圖c所示的駐波，表示的是兩倍和三倍最低頻率的駐波。除此之外，繩子也可以出現四個、五個...波腹，即以四倍、五倍...的最低頻率振動。它們的頻率、波長之間存在倍數的關系，故稱基頻與倍頻。OACEFGHBD波節(jié)OBDFH波腹ACEG駐波的形成過程：考慮一條兩端固定的細繩，具有某頻率的波將沿著繩子的兩個方向傳播，然后在繩子的末端反射，反射以后又沿著相反的方向傳播。二階諧頻基頻通常也稱為“一階諧頻”三階諧頻依次類推下標n表示諧頻的階數，n=1表示基頻；n=2表示二階諧頻從中可以解出：f是每種振動模式的頻率，是基頻；每一個共振頻率都是基頻的整數倍。例題15-8琴弦

一根琴弦長1.10m，質量是9.00g。（a）如果要產生一個基頻是131Hz的振動，所需琴弦上的張力是多大？（b）前四階諧頻分別是多少？解：（a）基頻的波長，琴弦上的波速｛得到：（b）二、三、四階諧頻分別是262Hz，393Hz和524Hz.駐波的數學表示：駐波可以看作是兩列沿著相反方向傳播的波的疊加駐波的合振動表達式可以寫成：根據和差化積公式上式化為：由于繩子兩端固定，因此當x=0,x=l處

D(x,t)必須等于零第一個條件（當x=0時，D=0，自然滿