第9章 航空運(yùn)輸問題

第九章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析第9章航空運(yùn)輸問題第九章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析航空運(yùn)輸是一個較實(shí)際的問題，合理的規(guī)劃航空公司對運(yùn)輸業(yè)的管理，能夠提升航空公司的效率，提高企業(yè)的利潤。本章以航空運(yùn)輸能力出發(fā)，考慮飛機(jī)貨場容積問題和每天的運(yùn)輸量問題，最優(yōu)化的分析航空公司的最大利潤問題和飛機(jī)的改裝問題。這是一個實(shí)際問題，主要針對一個航空運(yùn)輸公司的營業(yè)模型的分析及優(yōu)化處理，在此運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的相關(guān)理論知識可求解得到優(yōu)化的市場營業(yè)模型，以此制定最優(yōu)化營業(yè)方式。此題中，成本是未知量，我們可以不考慮成本的影響，只求出營業(yè)額的最大值即可，由于凈利潤=營業(yè)額-成本，故凈利潤也相應(yīng)的較高，也就是營業(yè)方式的最優(yōu)化。對于問題一，主要針對求該運(yùn)輸公司的最大利潤，我們只需將三種貨物在運(yùn)輸公司要求的體積和質(zhì)量等的多重約束下，按照某個比例搭配得到最優(yōu)化解，得到利潤的最大值，利用線性規(guī)劃模型便易得到一個數(shù)學(xué)模型，并利用LINDO軟件求解此模型。在此模型中，求得當(dāng)運(yùn)輸貨物一為30噸，貨物二16.875噸，貨物三50噸時取得最大收益24218.75美元。第九章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析在問題二中，求解每個約束條件的影子價格，影子價格即是約束條件對利潤的影響。在第一問中已利用LINDO軟件求解此模型，程序中反映了每個約束條件的影子價格。從程序中可看出，公司每天運(yùn)輸貨物的能力100噸無剩余，影子價格為0美元；每天運(yùn)輸貨物的總體積的影子價格為0.3125美元，也就是運(yùn)輸?shù)呢浳锟傮w積增加1立方英尺，利潤將會增加0.3125美元；貨物一的影子價格是78.125美元，增加一頓貨物一，利潤將會增加78.125美元；貨物二的影子價格為0美元；貨物三的影子價格是125，增加一頓貨物三，利潤將會增加125美元；這些約束條件產(chǎn)生的影子價格是潛在的，放映了每個約束條件增加1時帶來的利潤的變化。第九章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析在問題三中，針對改造飛機(jī)是否將帶來公司的利潤增加的問題。在此，只需在滿足公司的每天貨運(yùn)能力即約束條件，將改造飛機(jī)后公司的收益和改造前公司的收益進(jìn)行對比，如果收益增加便值得改造。得到要改造1.25架飛機(jī)使的收益最大；最終計(jì)算可得改造一架舊飛機(jī)、改造二架舊飛機(jī)、改造三架舊飛機(jī)、改造四架舊飛機(jī)均使公司利潤提升；而改造五架舊飛機(jī)時平每天均收益為24200美元，和不改造飛機(jī)的24218.75美元收益作對比，可以得到改造五架飛機(jī)公司將在原來基礎(chǔ)上虧損。故在假設(shè)基礎(chǔ)上，可以改裝四架舊飛機(jī)，公司將盈利。但實(shí)際中很難保證條件的實(shí)現(xiàn)，而且改裝也耗時耗力，故公司改裝兩架舊飛機(jī)最好，這時滿足公司的最大的運(yùn)輸能力。第九章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析9.2問題提出一個運(yùn)輸公司每天有100噸的航空運(yùn)輸能力。公司每噸收空運(yùn)費(fèi)250美元。粗除了重量的限制外，由于飛機(jī)貨場容積有限，公司每天只能運(yùn)50000立方英尺的貨物。每天要運(yùn)送的貨物數(shù)量如表9-1所示：表9-1數(shù)據(jù)表貨物重量（噸）體積（立方英尺/噸）130550240800350400（1）求使得利潤最大的每天航空運(yùn)輸?shù)母鞣N貨物的噸數(shù)。（2）計(jì)算每個約束的影子價格，解釋它們的含義。（3）公司有能力對它的一些舊的飛機(jī)進(jìn)行改裝來增大貨運(yùn)區(qū)域的空間。每架飛機(jī)的改造要花費(fèi)200000美元，可以增加2000立方英尺的容積。重量限制仍保持不變。假設(shè)飛機(jī)每年飛行250天，這些舊飛機(jī)剩余的使用壽命約為5年。在這種情況下，是否值得改裝？有多少架飛機(jī)時才值得改裝？第九章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析9.5.2模型的建立與求解利用LINGO軟件求Q1的最大值，編程如下：max250x1+250x2+250x3stx1+x2+x3<100550x1+800x2+400x3<50000x1<30x2<40x3<50x1>0x2>0x3>0End第九章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析VariableValueReducedCostX130.000000.000000X216.875000.000000X350.000000.000000公司在這種優(yōu)化模型下，每天運(yùn)輸?shù)呢浳飮崝?shù)為96.875噸，接近每天的運(yùn)輸能力100噸；運(yùn)輸?shù)呢浳锏目傮w積達(dá)到50000立方英尺，正好等于公司的運(yùn)輸體積的極限，故這個結(jié)果合理。而在公司在滿足噸數(shù)-剛好等于100噸的前提下，體積有剩余，而公司的營業(yè)額也會相應(yīng)下降。故這個最優(yōu)化模型在假設(shè)滿足的前提下，具有一定的可靠性，最優(yōu)化方案符合實(shí)際，優(yōu)化的結(jié)果也符合實(shí)際。第九章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析9.6問題二RowSlackorSurplusDualPrice

124218.751.00000023.1250000.00000030.0000000.312500040.00000078.12500523.125000.00000060.000000125.0000730.000000.000000816.875000.000000950.000000.000000從程序中可看出，公司每天運(yùn)輸貨物的能力100噸剩余3.125，影子價格為0，主要由于公司的限制，可能來自自身的限制等等；每天運(yùn)輸貨物的總體積無剩余，總體積的影子價格為0.3125，也就是運(yùn)輸?shù)呢浳锟傮w積增加1立方英尺，利潤將會增加0.3125美元；貨物一的影子價格是78.125，增加一頓貨物一，利潤將會增加78.125美元；貨物二的影子價格為0，但貨物二有剩余，剩余23.125噸；貨物三在此運(yùn)輸條件下無剩余，但它的影子價格是125，增加一頓貨物三，利潤將會增加125美元。第九章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析9.7問題三在問題三中，是否改造飛機(jī)只需將改造飛機(jī)后公司的收益和改造前公司的收益進(jìn)行對比，如果收益增加便值得改造。改造后公司運(yùn)輸貨物的噸數(shù)不變，體積也要有限制，求出此時約束條件下三種貨物的運(yùn)輸噸數(shù)，由于改造后飛機(jī)的壽命為五年，計(jì)算出相應(yīng)的收益即可。由于舊飛機(jī)剩余的使用壽命約為5年，一架飛機(jī)的改造要花費(fèi)200000美元，故只需要計(jì)算公司改造飛機(jī)后5年內(nèi)的總收成即可，可列下列等式，第九章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析第九章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析運(yùn)用LINGO軟件求Q2的最大值，max312500x5+312500x6+312500x7-200000x4st2)x5+x6+x7<1003)-2000x4+550x5+800x6+400x7<500004)x4>05)x5<306)x6<407)x7<50end運(yùn)行程序輸出結(jié)果如下：VariableValueReducedCostX530.000000.000000X620.000000.000000X750.000000.000000X41.2500000.000000第九章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析表9-2收益

不改造飛機(jī)改造一架飛機(jī)改造兩架飛機(jī)改造三架飛機(jī)改造四架飛機(jī)改造五架飛機(jī)五年的年收益

（美元）302734383085469030850000306500003045000030250000平均每天的收益(美元)24218.7524683.7524680245202436024200飛機(jī)總的貨運(yùn)體積（立方英尺/噸）500005200054000560005800060000每天運(yùn)輸貨物體積（立方英尺/噸）500005200052500525005250052500每天運(yùn)輸?shù)呢浳铮▏崳?6.87599.375100100100100從以上可看出，只改造一架飛機(jī)，營業(yè)額最多，條件都接近最大值；改造兩架飛機(jī)就有空間剩余了；改造三架飛機(jī)，空間有剩余,但營業(yè)額不多；當(dāng)改造四架飛機(jī)時，五年的年收益Q2為30450000美元，平均每天的收益為24360美元，空間有剩余，但相對未改造時，營業(yè)額不多，幾乎無收益；五架飛機(jī)時，五年的年收益Q2為30250000美元，小于未改造時的302734