陜西省商洛市洛南中學(xué)高三上學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)（文）試題

洛南中學(xué)2020—2021學(xué)年度第一學(xué)期第一次模擬考試高三數(shù)學(xué)（文科）一、單選題（每小題5分）1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合N，然后進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可．【詳解】N＝{0，1，2，3，4}，?RM＝{x|x≤1}；∴（?RM）∩N＝{0，1}．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集、交集的運(yùn)算，描述法、列舉法的定義，熟記交集，補(bǔ)集的定義是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．2.若復(fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：由可得.故選D.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.3.已知f1（x）=x，f2（x）=，，從以上三個(gè)函數(shù)中任意取兩個(gè)相乘得到新函數(shù)，則所得新函數(shù)為奇函數(shù)的概率為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】從三個(gè)函數(shù)中任意取兩個(gè)相乘得到新函數(shù)，基本事件總數(shù)n＝,所得新函數(shù)為奇函數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝=2，所以根據(jù)概率計(jì)算公式p=求得概率為【詳解】解：∵f1（x）＝x是奇函數(shù)，f2（x）＝是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，從以上三個(gè)函數(shù)中任意取兩個(gè)相乘得到新函數(shù)，基本事件總數(shù)n＝，所得新函數(shù)為奇函數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝＝2，∴所得新函數(shù)為奇函數(shù)的概率p＝.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的求法，考查古典概型概率公式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)一一加以判斷，即可得到既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)．【詳解】對(duì)于．，有，是偶函數(shù)，但時(shí)為減函數(shù)，故排除；對(duì)于.，由，為奇函數(shù)，故排除；對(duì)于.，由于定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)不具有奇偶性，故排除；對(duì)于.，由，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，故正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及運(yùn)用，注意定義的運(yùn)用，以及函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．5.已知向量，向量且，則的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)的坐標(biāo)為，由向量垂直的坐標(biāo)表示和向量的模的計(jì)算求得選項(xiàng).【詳解】設(shè)的坐標(biāo)為，又向量，向量且，所以，解得或，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示和向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6.在等比數(shù)列中，若，，，則公比等于（）A. B.C. D.或【答案】C【解析】【分析】解方程組，即得的值.【詳解】由題得，所以，因?yàn)?，，所?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出的a的值為（）A.7 B.9 C.10 D.13【答案】C【解析】試題分析：輸入，不滿足，則執(zhí)行；還不滿足；再執(zhí)行；仍不滿足，再執(zhí)行，滿足條件，輸出即可．考點(diǎn)：算法流程圖．8.若圓截直線所得弦長(zhǎng)為6，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.31 B.-4 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先化圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)垂徑定理列方程，解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A截直線所得弦長(zhǎng)為6，所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查圓的弦長(zhǎng)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9.在中，已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先通過余弦定理求出，再利用三角形的內(nèi)角和為求出.【詳解】解：由余弦定理得，則，又，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.10.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C：交于，兩點(diǎn)，若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，可知，從而可以確定出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程求得的值，進(jìn)而求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，且，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與拋物線的交點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)在拋物線上的條件，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡(jiǎn)單題目.11.四棱錐的底面為正方形，⊥平面，，則該四棱錐的外接球的半徑為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，因?yàn)檫呴L(zhǎng)相等故為正方體，體對(duì)角線即為直徑，.故選A.考點(diǎn)：球的組合體.【思路點(diǎn)晴】設(shè)幾何體底面外接圓半徑為,常見的圖形有正三角形,直角三角形,矩形,它們的外心可用其幾何性質(zhì)求；而其它不規(guī)則圖形的外心,可利用正弦定理來求.若長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為則其體對(duì)角線長(zhǎng)為；長(zhǎng)方體的外接球球心是其體對(duì)角線中點(diǎn).找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過幾何體各個(gè)面的外心分別做這個(gè)面的垂線,交點(diǎn)即為球心.三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直,且棱長(zhǎng)分別為，則其外接球半徑公式為:.12.已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，若，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合題中條件，判斷的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，得到的奇偶性，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí),，即；當(dāng)時(shí),，即；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，因此，故函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造出函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于?？碱}型.二、填空題（每小題5分）13.已知，，則的值為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式及角的范圍，可得，再由正弦二倍角公式即可求解.【詳解】，，則由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得，所以由正弦二倍角公式可知，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，正弦二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.已知等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為,,則的值為___.【答案】18【解析】【分析】由可得，求得，利用等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)以及等差數(shù)列的求和公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則可化為，即，，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.解與等差數(shù)列有關(guān)的問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（）與前項(xiàng)和的關(guān)系.15.已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值是______.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)線性約束條件畫出可行域，再將進(jìn)行平移尋找最值點(diǎn)即可【詳解】如圖，根據(jù)線性約束條件畫出可行域，畫出符合條件的可行域，將進(jìn)行平移，當(dāng)移到最高點(diǎn)時(shí)，得到的最大值，則的最大值是6【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．16.給定下列四個(gè)命題：其中為真命題的是．（填上正確命題的序號(hào)）①“”是“”的充分不必要條件；②若“”為真，則“”為真；③已知，則“”是“”的充分不必要條件；④“若，則”的逆否命題為真命題．【答案】①④【解析】【詳解】試題分析：①當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)或，所以“”是“”的充分不必要條件，所以①為真命題；②若“”為真，則至少有一個(gè)為真．當(dāng)一真一假時(shí)“”為假；當(dāng)均為真時(shí)“”為真．所以②為假命題；③因?yàn)槭堑恼孀蛹?，所以“”是“”的必要不充分條件．所以③為假命題；④“若，則”的逆否命題為“若，則”是真命題，所以④為真命題．綜上可得真命題為①④．考點(diǎn)：命題的真假．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是逆否命題、充分條件與必要條件和復(fù)合命題的真假性，屬于容易題．解題時(shí)一定要注意時(shí)，是的充分條件，是的必要條件，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．充分、必要條件的判斷即判斷命題的真假，在解題中也可以根據(jù)原命題與其逆否命題同真假進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．三、解答題:（共70分）17.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)方程可解出答案；（2），可算出答案.詳解】（1）由可得因?yàn)椋裕?）【點(diǎn)睛】本題考查的是分組求和法，較簡(jiǎn)單.18.通過隨機(jī)詢問某地100名高中學(xué)生在選擇座位時(shí)否挑同桌，得到如下列聯(lián)表：男生女生合計(jì)挑同桌304070不挑同桌201030總計(jì)5050100（1）從這50名男生中按是否挑同桌采取分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為5的樣本，現(xiàn)從這5名學(xué)生中隨機(jī)選取3名做深度采訪，求這3名學(xué)生中恰有2名挑同桌的概率：（2）根據(jù)以上列聯(lián)表，判斷是否有95%以上的把握認(rèn)為“性別與在選擇座位時(shí)是否挑同桌”有關(guān)，下面的臨界值表供參考：（參考公式:，其中）【答案】（1）；（2）有95%以上的把握認(rèn)為“性別與在選擇座位時(shí)是否挑同桌”有關(guān).【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣方法抽取容量為5的樣本，挑同桌的有3人，記為，不挑同桌的有2人，記為，然后用列舉法可得答案；（2）計(jì)算出的值，即可得答案.【詳解】（1）根據(jù)分層抽樣方法抽取容量為5的樣本，挑同桌的有3人，記為，不挑同桌的有2人，記為從這5人中隨機(jī)選取3人，基本事件為：，共10種其中這3名學(xué)生中恰有2名挑同桌的有6種所以這3名學(xué)生中恰有2名挑同桌的概率為（2）根據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值所以有95%以上的把握認(rèn)為“性別與在選擇座位時(shí)是否挑同桌”有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查的是用列舉法解決古典概型以及獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，較簡(jiǎn)單.19.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】(1)由題意結(jié)合幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征和線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(2)由題意首先證得線面垂直，然后結(jié)合線面垂直證明線線垂直即可.【詳解】（1）因?yàn)镈，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，所以ED∥AB.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1所以A1B1∥ED.又因?yàn)镋D?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因?yàn)锳B=BC，E為AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC.因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC又因BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.因?yàn)镃1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=所以BE⊥平面A1ACC1.因?yàn)镃1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力.20.如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且.（1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求橢圓的離心率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由橢圓的定義和勾股定理可求得、c，從而可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)連結(jié)，設(shè)，由橢圓的定義和勾股定理得，可解得，從而求得橢圓的離心率.【詳解】(1)由橢圓的定義，，故.設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知，因此，所以，從而，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)連結(jié)，如圖所示，，由橢圓的定義，.從而由，有.設(shè)，所以，，，又由，所以，即，解得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，橢圓的焦點(diǎn)三角形中的線段長(zhǎng)間的關(guān)系，以及求橢圓的離心率，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）根據(jù)曲線在點(diǎn)處的切線方程的斜率為即可求解；（2）討論的正負(fù)來判斷的單調(diào)性，進(jìn)而得到最值.【詳解】（1）因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以對(duì)任意有，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,利用單調(diào)性求最值.（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，曲線的方程為．（1）求直線AB的直角坐標(biāo)方程：（2）若直線AB和曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值，【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得，，問題得解．（2）利用直線和曲線相切的關(guān)系可得：圓心到直線AB的距離等于圓的半徑，列方程即可得解．【詳解】（1）根據(jù)，分別將，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)為，，所以直線的直角坐標(biāo)方程為．（2）曲線C的方程為（），其直角坐標(biāo)方程為．又直線AB和曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即直線與圓相切，所以圓心到直線AB的距離等于圓的半徑.又圓心到直線AB的距離為，即的值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了極