2023年高考金榜預(yù)測數(shù)學(xué)試卷（一）（新高考數(shù)學(xué)試卷）（解析版）

2023年高考金榜預(yù)測卷（一）（新高考卷）

數(shù)學(xué)

一、單項選擇題

1.設(shè)集合A={x|x/n<2},B={l,2,4,5},則BC（6RA）=（）

A.{1}B.{1,2}C.{1,2,4}D.{4,5}

K答案》D

K解析X因為A={x|>/r3<2},

所以解得則_1<X43,

[3-x>0U43

所以A={x|-lvxM3},則QA={x|x4-l或x>3},

又8={1,2,4,5},

所以8門0以）={4,5}.

故選：D.

2.已知復(fù)數(shù)z=l+i,則g）的值是（）

A.32B.-32C.iD.-i

K答案Uc

K解析D」=二=7,?！?7=3=i,所以⑶：i』.故選：c.

zl-i+2\z）

3.如圖，圓。的直徑45=4,點C,。是半圓弧4?上的兩個三等分點，則ACMO=

（）

A.4B.46C.2x/3D.6

K答案1D

R解析H以。為坐標原點，AB所在直線為x軸，垂直AB為)，軸，建立平面直角坐標

系，

連接C￡>,OC,0D,

因為點C,。是半圓弧AB上的兩個三等分點，所以NAOC=NCOD=NBO￡>=60。,

所以三角形0C￡>為等邊三角形，故NOC￡>=/OOC=60。，則CEM/48,

因為45=4,所以｛-2,0),。卜1,6),。(1,6),

則/=(-1網(wǎng)_(_2,0)=(1,⑹,AD=(l,x/3)-(-2,0)=(3,V3),

故選：D

4.紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾

多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石飄壺、潘壺等.其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓

臺.如圖給出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：cm),那么該壺的容積約接近于()

A.100cm*B.200cm'C.300cm3D.400cm'

R答案WB

R解析D設(shè)R為圓臺下底面圓半徑，r為上底面圓半徑，高為h,

則R=5,r=3,h=4,

.-.V^=-Tth(R2+Rr+r2)

=%x4.(25+15+9)=_U200(cm3),

故選：B.

5.中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙，假設(shè)空間站要安排

甲，乙，丙，丁4名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排2人，問天實驗艙與夢天實驗

艙各安排1人，則甲乙兩人安排在同一個艙內(nèi)的概率為()

1111

A.6-B.4-3-D.2-

[答案》A

K解析》從甲，乙，丙，丁4名航天員中任選兩人去天和核心艙，剩下兩人去剩下兩個艙

位，則有C[&=6x2=12種可能，

要使得甲乙在同一個艙內(nèi)，由題意，甲乙只能同時在天和核心艙，在這種安排下，剩下兩

人去剩下兩個艙位，則有用=2種可能.

21

所以甲乙兩人安排在同一個艙內(nèi)的概率P==

126

故選：A

6.已知函數(shù)/(x)=3sinx,函數(shù)g(x)的圖象可以由函數(shù)的圖象先向左平移

夕(夕＞())個單位長度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?(。＞0)得

到，若x=3是函數(shù)g(x)的一個極大值點，x=-B是與其相鄰的一個零點，則g但)的值

o6J

為()

A.-V2B.0C.1D.72

K答案》c

K解析力函數(shù)〃x)的圖象先向左平移出。>0)個單位長度，得到y(tǒng)=&sin(_r+s)的圖

象，

再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?(&>0)得到

CO

g(x)=V5sin(<yx+e)的圖象；

由題可知，解得7=9,則0=系=|,又g]￡j=3in(|x?+'=啦,

TTTTTT

故可得工+夕=2&乃+工水wZ,解得8=2版?+?/wZ,

424

故g(1)=>/2sinxy+2kjr+=>/^sin(2A7r+,)=>/2sin^^=1.

故選：C.

7.已知橢圓C：r+4=l(a>力>。)的左焦點為RA,3分別為C的左右頂點，

a~b~

。6:/+。_〃7)2=/(加>0)與丁軸的一個交點為。，直線AO,BG的交點、為M,且M/Fx

軸，則C的離心率為()

A.-1B.?4C.2-D.3-

3234

K答案XA

K解析11解法一：由題意可知A(—a,0),8(a,0),0(0,2〃z),G(0,M,2—c,0),

故直線AQ的方程為y-2,”=言=X,即y=^x+2m,

直線BG的方程為y-帆二察心工，即y=-x+m,

\j-a-a

聯(lián)立直線AO,3G的方程，解得與=-￡

又MF_Lx軸，所以-§=-CM=3C,所以。的離心e='=!，

3a3

故選：A.

解法二：設(shè)。為坐標原點，由題意知4-a,0),8S,0),G(0,m),R-c,0),￡>(0,2M,Mf7/。。，

故,QWFAM,所以第=總,即0=紇^,解得|姐=刎二

IDD|IOA|2m.cia

又2GBFMB,所以兩W即眼同a+c

\OB\'"T一丁

解得固尸土皿?,則①1=刎二1,得〃=3c,

aaa

c1

所以C的離心率e=—二;

a3

故選：A.

8.已知a=10%方=i產(chǎn)c=12,0,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

K答案HD

K解析X構(gòu)造/(x)=(22-x)Inx,x>10,

yz(x)=-lnx+--1,

f'(x)=_lnx+子-1在［10,口)時為減函數(shù)，

Ji//(10)=-lnl0+y-l=1-lnl0<--lne2=1-2<0,

所以廣3=-1門+?-1<0在［10,網(wǎng)恒成立，

故/(x)=(22-x)lnx在［10,4)上單調(diào)遞減，

所以/。。)>/(11)>/(12),

即121nl0>lllnll>101nl2,所以10“>［嚴>團)，即”>b>c.故選：D.

二、多項選擇題

9.在正方體48C。-中，下述正確的是()

A.AC//平面ABGB.AOJ_平面48G

C.AC-LARD.平面J.平面BBQ。

K答案HAD

K解析F4C"AG,ACO平面ABG,Agu平面A]G,所以AC〃平面ABC、

ADAC=45",AO與AC不垂直，則A。與AG不垂直，AD_L平面A/G不正確；

AC=AD,=CD,,則△ACQ為等邊三角形，則AD與AC不垂直，則與AG也不垂直;

正方體ABCQ-ABCR中，有881平面A8CQ,則又與可推

得4G，平面88QD,從而平面A/C1J■平面33Q，

故選：AD.

10.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S"，若』=3,52=7,則（）

A.an=5-n

B.若4,+a,,=%+q。，貝1J，+3的最小值為fl

tnn12

C.s“取最大值時，〃=4或〃=5

D.若S“>0,〃的最大值為8

R答案HACD

K解析U由題意得4=4,%=3,可得|?=4：,

則等差數(shù)列｛4｝的通項公式為4=5-〃，則選項A判斷正確；

若+?！?。2+4o，則機+〃=2+10=12,

116(116、m+n1(n1_°、25

貝.+_xy;卻7+—+——>-1Z17+8=--

tnnn)1212\m幾J1212

(當且僅當機=￡,〃=g時等號成立)

又m，“eN*,則工+3的最小值不是則選項B判斷錯誤;

mn12

等差數(shù)列｛4｝中，4=4>%=3>小=2>q=1=。>%=T>…

則等差數(shù)列｛4｝的前〃項和S.取到最大值時，〃=4或九=5.則選項C正確;

51吟出="＞。，得。＜”9,且—故〃的最大值為8,則選項D判斷

正確，.

故選：ACD

11.已知拋物線y=2/的焦點為F,M（5，yJ,N（々,%）是拋物線上兩點，則下列結(jié)論

正確的是（）

A.點尸的坐標為（",0）

B.若直線MN過點尸，則不々=一4

16

C.若MF=2NF，則|MV|的最小值為3

D.若|M尸|+|NF|=9,則線段MN的中點尸到X軸的距離為?

K答案2BCD

K解析D解：拋物線y=2d,即r=；y,

對于A,由拋物線方程知其焦點在y軸上，焦點為F（01），故A錯誤；

對于B,依題意，直線MN斜率存在，設(shè)其方程為丫=履+：,

O

x2=-y

由2消去y整理得*2-卜-上=0,一工+為，故B正確;

,1216162

V=KX+-

[8

對于C,若M/=4NF，則直線MN過焦點，

所以|MN|=|MF|+|阿=%+:+%+(=包+(+如+3；=3獷+!，

所以當&=0時|MCn=g,

，|MN|的最小值為拋物線的通徑長故C正確；

對于D,附尸|+|橋|=,+：+%+:=1即尸點縱坐標為汽匹=|,

P到X軸的距離為故D正確.

O

故選：BCD.

12.關(guān)于函數(shù)/(x)=|ln|2-x||,下列描述正確的有()

A.函數(shù)/(X)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增

B.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱

C.若網(wǎng)片天,但/(可六/優(yōu))，則為+々=2

D.函數(shù)/*)有且僅有兩個零點

K答案2ABD

K解析U由函數(shù)y=lnx,X軸下方圖象翻折到上方可得函數(shù)y=|lnx|的圖象,

將y軸右側(cè)圖象翻折到左側(cè)，右側(cè)不變，可得函數(shù)y=MW|=MHI|的圖象,

將函數(shù)圖象向右平移2個單位，可得函數(shù)產(chǎn)網(wǎng)-(>2)|=阿27|的圖象，

則函數(shù)/(x)=|In12-x||的圖象如圖所示.

由圖可得函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，A正確；

函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，B正確；

若不*與，但“不)=/(毛)，若X],須關(guān)于直線工=2對稱，則為+4="C錯誤;

函數(shù)/(x)有且僅有兩個零點，D正確.

故選：ABD.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共2()分

13.(1+依)2(1-力5的展開式中，一項的系數(shù)為35,則實數(shù)a的值為.

K答案》-1或3

K解析W由二項式定理的通項可得,

C；l°(or)2C；I3(-X)2=a2x2-x2=lO/x4,

2x1

C；r(or)Lc；F(-x)3=2ov5x4x3?(-d)=-20o￥4

3x2x1

C"l2(ax)°-C^'(-x)4=lx5x4=5x4,

因為一項的系數(shù)為35,

所以10/-2。4+5=35,整理得。2-2。-3=0,

解得a=—1或a=3,

故K答案』為：-1或3.

14.過點尸(-2,0)的直線與圓/+丁=3交于A,5兩點，則|PA|“PB|的值為

K答案》1

K解析11過P作圓x?+y2=3的切線，切點為T,連接“，。為坐標原點,

結(jié)合已知條件如下圖所示：

因為x?+y2=3是以圓心(0,0),半徑r=G的圓，且P(-2,0),

所以|P7|="OP]_|OT『=74^3=1，

又由切割線定理可知，IPT『=|PA\-\PB\=1.

故R答案』為：1.

15.設(shè)x=6＞是函數(shù)/(x)=3coM+sinx的一個極值點，則cos26?-sin26?=

7

K答案^

R解析Df'(x)=-3sinx+cosx,由題意得：/'(e)=-3sin，+cos6=0,

19

又因為sin?8+cos?夕=1,解得：sin^0=——,cos~—77??

927

故cos2^-sin2^=cos2。-2sin28=------=一.

101010

7

故K答案》為：

16.已知雙曲線，-*=1（。>08>0）的左、右焦點分別是耳，居，P是雙曲線右支上一點,

ab-

PF2^F2=O9。為坐標原點，過點。作KP的垂線，垂足為點”，若雙曲線的離心率

e=也，存在實數(shù)〃?滿足|。川=制。用，則機=.

2

K答案H1

K解析》當x=c時，代入雙曲線可得y=±Q,

a

由P乙.耳心=?？傻肞瑪■!《后,由題易得△6。"△耳P鳥.

由相似三角形的性質(zhì)可知，罌=耨，則，"=a

2a+一

a

222

.-.2am+bm=b,整理得上=包」|吶=三

a~1-w-a

2c2,〃.2〃75Anza1

二.《=—=1+—=1+----=—,觸倚機=入?

a~a\-m49

故K答案U為：

四、解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.等比數(shù)列｛4｝中，4=2,且％,4+%，4成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）若數(shù)列”=1o?！癑試求數(shù)列｛2｝前〃項的和，，并證明看?；.

解：（1）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,

因為q=2,且。2，q+%，小成等差數(shù)列，

所以q(q+%)=2(4+%),

22

因為q+a3=4+atq=at(\+q)^O,

所以4=2,

所以數(shù)列｛%｝的通項公式為a,,=2".

(2)由(1)得數(shù)列｛為｝的通項公式為=2”

111

所以數(shù)列a=;---------

?logan(n+V)n〃+1

?og2??+12n

所以數(shù)列｛〃,｝前〃項的和

7>(13)+d)+L+(9杰)=1一?

因為1-Q是遞增數(shù)列,

所以

所以

18.在銳角ABC中，角A,8,C的對邊分別為，且滿足6sinCcosC+

csinCcosB=\/3acosC.

(1)求角C的大?。?/p>

(2)求:的取值范圍.

h

(1)解：因為6疝1。85。+656。0053=6?85',

所以sinBsinCeosC+sinCsinCeosB=\j3sinAcosC，

即sinC(sinBcosC+sinCcosB)=CsinAcosC,

BPsinCsin(B+C)=sinCsinA=A/3sinAcosC,

又sinAwO,

所以tanC=6,

TT

因為O<C<7C,所以C=1；

(2)角由：?_sinA_sin(￡?+C)_sincosC4-cossinC_12

bsinBsinBsinB2tanB

因為四3c為銳角三角形，

兀

0<B<-

2

所以解得

0八<A.=-2兀-B八<—7162

32

所以正<

tanB,所以12<2

3一<--r

22tanB

即藍的取值范圍為(；，2)

7T71

19.在圖1中，四邊形ABC。為梯形，ADHBC,ZABC=~,ZBCD=-,AD=CD=2,

63

過點A作AELA8,交BC于E.現(xiàn)沿AE將..ABE折起，使得8CJ.OE,得到如圖2所

示的四棱錐8-AE8,在圖2中解答下列兩問:

(1)求四棱錐3-AEC￡>的體積；

3

(2)若尸在側(cè)棱BC上，BF=^-BC,求證：二面角C-E尸-O為直二面角.

4

TTTT

(1)解：在圖1中，VZABC=-,AE±AB,：.ZAEB=~,

63

jr

又NBCD=—，：.AE//CD,

3

又AD!IBC,

：.四邊形AECD為平行四邊形，

：AD=CD,...平行四邊形AEC3為菱形.

在圖2中，連接AC,則3E1AC,又3。，。比4(7,8(7匚平面480,

ACBC=C,平面A8C,

：45u平面ABC,...他_L￡>E

*.*AE_LAB.AE?DE=E,AE,DEu平面AECD,：.AB1平面AECD.

VB-AECD=§SAECDxA8=—xfADxAEsin兀

x(AEtang=4

（2）證明：在圖2中，以A為原點,以所在的直線為y軸建立如圖所示的直角坐標

系,則8(0,0,26)，0(0,2,0),￡(73,1,0),C(G,3,0),

aa

EF=EB+BF=EB+」BC=(-瓜一1,2孫+—(瓜3,-2也)V35正]

44-4~，4，~)

設(shè)面CEF的一個法向量為勺=%,4),EC=(0,2,0),

[n,.￡C=0士0

由彳臺\656

n,EF=0[--^+-^+—21=0

令4=1,則％=2,乂=0,取4=(2,0,1)

設(shè)面￡)￡F的一個法向量為々=(X2,J2,Z2),E￡>=(-73,1,0),

k.ED=0卜瓜2+%=。

[n2-EF=01^-—x2+-y2+—z2=0

令七=1,則必=6*2=-2,取”2=(1,6,-2)

所以/?均=0,,從而二面角C-E尸一。為直二面角

20.從有3個紅球和4個藍球的袋中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回，記4表

示事件“第i次摸到紅球“，i=l,2,,7.

（1）求第一次摸到藍球的條件下第二次摸到紅球的概率；

（2）記P（A4A）表示A，4,A同時發(fā)生的概率，P（A|A&）表示己知A與&都發(fā)生

時A-3發(fā)生的概率.

①證明：P(A4A)=P(A)P(4|A)尸(闋A町;

②求P(A).

_4x3

（1）解：由條件概率公式可得P（4I%）=*華=苧=：：

P（A）Z2

7

所以第一次摸到藍球，第二次摸到紅球的概率為g；

（2）①證明：由條件概率乘法公式

p（&144）="4廣）,可得p（A44）=P（A4）尸（&?玲4）,,

由尸⑷A）=胃雜，可得尸（A&）=P（A）P（4IA）,

所以「（A&4）=P（A）尸（&IA）P（4IA4）；

②解：由①可得P（A）=尸（A&A）+P（4M3）+P（A%A3）+P（14A）

=尸（A）p（4|A）P（&|A4）+P（A）P（&|A）P（A,|44）+

P（A）P（4IA）P（4I44）+P（A）P（4IA）「⑷IA4）

3214323424333「……、3

765765765765737

21.已知橢圓＜7：。m=1（3匕＞°）的半焦距'=!，離心率舊，且過點性，j，0

為坐標原點.

（1）求橢圓C的方程；

UUIUUUUL11U

（2）設(shè)過點。（0,2）的直線/與橢圓C分別交于不同的兩點A,B,若QA.QB=?OQ『，求

2的取值范圍.

2

C上

3

31,

解：（1）由題意得壽+屏

a,=b.-2+c2

整理得2a"-21/+45=0,

即(/-3)(2〃-15)=0,

解得/=3或

當/=3時，b2=2,c2=\,此時C的離心率e=￡=立<2,符合題意;

a33

當〃=?時，從=：，/=§,此時c的離心率e=￡=g>],不合題意，舍去，

244a63

所以橢圓C的方程為—+^=1.

32

(2)當直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為y=H+2,

y=kx+2,

聯(lián)立丁丁得(2+3/b2+12丘+6=0,

I32

因為直線/與橢圓C分別交于不同的兩點A,B,

所以△=(122)2—24(2+3公)>0,整理得

設(shè)A(X],yJ,8(工2，%),則X]+工2=_2，須“2=℃心2，

N?JK乙I3K

UULLIUU

所以。4Q8=(X],y-2>(毛,*-2)=中2+(%-2)(%-2)

=x,x2+kxl-kx2=(1+&,%與=(1+&心2+；.=；：：%，

因為公>|，所以令『翳[>|)，則>凳>2),

6-2v25uiruun5

由得2<><彳，即2<QA.QB<[,

uuUUUUUU15

因為QAQ8=/l|OQ|2=4/l,所以2v44<],

解得v，，

當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=0,

此時直線I與橢圓C的兩交點分別為(0,忘),(0,-尤)，

不妨取40,a),8(0,-&),則。4=(0,&-2),。5=(0,-及-2),

UllUlil1「15、

所以Q4.QB=2,所以42=2,解得4=：,綜上所述，2的取值范圍為.

2\_Zo/

22.已知函數(shù)〃x)=lnx+2+。.

(1)求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若函數(shù)“X)的最小值為<赴)為函數(shù)g(x)=/(x)-；的兩個零點，證明:

e“2-elnr,>