高中數(shù)學(xué)北師大版必修二課時(shí)分層作業(yè)1-7-3球

課時(shí)分層作業(yè)十四球一、選擇題(每小題5分，共25分)1.某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為 ()A.72π B.48π C.30π D.24π【解析】選C.由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)半球和倒立的圓錐組成的組合體.V=QUOTEπ×32×4+QUOTE×QUOTEπ×33=30π.2.半徑為3的球的體積等于 ()A.12π B.24π C.27π D.36π【解析】選D.由球的體積公式得：V=QUOTEπr3=QUOTEπ×33=36π.3.平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為QUOTE，則此球的體積為 ()A.QUOTEπ B.4QUOTEπ C.4QUOTEπ D.6QUOTEπ【解析】選B.因?yàn)槠矫姒两厍騉的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為QUOTE，所以球的半徑為QUOTE=QUOTE.所以球的體積為QUOTE(QUOTE)3=4QUOTEπ.4.兩個(gè)半徑為1的鐵球，熔化成一個(gè)大球，這個(gè)大球的半徑為 ()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.設(shè)熔化后的球的半徑為R，則其體積是原來(lái)小鐵球的體積的2倍，即V=QUOTEπR3=2×QUOTEπ×13，得R=QUOTE.5.一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 ()A.200+9π B.200+18πC.140+9π D.140+18π【解析】選A.這個(gè)幾何體由上、下兩部分組成，下部分是一個(gè)長(zhǎng)方體，其中長(zhǎng)、寬、高分別為6+2+2=10，1+2+1=4，5；上部分是一個(gè)橫放的半圓柱，其中底面半徑為3，母線長(zhǎng)為2，則該幾何體的體積為10×4×5+2×QUOTE=200+9π.二、填空題(每小題5分，共10分)6.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若球的體積為QUOTE，則正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)________.

【解析】設(shè)球半徑為R，正方體棱長(zhǎng)為a，則V球=QUOTEπR3=QUOTEπ，得到R=QUOTE，正方體體對(duì)角線的長(zhǎng)為QUOTEa=2R，則a=QUOTE，所以正方體的棱長(zhǎng)為QUOTE.答案：QUOTE7.兩個(gè)球的半徑相差1，表面積之差為28π，則它們的體積和為_(kāi)________.

【解析】設(shè)大、小兩球半徑分別為R，r，則QUOTE所以QUOTE所以體積和為QUOTEπR3+QUOTEπr3=QUOTE.答案：QUOTE三、解答題(每小題10分，共20分)8.某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r=1，l=3，試求該組合體的表面積和體積.【解析】該組合體的表面積S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π，該組合體的體積V=QUOTEπr3+πr2l=QUOTEπ×13+π×12×3=QUOTE.9.如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積.(其中∠BAC=30°)【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CO1⊥AB于點(diǎn)O1.在半圓中可得∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=2R，所以AC=QUOTER，BC=R，CO1=QUOTER，所以S球=4πR2，一、選擇題(每小題5分，共25分)1.如果兩個(gè)球的體積之比為8∶27，那么兩個(gè)球的表面積之比為 ()A.8∶27 B.2∶3 C.4∶9 D.2∶9【解析】選C.兩個(gè)球的體積之比為8∶27，根據(jù)體積之比等于半徑比的立方，表面積之比等于半徑比的平方，可知兩球的半徑比為2∶3，從而得出這兩個(gè)球的表面積之比為4∶9.2.(2016·全國(guó)卷Ⅱ)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為 ()A.12π B.QUOTEπ C.8π D.4π【解題指南】利用正方體的體對(duì)角線就是球的直徑求解.【解析】選A.因?yàn)檎襟w的體積為8，所以正方體的棱長(zhǎng)為2，其體對(duì)角線長(zhǎng)為2QUOTE，所以正方體的外接球的半徑為QUOTE，所以球的表面積為4π·(QUOTE)2=12π.3.已知半徑為5的球O被互相垂直的兩個(gè)平面所截，得到的兩個(gè)圓的公共弦為4，若其中的一圓的半徑為4，則另一圓的半徑為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.QUOTE【解析】選D.設(shè)兩圓的圓心分別為O1、O2，球心為O，公共弦為AB，其中點(diǎn)為E，則OO1EO2為矩形，于是對(duì)角線O1O2=OE=QUOTE=QUOTE=QUOTE，因?yàn)閳AO1的半徑為4，所以O(shè)1E=QUOTE=QUOTE=2QUOTE，所以O(shè)2E=QUOTE=3，所以圓O2的半徑為QUOTE=QUOTE.4.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為 ()A.QUOTE B.16π C.9π D.QUOTE【解析】選A.如圖所示，設(shè)球半徑為R，底面中心為O′且球心為O，因?yàn)檎睦忮FPABCD中，AB=2，所以AO′=QUOTE.因?yàn)镻O′=4，所以在Rt△AOO′中，AO2=AO′2+OO′2，所以R2=(QUOTE)2+(4R)2，解得R=QUOTE，所以該球的表面積為4πR2=4π×QUOTE=QUOTE.5.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，若不計(jì)容器的厚度，則球的體積為 ()A.QUOTEcm3 B.QUOTEcm3C.QUOTEcm3 D.QUOTEcm3【解析】選A.設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓M，則圓心M為正方體上底面正方形的中心.如圖，設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意得，球心到上底面的距離等于R2，而圓M的半徑為4，由球的截面圓性質(zhì)，得R2=(R2)2+42，解得R=5，所以根據(jù)球的體積公式，該球的體積V=QUOTER3=QUOTE×53=QUOTEcm3.二、填空題(每小題5分，共20分)6.用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為_(kāi)________.

【解析】設(shè)球的半徑為R，則截面圓的半徑為QUOTE，所以截面圓的面積S=π(QUOTE)2=(R21)π=π，所以R2=2，所以球的表面積S=4πR2=8π.答案：8π7.已知H是球O的直徑AB上的一點(diǎn)，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為_(kāi)________.

【解析】如圖，設(shè)球O半徑為R，則BH=QUOTER，OH=QUOTE，設(shè)截面圓的半徑為r，則πr2=π，r=1，即HC=1，由勾股定理，得R2QUOTE=1，R2=QUOTE，S球=4πR2=QUOTEπ.答案：QUOTEπ8.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為_(kāi)________.

【解析】取SC的中點(diǎn)O，連接OA，OB，因?yàn)镾A=AC，SB=BC，所以O(shè)A⊥SC，OB⊥SC，因?yàn)槠矫鍿AC⊥平面SBC，所以O(shè)A⊥平面SBC，設(shè)OA=r，VASBC=QUOTE×S△SBC×OA=QUOTE×QUOTE×2r×r×r=QUOTEr3，所以QUOTEr3=9?r=3，所以球的表面積為4πr2=36π.答案：36π9.已知一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，且這個(gè)球的體積是QUOTEπ，那么這個(gè)三棱柱的體積是_________.

【解析】設(shè)球的半徑為r，則QUOTEπr3=QUOTEπ，得r=2，三棱柱的高為2r=4.又正三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓半徑與球的半徑相等，所以底面正三角形的邊長(zhǎng)為4QUOTE，所以正三棱柱的體積V=QUOTE×(4QUOTE)2×4=48QUOTE.答案：48QUOTE三、解答題(每小題10分，共30分)10.用兩個(gè)平行平面去截半徑為R的球面，兩個(gè)截面圓的半徑為r1=24cm，r2=15cm，兩截面間的距離為d=27cm，求球的表面積.【解析】設(shè)垂直于截面的大圓面交兩截面圓于A1B1，A2B2，上述大圓垂直于A1B1的直徑交兩截面圓于O1，O2，設(shè)球心到兩截面的距離分別為d1，d2，則QUOTE解得R=25.當(dāng)|d1d2|=27時(shí)，其與②③組成的方程組無(wú)解.所以S球=4πR2=2500π(cm2).11.若一個(gè)底面邊長(zhǎng)為QUOTE，側(cè)棱長(zhǎng)為QUOTE的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，求該球的體積和表面積.【解析】在底面正六邊形ABCDEF中，如圖，連接BE，AD交于點(diǎn)O，連接BE1，則BE=2OE=2DE，所以BE=QUOTE，在Rt△BEE1中，BE1=QUOTE=2QUOTE，所以2R=2QUOTE，則R=QUOTE，所以球的體積V球=QUOTEπR3=4QUOTEπ，球的表面積S球=4πR2=12π.12.軸截面是正三角形的圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，若圓錐的底面半徑為1cm，求球的體積.【解析】如圖所示，作出軸截面，O是球心，與邊BC，AC相切于點(diǎn)D，E.連接AD，