第5.3.2講利用導數(shù)求解函數(shù)的綜合問題（第3課時）-高二數(shù)學寶典（人教A版2019選修第二三冊）

第四章導數(shù)及其應用第5.3.2講利用導數(shù)求解函數(shù)的綜合問題（第3課時）班級_______姓名_______組號_______能用導數(shù)解決函數(shù)的零點問題．體會導數(shù)在解決實際問題中的應用．3.能利用導數(shù)研究簡單的不等式證明問題．1、利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題2、利用導數(shù)證明不等式3、導數(shù)在生活實際問題中應用知識點一利用導數(shù)畫函數(shù)的圖象函數(shù)f(x)的圖象直觀地反映了函數(shù)f(x)的性質(zhì)．通常，按如下步驟畫出函數(shù)f(x)的大致圖象：(1)求出函數(shù)f(x)的eq\o(□,\s\up2(1))定義域；(2)求導數(shù)f′(x)及導函數(shù)f′(x)的eq\o(□,\s\up2(2))零點；(3)用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，并得出f(x)的單調(diào)性與極值；(4)確定f(x)的圖象所經(jīng)過的一些特殊點，以及圖象的eq\o(□,\s\up2(3))變化趨勢；(5)畫出f(x)的大致圖象．知識點二最優(yōu)化問題用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路eq\a\vs4\al()(1)在建立函數(shù)模型時，應根據(jù)實際問題確定出函數(shù)的定義域．(2)求實際問題的最大(小)值時，一定要從問題的實際意義去考查，不符合實際意義的應舍去，如：長度、寬度應大于0，銷售價為正數(shù)等．題型1、利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題1．若函數(shù)的零點的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】先求出定義域，再求導，得到函數(shù)單調(diào)性，并結(jié)合特殊值及零點存在性定理得到答案.【詳解】的定義域為R，且，當或時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，故函數(shù)的零點的個數(shù)為2.故選：C2．已知函數(shù)存在兩個零點，則實數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為有兩個不同的實數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)求解單調(diào)性即可求解最值.【詳解】存在兩個零點，則有兩個不同的實數(shù)根，當時，只有一個零點，不符合題意，故，即有兩個不同的實數(shù)根，記，當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，故當時，取極大值也是最大值，又當時，，如圖為的圖象要使有兩個不同的實數(shù)根，則，所以，故選：C3．函數(shù)與的圖像有且只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．或或【答案】C【分析】直線過定點，利用導數(shù)求切線斜率并結(jié)合圖象分析判斷.【詳解】∵過定點，且在上，又∵，則，∴在處的切線斜率為，結(jié)合圖象可得：當時，與的圖像有且只有一個公共點，則符合題意；當時，與的圖像有兩個公共點，則不符合題意；當時，與的圖像有且只有一個公共點，則符合題意；當時，與的圖像有兩個公共點，則不符合題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為或.故選：C.4．設函數(shù)，則（

）A．在區(qū)間，內(nèi)均有零點B．在區(qū)間，內(nèi)均無零點C．在區(qū)間內(nèi)有零點，在區(qū)間內(nèi)無零點D．在區(qū)間內(nèi)無零點，在區(qū)間內(nèi)有零點【答案】D【分析】先對函數(shù)進行求導，再根據(jù)導函數(shù)的正負情況判斷原函數(shù)的增減性可得答案．【詳解】解：由題得，令解得；令解得；所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在點處有極小值；又，，，即，，所以在區(qū)間內(nèi)無零點，在區(qū)間內(nèi)有零點.故選：D．5．已知定義在R上的函數(shù)，若函數(shù)恰有2個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】恰有兩個零點恰有一個實根（），利用導數(shù)判斷單調(diào)性求解．【詳解】，恰有兩個零點．恰有兩個零點恰有一個實根（）（是的一個零點，），，，當時，，此時，故在上單減，且結(jié)合圖形可得：故選：B．題型2、利用導數(shù)證明不等式6．已知函數(shù)在上可導且滿足，則下列不等式一定成立的為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，在時恒成立，所以在時單調(diào)遞增，所以，即，所以，故選:C.7．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先比較的值，然后構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)導數(shù)與單調(diào)性比較即可.【詳解】因為，所以，所以，設，則，令，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，所以，因為，所以，即，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，故選：D.8．若，則下列不等式恒成立的是A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于，當時，，而，所以A選項不正確；對于，當時，，所以B選項不正確；令，則，對恒成立，在上為增函數(shù)，所以的最小值為，所以，，故C正確；令，則，令，得.當時，，當時，.在時取得最小值，所以D不正確．故選：C考點定位：本題考查不等式恒成立問題，意在考查考生用構(gòu)造函數(shù)的方法，利用導數(shù)求最值來比較大小的能力9．設是定義在上的非負可導函數(shù)，且滿足，對任意正數(shù)，若，則必有A． B．C． D．【答案】A【分析】先構(gòu)造函數(shù)，再由導數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系解決.【詳解】解：是定義在上的非負可導函數(shù)，即，且滿足，故不為常數(shù)函數(shù)，令，則，在上單調(diào)遞減又，且非負，于是有：①，又，所以②，兩式相乘得：所以A選項是正確的.故選：A10．已知函數(shù)，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．當時，D．【答案】C【分析】對于A，構(gòu)造函數(shù)，通過導數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性進行判斷；對于B，構(gòu)造函數(shù)，通過導數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性進行判斷；對于D，通過導數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性進行判斷；對于C，結(jié)合選項A、D計算與0的大小關(guān)系即可.【詳解】對于A選項，因為令，在上是增函數(shù)，所以當時，，所以，即．故A錯誤；對于B選項，因為令，所以，所以時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減．所以與無法比較大?。蔅選項錯誤；對于D選項，，所以時，在單調(diào)遞減，時，在單調(diào)遞增，所以當時，，故成立，當時，，．故D錯誤；對于C選項，由D選項知，當時，在單調(diào)遞增，又由選項A得出成立所以,故C選項正確.故選：C．題型3、導數(shù)在生活實際問題中應用11．已知某幾何體由兩個有公共底面的圓錐組成，兩個圓錐的頂點分別為，，底面半徑為．若，則該幾何體的體積最大時，以為半徑的球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知該幾何體的體積為，令，求導得到當時取得最大值，從而利用球的體積公式即可求解.【詳解】由題意可知該幾何體的體積為，令，則，令，得（舍去），則時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，故當時，取得最大值，此時該幾何體的體積最大．則以2為半徑的球的體積為．故選：C．12．在一次勞動實踐課上，甲組同學準備將一根直徑為的圓木鋸成截面為矩形的梁.如圖，已知矩形的寬為，高為，且梁的抗彎強度，則當梁的抗彎強度最大時，矩形的寬的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】易得再求導分析的單調(diào)性與取最大值時的值即可【詳解】由題意，，故，故當時，，當時，，故當時取最大值.故選：D13．如圖，某長方體石膏的底面周長為8分米，高是長的兩倍（底面矩形的長大于寬），則該長方體石膏體積的最大值為（

）A．16立方分米 B．18立方分米 C．立方分米 D．立方分米【答案】C【分析】設底面矩形的長為x分米，可得該長方體石膏體積，利用導數(shù)求最值即得.【詳解】設底面矩形的長為x分米，則寬為分米，高為2x分米，該長方體石膏體積．∴，當時，；當時，．故（立方分米）．故選：C.14．如圖，要設計一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm．要使矩形廣告牌的面積最小，廣告牌的高與寬的尺寸比值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設廣告的高和寬分別為和，根據(jù)兩欄面積之和為，求得，得出廣告的面積，設，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，進而求得廣告牌的高與寬的尺寸比值.【詳解】設廣告的高和寬分別為cm2，cm2，則每欄的高和寬分別為cm2，cm2，其中，兩欄面積之和為，可得，廣告的面積，設則，令，解得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得極小值，即為的最小值，此時，所以廣告牌的高與寬的尺寸比值為.故選：A.15．某銀行準備新設一種定期存款業(yè)務，經(jīng)預算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為.已知貸款的利率為，且假設銀行吸收的存款能全部放貸出去.設存款利率為，，若使銀行獲得最大收益，則的取值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將銀行收益表示為關(guān)于的函數(shù)的形式，利用導數(shù)可確定最大值點，即所求的取值.【詳解】若存款利率為，則存款量是，銀行支付的利息是，獲得的貸款利息是，銀行的收益是，則，令得：或（舍去）.當時，；當時，.當時，取得最大值，即當存款利率為時，銀行獲得最大收益.故選：B.一、單選題1．函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，易知0是函數(shù)的零點，從而可求解.【詳解】記，函數(shù)的定義域為，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，所以函數(shù)的零點個數(shù)為.故選:B.2．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因為函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在恒成立.【詳解】,因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立.因為在上單調(diào)遞減，所以當時，，所以，則的取值范圍為.故選：B3．若不等式對任意實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，不等式對任意實數(shù)x都成立，只需，用導數(shù)法求出，即可求解.【詳解】,當時，，當時，，的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，所以取得極小值，也是最小值，，不等式對任意實數(shù)x都成立，所以.故選:D.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問題，意在考查邏輯推理、數(shù)學運算能力，屬于基礎題.4．若，則方程在上根的個數(shù)為()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】利用的導數(shù)討論單調(diào)性,結(jié)合零點的唯一性定理可求解.【詳解】設，則，因為，所以，所以當時，，則在上為減函數(shù)，又，所以在(0，2)上恰有1個根，即方程在上根的個數(shù)為1，故選:B.5．設函數(shù)，則的零點個數(shù)為A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【詳解】試題分析：單調(diào)遞增，，所以函數(shù)只有一個零點考點：函數(shù)零點6．關(guān)于的方程有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】已知方程有三個不同的實數(shù)解可轉(zhuǎn)化為的圖象與的圖象有三個點,根據(jù)導數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合可得參數(shù)范圍.【詳解】由已知方程有三個不同的實數(shù)解可轉(zhuǎn)化為的圖象與的圖象有三個點，設直線的圖象與相切于點，因為，所以，解得：，又函數(shù)在單調(diào)遞減，且，函數(shù)在增，且，所以函數(shù)與在所有且只有一個交點，要使的圖象與的圖象有三個交點，則需，即實數(shù)的取值范圍是，故選：D．7．設函數(shù)，則函數(shù)（

）A．在區(qū)間，內(nèi)均有一個零點B．在區(qū)間，內(nèi)均無零點C．在區(qū)間內(nèi)有一個零點，在區(qū)間內(nèi)無零點D．在區(qū)間內(nèi)無零點，在區(qū)間內(nèi)有一個零點【答案】D【分析】先確定函數(shù)單調(diào)性，然后利用零點存在定理判斷零點位置.【詳解】當時，函數(shù)圖象連續(xù)不斷，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.又所以函數(shù)有唯一的零點在區(qū)間內(nèi).故選：D8．丹麥數(shù)學家琴生是19世紀對數(shù)學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方向留下了很多寶貴的成果．設函數(shù)在上的導函數(shù)為在上的導函數(shù)記為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，已知在上為“凸函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求函數(shù)導數(shù)，結(jié)合導數(shù)不等式進行求解，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的最值即可．【詳解】由于，則，得，由于在上為“凸函數(shù)”，所以在上恒成立，即在上恒成立，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，于是，故.故選:

C二、多選題9．已知函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù)B．的單調(diào)遞增區(qū)間為C．的極小值為D．若關(guān)于的方程恰有3個不等的實根，則的取值范圍為【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，可判定A正確；由，求得其解集，可判定B不正確；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值的定義，可判定C正確；求得函數(shù)的極值，轉(zhuǎn)化為與的圖象有3個不同的交點，求得的取值范圍，可判定D正確.【詳解】由函數(shù)，可得，對于A中，由，定義域為關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以A正確；對于B中，由，解得或，即函數(shù)的遞增區(qū)間為，所以B不正確；對于C中，由，解得，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為，所以，當時，函數(shù)取得極小值，極小值為，所以C正確；對于D中，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以極大值為，極小值為，且時，；時，；又由關(guān)于的方程恰有3個不等的實根，即函數(shù)與的圖象有3個不同的交點，可得，所以實數(shù)的取值范圍為，所以D正確.故選：ACD.10．你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴一些？高二某研究小組針對飲料瓶的大小對飲料公司利潤的影響進行了研究，調(diào)查如下：某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑．已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分（不考慮瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm．下面結(jié)論正確的有（

）（注：；利潤可為負數(shù)）A．利潤隨著瓶子半徑的增大而增大 B．半徑為6cm時，利潤最大C．半徑為2cm時，利潤最小 D．半徑為3cm時，制造商不獲利【答案】BCD【分析】先根據(jù)條件及球的體積公式求出每瓶液體材料的利潤的解析式，再利用導數(shù)的性質(zhì)即可逐一判斷．【詳解】由已知，每個瓶子的利潤為，，則，所以當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，故A錯誤；又當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，則當時，函數(shù)取得最大值，故B正確；當時，函數(shù)取得最小值，故C正確；又，故D正確．故選：BCD．三、填空題11．若過點可以作三條直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】設切點，求導得斜率，利用點斜式求出直線方程，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為有三個不同的實數(shù)解，求導求最值即可得解.【詳解】設切點，由可得，切線的斜率為，所以切線的方程為.又因為點在切線上，所以，即有三個不同的實數(shù)解，不是方程的解，所以有三個不同的實數(shù)解.令，，當，時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，，所以時，且當趨于0時，趨于正無窮，當趨于正無窮時，趨于正無窮，且當趨于0時，趨于正無窮，當趨于負無窮時，趨于負無窮.所以.故答案為：12．用不等號“<”將，，按從小到大排序為.【答案】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得；利用導數(shù)證明不等式，進而可得，即可得出結(jié)果.【詳解】由