中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)培優(yōu)專練專題一 規(guī)律探究問題（原卷版）

專題一規(guī)律探究一、圖形規(guī)律探究題例題1（2021·山東青島·一模）相傳古印度一座梵塔圣殿中鑄有一片巨大的黃銅板，之上樹立了3根寶石柱，其中一根寶石柱上插有中心有孔的64個(gè)大小兩兩相異的1寸厚的金盤，小金盤壓著較大的金盤．如圖，把這些金盤全部一個(gè)一個(gè)地從1柱移動(dòng)到3柱上去，移動(dòng)過程中不允許大金盤壓小金盤，不得把金盤放到柱子之外．[問題提出]如果將這64個(gè)金盤按上述要求全部從1柱移動(dòng)到3柱，至少需要移動(dòng)多少次？設(shè)h（n）是把n個(gè)金盤從1柱移動(dòng)到3柱過程中的最少移動(dòng)次數(shù)．[問題探究]探究一：當(dāng)n＝1時(shí)，顯然h（1）＝1．探究二：當(dāng)n＝2時(shí)，如圖①．探究三：當(dāng)n＝3時(shí)，如圖②．(1)探究四：當(dāng)n＝4時(shí)，先用h（3）的方法把較小的3個(gè)金盤移動(dòng)到2柱，再將最大金盤移動(dòng)到3柱，最后再用h（3）的方法把較小的3個(gè)金盤從2柱移動(dòng)到3柱，完成，即h（4）＝（直接寫出結(jié)果）．…(2)[初級(jí)模型]若將x個(gè)金盤按要求全部從1柱移動(dòng)到3柱，至少需要移動(dòng)a次；將（x+1）個(gè)金盤按要求全部從1柱移動(dòng)到3柱，至少需要移動(dòng)次（用含a的代數(shù)式表示）．(3)[自主探究]仿照“問題探究”中的方法，將6個(gè)金盤按要求全部從1柱移動(dòng)到3柱，至少需要多少次？（寫出必要的計(jì)算過程．）(4)[最終模型]綜合收集到的數(shù)據(jù)探索規(guī)律可知：將64個(gè)金盤按上述要求全部從1柱移動(dòng)到3柱，至少需要移動(dòng)次．(5)[問題變式]若在原來?xiàng)l件的基礎(chǔ)上，再添加1個(gè)條件：每次只能將金盤向相鄰的柱子移動(dòng)（即：2柱的金盤可以移動(dòng)到1柱或3柱，但1柱或3柱的金盤只能移動(dòng)到2柱），則移動(dòng)完64個(gè)金盤至少需要移動(dòng)次．練習(xí)題1．（2021·山東蒙陰·三模）下列圖形是由同樣大小的圍棋棋子按照一定規(guī)律擺成的“山”字，其中第①個(gè)“山”字中有7顆棋子，第②個(gè)“山”字中有12顆棋子，第③個(gè)“山”字中有17顆棋子，…，按照此規(guī)律，第⑥個(gè)“山”字中棋子顆數(shù)為（

）顆．A．32 B．37 C．22 D．422．（2021·重慶十八中模擬預(yù)測(cè)）下列圖形都是由同樣大小的黑點(diǎn)按一定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)黑點(diǎn)，第②個(gè)圖形中一共有8個(gè)黑點(diǎn)，……，則第⑧個(gè)圖形中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．29 B．38 C．48 D．593．（2022·重慶·一模）如圖，第①個(gè)圖形中共有4個(gè)小黑點(diǎn)，第②個(gè)圖形中共有7個(gè)小黑點(diǎn)，第③個(gè)圖形中共有10個(gè)小黑點(diǎn)，第④個(gè)圖形中共有13個(gè)小黑點(diǎn)，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個(gè)圖形中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．19 B．20 C．22 D．254．（2021·山東省日照市實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，將△ABC沿著過BC，AB的中點(diǎn)D，E所在的直線折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的B1處，稱為第一次操作，點(diǎn)D到AC的距離為h1；還原紙片后，再將△BDE沿著過BD，BE的中點(diǎn)D1，E1所在的直線折疊，使點(diǎn)B落在DE邊上的B2處，稱為第二次操作，點(diǎn)D1到AC的距離記為h2；按上述方法不斷操作下去，…，經(jīng)過第n次操作后得到點(diǎn)Dn﹣1到AC的距離記為hn．若h1＝1，則hn值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2021·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）如圖：上述圖形是由同樣大小的棋子按照一定規(guī)律排列而成的，其中圖1中有5個(gè)棋子，圖2中有10個(gè)棋子，圖3中有16個(gè)棋子，…，則圖4中有_________個(gè)棋子．6．（2021·河南武陟·一模）如圖，某圖書閱覽室擺放桌椅如下：按此規(guī)律擺放，2n+1（n是不小于4的自然數(shù)）人需要________張桌子．7．（2021·內(nèi)蒙古東勝·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0將SKIPIF1<0繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0﹔將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)SKIPIF1<0…按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直至得到點(diǎn)SKIPIF1<0為止，則SKIPIF1<0_________．8．（2021·山東博山·二模）德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾引入位于一條線段上的一些點(diǎn)的集合，做如下：取一條長(zhǎng)度為1的線段三等分后，去掉中間段，余下兩條線段，達(dá)到第1階段；將剩下的兩條線段分別三等分后，各去掉中間段，余下四條線段，達(dá)到第2階段；再將剩下四條線段分別等三等分后，各去掉中間段，余下八條線段，達(dá)到第3階段；…，一直如此操作下去，在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數(shù)目越來越多．如圖是最初幾個(gè)階段，當(dāng)達(dá)到第n個(gè)階段時(shí)（n為正整數(shù)），去掉的線段的長(zhǎng)度之和為_____．（用含n的式子表示）9．（2021·臺(tái)灣·模擬預(yù)測(cè)）凱特平時(shí)常用底面為矩形的模具制作蛋糕，并以平行于模具任一邊的方式進(jìn)行橫切或縱切，橫切都是從模具的左邊切割到模具的右邊，縱切都是從模具的上邊切割到模具的下邊SKIPIF1<0用這種方式，可以切出數(shù)個(gè)大小完全相同的小塊蛋糕SKIPIF1<0在切割后，他發(fā)現(xiàn)小塊蛋糕接觸模具的地方外皮比較焦脆，以如圖為例，橫切2刀，縱切3刀，共計(jì)5刀，切出SKIPIF1<0個(gè)小塊蛋糕，其中側(cè)面有焦脆的小塊蛋糕共有10個(gè)，所有側(cè)面都不焦脆的小塊蛋糕共有2個(gè)．請(qǐng)根據(jù)上述切割方式，回答下列問題，并詳細(xì)解釋或完整寫出你的解題過程：（1）若對(duì)一塊蛋糕切了4刀，則可切出幾個(gè)小塊蛋糕？請(qǐng)寫出任意一種可能的蛋糕塊數(shù)即可．（2）今凱特根據(jù)一場(chǎng)聚餐的需求，打算制作出恰好60個(gè)所有側(cè)面都不焦脆的小塊蛋糕，為了避免勞累并加快出餐速度，在不超過20刀的情況下，請(qǐng)問凱特需要切幾刀，才可以達(dá)成需求？請(qǐng)寫出所有可能的情形．10．（2022·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）問題提出：如圖1，在SKIPIF1<0個(gè)小正方體組成的長(zhǎng)方體中，最多能看到多少個(gè)小正方體？研究思路：直接研究這個(gè)問題較為復(fù)雜，我們可以將問題轉(zhuǎn)化為用小正方體總數(shù)減去看不到的小正方體個(gè)數(shù)，以求得最多能看到的小正方體的個(gè)數(shù)．探究一：如圖2，在SKIPIF1<0的正方體中，有SKIPIF1<0個(gè)小正方體看不到，所以最多能看到SKIPIF1<0個(gè)小正方體．探究二：在SKIPIF1<0的正方體中，有SKIPIF1<0個(gè)小正方體看不到，所以最多能看到SKIPIF1<0個(gè)小正方體．(1)探究三：在SKIPIF1<0的正方體中，有SKIPIF1<0個(gè)小正方體看不到，所以最多能看到個(gè)小正方體．(2)探究四：在SKIPIF1<0的正方體中，有個(gè)小正方體看不到，所以最多能看到個(gè)小正方體．（均化為最簡(jiǎn)形式）(3)問題解決：如圖3，小明是魔方愛好者，他有一個(gè)七階魔方（SKIPIF1<0的正方體），則他最多能看到個(gè)小正方體．(4)問題應(yīng)用：若在SKIPIF1<0的正方體中最多能看到217個(gè)小正方體，求n的值．（寫出解答過程）(5)探究五：在SKIPIF1<0的長(zhǎng)方體中，有SKIPIF1<0個(gè)小正方體看不到，所以最多能看到個(gè)小正方體．(6)探究六：在SKIPIF1<0的長(zhǎng)方體中，最多能看到個(gè)小正方體．（化為最簡(jiǎn)形式）(7)拓展延伸：小明在研究SKIPIF1<0的長(zhǎng)方體時(shí)，他最多能看到a個(gè)小正方體，此時(shí)他看不到12個(gè)小正方體，則a有種可能取值，a的最小值是．11．（2021·山東青島·三模）【問題提出】每對(duì)小兔子在出生后1個(gè)月就長(zhǎng)成大兔子，而每對(duì)大兔子每個(gè)月能生出1對(duì)小兔子來，如果1個(gè)人在1月份買了1對(duì)小兔子，假設(shè)每對(duì)兔子均可成活，且具有繁殖能力，那么理論上12月份的時(shí)候他共有多少對(duì)兔子？(1)【問題探究】1月份，有1對(duì)小兔子；2月份，長(zhǎng)成大兔子，所以還是1對(duì)；3月份，大兔子生下1對(duì)小兔子，所以共有2對(duì)；4月份，剛生下的小兔子長(zhǎng)成大兔子，而原來的大兔子又生下1對(duì)小兔子，共3對(duì)；…依此類推，請(qǐng)?zhí)钕卤恚涸路?月份2月份3月份4月份5月份6月份7月份…12月份兔子對(duì)數(shù)1123…(2)【類比應(yīng)用】樹木生長(zhǎng)的過程中，新生的枝條往往需要一段“休息”時(shí)間供自身生長(zhǎng)，而后才能萌發(fā)新枝．一棵苗在1年后長(zhǎng)出1條新枝，第2年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)新枝；此后，老枝與“休息”過1年的同時(shí)萌發(fā)新枝，當(dāng)年生的新枝則依次“休息”，這在生物學(xué)上稱為“魯?shù)戮S格定律”．那么，10年后樹上有條樹枝．(3)【綜合應(yīng)用】如圖①，一只蜜蜂從A處出發(fā)，回到家里B處，每次只能從一個(gè)蜂房爬向右側(cè)鄰近的蜂房而不準(zhǔn)逆行，共有種回家的方法；(4)如圖②，在正五邊形ABCDE上，一只青蛙從點(diǎn)A開始跳動(dòng)，每次可以隨意跳到相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)上，跳到點(diǎn)D上就停止跳動(dòng)．青蛙在6次之內(nèi)（含6次）跳到點(diǎn)D有種不同的跳法．二、數(shù)字規(guī)律探究題例題2（2021·山東·青島經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第四中學(xué)一模）閱讀下面的材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，排在第一位的數(shù)稱為第一項(xiàng)，記為SKIPIF1<0，排在第二位的數(shù)稱為第二項(xiàng)，記為SKIPIF1<0，依次類推，排在第SKIPIF1<0位的數(shù)稱為第SKIPIF1<0項(xiàng)，記為SKIPIF1<0．所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用SKIPIF1<0表示．如：數(shù)列SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…為等差數(shù)列，其中SKIPIF1<0,公差SKIPIF1<0．根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)等差數(shù)列SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…的公差SKIPIF1<0為________，第SKIPIF1<0項(xiàng)是________．(2)如果一個(gè)數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且公差為SKIPIF1<0，那么根據(jù)定義可得到：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由此，請(qǐng)你填空完成等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：SKIPIF1<0（_____）d．(3)SKIPIF1<0是不是等差數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？練習(xí)題1．（2021·山東濟(jì)寧·中考真題）按規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，□，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，其中□內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·湖北十堰·中考真題）將從1開始的連續(xù)奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，例如，位于第4行第3列的數(shù)為27，則位于第32行第13列的數(shù)是（

）A．2025 B．2023 C．2021 D．20193．（2021·山東沂水·一模）觀察下列兩行數(shù)：0，2，4，6，8，10，12，14，16，…0，3，6，9，12，15，18，21，24，…探究發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)相同的數(shù)是0，第2個(gè)相同的數(shù)是6，…，若第n個(gè)相同的數(shù)是102，則n等于()A．18 B．19 C．20 D．214．（2022·湖北房縣·模擬預(yù)測(cè)）按一定規(guī)律排列的多項(xiàng)式：SKIPIF1<0，…，根據(jù)上述規(guī)律，則第2022個(gè)多項(xiàng)式是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2020·河北灤州·模擬預(yù)測(cè)）古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．從圖7中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和．下列等式中，符合這一規(guī)律的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，小明在3×3的方格紙上寫了九個(gè)式子（其中的n是正整數(shù)），每行的三個(gè)式子的和自上而下分別記為A1，A2，A3，每列的三個(gè)式子的和自左至右分別記為B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（

）A．A1 B．B1 C．A2 D．B37．（2021·湖北鶴峰·模擬預(yù)測(cè)）觀察下列一組數(shù)的排列規(guī)律：SKIPIF1<0那么這一組數(shù)的第2021個(gè)數(shù)__．8．（2021·山東費(fèi)縣·二模）在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們總會(huì)對(duì)其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)一種特殊的自然數(shù)---“好數(shù)”．定義：對(duì)于三位自然數(shù)n，各位數(shù)字都不為0，且百位數(shù)字與十位數(shù)字之和恰好能被個(gè)位數(shù)字整除，則稱這個(gè)自然數(shù)為“好數(shù)”，如426是“好數(shù)”，因?yàn)?，2，6都不為0，且4+2=6，6能被6整除；643不是“好數(shù)”，因?yàn)?+4=10，10不能被3整除，問百位數(shù)字比十位數(shù)字大5的所有“好數(shù)”有__________個(gè)．9．（2021·安徽·二模）觀察下列各個(gè)等式：第1個(gè)等式：SKIPIF1<0÷SKIPIF1<0－0=1；第2個(gè)等式：SKIPIF1<0÷SKIPIF1<0－1=SKIPIF1<0；第3個(gè)等式：SKIPIF1<0÷SKIPIF1<0－2=SKIPIF1<0；……請(qǐng)用上述等式反映出的規(guī)律解決下列問題：（1）直接寫出第5個(gè)等式；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的代數(shù)式表示），并證明你的猜想．10．（2021·重慶市永川區(qū)教育科學(xué)研究所一模）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”，否則稱這個(gè)正整數(shù)為“非智慧數(shù)”．例如：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；，等等．因此3，5，8，，都是“智慧數(shù)”；而1，2，4，，都是“非智慧數(shù)”．對(duì)于“智慧數(shù)”，有如下結(jié)論：①設(shè)SKIPIF1<0為正整數(shù)（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0．∴除1以外，所有的奇數(shù)都是“智慧數(shù)”；②設(shè)SKIPIF1<0為正整數(shù)（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0=．∴都是“智慧數(shù)”．(1)補(bǔ)全結(jié)論②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧數(shù)”；(2)求出從1開始的正整數(shù)中從小到大排列的第103個(gè)“智慧數(shù)”．11．（2021·山東禹城·二模）閱讀下面的材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．排在第一位的數(shù)稱為第一項(xiàng)，記為SKIPIF1<0，排在第二位的數(shù)稱為第二項(xiàng)，記為SKIPIF1<0，依次類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項(xiàng)，記為SKIPIF1<0．所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：SKIPIF1<0．一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示．如：數(shù)列1，3，5，7，…為等差數(shù)列，其中SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）等差數(shù)列5，10，15，…的公差d為__________，第5項(xiàng)是__________．（2）如果一個(gè)數(shù)列SKIPIF1<0，是等差數(shù)列，且公差為d，那么根據(jù)定義可得到：SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……由此，請(qǐng)你填空完成等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0是不是等差數(shù)列SKIPIF1<0的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？（4）如果一個(gè)數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且公差為d，前n項(xiàng)的和記為SKIPIF1<0，請(qǐng)用含SKIPIF1<0，n，d的代數(shù)式表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0_________．三、與代數(shù)計(jì)算有關(guān)的規(guī)律探究題例題3（2021·山東·利津縣第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）探索發(fā)現(xiàn)：SKIPIF1<0＝1－SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：（1）SKIPIF1<0＝__________；SKIPIF1<0＝__________；（2）利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋···＋SKIPIF1<0（3）利用以上規(guī)律解方程：SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋···＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0練習(xí)題1．（2021·湖北鄂州·中考真題）已知SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)﹐規(guī)定運(yùn)算：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0．按上述方法計(jì)算：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·浙江余杭·一模）a是不為2的有理數(shù)，我們把SKIPIF1<0稱為a的“哈利數(shù)”．如：3的“哈利數(shù)”是SKIPIF1<0＝﹣2，﹣2的“哈利數(shù)”是SKIPIF1<0，已知a1＝3，a2是a1的“哈利數(shù)”，a3是a2的“哈利數(shù)”，a4是a3的“哈利數(shù)”，…，依此類推，則a2019＝（

）A．3 B．﹣2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2020·廣西賀州·中考真題）我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，1，2，3，…）展開式系數(shù)的規(guī)律：以上系數(shù)三角表稱為“楊輝三角”，根據(jù)上述規(guī)律，SKIPIF1<0展開式的系數(shù)和是（

）A．64 B．128 C．256 D．6124．（2021·山東陽(yáng)谷·一模）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝用“三角形”解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個(gè)“三角形”給出了SKIPIF1<0的展開式的系數(shù)規(guī)律（按SKIPIF1<0的次數(shù)由大到小的順序）1

1

SKIPIF1<01

2

1

SKIPIF1<01

3

3

1

SKIPIF1<01

4

6

4

1

SKIPIF1<0…

…

請(qǐng)依據(jù)上述規(guī)律，寫出SKIPIF1<0展開式中含SKIPIF1<0項(xiàng)的系數(shù)是（

）A．-2021 B．2021 C．4042 D．-40425．（2021·湖北·華中科技大學(xué)附屬中學(xué)一模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀(jì)）所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和SKIPIF1<0的展開式的各項(xiàng)系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”．根據(jù)“楊輝三角”設(shè)SKIPIF1<0的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2020·湖南邵東·三模）a是不為1的有理數(shù)，我們把SKIPIF1<0稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為SKIPIF1<0，-1的差倒數(shù)為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0＝5，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0差倒數(shù)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0差倒數(shù)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0差倒數(shù)，以此類推…，SKIPIF1<0的值是_____．7．（2021·四川眉山·中考真題）觀察下列等式：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；……根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算SKIPIF1<0______．8．（2020·山東魚臺(tái)·一模）計(jì)算下列各式的值：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．觀察所得結(jié)果，總結(jié)存在的規(guī)律，應(yīng)用得到的規(guī)律可得SKIPIF1<0=_____________．9．（2021·河北新華·一模）嘉琪通過計(jì)算和化簡(jiǎn)下列兩式，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫助嘉琪完成這一過程．（1）計(jì)算：SKIPIF1<0；（2）化簡(jiǎn)：SKIPIF1<0；（3）請(qǐng)寫出嘉琪發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．10．（2021·安徽包河·一模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：SKIPIF1<0；第2個(gè)等式：SKIPIF1<0；第3個(gè)等式：SKIPIF1<0；第4個(gè)等式：SKIPIF1<0；…根據(jù)你觀察到的規(guī)律，解決下列問題：（1）請(qǐng)寫出第5個(gè)等式：_____________________；（2）請(qǐng)寫出第SKIPIF1<0個(gè)等式：___________________________（用含SKIPIF1<0的等式表示），并證明．四、圖形變換規(guī)律探究題例題4（2020·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸重合，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸的正半軸上，已知，正六邊形的邊長(zhǎng)為1，沿SKIPIF1<0軸向右無滑動(dòng)滾動(dòng)，當(dāng)邊SKIPIF1<0落到SKIPIF1<0軸上時(shí)，我們記為一次滾動(dòng)完成，此時(shí)正六邊形記為SKIPIF1<0，請(qǐng)回答：（1）點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為__________；（2）當(dāng)正六邊形滾動(dòng)2020次后，點(diǎn)SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)過的軌跡長(zhǎng)__________．練習(xí)題1．（2021·江蘇·靖江外國(guó)語學(xué)校一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中放置一個(gè)邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方形ABCD，將正方形ABCD沿x軸的正方向無滑動(dòng)的在x軸上滾動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A第三次回到x軸上時(shí)，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路線與x軸圍成的圖形的面積和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）第一次：將點(diǎn)SKIPIF1<0繞原點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0；第二次：作點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0；第三次：將點(diǎn)SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0；第四次：作點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0…，按照這樣的規(guī)律，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2020·山東寧津·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（a,b）繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°為一次變換，第2020次變換后得點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（

）A．（a,b） B．（-a,-b） C．（b,-a） D．（b,-a）4．（2022·山東陵城·九年級(jí)期末）如圖，直線SKIPIF1<0與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)B作SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)SKIPIF1<0落在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，則k的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．65．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，正方形SKIPIF1<0的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得點(diǎn)SKIPIF1<0，……，重復(fù)操作依次得到點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，則點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將半徑為2cm，圓心角為36°的扇形紙片AOB，在射線MN的方向上作無滑動(dòng)的滾動(dòng)至扇形A′O′B′處，則圓心O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為_____cm．7．（2021·河北·邯鄲市第二十三中學(xué)九年級(jí)期中）如圖1，將一個(gè)正三角形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，所得圖形與原圖的重疊部分是正六邊形；如圖2，將一個(gè)正方形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)45°，所得圖形與原圖形的重疊部分是正八邊形；依此規(guī)律，將一個(gè)正七邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)______SKIPIF1<0，所得圖形與原圖的重疊部分是正多邊形．在圖2中，若正方形的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則所得正八邊形的面積為_______．8．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，將線段SKIPIF1<0按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為SKIPIF1<0的SKIPIF1<0倍，得到線段SKIPIF1<0；又將線段SKIPIF1<0按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為SKIPIF1<0的SKIPIF1<0倍，得到線段SKIPIF1<0．．．．．．如此下去，得到線段SKIPIF1<0為正整數(shù))，則點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為__________________．9．（2021·廣東乳源·三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜邊都在坐標(biāo)軸上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°．若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(3,0)，OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4，…則依此規(guī)律，點(diǎn)A2021的坐標(biāo)為______．10．（2020·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動(dòng)并且按一定規(guī)律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形．第一次滾動(dòng)后點(diǎn)A1（0，2）變換到點(diǎn)A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滾動(dòng)后點(diǎn)A2變換到點(diǎn)A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滾動(dòng)后點(diǎn)A3變換到點(diǎn)A4（10，4SKIPIF1<0），得到等腰直角三角形④；第四次滾動(dòng)后點(diǎn)A4變換到點(diǎn)A5（10+12SKIPIF1<0，0），得到等腰直角三角形⑤；依此規(guī)律…，則第2020個(gè)等腰直角三角形的面積是_____．11．（2021·廣西·南寧三中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直線l上，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到①，可得到點(diǎn)P1，此時(shí)AP1＝2；將位置①的三角形繞點(diǎn)P1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點(diǎn)P2，此時(shí)AP2＝2+SKIPIF1<0；將位置②的三角形繞點(diǎn)P2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點(diǎn)P3，此時(shí)AP3＝3+SKIPIF1<0；…按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直到點(diǎn)P2020為止，則AP2020等于_______．五、函數(shù)規(guī)律探究題例題5（2021·山東·寧津縣教育和體育局教育科學(xué)研究所二模）如圖所示，在x軸的正半軸上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5…，過A1、A2、A3、A4、A5…分別作x軸的垂線與反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象交于點(diǎn)P1、P2、P3、P4、P5…，并設(shè)△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面積分別為S1、S2、S3…，按此作法進(jìn)行下去，則S2021的值為____．練習(xí)題1．（2021·山東莘縣·三模）如圖，直線l：y＝x+1交y軸于點(diǎn)A1，在x軸正方向上取點(diǎn)B1，使OB1＝OA1；過點(diǎn)B1，作A2B1⊥x軸，交l于點(diǎn)A2，在x軸正方向上取點(diǎn)B2，使B1B2＝B1A2；過點(diǎn)B2作A3B2⊥x軸，交l于點(diǎn)A3，在x軸正方向上取點(diǎn)B3使B2B3＝B2A3；…記△OA1B1面積為S1，△B1A2B2面積為S2，△B2A3B3面積為S3，…則S2021等于（）A．24039 B．24038 C．24037 D．240362．（2021·山東濟(jì)南·中考真題）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0，若滿足SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則稱點(diǎn)SKIPIF1<0是點(diǎn)SKIPIF1<0的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)SKIPIF1<0的限變點(diǎn)是SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0的限變點(diǎn)是SKIPIF1<0．若點(diǎn)SKIPIF1<0在二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，其限變點(diǎn)SKIPIF1<0的縱坐標(biāo)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2021·江蘇豐縣·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝SKIPIF1<0x﹣SKIPIF1<0與x軸交于點(diǎn)B1，以O(shè)B1為一邊在OB1上方作等邊△A1OB1，過點(diǎn)A1作A1B2平行于x軸，交直線l于點(diǎn)B2，以A1B2為一邊在A1B2上方作等邊△A2A1B2，過點(diǎn)A2作A2B3平行于x軸，交直線l于點(diǎn)B3，以A2B3為一邊在A2B3上方作等邊△A3A2B3，…，則A2020的橫坐標(biāo)是_____．4．（2021·廣東潮南·一模）如圖，直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸，與直線SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，以原點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0長(zhǎng)為半徑畫圓弧交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0；再作SKIPIF1<0軸，交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，以原點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0長(zhǎng)為半徑畫圓弧交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為__．5．（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…分別在直線SKIPIF1<0和x軸上．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……都是等腰直角三角形，如果點(diǎn)SKIPIF1<0，那么b的值是________；SKIPIF1<0的縱坐標(biāo)是________．6．（2021·山東牡丹·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0交y軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸的正半軸上，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，依次均為等腰直角三角形，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)是______．7．（2021·四川廣安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0軸，垂足為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到SKIPIF1<0的位置，使點(diǎn)SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)SKIPIF1<0落在直線SKIPIF1<0上，再將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到SKIPIF1<0的位置，使點(diǎn)SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)SKIPIF1<0也落在直線SKIPIF1<0上，以此進(jìn)行下去……若點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的縱坐標(biāo)為______．8．（2021·江蘇邳州·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線SKIPIF1<0為正比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖像，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為(1，0)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為邊作正方形SKIPIF1<0；過點(diǎn)SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為邊作正方形SKIPIF1<0；過點(diǎn)SKIPIF1<0