陜西省西安市鄠邑區(qū)2024屆高三上學期期末數(shù)學（文）試題（含答案解析）

高三年級教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學（文科）考生注意：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.2.請將各題答案填寫在答題卡上.3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.第I卷一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合交集的概念直接求解即可.【詳解】因為集合，，所以，故選：B2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算直接計算即可.【詳解】由題意得，故選：C3.拋物線的準線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意將拋物線化為標準式，即可求出拋物線的準線；【詳解】解：因為拋物線方程為，即，所以，即，所以拋物線的準線為故選：C4.跑步是一項健康的運動，可以讓我們的身體更加強壯.某跑步愛好者堅持每天跑步，如圖，這是該跑步愛好者某周跑步時長的折線圖.該跑步愛好者這周跑步時長的中位數(shù)是（）A.25 B.35 C.37.5 D.39【答案】B【解析】【分析】直接由中位數(shù)的定義求解即可.【詳解】將該跑步愛好者這周的跑步時長按從小到大的順序排列為，則該跑步愛好者這周跑步時長的中位數(shù)是35.故選：B.5.某企業(yè)舉辦職工技能大賽，經(jīng)過層層選拔，最終進入決賽.假設(shè)這3名職工的水平相當，則沒有獲得這次職工技能大賽第一名的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接列舉法求古典概型概率即可得解.【詳解】由題意可知最終的排名情況有，共6種，其中符合條件的情況有，共4種，故所求概率.故選：B.6.已知函數(shù)，若，則（）A. B.1 C.-5 D.5【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，證明其為偶函數(shù)，據(jù)此可得解.【詳解】設(shè)，則，所以，即，所以.因為，所以.故選：A7.設(shè)數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，公比為，前項和為.若，則（）A.31 B.32 C.63 D.64【答案】A【解析】【分析】由等比數(shù)列基本量的計算結(jié)合已知得首項、公比，從而由等比數(shù)列求和公式運算即可得解.【詳解】由題意可得，整理得，解得或，而，且數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以不符合題意，所以，則1，故.故選：A.8.如圖，在長方體中，，異面直線與所成的的余弦值為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為平面角，再用解三角形的方法求解.【詳解】連接，交于點，取的中點，連接.因為，所以與所成角為（或其補角）.令，在中，由，得.又，，由余弦定理得，即，解得，所以.故選：C9.已知函數(shù)，對任意的，關(guān)于的方程有兩個不同實根，則整數(shù)的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件化為，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導判斷函數(shù)的單調(diào)性，得到存在使得，即，因為方程有兩個不同實根，則，求出且為整數(shù)即可得.【詳解】由，即，得，設(shè)，則，顯然是上的增函數(shù).因為，所以存在，使得，即；當時，，當時，0，則；令，則，當時，，在上單調(diào)遞減，因為，所以，則，又為整數(shù)，所以.故選：A10.已知為第一象限角，若函數(shù)的最大值是，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等變換整理得，結(jié)合最值可得，解得，，代入即可得結(jié)果.詳解】由題意可得：，則，解得，且為第一象限角，則，故.故選：D.11.已知是邊長為8的正三角形，是的中點，沿將折起使得二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合球的截面圓性質(zhì)確定球心位置，再求出球半徑即得.【詳解】在三棱錐中，平面，由二面角為，，得是正三角形，令其外接圓圓心為，則，令三棱錐外接球球心為，球半徑為，則平面，即有，顯然球心在線段的中垂面上，令線段的中垂面交于，則，顯然，于是，四邊形是平行四邊形，且是矩形，而，因此，所以三棱錐外接球的表面積.故選：C12.已知雙曲線左頂點為是雙曲線的右焦點，點在直線上，且的最大值是，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩角差的正切公式表示，結(jié)合基本不等式求出最大值，解方程求出離心率.【詳解】如圖，直線與軸交于點，設(shè)，則.因為，所以,.因為，當且僅當時，等號成立，所以，整理得，則，解得.故選：B.【點睛】方法點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范圍）．第II卷二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知實數(shù)滿足則的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】畫出可行域，明確可行域頂點的坐標，觀察目標函數(shù)，可得目標函數(shù)的最小值.【詳解】畫出可行域如圖：且，，由，故表示斜率為的直線在軸上的截距，所以當直線經(jīng)過時，取得最大值，所以取得最小值，最小值為.故答案為：14.設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，若，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)前n項和公式求得，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得即可.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得，則，又.故答案為：15.在中，在上，且，在上，且.若，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知條件先確定，，再根據(jù)平面向量基本定理，把向量與向量作為一組基底表示出向量即可.【詳解】因為，所以，因為，所以，因為，所以，則，因為，所以，則.故答案為：16.已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)草圖，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，判斷根之間的關(guān)系.【詳解】如圖，做出函數(shù)的圖象，設(shè)，則，不妨設(shè)：.則，，從而.因為，且，所以，所以，則.故答案為：【點睛】方法點睛：采用數(shù)形結(jié)合的方法是解決問題的常用方法.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在中，內(nèi)角的對邊分別是，且.（1）求的值；（2）若的周長為18，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解;（2）由余弦定理解方程得邊長，再利用面積公式求解.【小問1詳解】因為，，所以因為，所以，則.【小問2詳解】因為，所以.因為，所以，解得.因為的周長為18，所以，解得，則.故的面積為.18.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將20只小鼠均分為兩組：對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）.測得20只小鼠體重（單位：）如下：對照組：實驗組：對照組和實驗組的小鼠體重的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和.（1）求；（2）判斷該藥物對小鼠的生長是否有顯著的抑制作用（若，則認為該藥物對小鼠的生長有顯著的抑制作用，否則不認為有顯著的抑制作用）.【答案】18.20.3；20；0.04；0.03619.該藥物對小鼠的生長沒有顯著的抑制作用.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由平均數(shù)與方差的計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由公式代入計算，即可判斷.【小問1詳解】，【小問2詳解】依題意，，，所以該藥物對小鼠的生長沒有顯著的抑制作用.19.如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長為4的等邊三角形，為圓弧的兩個三等分點，是的中點.（1）證明：平面.（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）利用平行四邊形對邊平行可得，再由線面平行判定定理求證；（2）利用等體積法求點面距離即可得解.【小問1詳解】證明：取的中點，連接.因為為圓弧的兩個三等分點，所以.因為分別為的中點，所以，則，從而四邊形為平行四邊形，故.因為平面平面，所以平面.【小問2詳解】作，垂足為，連接.由平面，平面，所以，又平面，所以平面.因為為圓弧的兩個三等分點，所以，則.因為是邊長為4的等邊三角形，所以.因為是的中點，所以，則三棱錐的體積.因為，所以，則.設(shè)點到平面的距離為，則三棱錐的體積.因為，所以，解得，即點到平面的距離為.20.已知橢圓的離心率是，點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程.（2）直線與橢圓交于（異于點）兩點，記直線的斜率分別為，且，試問直線是否恒過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由.【答案】（1）（2）直線過定點【解析】【分析】（1）利用點和橢圓離心率公式，結(jié)合橢圓的性質(zhì)列方程組求解即可；（2）按直線的斜率為和不為分類討論，當斜率不為時，設(shè)直線，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理得到的表達式即可求解.【小問1詳解】由題意可得，解得，，，則橢圓的標準方程為.【小問2詳解】當直線的斜率為時，設(shè)，因為，則，從而，因為在橢圓上，所以，所以，則，不符合題意;當直線的斜率不為0時，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，由題意可知，則，因為，所以，則，因為，所以，所以，將代入上式，得，則，整理得，即，因為，所以，故直線過定點.【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交（過定點、定值）問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點為；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于或的一元二次方程；（3）寫出韋達定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達定理求解.21.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：.【答案】21.22.證明見解析【解析】【分析】（1）先求切點坐標，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義確定切線的斜率，可得切線方程；（2）先把不等式，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，，在上，求的最小值大于的最大值即可.【小問1詳解】，則，因為，所以曲線在點處的切線方程為，即【小問2詳解】證明：的定義域為，要證明，只需證.設(shè)函數(shù)，則.當時，；當時，.所以.設(shè)函數(shù)，則，所以恒成立，從而，故（二）選考題：共10分.請考生從第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個題目計分.[選修坐標系與參數(shù)方程]（10分）22.在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程是.（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標方程；（2）是圓上的動點，求點到直線的距離的最大值.【答案】（1），（2）5【解析】【分析】（1）消參可得到直線普通方程，根據(jù)極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化公式得圓的直角坐標方程；（2）根據(jù)點到直線距離公式求解.【小問1詳解】由（為參數(shù)），得，即，則直線的普通方程為.由，得，即，則圓的直角坐標方程為.【小問2詳解】由（1）可知圓的圓心坐標為，半徑為2，則圓心到直線的距離，故點到直線的距離