陜西省西安市周至縣2024屆高三一模數(shù)學（文）試題（含答案解析）

周至縣2023~2024學年度高考第一次模擬考試數(shù)學（文科）試題注意事項：1.本試卷共4頁，答題時間120分鐘.2.答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無數(shù).4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用并集的定義求解即得.【詳解】集合，，所以.故選：D2.若，則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則求得復數(shù)，繼而求得共軛復數(shù)對應的點，即可判定.【詳解】因為，所以，則，其對應的點為，在第四象限，故選：D.3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再由函數(shù)在上的取值情況判斷即可.【分析】函數(shù)則，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關于原點對稱，故排除C、D；當時，，所以，則，故排除B.故選：A4.記為等差數(shù)列的前項和，，則（）A.24 B.42 C.64 D.84【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式結合等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知，即可求得的值.【詳解】因為為等差數(shù)列的前項和，所以，若，則，所以.故選：B.5.已知甲、乙兩人進行籃球罰球訓練，每人練習10組，每組罰球40個，每組命中個數(shù)的莖葉圖如圖所示，則下列結論錯誤的是（）A.甲命中個數(shù)的極差為29 B.乙命中個數(shù)的眾數(shù)是21C.甲的命中率比乙高 D.甲每組命中個數(shù)的中位數(shù)是25【答案】D【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖及中位數(shù)、眾數(shù)、極差的定義計算一一判定選項即可.【詳解】根據(jù)莖葉圖可知甲命中最多37，最少8，即極差為29，故A正確；顯然乙命中個數(shù)的眾數(shù)為21，出現(xiàn)兩次，故B正確；甲命中共214個，乙命中共169個，所以甲命中率高，故C正確；甲命中的個數(shù)中位數(shù)為，故D錯誤.故選：D6.過點的圓C與直線相切于點，則圓C的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由圓心和切點連線與切線垂直可得，得到關于圓心的一個方程，根據(jù)圓的性質(zhì)，可知圓心C在的垂直平分線上，由此可求得的值，得到圓心坐標，進而可求得圓的半徑即可求解.【詳解】設圓心，因為直線與圓C相切于點，所以，即，因為中垂線為，則圓心C滿足直線，即，所以半徑，所以圓C的方程為，故選：7.如下圖所示，在正方體中，，分別是，的中點，則異面直線與所成的角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標系，利用空間向量求異面直線所成角.【詳解】以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則，，，，，，設異面直線與所成的角為,，則,所以.故選：C8.中國算力大會“算力中國”創(chuàng)新成果展區(qū)分為A區(qū)和B區(qū)兩大板塊.A區(qū)由最新數(shù)據(jù)中心產(chǎn)業(yè)圖譜和國家新型工業(yè)化示范基地組成，B區(qū)由算力筑基優(yōu)秀案例、算力賦能案例、算力網(wǎng)絡案例組成.若從該創(chuàng)新成果展區(qū)5個成果中，隨機抽取3個成果，則其中恰有2個成果均是來自于B區(qū)的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，可直接計算概率.【詳解】設從該成果展區(qū)5個成果中，隨機抽取3個成果，則被抽到其中恰有2個成果均是來自于區(qū)的概率是.故選：D．9.已知函數(shù).則“”是“為偶函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別根據(jù)和為偶函數(shù)求出相應的取值集合，然后由包含關系可得.【詳解】若，則，，若為偶函數(shù)，則，得，因為，所以“”是“為偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A10.剪紙和折紙都是中華民族的傳統(tǒng)藝術，在折紙界流傳著“折不過8”的說法，為了驗證這一說法，有人進行了實驗，用一張邊長為的正方形紙，最多對折了13次.記第一次對折后的紙張厚度為，第2次對折后的紙張厚度為，以此類推，設紙張未折之前的厚度為毫米，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的通項公式求解．【詳解】由題意數(shù)列是等比數(shù)列，公比是2，且，∴，故選：C．11.已知是上的奇函數(shù)，且，當時，，則（）A.3 B. C.255 D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性與周期性計算即可.【詳解】由題意可知：，即4為的一個周期，所以.故選：B12.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，A是雙曲線C的左頂點，以為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P，Q兩點，且，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】方法一：根據(jù)已知條件分別表示出點A、P、Q的坐標，代入可得b與a的關系式，再由及離心率公式可求得結果.方法二：運用極化恒等式及向量的加法、減法法則計算可得結果.【詳解】方法一：依題意，易得以為直徑的圓的方程為.又由雙曲線，易得雙曲線C的漸近線方程為.當時，如圖，設，則.聯(lián)立，解得或，所以，.又因為，所以軸.所以，.所以，所以.因為，所以.同理，當時，亦可得.故雙曲線C的離心率為.故選：C.方法二（極化恒等式）：易得坐標原點O為線段PQ的中點，且，所以，所以，所以.故選：C.二、填空題：本大題共4小題.13.已知拋物線上橫坐標為3的點到焦點的距離為6，則______.【答案】6【解析】【分析】求出拋物線的準線方程，再利用拋物線定義列式計算即得.【詳解】拋物線的準線為，依題意，，解得，所以.故答案為：614.已知向量，，若，則______.【答案】【解析】【分析】利用向量垂直的坐標表示求出，再利用模的坐標表示計算即得.【詳解】向量，，由，得，解得，即，，所以.故答案為：15.將平面內(nèi)等邊與等腰直角（其中為斜邊），沿公共邊折疊成直二面角，若，且點在同一球的球面上，則球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】利用空間幾何體的外接球及球體表面積公式計算即可.【詳解】如圖所示取中點，連接，根據(jù)題意易知，又為等腰直角三角形，為等邊三角形，所以可知，易知點在直線上，設，球半徑為R，所以，故外接球的表面積為.故答案：16.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的最大值為______.【答案】2【解析】【分析】先求導得恒成立，分離參數(shù)求的最小值即可.【詳解】由題意可知時恒成立，即，令，易知，顯然時，，此時單調(diào)遞減，時，，此時單調(diào)遞增，即，所以，即的最大值為.故答案為：2【點睛】思路點睛：因為函數(shù)定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的導函數(shù)非負，得出，構造函數(shù)利用導數(shù)求的最小值即可.三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：17.在中，角、、所對的邊分別為、、，已知，，．（1）求的值；（2）求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結合二倍角公式可得解.（2）根據(jù)余弦定理可得，由可得，進而可得面積.【小問1詳解】在中，由正弦定理，又，所以，即，解得；【小問2詳解】由（1）得，則，又由余弦定理，，解得，所以.18.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）.測得40只小鼠體重如下（單位：）：（已按從小到大排好）對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3實驗組：546.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（1）求40只小鼠體重的中位數(shù)，并完成下面列聯(lián)表：合計對照組實驗組合計（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.附：，其中.0.100.050.0102.7063.8416.635【答案】（1）中位數(shù)，二聯(lián)表見解析；（2）有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.【解析】【分析】（1）直接根據(jù)已知數(shù)據(jù)計算中位數(shù)及填寫二聯(lián)表即可；（2）利用卡方公式及對照表計算即可.【小問1詳解】由所給數(shù)據(jù)可知40只小鼠體重的中位數(shù)為，填二聯(lián)表如下：合計對照組61420實驗組14620合計202040【小問2詳解】由上表及卡方公式可知:，所以有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.19.如圖，在長方體中，，，點在線段上.（1）求證：；（2）當是的中點時，求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.（2）取的中點，連接，證明，再利用等體積法求解即得.【小問1詳解】在長方體中，連接，由，得，由平面，平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以.【小問2詳解】取的中點，連接，四邊形是長方體的對角面，則四邊形是矩形，，而是的中點，則，因此，即共面，顯然，則，等腰底邊上的高，的面積，的面積，設點到平面的距離為，由，得，于是，解得，所以點到平面的距離.20.在平面直角坐標系中，已知橢圓的兩焦點分別為，，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過點的直線與曲線交于不同的兩點，，滿足.若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由題意得，結合平方關系即可得解.（2）由題意設出直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立，結合韋達定理、弦長公式表示出弦長，結合點到直線距離公式表示可表示出三角形面積，結合已知即可列方程求解參數(shù)，由此即可得解.【小問1詳解】由題意設橢圓的標準方程為，由題意得，又，解得，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】由題意知直線的斜率不為0，所以設它的方程為，且，聯(lián)立橢圓方程得，消去并化簡整理得，，，所以由弦長公式得，原點到直線的距離為，所以，若，則有，化簡并整理得，解得，即，綜上所述，滿足題意的直線的方程為或.【點睛】關鍵點睛：第二問的關鍵是將用參數(shù)表示出來，由此即可順利得解.21.已知函數(shù),其中．（1）當時,求曲線在點處的切線方程;（2）當時,判斷的零點個數(shù),并加以證明;（3）當時,證明:存在實數(shù)m,使恒成立．【答案】（1）（2）1個（3）證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)代入解析式,求出,根據(jù)點斜式寫出切線方程即可;(2)對函數(shù)求導求單調(diào)性,觀察到,根據(jù)單調(diào)性分析零點個數(shù)即可;(3)先對函數(shù)求導,再通分,令再對新函數(shù)求導判斷單調(diào)性即值域情況,分析的正負,即的正負,進而求出的單調(diào)性及最值,若恒成立,只需即可,有最小值,即存在實數(shù)m,使恒成立.【小問1詳解】解:由題知,,,,故在點處的切線方程為,即;【小問2詳解】由題,,,,,故在上單調(diào)遞增,,故有1個零點;【小問3詳解】由題,,令,,即在上單調(diào)遞增,,且,故,使得,即在上單調(diào)遞增,即,單調(diào)遞減,即,單調(diào)遞增,故,若恒成立,只需,即即可,故存實數(shù)m,使恒成立.【點睛】方法點睛:此題考查導數(shù)的綜合應用,屬于難題,應用了隱零點,關于隱零點的方法有:(1)對函數(shù)進行求導后,進行因式分解,寫成幾個因式的乘積;(2)然后將容易判斷正負的先進行判斷,不好判斷的令為一個新的函數(shù);(3)對新的函數(shù)進行求導求單調(diào)性;(4)取區(qū)間內(nèi)的點代入新函數(shù)中判斷函數(shù)值正負,直到函數(shù)值相互異號為止;(5)根新函數(shù)的單調(diào)性即可判斷在區(qū)間內(nèi)有零點,設為,判斷左右兩側的新函數(shù)的函數(shù)值正負,即可判斷原函數(shù)的單調(diào)性求出最值.（二）選考題：考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】22.在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），點．以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，射線l的極坐標方程為．（1）寫出曲線的極坐標方程；（2）若l與，分別交于A，B（異于原點）兩點，求△PAB的面積．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由參數(shù)方程可得，，進而即可推得，根據(jù)公式即可得出曲線的極坐標方程；（2）將分別代入，的極坐標方程得出，，進而得出弦長.然后求出點到射線的距離，即可得出答案.【小問1詳解】由的參