求異面直線所成角一個公式及求數(shù)列通項公式的6種方法

求異面直線所成角的一個公式求兩條異面直線所成的角，一般都用“引平行線作角，再解三角形”這一思路。本文通過對一道課本習(xí)題的變形、分析，得出求異面直線所成的角的一個公式，簡單易記且便于使用。如圖1，AB和平面α所成的角是θ1，AC在平面α內(nèi)，AC和AB在α上的射影AB’所成的角為θ2，設(shè)∠BAC=θ，則有cosθ=cosθ1·cosθ2（證明略）。我們把該題作如下變形：在平面α內(nèi)作一條平行于AC的直線l，顯然l與AB異面，當(dāng)θ2為銳角時，∠BAC的大小θ即為異面直線l與AB所成的角。如圖2，設(shè)a、b是兩條異面直線，bα，a為平面α上的射影記為c。若a與α所成的角為θ1，b與c所成的角為θ2，兩條異面直線a和b所成的角為θ，則cosθ=cosθ1·cosθ2(*)。使用公式(*)時首先要確定θ1和θ2，而它們都與射影c有關(guān)。因此，如何恰當(dāng)選擇α，以便于作出a在α上的射影c就成了關(guān)鍵，下面以幾道高考題為例。[例1]（1992年全國高考題）如圖3所示，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1、BB1的中點，那么AM與CN所成角的余弦值是（）（A）（B）（C）（D）[解析]選平面AB1為公式中的α，顯然CN、AM、BB1就是公式中的a、b、c。∵∴∴選D.[例2]（1990年全國高考題）如圖4，正三棱錐S—ABC的側(cè)棱與底面的邊長相等，如果E、F分別為SC、AB的中點，那么異面直線EF與SA所成的角等于（）（A）900（B）600（C）450（D）300[解析]選平面SCF為公式中的α，∵AB⊥平面SCF，∴SF為SA在平面SCF上的射影，SA、EF、SF分別為公式中的a、b、c，∵，∴∴選C.[例3]（1995年全國高考題）如圖5，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BAC=900，點D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點，若BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）（A）（B）（C）（D）[解析]選平面AC1為公式中的α，∵BC⊥AC，∴BC⊥平面AC1.∵D1F1//B1C1//BC，∴D1F1⊥平面AC1，∴CF1為BD1在平面AC1上的射影，直線BD1、AF1、CF1就是公式中的a、b、c.∵∴∴選A.[例4]（1996年全國高考題）如圖6，正方形ABCD所在的平面與正方形ABCDEF所在的平面成600的二面角，則異面直線AD與BD所成角的余弦值是_______________.[解析]選平面BF為公式中的α，過D作DH⊥AF于H，∵BA⊥平面DAH，∴BA⊥DH，∴DH⊥平面BF。這樣，AH為DA在平面BF上的射影，DA、BF、AH就是公式中的a、b、c。由條件，∴即為所求。[例5]（2000年上海高考題）如圖7，四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB=BC=2，E是AC的中點，異面直線AD與BE所成角的大小為，求四面體ABCD的體積。[解析]選平面ABC為公式中的α，則AD、BE、AB即為公式中的a、b、c。設(shè)BD=x，則，而，由得x=4..[例6]（2002年全國高考題）如圖8，正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1中，底面邊長為1，側(cè)棱長為，則這個棱柱的側(cè)面對角線E1D與BC1所成的角是（）（A）900（B）600（C）450（D）300[解析]選平面BC1為公式中的α過D作DH⊥BC于H，則DH⊥α，又E1G⊥α，∴C1H為E1D在α上的射影，E1D、BC1、C1H即為公式中的a、b、c.在直角梯形E1C1HD中，E1C1=，DH=，E1D=，∴C1H=，.在△C1BH中，BC1=，，∴.因此，.∴選B.公式(*)巧妙地把求異面直線所成的角的問題轉(zhuǎn)化成了求線面角及同一平面內(nèi)線線角的問題，不必添加過多的輔助線，運算上一般都化為解直角三角形的問題，也在一定程度上提高了運算的準(zhǔn)確性。求數(shù)列通項公式的十一種方法（方法全，例子全，歸納細(xì)）總述：一．利用遞推關(guān)系式求數(shù)列通項的7種方法：累加法、累乘法、待定系數(shù)法、倒數(shù)變換法、由和求通項定義法（根據(jù)各班情況適當(dāng)講）二。基本數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列。等差數(shù)列、等比數(shù)列的求通項公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數(shù)列通項公式的最基本方法。三．求數(shù)列通項的方法的基本思路是：把所求數(shù)列通過變形，代換轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列。四．求數(shù)列通項的基本方法是：累加法和累乘法。五．?dāng)?shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。一、累加法1．適用于：----------這是廣義的等差數(shù)列累加法是最基本的二個方法之一。例1已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以數(shù)列的通項公式為。例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一：由得則所以解法二：兩邊除以，得，則，故因此，則練習(xí)1.已知數(shù)列的首項為1，且寫出數(shù)列的通項公式.答案：練習(xí)2.已知數(shù)列滿足，，求此數(shù)列的通項公式.答案：裂項求和評注：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項.=1\*GB3①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;=2\*GB3②若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;=3\*GB3③若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;=4\*GB3④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。二、累乘法1.適用于：----------這是廣義的等比數(shù)列累乘法是最基本的二個方法之二。2．若，則兩邊分別相乘得，例4.設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且（=1，2，3，…），則它的通項公式是=________.解：已知等式可化為：()(n+1),即時，==.評注：本題是關(guān)于和的二次齊次式，可以通過因式分解（一般情況時用求根公式）得到與的更為明顯的關(guān)系式，從而求出.練習(xí).已知,求數(shù)列{}的通項公式.三、待定系數(shù)法適用于基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。1．形如,其中)型例6已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式。解法一：又是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，即解法二：兩式相減得，故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，再用累加法的……練習(xí)．已知數(shù)列中，求通項。答案：2．形如：(其中q是常數(shù)，且n0,1)=1\*GB3①若p=1時，即：，累加即可.=2\*GB3②若時，即：，求通項方法有以下三種方向：=1\*romani.兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列即：,令，則,然后類型1，累加求通項.=2\*romanii.兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。即：,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解，=3\*romaniii.待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列設(shè).通過比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項.注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時，要求pq，否則待定系數(shù)法會失效。例7已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)，比較系數(shù)得，則數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，即解法二（兩邊同除以）：兩邊同時除以得：，下面解法略解法三（兩邊同除以）：兩邊同時除以得：，下面解法略**3．形如(其中k,b是常數(shù)，且)例8在數(shù)列中，求通項.（逐項相減法）解：，=1\*GB3①時，，兩式相減得.令,則利用類型5的方法知即=2\*GB3②再由累加法可得.亦可聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②解出.**5.形如時將作為求解分析：原遞推式可化為的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列為等比數(shù)列。例11已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè) 比較系數(shù)得或，不妨取，（取-3結(jié)果形式可能不同，但本質(zhì)相同）則，則是首項為4，公比為3的等比數(shù)列，所以練習(xí).數(shù)列中，若,且滿足,求.答案：.四、倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項例16已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：求倒數(shù)得為等差數(shù)列，首項，公差為，五、由和求通項已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且前n項和滿足求數(shù)列的通項公式。例19已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且