第九講 集中量數(shù)

朱許強(qiáng)心理與教育統(tǒng)計學(xué)統(tǒng)計圖統(tǒng)計圖是整理和呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的另一種方法，它把研究變量與被說明事物之間的數(shù)量關(guān)系用圖形表現(xiàn)，直觀、形象地表達(dá)出事物的全貌及其數(shù)據(jù)的分布特征，使人一目了然，便于理解和記憶，印象深刻。1、統(tǒng)計圖的構(gòu)成統(tǒng)計圖一般由圖號、標(biāo)題、標(biāo)目、圖形、圖注等幾部分構(gòu)成。統(tǒng)計圖中的標(biāo)目由基線和尺度線構(gòu)成。對于有縱、橫軸的統(tǒng)計圖，一般以基線表示被觀察的現(xiàn)象，而尺度線則表示其數(shù)量。

2、統(tǒng)計圖的分類條形圖：用直條的長短來表示統(tǒng)計項(xiàng)目數(shù)值大小的圖形，主要是用來比較性質(zhì)相似的間斷型資料。

圓形圖：是用于表示間斷型資料比例的圖形。圓形的面積表示一組數(shù)據(jù)的整體，圓中扇形的面積表示各組成部分所占的比例。各部分的比例一般用百分比表示。

單式條形圖圖2－1某年級操行評定結(jié)果條形圖基線尺度線圖形復(fù)式條形圖圖2－2某年級操行評定結(jié)果條形圖例：圖2-3三項(xiàng)影響較大的SARS信息對不同文化程度民眾的影響

圓形圖圖2－4某年級操行評定結(jié)果圓形圖基線尺度線繪制圓形圖的步驟求出各組成部分所占的百分比求出各部分的中心角度以順時針方向畫出扇形標(biāo)出不同顏色及百分比線形圖

線形圖用來表示連續(xù)型資料。它能表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系；一種事物隨另一種事物變化的情況；某種事物隨時間推移的發(fā)展趨勢等?；诰€形圖，既可對有關(guān)統(tǒng)計變量進(jìn)行數(shù)量比較，又可分析發(fā)展的趨勢。

例如：對有意義的詞匯，小學(xué)一年級至初中三年級學(xué)生視覺、聽覺記憶再現(xiàn)率的情況。

圖2－5有意義的材料再現(xiàn)率比較線形圖八、次數(shù)分布表次數(shù)分布表是對雜亂無序的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理的重要手段，它能使我們對樣本情況有個初步的了解，為今后進(jìn)一步分析和研究問題提供很大方便。1、簡單次數(shù)分布表員工對主管盡職情況的評定人數(shù)①非常不盡職②不盡職③不置可否④盡職⑤非常盡職93010256總計80表3-180名員工對部門主管盡職程度調(diào)查結(jié)果2、分組次數(shù)分布表成績組中值頻數(shù)累積頻數(shù)95～97.52290～92.52485～87.53780～52.551275～77.582070～72.5113165～67.594060～62.554555～57.544950～52.525145～17.5152合計5252表3-2某班學(xué)生數(shù)學(xué)成績次數(shù)分布表編制分組次數(shù)分布表的步驟求全距R=Xmax-Xmin決定組距i和組數(shù)k列出分組區(qū)間登記次數(shù)計算每組數(shù)據(jù)的次數(shù)f抄錄新表3.相對次數(shù)分布表將次數(shù)分布表中各組的實(shí)際次數(shù)轉(zhuǎn)化為相對次數(shù)，即用頻數(shù)比率（f／N）或百分比（）來表示次數(shù)，就可以制成相對次數(shù)分布表。4、累加次數(shù)分布表

表3-3某班學(xué)生數(shù)學(xué)成績累加次數(shù)分布表

成績組中值頻數(shù)累加頻數(shù)累加百分比95～97.5223.8590～92.5247.6985～87.53713.4680～82.551254.0575～77.582038.4670～72.5113159.6265～67.594076.9260～62.554586.5455～57.544994.2350～52.525198.0845～47.5152100.0合計52525、雙列次數(shù)分布表雙列次數(shù)分布表又稱相關(guān)次數(shù)分布表，是對有聯(lián)系的兩列變量用同一個表表示其次數(shù)分布。所謂有聯(lián)系的兩列變量，一般是指同一組被試中每個被試兩種心理能力的分?jǐn)?shù)或兩種心理特點(diǎn)的指標(biāo)，或同一組被試在兩種實(shí)驗(yàn)條件下獲得的結(jié)果。表3-431名學(xué)生視、聽反應(yīng)時測驗(yàn)結(jié)果聽視100～120～140～160～180～200～220～Y230～210～190～170～150～130～110～1111211322331112111112478451X159843131十、次數(shù)分布圖在編制次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上，可以繪制次數(shù)分布圖，使一組數(shù)據(jù)特征更加直觀和概括,而且還可以對數(shù)據(jù)的分布情況和變動趨勢作粗略的分析。繪制次數(shù)分布圖可以用已有的計算機(jī)程序，如EXCEL，也可以用專門的統(tǒng)計程序。1、頻數(shù)分布直方圖直方圖(histogram)又稱為等距直方圖，是以矩形的面積表示連續(xù)性隨機(jī)變量次數(shù)分布的圖形。一般用縱軸表示數(shù)據(jù)的頻數(shù)，用橫軸表示數(shù)據(jù)的等距分組點(diǎn)，即各分組區(qū)間的上下限。直方圖是統(tǒng)計學(xué)中常用而且又有特殊意義的一種統(tǒng)計圖，有著重要的應(yīng)用價值。例：根據(jù)第二講中52個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績所作直方圖圖3-152名學(xué)生數(shù)學(xué)成績分布的頻數(shù)直方圖4550556065707580859095100還可以做成下面這種形式圖3-252名學(xué)生數(shù)學(xué)成績次數(shù)分布直方圖2、次數(shù)分布多邊圖次數(shù)分布多邊形圖（frequencypolygon）是一種表示連續(xù)性隨機(jī)變量次數(shù)分布的線形圖，屬于次數(shù)分布圖。凡是等距分組的可以用直方圖表示的數(shù)據(jù)，都可用次數(shù)多邊圖來表示。繪制方法：以各分組區(qū)間的組中值為橫坐標(biāo)，以各組的頻數(shù)為縱坐標(biāo)，描點(diǎn)；將各點(diǎn)以直線連接即構(gòu)成多邊圖形。圖3-352名學(xué)生數(shù)學(xué)成績分布圖人數(shù)圖3-452名學(xué)生數(shù)學(xué)成績分布圖人數(shù)成績利用次數(shù)分布多邊圖還可以把幾組資料放在一起進(jìn)行比較。但需要注意的是，這時必須把數(shù)據(jù)的次數(shù)換算成百分比。圖3-545頁數(shù)據(jù)的次數(shù)分布圖圖3-6不正確的比較圖3、累積次數(shù)分布圖根據(jù)累積次數(shù)，可以繪制累積次數(shù)分布圖。右圖是累積次數(shù)分布直方圖。累積次數(shù)分布曲線當(dāng)數(shù)據(jù)的總數(shù)較多時，將累積次數(shù)分布圖中的橫坐標(biāo)以每一分組區(qū)間的精確上限或精確下限表示，縱坐標(biāo)以累積次數(shù)表示，則可繪制累積次數(shù)分布曲線，即累積曲線。圖3-8累積次數(shù)分布曲線累積曲線可用于判斷一組數(shù)據(jù)的大致分布形態(tài)。圖3-9正態(tài)分布數(shù)據(jù)的累積曲線圖3-10正偏態(tài)數(shù)據(jù)累積曲線圖3-11負(fù)偏態(tài)數(shù)據(jù)累積曲線瀏覽網(wǎng)上資料，看看常用的有哪些統(tǒng)計圖。請利用書上的數(shù)據(jù)或自己收集數(shù)據(jù)，試做幾個漂亮的統(tǒng)計圖。練習(xí)某大學(xué)四年級80名學(xué)生的畢業(yè)成績?nèi)缦拢?/p>

5683766880926981627857817170596666756148845093827270498469669374706956746885539761525850739352746581685354956872948269606685905767758255466847895767755183685550試編制一個完整的次數(shù)分布表。第九講集中量數(shù)集中量數(shù)用來表現(xiàn)數(shù)據(jù)資料的典型水平或集中趨勢（centraltendency）。常用的集中量包括算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等等。集中量數(shù)是一個點(diǎn)集中量數(shù)是一組數(shù)據(jù)中最具代表性的值集中量數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)整體上的大小一、算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)（arithmeticaverage

）一般簡稱為平均數(shù)（average）或均數(shù)、均值（mean）。一般用Ｍ，或者用表示。算術(shù)平均數(shù)是最常用的集中量。1．算術(shù)平均數(shù)的計算公式原始數(shù)據(jù)計算公式（4．１）由上述公式可得算術(shù)平均數(shù)的幾個重要性質(zhì)連加和計算規(guī)則次數(shù)分布表計算公式（4．２）表4-152名學(xué)生數(shù)學(xué)成績平均數(shù)計算表成績組中值Xc頻數(shù)fF*Xc計算95－97.5219590－92.5218585－87.53262.580－52.55262.575－77.5862070－72.511797.565－67.59607.560－62.55312.555－57.5423050－52.5210545－17.5117.5合計523595.02、算術(shù)平均數(shù)的意義算術(shù)平均數(shù)是應(yīng)用最普遍的一種集中量。它是“真值”（truescore）的最佳估計值。真值是反映某種現(xiàn)象的真實(shí)水平的分?jǐn)?shù)。由于測量過程中的各種偶然因素的影響，真值往往很難得到。在實(shí)際測量中，往往采用“多次測量，取平均數(shù)”的方法，用平均數(shù)去估計真值。3、算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)

算術(shù)平均數(shù)具備一個良好的集中量所應(yīng)具備的一些特點(diǎn)：反應(yīng)靈敏、有公式嚴(yán)密確定、簡明易懂、較少受抽樣變動的影響、適合代數(shù)運(yùn)算等等，因此是一個最常用的集中量。主要不足：容易受兩極端數(shù)值的影響；一組數(shù)據(jù)中有模糊不清的數(shù)值時無法計算。優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)(1)反應(yīng)靈敏(2)計算嚴(yán)密(3)計算簡單(4)簡明易解(5)適合于進(jìn)一步用代數(shù)方法演算(6)較少受抽樣變動的影響。

(1)易受極端數(shù)據(jù)的影響

(2)若出現(xiàn)模糊不清的數(shù)據(jù)時，無法計算平均數(shù)五、算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)4、計算和應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)的原則同質(zhì)性原則：算術(shù)平均數(shù)只能用于表示同類數(shù)據(jù)的集中趨勢。平均數(shù)與個體數(shù)值相結(jié)合的原則：在解釋個體特征時，既要看平均數(shù)，也要結(jié)合個體的數(shù)據(jù)。平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差相結(jié)合原則：描述一組數(shù)據(jù)時既要分析其集中趨勢，也要分析離散程度。所謂同質(zhì)數(shù)據(jù)是指使用同一個觀測手段，采用相同的觀測標(biāo)準(zhǔn)，能反映某一問題的同一方面特質(zhì)的數(shù)據(jù)。5、算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)定理（1）在一組數(shù)據(jù)中每個變量與平均數(shù)之差(稱為離均差)的總和等于0（2）在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)都加上一常數(shù)C，則所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)加常數(shù)c（3）在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)都乘以一個常數(shù)C所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)乘以常數(shù)c（4）各個變量與平均數(shù)之差的平方和為最小，即每個數(shù)據(jù)與任一常數(shù)包括中數(shù)或眾數(shù)之差的平方和都大于每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和，這就是平均數(shù)的“最小平方”原理。二、中位數(shù)中位數(shù)（median）又稱為中數(shù)，是按順序排列的一組數(shù)據(jù)中位于中間位置的數(shù)。中位數(shù)是常用集中量的一種。一般用Md或Mdn表示。1、中數(shù)的定義中數(shù)(median)，又稱中點(diǎn)數(shù)，中位數(shù)，中值，符號為Md或Mdn。中數(shù)是按順序排列在一起的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)，即在這組數(shù)據(jù)中，有一半的數(shù)據(jù)比它大，有一半的數(shù)據(jù)比它小。這個數(shù)可能是數(shù)據(jù)中的某一個，也可能根本不是原有的數(shù)。如果將數(shù)據(jù)依大小順序排列，中數(shù)恰好位于中間，它將數(shù)據(jù)的數(shù)目分成較大的一半和較小的一半。中數(shù)是集中量數(shù)的一種，它能描述一組數(shù)據(jù)的典型情況，心理與教育研究工作中經(jīng)常應(yīng)用它。2、中數(shù)的計算方法根據(jù)中數(shù)的概念，首先將數(shù)據(jù)依其取值大小排序，然后找出位于中間的那個數(shù)，就是中數(shù)。此時又分幾種情況：

1．一組數(shù)據(jù)中無重復(fù)數(shù)值的情況2．一組數(shù)據(jù)中有重復(fù)數(shù)值的情況(1)當(dāng)重復(fù)數(shù)值沒有位于數(shù)列中間時，求中數(shù)的方法與無重復(fù)數(shù)據(jù)時求中數(shù)的方法相同。(2)當(dāng)重復(fù)數(shù)目位于數(shù)列中間，數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)的情形。(3)當(dāng)重復(fù)數(shù)目位于數(shù)列中間，數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)的情形。中位數(shù)的計算方法原始數(shù)據(jù)計算法首先將一組數(shù)據(jù)按順序排列3、中數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)與應(yīng)用（一）優(yōu)點(diǎn)從中數(shù)的計算可以看出：中數(shù)是根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計算而來，不能憑主觀臆定。計算簡單，容易理解，中數(shù)的概念簡單明白，這是它的優(yōu)點(diǎn)。（二）缺點(diǎn)1．中數(shù)的計算不是每個數(shù)據(jù)都加入，其大小不受制于全體數(shù)據(jù)；反應(yīng)不夠靈敏，極端值的變化對中數(shù)不產(chǎn)生影響；2．中數(shù)受抽樣影響較大，不如平均數(shù)穩(wěn)定；3．計算時需要對數(shù)據(jù)先排列大小；4．中數(shù)乘以總數(shù)與數(shù)據(jù)的總和不相等（中數(shù)等于平均數(shù)時例外）；5．中數(shù)不能進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算，等等。因此，在一般情況下，中數(shù)不被普遍應(yīng)用。次數(shù)分布表計算法由次數(shù)分布表計算中位數(shù)需要用到累積次數(shù)分布表。當(dāng)表中數(shù)據(jù)的累積方向不同時，計算公式也不同。表4-252名學(xué)生數(shù)學(xué)成績次數(shù)分布表成績頻數(shù)f累積頻數(shù)95－25290－25085－34880－54575－84070－113265－92160－51255－4750－2345－11合計5274.457473.5573.172.6572.271.7571.370.8570.469.9569.51110987654321由下至上累積頻數(shù)計算公式公式中:Lb為中位數(shù)所在組的精確下限

fb為中位數(shù)所在組下限以下的累積頻數(shù)

n為數(shù)據(jù)總和

fMd為中位數(shù)所在組的頻數(shù)

i為組距（4．3a）由上至下累積頻數(shù)計算公式公式中:La為中位數(shù)所在組的精確上限

fa為中位數(shù)所在組上限以上的累積頻數(shù)

n為數(shù)據(jù)總和

fMd為中位數(shù)所在組的頻數(shù)

i為組距（4．3b）表4-352名學(xué)生數(shù)學(xué)成績中位數(shù)計算表成績頻數(shù)f累積頻數(shù)計算95252902508534880545758407011326592160512554750234511合計52２．百分位數(shù)百分位數(shù)的概念

百分位數(shù)是位于依一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中某一百分位置的數(shù)值，一般用表示。百分位數(shù)的計算方法公式中:Lb為百分位數(shù)所在組的精確下限

fb為百分位數(shù)所在組下限以下的累積頻數(shù)

p為百分?jǐn)?shù)

n為數(shù)據(jù)總和

fp為百分位數(shù)所在組的頻數(shù)

i為組距（4．4）３．中位數(shù)的特點(diǎn)及應(yīng)用中位數(shù)是根據(jù)全部數(shù)據(jù)的個數(shù)來確定其位置的，意義簡明，對按順序排列的數(shù)據(jù)來講，計算中位數(shù)也比較容易。中位數(shù)不受兩端極端數(shù)據(jù)的影響，但反應(yīng)不靈敏，也不適合進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算的要求。一般用于下列情況：一組數(shù)據(jù)中有極端數(shù)據(jù)時；一組數(shù)據(jù)中有個別數(shù)據(jù)不確切、不清楚時；資料屬于等級性質(zhì)時。三．眾數(shù)眾數(shù)（mode）用Mo表示，有兩種定義：理論眾數(shù)是指與頻數(shù)分布曲線最高點(diǎn)相對應(yīng)的橫坐標(biāo)上的一點(diǎn)；粗略眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)。眾數(shù)也是一種集中量，也可用來表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。１．眾數(shù)的計算方法

觀察法尋找粗略眾數(shù)未分組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)即為眾數(shù)。次數(shù)分布表中，頻數(shù)最多那一組數(shù)據(jù)的組中值，即為眾數(shù)。公式法計算理論眾數(shù)的近似值用公式計算的眾數(shù)稱為理論眾數(shù)。一般在心理與教育統(tǒng)計中常用的公式有皮爾遜的經(jīng)驗(yàn)公式和金氏插補(bǔ)法公式。皮爾遜經(jīng)驗(yàn)公式金氏插補(bǔ)法（4．5）（4．6）皮爾遜經(jīng)驗(yàn)公式只有當(dāng)數(shù)據(jù)分布呈正態(tài)或接近正態(tài)時才能使用。當(dāng)數(shù)據(jù)分布呈偏態(tài)時，一般用金氏插補(bǔ)法計算眾數(shù)。2、使用條件（1）當(dāng)需要快速而粗略地尋求一組數(shù)據(jù)的代表值時；（2）當(dāng)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)不同質(zhì)的情況時，可用眾數(shù)表示典型情況，如工資收入、學(xué)生成績等常以次數(shù)最多者為代表值；（3）當(dāng)次數(shù)分布中有兩極端的數(shù)目時，除了一般用中數(shù)外，有時也用眾數(shù)（4）當(dāng)粗略估計次數(shù)分布的形態(tài)時，有時用平均數(shù)與眾數(shù)之差，作為表示次數(shù)分布是否偏態(tài)的指標(biāo)。（5）當(dāng)一組數(shù)據(jù)中同時有兩個數(shù)值的次數(shù)都比較多時，即次數(shù)分布中出現(xiàn)雙眾數(shù)(bimodal)時，也多用眾數(shù)來表示數(shù)據(jù)分布形態(tài)3、眾數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)1．優(yōu)點(diǎn)眾數(shù)的概念簡單明了，容