2023年遼寧省鞍山市普通高中高考數(shù)學一模試卷及答案解析

2023年遼寧省鞍山市普通高中高考數(shù)學一模試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.若i(l-z)=l,則z+z=()

A.-2B.—1C.1D.2

2.設全集U={-2,-l,0,l,2,3},集合4={-1,2},B={x?x2-4x+3=0},則Q(力U

B)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,0}D.{-2,1}

3.數(shù)學家也有許多美麗的錯誤，如法國數(shù)學家費馬于1640年提出了吊=22"+l(n=

0,1,2,...)是質(zhì)數(shù)的猜想，直到1732年才被善于計算的大數(shù)學家歐拉算出Fs=641*6700417,

不是質(zhì)數(shù).現(xiàn)設On=Iog4(∕?-l)(n=l,2l...),Sn表示數(shù)列{α7l}的前n項和.若32SJJ=63an,

則n=()

A.5B.6C.7D.8

4.已知平面向量W與方的夾角為60。，4=(2,0),ILl=L則I百一29I的值為()

A.√2B.2?,4D.?

5.已知Sin(α+?=?.則cos(2α-W)=()

?

77C2D2

-9-9--9-9-

6.為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排5名大學生到3個學校進行支教活動，每個學校至少安排1人,

其中甲校至少要安排2名大學生，則不同的安排方法共有種()

A.50B.60C.80D.100

7.已知圓錐的母線長為2,側(cè)面展開圖扇形的面積為2兀，那么該圓錐的體積是()

A.≡B,?C.πD.學

8.函數(shù)/(%)是定義在R上的偶函數(shù),且f(l+x)=f(l—%),若XC[0,1],/(x)=2x,則

/(2023)=()

A.4B.2C.1D.0

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入調(diào)

查數(shù)據(jù)整理得到如圖頻率分布直方圖，根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中正確的是()

▲頻率

組距

0.20---------------------------I一一

0.14_________________

0.10_______________________________

0.04---------1--------------------------------------------

002匕Ll-T-TT一十一十十十一|一LLII

0~2一53.54.55.56.5158一59.510.511.512一513.514.5M入/萬元

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入的中位數(shù)約為7.5萬元

C.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

D.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

10.已知函數(shù)/(x)=Sin(3%+,)+CoS(3%+s)(3>0,[勿<])的最小正周期為兀，且?(x)

的圖象過點(0,√5),則下列結(jié)論中正確的是()

A./(x)的最大值為近

B./(x)的圖象一條對稱軸為*

C./(x)在(0,今上單調(diào)遞減

D.把/(x)的圖象向左平移髀單位長度，得到函數(shù)9(切=企小(24+看)的圖象

11.已知Fi，F(xiàn)2分別是雙曲線C：1-y2=ι的左、右焦點，點M是該雙曲線的一條漸近線

上的一點，并且以線段Fi,尸2為直徑的圓經(jīng)過點M,則()

A.雙曲線C的漸近線方程為y=±}x

B.以線段招尸2為直徑的圓的方程為/+y2=3

C.點M的橫坐標為2或—2

D.△M0尸2的面積為石

12.如圖所示，從一個半徑為后(單位：Tn)的圓形紙板中

切割出一塊中間是正方形，四周是四個正三角形的紙板，以/??\

此為表面(舍棄陰影部分)折疊成一個正四棱錐P-ZBCD,則以下說法正確的是()

A.四棱錐P-ABCD的體積是學r∏3

B.四棱錐P-ABCD的外接球的表面積是8TΠ∏2

C.異面直線PA與CD所成角的大小為60°

D.二面角4-PB-C所成角的余弦值為一2

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.在(a-93的展開式中，常數(shù)項是_.

14.若函數(shù)/(x)=X-出Zix的圖像在點(1,1)處的切線方程為y=3x-2,則實數(shù)ɑ=—.

15.若正實數(shù)α,b滿足α+b=l,則我+油最小值為_.

3ab

16.已知橢圓C：1+4=l(α>b>0)的左、右頂點分別為A2,且以線段4√12為直徑

Qb

的圓與直線bx-ay+2ab=0相切，則C的離心率為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

設數(shù)列｛a“｝的前n項和為外,且滿足Srι+ι=Sn+an+2(nEN*),2S5=3(A4+α6)?

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

an

(2)若bn=arι+G),求數(shù)列｛b｝的前n項和

18.(本小題12.0分)

在△4BC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,B=60o,a2=b2+c2-bc,延長BC至D,

使BD=7,AACD的面積為∣√T

(1)求AB的長；

(2)求△4CD外接圓的面積.

19.(本小題12.0分)

甲、乙、丙三人，為了研究某地區(qū)高中男生的體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)是否存在

較好的線性關系，他們隨機調(diào)查了6位高中男生身高和體重的數(shù)據(jù)，得到如下表格：

身高∕C7Π160166172173173182

體重"g445055555664

根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得到y(tǒng)關于％的線性回歸方程對應的直線的斜率為0.89?

(1)求y關于久的線性回歸方程J=bx+a'

(2)從該地區(qū)大量高中男生中隨機抽出IO位男生，他們身高單位：Crn)的數(shù)據(jù)繪制成如圖的莖

葉圖.①估計體重超過60kg的頻率p,②視頻率為概率，從該地區(qū)大量高中男生中隨機選出2

人，記這2人中體重超過60kg的人數(shù)為X,求X的分布列及其數(shù)學期望(用(1)中的回歸方程估

測這10位男生的體重).

16233

173466

18I24

20.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∕∕CD,NABC=90。，AB=2BC=

2CD=2,△ADP為等邊三角形，且面ADPj_底面ABCD.

(1)若M為BC中點，求證：PM1BC；

(2)求面240與面PBC所成二面角的余弦值.

21.(本小題12.0分)

已知拋物線C的頂點是坐標原點0,對稱軸為X軸，焦點為尸，拋物線上點4的橫坐標為1,且

FA-OA=A-

(1)求拋物線C的方程；

(2)過拋物線C的焦點作與刀軸不垂直的直線/交拋物線C于兩點M,N,直線X=I分別交直線

OM,ON于點4和點B,求證：以力B為直徑的圓經(jīng)過X軸上的兩個定點.

22.(本小題12.0分)

-1

已知函數(shù)/(%)=-X2—alnx{aER,a≠0).

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意的Xe[1,+8),都有/(x)≥2成立，求α的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題.

把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出再求出z+5.

【解答】

解：由i(l-z)=l,得I-Z=J=推=-√,

.?.z=l+i,則W=I-3

??z-3t~z—1+i+l—i=2?

故選：D.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎題.

根據(jù)集合的基本運算即可求解.

【解答】

解：???B={x?x2—4x+3=0}={1,3},A={-1,2},

.?.AUB=[-1,1,2,3),

???(7={-2,-l,0,1,2,3),

.?.CuOUB)={-2,0},

故選：C.

3.【答案】B

【解析】解：因為吊=2?”+I(Jl=O,1,2,…)，所以o?=l0g4(%—1)=/094(22"+1—1)=

2nn1

log42=2^,

所以{即}是等比數(shù)列，首項為1，公比為2,所以Sn=隼2=2?！狶

1—2

所以32(2'-1)=63×2n^1,解得n=6,

故選:B.

利用數(shù)列的遞推關系式，求出通項公式，然后通過等比數(shù)列求解數(shù)列的和，然后求解n即可.

本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用，等比數(shù)列的判斷，數(shù)列求和，考查計算能力.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了向量的數(shù)量積定義，還考查了向量的模的求解公式，屬于基礎題.

由題意利用I方—2石I=J（3-2衛(wèi)）2=JI項2一4小石+4年|2求解..

【解答】

解：?.?向量五與石的夾角為60。，α=(2,0),?b?=l,

a-b=IaIlb∣cos60°=2xlXg=1,

.?.?a-2b?=J(a-2b)2=J∣α∣2-4α?K+4∣K∣2=√4-4×1+4=2>

故選：B.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了二倍角公式，誘導公式等知識，屬于基礎題.

根據(jù)誘導公式，找出所求角與已知角之間的關系，結(jié)合二倍角公式運算.

【解答】

解：cos(2α+?=cos[2(α+1)]=1-2sin2(a+?=1-2×∣=L

又2α-1=(2α+y)-π.

7

所以COS(2α-今=cos[(2α+?)—π]=-cos(2α+等=9-

故答案選：A.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查排列與組合的綜合應用，兩個計數(shù)原理的運用，是較易題.

討論甲校安排3人，2人，剩余部分分成兩組，然后進行安排即可.

【解答】

解：若甲校安排3名大學生，則其余兩所學校只能各安排1名大學生，則有盤彩=20種，

若甲校安排2名大學生，剩余3名大學生分成2組，一組1人一組2人，然后再進行安排，有

ClClClAi=60種,

共有20+60=80種，

故選C.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖的理解與應用，圓錐體積公式的應用，解題的關鍵是掌握圓錐側(cè)面

展開圖的弧長等于底面周長，半徑等于圓錐的母線長，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題.

設圓錐的底面半徑為r,高為九，由圓錐的側(cè)面積求出r,再由勾股定理求出九，由體積公式求解即

可.

【解答】

解：設圓錐的底面半徑為r,高為機，

因為側(cè)面展開圖扇形的面積為2兀，

1

所以2?(2πr)-2=2π,解得r=1,

又圓錐的母線長為2,

所以h=√22—I2=√3>

則Vr=gsh=gX(兀XI2)XV3=??r.

故本題選D.

8.【答案】B

【解析】解：因為f(l+X)=〃1一乃，且/Q)是定義在R上的偶函數(shù),

所以J(l+X)=f(%-1)

令t=x-l,則X=t+1.

所以f(t+2)=f(t).即/(x)=/(x+2),

所以函數(shù)/'(X)的周期為2,

所以/(2023)=/(1011×2+1)=/(1)=2.

故選：B.

根據(jù)f(l+X)=/(l-x),結(jié)合/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，易得函數(shù)/(x)的周期為2,然后由

/(2023)=/(1011×2+1)=f(1)求解.

本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)以及應用，涉及函數(shù)奇偶性、對稱性的應用，屬于中檔題.

9.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題主要考查頻率分布直方圖的應用，考查讀取數(shù)據(jù)的能力，屬于基礎題.

對于4BC,通過求解對應的頻率，即可依次判斷，對于O,結(jié)合平均值的計算公式，即可求解.

【解答】

解：對于4該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為(0.02+0.04)x1=6%,故A正

確，

對于-B,家庭年收入介于2.5萬元至7.5萬元之間的頻率為0.02+0.04+0.1+0.14+0.2=0.5,

故該地農(nóng)戶家庭年收入的中位數(shù)約為7.5萬元，故B正確，

對于C，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為0.1+0.14+0.2+0.2=0,64>0.5,故C

正確，

對于0,估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為

3X0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9X0.1+10X0.1+11×0.04+

12X0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5,故O錯誤.

故選：ABC.

10.【答案】AC

【解析】

【分析】

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵，是中檔題.

根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的最值性，對稱性以及單調(diào)性的性質(zhì)分別進行判斷即

可.

【解答】

解：/(x)=V^Sin(3X+0+?

???最小正周期為幾，

二—=解3=

ω7T,2,

?/(x)=√2sin(2x+3+》

??,/(%)的圖象過點(0,企)，

???/(O)=√2sin(φ+?)=√2,即Sin((P+/)=1,

?,?<p÷~=2kτc+?,解得0=2kττ+%kWZ,

vl<P∣<p

：,當k=0時，φ=々,

則f(%)=V2sin(2x÷7÷?)=V2sin(2x+[)=y[2cos2x

44L1

則最大值為√I,故A正確；

∕φ=√2cos?=0≠±√2,故B錯誤；

當0<x<^時，0<2x<τr,此時/'O)=√Σcos2x為減函數(shù)，故C正確；

把/0)的圖象向左平移泠單位長度，得到y(tǒng)=√2cos2(x+*=√2cos(2x+》無法得到g(x)=

&cos(2x+S)的圖象，故。錯誤.

故選；AC.

11.【答案】CD

【解析】解：由雙曲線方程知：α=2,b=l,???C的漸近線方程為y=±gx,A錯誤；

?.?c=√α2+b2=√5,???RE為直徑的圓方程為/+y2=5,B錯誤；

由卜=±9得：匕;J或憑]二，；?點M的橫坐標為2或—2,C正確；

22

[x+y=5口-±1σ-+1

z

TlyMl=L二SAMF1FZ=T?∣F∕2I?l)M∣=后，。正確.

故選：CD.

根據(jù)雙曲線方程得α,b,c,由此可得漸近線方程和以招尸2為直徑的圓的方程，知AB正誤；聯(lián)立

漸近線與圓的方程，可求得M坐標，由此可判斷CD正誤.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎題.

12.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了異面直線成角問題，考查了二面角計算問題，屬于中檔題.

A,根據(jù)四棱錐體積公式計算判斷；B,根據(jù)四棱錐P-ABCD的外接球表面公式計算判斷；C,用

平移直線法求異面直線成角判斷；D,尋找二面角的平面角，用余弦定理求值判斷.

【解答】

解：設正方形邊長為X,則由如圖1知MN=X+2?x?sin6(Γ=x(遮+1),

M@T=F

又因為MN=2?后，所以x(√5+1)=2?鬲?，解得X=2,

所以四周的四個正三角形邊長也為2,

連接BD、AC交于點M,

對于4,因為PMj■平面ABCD,又MaU平面ZBCD,

所以PM1MA,

因為M∕=√ΣPA=2,所以PM=√2∕2-M42=魚,

所以力YBCD=322.￠=殍，故4錯誤；

對于B,因為M4=MB=MC=MD=MP=顯,

所以四棱錐P-ABCD的外接球的半徑為√∑

所以四棱錐P—4BC。的外接球的表面積為4TΓ(V∑)2=8ττ(m2)＞故B正確;

對于C,因為AB〃CD,所以異面直線PA與CD所成角等于NPAB,

又因為APaB為正三角形，所以4P4B=60。，故C正確；

對于。，取PB中點H連接AH,CH,則PBJ.AH,PB1CH,

所以二面角A-PB-C的平面角為N4"C,

CoS乙4”C=萼生￥=蕓爰=—，故。正確.

2AHCH2?√3?√33

故選BCD.

13.【答案】-6

【解析】

【分析】

本題考查了二項展開式的特定項，考查了學生的運算能力，屬于基礎題.

求出展開式的通項公式，然后令X的指數(shù)為0,即可求解.

【解答】

33

-

2-/

解：二項式的展開式的通項公式為7；+I=Cf(我)3-r(_$rCr

令I-Ir=0,解得r=1,

則展開式的常數(shù)項為?(—2)】=-6.

故答案為：—6.

14.【答案】一2

【解析】解：/(x)=%-alnχf則/'￠0=1-7依題意有f'(l)=1一α=3,

則g=-2.

故答案為：—2.

利用導數(shù)和切線斜率間的關系求實數(shù)a的值.

本題主要考查了導數(shù)幾何意義在切線方程求解中的應用，屬于基礎題.

15.【答案】5

【解析】解：???a>O,b>0,且α+b=l,

3235

-?÷I=?÷^=?÷?÷≥ΛO÷='當且僅當44,即a，底利，

等號成立，

即卷+浙最小值為5.

3ab

故答案為：5.

由題意可知，3+源攔+雙警=3+牛+3,再利用基本不等式求解即可.

3ab3ab3ab

本題主要考查了基本不等式的應用，屬于基礎題.

16.【答案】1

【解析】

【分析】本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式，考

查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

根據(jù)直線與圓的位置關系，可得圓心到直線的距離等于半徑，可得出a和b的關系，進而可得出a和

C關系，即可求出e.

【解答】

解：Ai(—a,0),A2(?CL,0),

,?,以線段4通2為直徑的圓％?+y2=小與直線b%-Qy+2ab=0相切，

2ab

???屈二落巴化為：Q2=3∕Λ

???橢圓的離心率e=￡=Ji_,=導

故答案為爭

17.【答案】解：(1)由數(shù)列｛即｝滿足%+1=Sn+arι+2(neN*),

λa

n+ι=Sn+ι—Sn=an+2,：.?+ι—an=2,

???數(shù)列｛arι｝是公差為2的等差數(shù)列，

V2S5=3(a4÷%)，

???2(5α1+*x2)=3(2α1+8×2),解得Ql=2,

???Qn=2+2(n-1)=2n；

an2n

(2)brι=α7j+(?)=2n+φ=2n+(；)",

；?數(shù)列｛九｝的前rι項和〃=2XW也+由[?]=n2+n+∣-∣×φn.

1^^4

【解析】本題考查了數(shù)列遞推關系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式，考查了推理

能力與計算能力，屬于中檔題.

(1)由數(shù)列｛%l｝滿足%+ι=Sn+an+2(neN*),可得%l+ι=Sn+1-Sn=an+2,因此數(shù)列｛α7l｝是

公差為2的等差數(shù)列，利用通項公式與求和公式，結(jié)合2S5=3(α4+α6),解得的,即可得出為；

2n

⑵4I=an+(扔”=2n+(∣)=2n+(扔，利用分組求和法即可得出數(shù)列｛bn｝的前n項和7；.

18.【答案】解：(1)在△4BC中，B=60o,a2=b2+c2-bc,

由余弦定理得cos/1="空-Q=L

2bc2

???0。＜4V120o,ΛA=60°,

故AABC為正三角形，設48長為X,貝∣L4C=%,CD=l-x,

???Δ力CD的面積SMCD=?×%×(7-x)sinl20o=yx(7一X)=孥,

即χ2-7x+6=0,解得X-1或X-6,

???4B的長為1或6.

(2)由(1)可知△ABC為正三角形，

.?.AC=AB=1,CD=6或AC=AB=6,CD=1,

.?.AC2+CD2=l2+62=37,AC-CD=6,

又????ACD=120°,

由余弦定理可知AD2=2+CDCOSI20。=37+6=43,

ACCD2_2AC,

設44CC外接圓的半徑為R,由正弦定理得(Y?)2=(2R)2,可得R2=等，

,iri?L4>U?

-???ACD外接圓的面積為S=πR2=yπ.

【解析】本題考查等邊三角形、正余弦定理、三角形面積公式，屬于中檔題.

(1)利用余弦定理可得2,可得AABC為正三角形，利用三角形面積計算公式即可得出AB.

(2)根據(jù)△ABC為正三角形可得乙4CC=120°,利用余弦定理與正弦定理即可得出△ACD外接圓的

半徑R,即可得出AACD外接圓的面積.

19.【答案】解：(1)依題意可知b=0.89，

VX=171,y=54,

a=y—bx=54—0.89×171=-98.19,

故y關于％的線性回歸方程為y=0.89%—98.19,

(2)令y=o.89x—98.19=60，得%"177.74,

故這10位男生的體重有3位體重超過60的，

則重超過60kg的頻率P=?,

視頻率為概率時，

從該地區(qū)大量高中男生中隨機選出2人，記這2人中體重超過60kg的人數(shù)為X,

則X~B(端),

.?.F(X)=2×?=∣.

【解析】(1)分別求出％，y的平均數(shù)，求出回歸方程的系數(shù)，求出回歸方程即可；

(2)計算可得這10位男生的體重有3位體重超過60kg,得到超過60如的頻率，由題意所求人數(shù)服

從二項分布，即可求出分布列和數(shù)學期望.

本題考查了線性回歸方程以及分布列和數(shù)學期望問題，屬于中檔題.

20.【答案】(1)證明：取4。中點0,連接?！?、OP,

因為AAOP為等邊三角形，M為BC中點，所以OPIAD,

因為面ADP?L底面ABCD,面TwPn底面ABCC=AD,

X

所以OP1平面ABCD,

因為OB,OCU平面ABCD,所以。PJLOB,OP1OC,

因為底面4BCD為直角梯形，AB//CD,所以。M〃71B,

又因為乙4BC=90。，所以。MJ.BC,

所以OB=OC,所以PB=yJPO2+OB2=√P02+OC2=PC,

所以PMIBC.

(2)解：取AB中點N,由題意知，四邊形NBCD是正方形，△4NC是等腰直角三角形，

所以。N14D,所以。4、ON、OP兩兩垂直，建系如圖，

則8(企,竽,0)，C(y,√2,0)>P(O,O,y)>

就=(-爭:,0)，BP=(-√2,-^,?),

記沆=(1,1,遮)，

因為反"布=0，前?沆=0,所以沅是平面PBC的法向量，

易知平面P4D的一個法向量是有=(1,0,0),

所以平面P4D與面PBC所成二面角的余弦值為察r=?-=?.

∣m∣?∣n∣√5?15

【解析】本題考查了直線與平面的位置關系，考查了兩平面夾角的計算問題，屬于中檔題.

(1)只要證明PB=PC即可；

(2)建立空間直角坐標系，用向量數(shù)量積計算兩平面夾角的余弦值.

21.【答案】解：(1)由題意可設拋物線方程為y2=2px(p>0),4(1,y)、F(∣,0),

由嬴?OA=4可得(1一gy)?(l,y)=4,

P

m1+功4

A-2-=

解得P=2,

所以拋物線方程為：y2=4%.

(2)證明：設直線by=k(%—l)