河南省濟(jì)洛平許高三第四次質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試題

濟(jì)洛平許2022—2023學(xué)年高三第四次質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)z滿足，且是純虛數(shù)，則（）A. B.i C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)已知得出，，且，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)，則.因?yàn)?，所以；又，是純虛?shù)，所以，，且，即.又，所以，解得或（舍去）.所以，.故選：B.2.全集，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】列舉可得，然后根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算得出，進(jìn)而根據(jù)交集的運(yùn)算即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，所以.故選：D.3.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值是（）A0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出可行域及目標(biāo)函數(shù)，由幾何意義得到的最小值.【詳解】畫出可行域及目標(biāo)函數(shù)，中的幾何意義為與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，顯然當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，聯(lián)立，解得，故點(diǎn)坐標(biāo)為，代入中，.故選：C4.2022年，中央網(wǎng)信辦舉報(bào)中心受理網(wǎng)民舉報(bào)違法和不良信息1.72億件．下面是2021年、2022年連續(xù)兩年逐月全國(guó)網(wǎng)絡(luò)違法和不良信息舉報(bào)受理情況數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)圖，下面說法中錯(cuò)誤的是（）A.2022年比2021年平均每月舉報(bào)信息數(shù)量多 B.舉報(bào)信息數(shù)量按月份比較，8月平均最多C.兩年從2月到4月舉報(bào)信息數(shù)量都依次增多 D.2022年比2021年舉報(bào)信息數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差大【答案】D【解析】【分析】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)逐項(xiàng)計(jì)算得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，由圖表可以看出2022年的數(shù)據(jù)基本在2021年之上，但7月份，8月份和11月份2021年的數(shù)據(jù)較2022年大，其差距與1月份，2月份和12月份基本相等，所以2022年的月平均數(shù)要大一些，正確；對(duì)于B，從2年的角度看，8月份平均最多，正確；對(duì)于C，從圖表可以看出，從2月份到4月份，兩條曲線都是遞增的，正確；對(duì)于D，從圖表可以看出2022年的數(shù)據(jù)更加集中，即標(biāo)準(zhǔn)差更小，錯(cuò)誤；故選：D.5.下述四個(gè)結(jié)論：①命題“若，則”的否命題是“若，則”；②是的必要而不充分條件；③若命題“”與命題“p或q”都是真命題，則命題q一定是真命題；④命題“，”的否定是“，”．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.②③ C.④ D.②③④【答案】B【解析】【分析】根據(jù)否命題，即可判斷①；解出的解，即可判斷②；根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞，即可判斷③；根據(jù)存在量詞命題的否定，即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，根據(jù)否命題的概念，可知“若，則”的否命題是“若，則”，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，解可得，或，所以是的必要而不充分條件，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)闉檎婷}，所以命題為假命題；因?yàn)槊}“p或q”是真命題，命題為假命題，所以命題為真命題.故③正確；對(duì)于④，根據(jù)存在量詞命題的否定可知，“，”的否定是“，”，故④錯(cuò)誤.綜上所述，②③正確.故選：B.6.“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月兩節(jié)不變史，最多相差一兩天．”中國(guó)農(nóng)歷“二十四節(jié)氣”，凝結(jié)著中華民族的智慧，是中國(guó)傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，如五月有立夏、小滿，六月有芒種、夏至，七月有小暑、大暑，現(xiàn)從五月、六月、七月這六個(gè)節(jié)氣中任選兩個(gè)節(jié)氣，則這兩個(gè)節(jié)氣恰在同一個(gè)月的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】寫出基本事件，根據(jù)古典概型概率公式求解.【詳解】由題意，基本事件由（立夏，小滿），（立夏，芒種），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑），（小滿，芒種），（小滿，夏至），（小滿，小暑），（小滿，大暑），（芒種，夏至），（芒種，小暑），（芒種，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）共15個(gè)，其中任取兩個(gè)在同一個(gè)月的有3個(gè)，所以,故選：C7.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A.0 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇偶性與對(duì)稱性分析函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，在根據(jù)所給函數(shù)解析式，計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，且滿足，所以，，則，即，則，即是以為周期的周期函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A8.已知數(shù)列滿足，，則（）A.2023 B.2024 C.4045 D.4047【答案】C【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系化簡(jiǎn)后，由累乘法直接求.【詳解】，，即，可得，.故選：C9.在正方體中，M，N分別為AD，的中點(diǎn)，過M，N，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面形狀為（）A.六邊形 B.五邊形 C.四邊形 D.三角形【答案】B【解析】【分析】在上取點(diǎn)，且，取中點(diǎn)為，在上取點(diǎn)，且.通過，可得，進(jìn)而得出，.通過證明，得出.同理得出，即可得出正方體的截面圖形.【詳解】在上取點(diǎn)，且，取中點(diǎn)為，連接.在上取點(diǎn)，且，連結(jié).因?yàn)?，，所以，所?又，所以，所以，所以，.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且.根據(jù)正方體的性質(zhì)，可知，且，所以，，且，所以，四邊形是平行四邊形，所以，，所以.同理可得，.所以，五邊形即為所求正方體的截面.故選：B.10.已知，，，，則a，b，c，d的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)、，，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性比較大小作答.【詳解】令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞減，當(dāng)時(shí)，，則，于是，即，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，，則，于是，即，當(dāng)時(shí)，，，則，即，而，于是，即，所以a，b，c，d的大小關(guān)系是，C正確.故選：C11.P為拋物線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)．如下圖，，的最小值為5．若直線與拋物線交于點(diǎn)N，則外接圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合拋物線定義求出，再解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后借助正余弦定理求出圓的半徑作答.【詳解】依題意，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過點(diǎn)作于，過作于，交拋物線于，連接，如圖，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，解得，即有，由得點(diǎn)，因此，在中，由余弦定理得，則，令外接圓半徑為，由正弦定理得，則，所以外接圓的面積為.故選：D12.若函數(shù)在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，數(shù)形結(jié)合得解.【詳解】函數(shù)在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，即在上有2個(gè)解，即與的圖象在上有2個(gè)交點(diǎn)，，由可得，函數(shù)單調(diào)遞增，故時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由時(shí)，知，，即，可得，作出圖象，如圖，由圖象可知，當(dāng)時(shí)滿足條件.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)雙曲線（，）的兩條漸近線分別為，，左焦點(diǎn)為．若關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，則雙曲線的離心率為__________．【答案】2【解析】【分析】設(shè)，，點(diǎn)，，由PF與垂直得到，的中點(diǎn)在上可得，代入結(jié)合可得答案.【詳解】不妨設(shè)，，點(diǎn)，，因?yàn)椋瑒t，即，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在上，則，即．所以，即，所以，故答案為：2．14.已知向量，，，若，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量相等可得，兩式平方相加結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得答案.【詳解】由題意可知，即，將兩式平方相加可得，故，故答案為：15.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是等比數(shù)列且，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則______．【答案】538【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由已知可得，，再利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，且，因?yàn)椋?，若，則，可得，若，則，可得，因?yàn)?，所?故答案為：.16.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，且，該四棱錐的外接球的表面積為，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】作出輔助線，找到球心的位置，列出方程，求出半徑與的關(guān)系式，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性和最值情況，得到表面積的取值范圍.【詳解】連接相交于點(diǎn)，連接，則⊥平面，球心在上，連接，則，，因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為，所以，在直角三角形上，由勾股定理得，即，，解得，由，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在取得極小值，也是最小值，此時(shí)，又當(dāng)和時(shí)，，所以，則.故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.4月15日是全民國(guó)家安全教育日．以人民安全為宗旨也是“總體國(guó)家安全觀”的核心價(jià)值.只有人人參與，人人負(fù)責(zé)，國(guó)家安全才能真正獲得巨大的人民性基礎(chǔ)，作為知識(shí)群體的青年學(xué)生，是強(qiáng)國(guó)富民的中堅(jiān)力量，他們的國(guó)家安全意識(shí)取向?qū)?guó)家安全尤為重要.某校社團(tuán)隨機(jī)抽取了600名學(xué)生，發(fā)放調(diào)查問卷600份（答卷卷面滿分100分）．回收有效答卷560份，其中男生答卷240份，女生答卷320份.有效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之間．同時(shí)根據(jù)560份有效答卷的分?jǐn)?shù)，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中m的值，并求出這560份有效答卷得分的中位數(shù)和平均數(shù)n（同一組數(shù)據(jù)用該組中點(diǎn)值代替）.（2）如果把75分及以上稱為對(duì)國(guó)家安全知識(shí)高敏感人群，74分及以下稱為低敏感人群，請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為學(xué)生性別與國(guó)家安全知識(shí)敏感度有關(guān)．高敏感低敏感總計(jì)男生80女生80總計(jì)560附：獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828公式：，其中．【答案】（1），中位數(shù)62，平均數(shù)60.2（2）列聯(lián)表見解析，有【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中個(gè)矩形面積之和可求得m的值；根據(jù)中位數(shù)以及平均數(shù)的計(jì)算方法可求得中位數(shù)和平均數(shù)；（2）由題意可得列聯(lián)表，計(jì)算的值，與臨界值表比較即可得結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)?，所以．又，故設(shè)中位數(shù)為x，則，所以．平均數(shù).【小問2詳解】由題意可得列聯(lián)表如下：高敏感低敏感總計(jì)男生80160240女生80240320總計(jì)160400560,故有的把握認(rèn)為學(xué)生性別與國(guó)家安全知識(shí)敏感度有關(guān)．18.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知，，．（1）求A；（2）若M是直線BC外一點(diǎn)，，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)可得，，，根據(jù)角的范圍，即可得出答案；（2）由已知根據(jù)余弦定理可求得，，進(jìn)而根據(jù)正弦定理可求出.設(shè)，，根據(jù)余弦定理可得出，然后根據(jù)基本不等式得出，即可根據(jù)面積公式得出答案.【小問1詳解】由得，由正弦定理得，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以．【小?詳解】由得，故．因?yàn)?，所以，所以，可?根據(jù)正弦定理可得，.設(shè)，，在中，，由余弦定理可得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.所以．故面積的最大值為．19.如圖，四邊形ABCD為菱形，平面ABCD，，．（1）證明：平面平面FAC；（2）記三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，求．【答案】（1）證明見解析（2）3【解析】【分析】（1）先證明平面BDEF，據(jù)此再證明平面ACF，即可得證；（2）由棱錐體積公式，分別計(jì)算兩棱錐的體積，即可求解.【小問1詳解】設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連接EO，F(xiàn)O，如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以．因?yàn)槠矫妫矫鍭BCD，所以．又，平面BDEF，所以平面BDEF，又平面BDEF，所以．設(shè)，由題意得，，．因?yàn)椋云矫鍭BCD，所以，，．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，平面ACF，所以平面ACF．又平面EAC，所以平面平面FAC．【小問2詳解】由（1）可知平面BDEF，平面BDEF，所以，由（1）所設(shè)可知，．因?yàn)槠矫鍭CF，所以．由（1）可知平面ABCD，所以平面ABC．又，，所以．所以．20.橢圓的短軸長(zhǎng)為2，離心率為，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）橢圓C上是否存在點(diǎn)Q，使得直線MQ，NQ與直線分別交于點(diǎn)A，B，且？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在，或【解析】【分析】（1）由橢圓的短軸長(zhǎng)和離心率得到，求出橢圓方程；（2）考慮當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出直線，得到，同理得到，分與討論，得到點(diǎn)坐標(biāo)，再考慮當(dāng)斜率為0時(shí)，也滿足要求，從而求出答案.【小問1詳解】由題意得，則，所以橢圓的方程為．【小問2詳解】當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)，聯(lián)立，可得．.設(shè)，，，則，．直線，令得同理可得．于是，故．若，則由，與直線的任意性矛盾,若，則所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或,當(dāng)斜率為0時(shí)，此時(shí)設(shè)，不妨令，此時(shí)直線為，令得，故，直線為，令得，故，顯然，經(jīng)驗(yàn)值，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為同樣滿足要求，綜上：點(diǎn)的坐標(biāo)為或，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.21.已知函數(shù)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且，求證：．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，.構(gòu)造，證明得出，即可得出在上恒成立，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由已知可推得.換元，，解出，代入即可得出只需證明在時(shí)成立，即可得出結(jié)論.構(gòu)造函數(shù)，，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，即可證得.【小問1詳解】由已知可得，定義域?yàn)椋?令，則.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增．所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間．【小問2詳解】由題意得:，且.由可得，，即有.設(shè)，，可得，.欲證，即證，只需證在時(shí)恒成立.設(shè)，，則上恒成立，所以，在上單調(diào)遞減，所以，所以在時(shí)恒成立，所以，在時(shí)恒成立，從而，有，所以．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由已知可推得.設(shè)，，可得，.進(jìn)而利用分析法得出的等價(jià)結(jié)論在時(shí)成立.構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，即可證得.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程