人教B版高中數(shù)學(xué)選修2-2132利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值測(cè)試（教師版）

1.3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（檢測(cè)教師版）時(shí)間:50分鐘總分：80分班級(jí)：姓名：選擇題（共6小題，每題5分，共30分）1．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)的極值情況是()A．當(dāng)x＝1時(shí)，極小值為2，但無(wú)極大值B．當(dāng)x＝－1時(shí)，極大值為－2，但無(wú)極小值C．當(dāng)x＝－1時(shí)，極小值為－2；當(dāng)x＝1時(shí)，極大值為2D．當(dāng)x＝－1時(shí)，極大值為－2；當(dāng)x＝1時(shí)，極小值為2【答案】D【解析】f′(x)＝1－eq\f(1,x2)，令f′(x)＝0，得x＝±1，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)增，在(－1,0)和(0,1)上單調(diào)減，∴當(dāng)x＝－1時(shí)，取極大值－2，當(dāng)x＝1時(shí)，取極小值2.故選D.2．下列函數(shù)中x＝0是極值點(diǎn)的函數(shù)是()A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cosxC．f(x)＝sinx－x D．f(x)＝eq\f(1,x)【答案】B【解析】A．y′＝－3x2≤0恒成立，所以函數(shù)在R上遞減，無(wú)極值點(diǎn)．B．y′＝sinx，當(dāng)－π<x<0時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<π時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減且y′|x＝0＝0，故B符合．C．y′＝cosx－1≤0恒成立，所以函數(shù)在R上遞減，無(wú)極值點(diǎn)．D．y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)與(0，＋∞)上遞減，無(wú)極值點(diǎn)．3．函數(shù)f(x)＝－eq\f(x,ex)(a<b<1)，則()A．f(a)＝f(b)B．f(a)<f(b)C．f(a)>f(b)D．f(a)，f(b)的大小關(guān)系不能確定【答案】C【解析】f′(x)＝(eq\f(－x,ex))′＝eq\f(－x′·ex－－x·ex′,ex2)＝eq\f(x－1,ex).當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)為減函數(shù)，∵a<b<1，∴f(a)>f(b)．4．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)極值點(diǎn)有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】由f′(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，先增，再減，再增，最后再減，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有三個(gè)極值點(diǎn)．故選C.5．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為()A．－1<a<2 B．－3<a<6C．a(chǎn)<－1或a>2 D．a(chǎn)<－3或a>6【答案】D【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值，所以Δ>0，即4a2－4×3×(a＋6)>0，即a2－3a－18>0，解得a>6或a<－3.故選D.6．已知函數(shù)f(x)＝ex(sinx－cosx)，x∈(0,2015π)，則函數(shù)f(x)的極大值之和為()A.eq\f(e2π1－e2014π,e2π－1) B．eq\f(eπ1－e2014π,1－e2π)C.eq\f(eπ1－e1007π,1－e2π) D．eq\f(eπ1－e1007π,1－eπ)【答案】B【解析】f′(x)＝2exsinx，令f′(x)＝0得sinx＝0，∴x＝kπ，k∈Z，當(dāng)2kπ<x<2kπ＋π時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)(2k－1)π<x<2kπ時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝(2k＋1)π時(shí)，f(x)取到極大值，∵x∈(0,2015π)，∴0<(2k＋1)π<2015π，∴0≤k<1007，k∈Z.∴f(x)的極大值之和為S＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2013π)＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2013π＝eq\f(eπ[1－e2π1007],1－e2π)＝eq\f(eπ1－e2014π,1－e2π)，故選B.填空題（共4小題，每題5分，共20分）7．函數(shù)y＝xex在其極值點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_______．【答案】y＝－eq\f(1,e)【解析】y＝f(x)＝xex?f′(x)＝(1＋x)ex，令f′(x)＝0?x＝－1，此時(shí)f(－1)＝－eq\f(1,e)，函數(shù)y＝xex在其極值點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為y＝－eq\f(1,e).8．若函數(shù)f(x)＝x＋asinx在R上遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】[－1,1]【解析】f′(x)＝1＋acosx，由條件知f′(x)≥0在R上恒成立，∴1＋acosx≥0，a＝0時(shí)顯然成立；a>0時(shí)，∵－eq\f(1,a)≤cosx恒成立，∴－eq\f(1,a)≤－1，∴a≤1，∴0<a≤1；a<0時(shí)，∵－eq\f(1,a)≥cosx恒成立，∴－eq\f(1,a)≥1，∴a≥－1，即－1≤a<0，綜上知－1≤a≤1.9．若函數(shù)y＝2x3－3x2＋a的極大值是6，則a＝________.【答案】6【解析】y′＝6x2－6x＝6x(x－1)，易知函數(shù)f(x)在x＝0處取得極大值6，即f(0)＝6，∴a＝6.10．已知f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________．【答案】(0,1)【解析】∵f′(x)＝3x2－3b＝3(x2－b)．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值，故方程3(x2－b)＝0在(0,1)內(nèi)有解，所以0<eq\r(b)<1，即0<b<1.三、解答題（共3小題，每題10分，共30分）11．求下列函數(shù)的極值．(1)y＝x2－7x＋6【解析】(1)y′＝(x2－7x＋6)′＝2x－7.令y′＝0，解得x＝eq\f(7,2).當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表.xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))eq\f(7,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞))y′－0＋y極小值－eq\f(25,4)當(dāng)x＝eq\f(7,2)時(shí)，y有極小值，且y極小值＝－eq\f(25,4).12．已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線(xiàn)方程為y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值．【解析】(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.從而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(ex－eq\f(1,2))．令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.從而當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(－2，－ln2)時(shí)，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，－ln2)上單調(diào)遞減．當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(－2)＝4(1－e－2)．13．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(3x2＋ax,ex)(a∈R)．(1)若f(x)在x＝0處取得極值，確定a的值，并求此時(shí)曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程；(2)若f(x)在[3，＋∞)上為減函數(shù)，求a的取值范圍．【解析】(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝eq\f(6x＋aex－3x2＋axex,ex2)＝eq\f(－3x2＋6－ax＋a,ex)，因?yàn)閒(x)在x＝0處取得極值，所以f′(0)＝0，即a＝0.當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝eq\f(3x2,ex)，f′(x)＝eq\f(－3x2＋6x,ex)，故f(1)＝eq\f(3,e)，f′(1)＝eq\f(3,e).從而f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為y－eq\f(3,e)＝eq\f(3,e)(x－1)，化簡(jiǎn)得3x－ey＝0.(2)由(1)知f′(x)＝eq\f(－3x2＋6－ax＋a,ex)，令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0解得x1＝eq\f(6－a－\r(a2＋36),6)，x2＝eq\f(6－a＋\r(a2＋36),6).當(dāng)x<x1時(shí)，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x1<x