2023年北京朝陽區(qū)高三年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

北京市朝陽區(qū)2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測

高三數(shù)學(xué)2023.I

(考試時間120分鐘滿分150分)

本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10題，每題4分，共40分。在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的

一項C

(1)已知全集U={x\x>0\，集合4={娼14<2},則C“4=

(A)(-oo,1]U[2,+<?)(B)(0,l]U[2,+oo)

(C)(F,1)U(2,+8)(D)(0,l)U(2,+oo)

(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(1+i)(a-i)對應(yīng)的點在第三象限，則實數(shù)的取值范圍是

(A)(-oo,-l)(B)(-oo,1)

(C)(-l,+oo)(0)(1,+^)

比一+2%—3x0

(一''的零點的個數(shù)為

leA-2,生〉0

(A)0(B)l(C)2(D)3

(4)已知雙曲線下-?=1(的一條漸近線的傾斜角為60。,則雙曲線的離心率為

ab

⑻竽

(C)有(D)2

(5)在△4EC中，“sin2,4=sin28”是“△4EC為等腰三角形”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(6)過直線)=丘-2上任意一點，總存在直線與圓/+尸=I相切，則k的最大值為

Fi

(A)百(B)E(C)1(D)y

高三數(shù)學(xué)試卷第I頁(共6頁)

(7)已知函數(shù)/(a;)=sin(3A；+3)(3>0,卬<萬)，若g(x)?/(*)=I,且函數(shù)g(x)的部分圖象

如圖所示，則中等于

(A)-y

(B)-^

(嗚

(D)y

(8)2022年10月31日，長征五號B遙四運載火箭帶著中華民族千百年來探索浩瀚宇宙的

夢想，將中國空間站夢天實驗艙準(zhǔn)確送入預(yù)定軌道.在不考慮空氣阻力的條件下,若火箭

的最大速度r(單位:km/s)和燃料的質(zhì)量M(單位：I)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m

M

(電位:t)的關(guān)系滿足方=2000111(1+—),M,

in

，""之間的關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論正確

的品

(A)當(dāng)M=3,皿=800時,r>7.9

(B)當(dāng)M=2,m<600時,v<7.9

(C)當(dāng)M>5,?i=800時,u〉11.2

(D)當(dāng)M>3所>600時,u>11.2第(8)題

(9)已知4,8,C是單位圓上不同的?:點/8=4C,則懣?無的最小值為

(A)0(B)-"(C)--y(0)-1

(10)在數(shù)列IQ,J中，的=1,%+尸%列1(neN°)，若存在常數(shù)c,對任意的neNo,都有a?<e

成立,則正數(shù)人的最大值為

(A)](B)!(C)J(D)；

，n4

高三數(shù)學(xué)試卷第2頁(共6頁)

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5題，每題5分，共25分。

(11)在(2"+'尸的展開式中，常數(shù)項為.(用數(shù)字作答)

X

(12)已知等差數(shù)列的公差%=4,且加，的,%成等比數(shù)列，則%=;其前

n項和S,,的最大值為.

(13)若函數(shù)/(x)=cosx-sinx在區(qū)間［0,a］上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的最大值為.

(14)拋物線C：y=/的準(zhǔn)線I的方程為.若點P是拋物線C卜.的動點,％與y軸交于

點4,則乙OAP(O是坐標(biāo)原點)的最大值為.

(15)如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A/￡4中,。,Q分別為4a,4國的中點，點T在

正方體的表面上運動，滿足P73BQ.

高三數(shù)學(xué)試卷第3頁(共6頁)

三、解答題共6題，共85分c解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

（16）（本小題13分）

在△42(:中，csinB=/3bcosC.

(1)求乙C;

(U)若"+6-6,求C的最小值.

（17）（本小題13分）

跳長繩兄中國歷史悠久的運動，某中學(xué)高三年級舉行跳長繩比賽（該校高三年級共4個

班），規(guī)定每班22人參加，其中2人搖繩,20人跳繩，在2分鐘內(nèi)跳繩個數(shù)超過120個的班級

可獲得優(yōu)勝獎，跳繩個數(shù)最多的班級將獲得冠軍.為預(yù)測獲得優(yōu)勝獎的班級個數(shù)及冠軍得

主,收集了高三年級各班訓(xùn)練時在2分怦內(nèi)的跳繩個數(shù),并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位:個）：

高三⑴班：142,131,129,126,121,109,103,98,96,94；

高三⑵班：137,126,116,108；

高三（3）班：163,134,112,103；

高三（4）班：158,132,130,127,110,106.

假設(shè)用頻率估計概率，且高三年級各班在2分鐘內(nèi)的跳繩個數(shù)相互獨立.

（1）估計高三（I）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎的概率；

（II）用X表示此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎的班級個數(shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望EX；

（1U）在此次跳長繩比賽中,哪個班獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）

高三數(shù)學(xué)試卷第4頁（共6頁）

(18)(本小題14分)

如圖，在四棱鋪P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面P4。_L平面ABC。,48=4,

。4=。。,￡,/分別為8(；,。0的中點.

(I)求證:〃平面PAR；

(II)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一

個作為已知，求二面角F-BE-A的余

弦值.

條件①:

_2

條件②：/,O=yEF.

注:如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

(19)(本小題15分)

22

已知橢圓。:、+==1(〃泌＞0)的右頂點4(2,0),。為橢圓C上的動點,口點尸不在*

ab

軸上,。是坐標(biāo)原點，ZUOP面積的最大值為1.

(I)求橢圓C的方程及離心率；

(U)過點H(-1,0)的直線PH與橢圓。交于另一點。，直線AP,AQ分別與y軸相交于點E,

〃.當(dāng)1”1=2n寸,求直線PH的方程.

高三數(shù)學(xué)試卷第5頁(共6頁)

(20)(本小題15分)

已知函數(shù)/(2=也(“>0).

ax

(I)求/(%)的的調(diào)區(qū)間;

(II)若，(％)WA;-■^對XE(0,+8)恒成立，求a的取值范圍;

a

(111)若%2liir1+A：1ln%2=0(%jX%2),證明：XJ+X2>2.

(21)(本小題15分)

已知無窮數(shù)列|的各項均為正數(shù)，當(dāng)〃W4時上W二當(dāng)〃>4時,%=max!%+*,

n4

。2+?！?，%+”.-3,…，，其中niax{x)表小孫,x2,x,s個數(shù)中最

大的數(shù).

(I)若數(shù)列|冊［的前4項為1,2,2,4,寫出外,%,%,%的值；

(II)證明:對任意的〃eN,，均有3w?；

(山)證明:存在正整數(shù)M當(dāng)n>A時,%=%+%.「

高三數(shù)學(xué)試卷第6頁(共6頁)

北京市朝陽區(qū)2022^-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測

高三數(shù)學(xué)參考答案2023.1

一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)

(I)B(2)A(3)C(4)D⑸D

(6)A(7)B(8)C(9)C(10)B

二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分)

(13))

(II)24(12)5n10

4

(14)yL(15)②?④

44

三、解答題(共6小題，共85分)

(16)體/]\題13分)

解：(1)因為csinB>/3Z?cosC,

所以sinCsinb^sinBcosC.

又因為8.(0,7T),所以sinB.O.

所以tan。$.

又因為Ct(0,i),

所以cg.

(II)因為"h6.Cp

由余弦定理('2a2b22abcosC,得

c"(alab2abcos?63ab.

因為9,當(dāng)且僅當(dāng)"h3時等號成立.

2

所以,229,解得蜂3.

所以c的最小值為3.

高三數(shù)學(xué)參考答案第1頁(共8頁)

(17)(本/J題13分)

解：(I)設(shè)事件4為“高三(1)班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎”.

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，高三(1)班共訓(xùn)練10次，跳繩個數(shù)超過120個的共5次.

所以P⑷估計為2.

(II)設(shè)事件4為“高三”)班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎”，k1,2,3,4.

根據(jù)題中數(shù)據(jù).P(4)估計為乙P(4)估計為乙1.24)估計為土-

424263

根據(jù)題意，隨機變量X的所有可能取值為0.1,2,3,4,且

P(X0)尸6耳不不＞(4年(A再4原A斤

P(X1)尸(Ad3，P(A441;。(44不4T(AA不

P(A)P(A)P(A)P(A)尸(A?(4刈4開㈠了

P(A)P(A)P(A)P(A)P(A研4M(A而A);

4

P(X3)P(A^A4TP(AA,A2A)4P(AA),?(AA不2)34

P(A)P(A)P(A)P(AJP(A甲(Ay(A?(A)4

P(A)P(A)P(A)P(A)尸(A/(A.(A.(A：;

P(X4)P(A444)4P(A*(A)F(A)F(A)4；

P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)P(X4).

所以，P(X0)估計為L；P(X1)估計為=；P(X3)估計為2_;

242424

P(x4)估計為-!-；P(X2)估計為-.

128

所以EX估計為0LIL251821813

2424一247

(HD在此次跳長繩比賽中，高三(3)班獲得冠軍的概率估計值最大.

高三數(shù)學(xué)參考答案第2頁(共8頁)

(18)(本/卜題14分)

解：(I)取肉的中點K,連接KF,K3.

因為K,尸分別是以，尸。的中點,

所以KF〃A。且K尸-AD.

2

又BE//AD且BE-AD,

2

所以KF//BE且KFBE.

故四邊形SEEK為平行四邊形.

所以EF//BK.

又因為EF-平面用8,BK平面以8,

所以E尸〃平面布8.

(II)取A。中點0,連接OP,OE.

在△左。中，因為外PD,所以P0,AD.

又因為平面PADf平面ABCD.

且平面出Dfl平面ABC。AD,

所以PO,平面A8C。.

故OP.OA.OP.OE.

又在正方形A8C。中，0E，0A,

所以。A,OE,OP兩兩垂直.

如圖建立空間直角坐標(biāo)0盯z,

設(shè)P(0,0,2z)(/0),

則50,0,0),B(2,4,0),0(2,0,0),E(0,4,0)F(1,0,0

所以麗(2,0,0),EF(1,4,/),?？?,02).

設(shè)平面8￡尸的法向量為〃(x“ozj,則

.LX八

，〃七3=0,o0，令)則

Ir<rr八即?,Cb11.于是

nhr0,x()4yotz00.x0,2。4n(0,/,4)

0

又因為平面ABE的一個法向量為機(0。1),

高三數(shù)學(xué)參考答案第3頁(共8頁)

m4

所以8smji

J,?］6

選擇條件①.PDEF.

則石尸。尸0,即22/0.

又10,所以，1.

此時cos膽,〃,

由題知二面角FBE4為銳角,所以其余弦值為嚕.

7

選擇條件②：PDjEF.

則⑵尸201尸（4尸產(chǎn),得廣?.

4yfi7

此時COS〃八〃-----

17

由題知二面角FBEA為銳角,所以其余弦值為胄

（⑼體小題15分）

解：（I）因為△AOP面積的最大值為Lz弧所以L",1.

22

2

又因為a2,c標(biāo)b2所以》］。3?

x2

所以橢圓C的方程為了y2T,離心率為-y-

（II）①當(dāng)直線P”的斜率不存在時,直線PH的方程為*1.顯然△APQS^AEF.

因為IPQI*,所以Im|PCI竽.2.不合題意

②當(dāng)直線P”的斜率存在時，設(shè)直線P〃的方程為yk（x1）.

由.vk（x1）.得（］4k2）/8/x（軟24）o

x24）24

顯然\0.

高三數(shù)學(xué)參考答案第4頁（共8頁）

我24依4

設(shè)Q(x,y),且X1J-2,則玉x-

222fTF1314A2

直線口的方程為＞/2-(x2).

2)；

令x0,得點E的縱坐標(biāo)",則E?丹?

XI2

直線AQ的方程為，2).

同理可得F(0.2心,

42

所以IEF1I上二巨馬2102、“72)

(蒼2)(勺2)

2:成》(?|2)k(xJ)(x2)

(玉2)(322)

6網(wǎng)」…3J-

所以3|&|13x2|\XJ^22(XjX)24|

即3Kll內(nèi)X』4"2沖1z2(xF)4-|

可得34黑小濕I*?.黑

化簡得3回霽上冷■解得*與-

所以直線PH的方程為x3?10或“6/-10.

(20)(本小題15分)

解.(I)/")的定義域為(0,,).

1Inx

由"x)以得f(x)

令r(x)0得xe.

因為〃0,所以當(dāng)X，(0,e)時.廣⑶.，0；當(dāng)M(e,,)時，f-(x)0

所以/")的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間為6?).

高三數(shù)學(xué)參考答案第5頁(共8頁)

">.u.UMBS心，in.vaxX-ZUHA"

2(（0,）上恒成立.

設(shè)g(x)inVax2x,

1_,2ax2x1

貝niIlJg(x)x-lax1-------------------

XX

令8.(*)0,得為lJjTo(舍)松LJJL0.

4。4。

當(dāng)人飛(0,照)時，gJ).，0,所以在上單調(diào)遞增；

g(x)(0,x)

2

當(dāng).J：(X2,r)時，g'(x)?。g(x)(X2,*)

，所以在上單調(diào)遞減.

故g(x)maxg(x)ln.r2at2?X2.

又由川(&)。得J—

axr

….x.1.r,1

所以g(%2)lnx2--5--.

2X2InX22

依題意需g(X)g\W0,即InE%10.

II

設(shè)h(t)Inf-----h(t)(0,x)

2,則易知在為增函數(shù).

又力。)0,

所以對任意的y91],有風(fēng)）wo;對任意的人（1,「）h（t）0

r——,有

所以5照＞,即oIJ8"W1,解得a/.

4a

所以。的取值范圍為[I，,）

InxiInxz0

(III)由X21nRA)InX20（X）?2）得x?l,x01

x|X2且

“】nxw

由（H）知.當(dāng)。1時，—X1,當(dāng)且僅當(dāng)X1

時取等號.

InxInx2、x2i

所以不■為1'

X2

InxjInxz

兩式相加得——------<x.2，即XX2.0

x\X2一

故國X22

高三數(shù)學(xué)參考答案第6頁（共8頁）

⑵)(本/J'題15分)

解：(1)條5,a6,tz7,a8

678

(II)對任意"4,存在八{(lán)1,2.…:"-1},使得巴巴"

ni

若i.4或〃i4.

則4或?又可以寫成數(shù)列中某兩項的和，如《―。好

依此類推，存在力/，…，心0，2,3,4},使得〃aa

?h

其中/J2…+J*="?

所以存在化，。2，〃3，/小N,使得q,p.iipqzp%3Pa=4

且Pi2P23P34P4n.

設(shè)%r,則當(dāng)〃W4時，an^nt.

4

當(dāng)"4時，anp(ixpq2pa3ypa^pt,p2tp34P

(Pi2P2