天津市武清區(qū)河西務(wù)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級上冊第二次統(tǒng)練數(shù)學(xué)試題及答案

天津市武清區(qū)河西務(wù)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第二次

統(tǒng)練數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.直線依x+y+2=0的傾斜角為()

A.150°B.120°C.60°D.30°

2.圓心為(-1,1),半徑為2的圓的方程為()

A.(x+l)2+(y-l)2=4B.(x+l)2+(y+l)2=2

C.(x-l)2+(y+l)2=4D.(x+l)2+(j-l)2=2

3.已知直線x+2y+3=0與直線2x+:改+1=0平行，則它們之間的距離為()

A.好B.710C.童D.

222

4.已知拋物線V=4y上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,則點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)的距離為

A.2B.3C.4D.5

5.已知點(diǎn)4(2,-3),川-3,-2),直線/：〃覬+y-〃2-1=0與線段48相交，則直線/的斜

率上的取值范圍是()

3.313

A.k>—^k<-4B.-4<k<—C.k<——D.——<k<4

4454

22

6.已知雙曲線二一二=1的一個(gè)焦點(diǎn)在直線x+2y=5上，則雙曲線的漸近線方程為()

a29

A.J=?-xB.y=+-xC.y=±^^xD.y=±空^

4334

7.在正四面體ABC。中，E是。的中點(diǎn)，廠是AE的中點(diǎn)，若AB=a,AC=6，AD=c，

則BF=()

B."一

44

171

C.~ClH—bH—cD.-a-b+—c

4444

8.已知圓G：/+y2=4和圓+-的公共弦長為2,貝IJ實(shí)數(shù)。的

值為（）

A.BB.6C.正D.72

32

9.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為月、工，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)尸，若△白尸鳥

為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）

A.受B.克匚C.V2-1D.應(yīng)

22

10.已知點(diǎn)A（2,l）在圓C：/+/一2了+沖+2=0的夕卜部，貝|實(shí)數(shù)能的取值范圍為（）

A.（-3,-2）（2,+oo）B.（-2,2）_（3,+co）

C.（-2,+oo）D.（-3,+co）

11.已知圓。的方程為（x-3）2+（y-4）2=1,過直線/：3%+4y-5=0上任意一點(diǎn)作圓。的

切線，則切線長的最小值為（）

A.4B.岳D.5

2

12.已知拋物線需無2=丁的焦點(diǎn)廠與雙曲線r

—=1(。＞0,b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)重

a2

合，且點(diǎn)尸到雙曲線的漸近線的距離為4,則雙曲線的方程為（

2222c*"22

A.工-乙=1B.土-2=1D,工-J

9161641916

13.已知過點(diǎn)尸（2,2）的直線與圓（工-1）2+,2=5相切，且與直線以—>+1=。平行，則〃二

（）

A.2B.1C.—D.—

22

22

14.已知雙曲線2=1（。>0力>0）的左頂點(diǎn)與拋物線丁=2pM〃>0）的焦點(diǎn)的距離為

ab

3,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

為（

y2T2)2

A.B.—-1

~22T

x2

C.—y2=1D.-y2=1

4T

22

15.已知雙曲線「：二一［=1（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為尸9,0）（c>0）,M是雙曲

ab

試卷第2頁，共4頁

線的左支上的一點(diǎn)，線段血尸與圓3:+/=幺相切于點(diǎn)。，且I"用=4|。尸|,

64

則雙曲線r的漸近線方程為()

A.2x±y=0B.2x±3y=0C.2x±ly=0D.4x±7y=0

二、填空題

16.已知空間向量。=(3,0,1),i=(-2,1,W),c=(l,2,3)且(a-c"=2,則"值為.

17.已知直線(：4x+(a+2)y+4=0,和直線乙：(a-l)x+y+1=。平行，貝！Ia的值

是.

18.經(jīng)過點(diǎn)4(3,1),且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程為.

19.拋物線y=-8/的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

20.己知圓G：Y+/+2x-8y+8=0,若圓C?與圓C1關(guān)于直線y=-x+2對稱，則圓C?

方程.

21.已知直線1經(jīng)過點(diǎn)P(—4,-3),且被圓(x+l)2+(y+2)2=25截得的弦長為8,則

直線1的方程是.

三、解答題

22.如圖，已知81垂直于梯形A3CD所在的平面，矩形&LDE的對角線交于點(diǎn)尸，G為

兀1

S3的中點(diǎn)，NABC=NBAD=-,SA=AB=BC=-AD=2.

22

⑴求證：平面AEG；

⑵求平面SCD與平面ESD夾角的余弦值；

(3)在線段EG上是否存在一點(diǎn)H,使得9與平面SCD所成角的大小為：?若存在，求

0

出G”的長；若不存在，說明理由.

23.已知圓C過點(diǎn)A(1,2),B(2,1),且圓心C在直線y=-x上.P是圓C外的點(diǎn),

過點(diǎn)尸的直線/交圓C于M,N兩點(diǎn).

⑴求圓C的方程；

⑵若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,-3),探究：無論/的位置如何變化，IPMbIPN是否恒為定值？若

是，求出該定值：若不是，請說明理由.

22

24.已知橢圓C:\+2=l(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線丁=4.乂的焦點(diǎn)相同，F(xiàn)x,F2

ab

為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)，△西入面積的最大值為2.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)不過原點(diǎn)的直線：>=去+，〃與橢圓C交于A、8兩點(diǎn)，直線與8弱的斜率分別

為尤、k2,且左+自=0,求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】先求出直線斜率，再由斜率與傾斜角的關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】直線底+3y+2=0的斜率為-岑，設(shè)直線的傾斜角為

貝Utanc=-3,0°<?<180°,所以1=150°.

3

故選：A.

2.A

【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行判斷即可.

【詳解】因?yàn)閳A的圓心為(-M),半徑為2,

所以圓的方程為(％+咪+(卜1)2=4.

故選：A.

3.A

【解析】利用兩直線平行求出加的值，再利用兩平行線間的距離公式即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€化+2y+3=0與直線2%+加y+l=O平行，

1?

所以7=—,可得m=4,

2m

所以2%+4y+l=0,BPx+2y+—=0,

所以兩平行間距離公式可得，」|3-12|.r

717F2

故選：A

4.D

【詳解】試題分析：拋物線尤2=4y焦點(diǎn)在》軸上，開口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),準(zhǔn)線

方程為>=T,因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為4+1=5,因?yàn)閽?/p>

物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為5.

考點(diǎn)：本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，考

查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到，可以簡

化運(yùn)算.

5.A

答案第1頁，共11頁

【詳解】m(x-l)+(j-l)=O,所以直線/過定點(diǎn)尸(1,1),

3

所以kPA=~4>

直線在m到R4之間，

所以或“4故選A.

4

6.A

【解析】首先由條件求得c=5,再求最后根據(jù)雙曲線的漸近線方程，直接求解.

【詳解】由條件可知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸，并且直線x+2y=5中，當(dāng)y=0時(shí)，％=5,所以c=5,

那么1+9=25,解得：a2=16,且加=9,

h3

所以雙曲線的漸近線方程是y=±-x=±|x.

a4

故選：A

7.C

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】由題意得，

BF=BA+AF=-AB+-AE=-AB+-x-(AD+Ac}=-AB+-AC+-AD=-a+-b+-c.

222、'4444

故選：C.

8.A

【解析】本題首先可以確定圓G和圓c2的圓心與半徑，然后求出圓C1和圓c?的公共弦方程,

2

最后通過公共弦長為2得出22-I2=,通過計(jì)算即可得出結(jié)果.

【詳解】圓&：心+丫?一的圓心G(0,0),半徑4=2,

圓C2:x?+y2+2ay-6=0即尤②+(y+a)2=6+。2,圓心。2(°，一。)，半徑4=J6+/,

圓C1和圓C2的公共弦方程為尤2+/一(尤2+/+2皎-6)=4,即>=!，

答案第2頁，共11頁

圓心G（0,0）至Uy=：的距離為:，

因?yàn)楣蚕议L為2,所以22-12=管一，解得°=走或一走（舍去），

穆33

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：相交的兩圓的公共弦方程是兩圓方程進(jìn)行相減即可，求出兩個(gè)圓的圓

心和半徑以及圓心到公共弦的距離，利用兩個(gè)圓的公共弦長以及勾股定理即可求出。的值.

9.C

【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到△片尸工三條邊的長度關(guān)于c的表達(dá)式，再利用橢

圓的定義求得見。的關(guān)系式，進(jìn)而得到離心率.

【詳解】依題意，設(shè)橢圓的長軸為九,半焦距為J

則上留=2c,則忸閶=2c,附|=2岳，

于是2a=歸團(tuán)+|尸局=2岳+2c,

2c=e-1.

a2a20c+2c

故選：c.

10.A

f(-2)2+m2-8>0

【分析】由題意可得解不等式組可得答案

[22+l2-2x2+m+2>0

【詳解】由題意，得歸二u＞。

解得一3〈根＜一2,或m＞2.

故選：A.

11.B

【分析】利用點(diǎn)到直線的距離結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化問題計(jì)算即可.

答案第3頁，共11頁

如圖所示，直線上一點(diǎn)A作圓的兩條切線相＞、AE,過C作3C，/,

則切線長為|AO|=|AE|=VAC2-I2,

20

顯然|4。2怛。，當(dāng)且僅當(dāng)48重合時(shí)取得最小值，此時(shí)忸。=不下=4=體。，

所以切線長最小值為岳.

故選：B

12.D

【解析】由拋物線去f=y,求得尸(0,5),得到c=5,再由焦點(diǎn)尸(0,5)到漸近線的距離為4,

求得6=4,進(jìn)而得到4=后下=9,即可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到答案.

【詳解】由題意，拋物線卷/=＞可化為V=20y,可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為“0,5),

22

即雙曲線2-鼻=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(0,5),即c=5,

ab

又由雙曲線W■-；=1的一條漸近線的方程為y=:不即6-力=0，

abb

的5b

所以焦點(diǎn)尸(。,5)到ax-by=0的距離為=4,

y]a2+(-/7)2c

所以Z?=4,又由[=Jc1—b1=^52—42=9,

22

所以雙曲線的方程為二-七=1.

916

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中

熟記雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，合理運(yùn)算時(shí)解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

13.C

答案第4頁，共11頁

【分析】先根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)切線方程，再根據(jù)圓心到切線距離等于半徑列式解得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榍芯€與直線以-，+1=0平行，所以切線方程可設(shè)為依-丫+m=0

因?yàn)榍芯€過點(diǎn)尸(2,2),所以2a-2+加=0二加=2-2。

0+2—2。|GA2A1n1

因?yàn)榕c圓(x-l)~?+y2=5相切，所以---/。=05/.4<7"+4<7+1=0,

Va+12

故選：C

14.B

【分析】確定拋物線焦點(diǎn)為(1,0)，且。=)，根據(jù)距離得到。=2,得到雙曲線方程.

【詳解】雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為

故拋物線的準(zhǔn)線方程為了=-1,即拋物線焦點(diǎn)為。,0),

A

漸近線方程y=過則。=)，

雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)距離是3,則左頂點(diǎn)為(-2,0),即a=2.

22

故雙曲線方程為工-匕=1.

44

故選：B.

15.D

【分析】利用雙曲線的定義得到歸戶|=4|3/I,再利用線線平行、直線圓相切以及勾股定理

得到關(guān)于“、b、。的方程組即可求解.

【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F(如圖所示)，

又由|MF|=4|DF|,可知

有尸以LMF,pWF[=4x《=2，\MF\=2A+1,

o22

答案第5頁，共11頁

i(iAh4

在RtAMFk中，4c2=-b2+\2a+-b\,得一二一,

4I2)a7

4

故雙曲線「的漸近線方程為y=±-x.

故選:D.

16.-4

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即求.

【詳解】由題意，空間向量2=(3,0,1)石=(-2,1,“)1=(1,2,3),

可得。-=（3,0,1）-（1,2,3）=（2,-2,-2）,

所以（°_<?>6=_4_2_2〃=2,解得”=一4.

故答案為：—4-

17.-3

【分析】由題意利用兩條直線平行的性質(zhì)，求得。的值.

【詳解】一直線4：4x+(a+2)y+4=0,和直線/2：(a—1)了+,+1=0平行,

1r-,4Q+24

「.awl,且—-――--工—，

Q—III

則。=-3

故答案為：-3.

【分析】根據(jù)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可.

2222

【詳解】解：設(shè)雙曲線的方程為三-多=±l(a>0),把點(diǎn)A(3,l)代入［-與=1,得"=8;

aaaa

/丫？91Y?d

把點(diǎn)A(3,l)代入=-5=-1,得烏一3=T，無解?故所求方程為土-匕=1.

a2a2a2a288

22

故答案為：土-匕=1.

88

19.|^0,-^/(0,-0.03125)

【分析】寫出拋物線標(biāo)準(zhǔn)形式，即可得焦點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】由題設(shè)得：/=一卜，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為

故答案為：1°廠,)

答案第6頁，共11頁

20.(x+2)2+(y-3)2=9

【分析】先利用配方法求得圓C1的圓心與半徑，根據(jù)直線的對稱性求得圓圓心，從而

得解.

［詳解］圓G：x2+y2+2x-8y+8=0可化為(彳+吁+仃-葉=9,

則其圓心G(-1,4),半徑r=3,

設(shè)圓Q的圓心為C2(x,y),

因?yàn)閳AC?與圓G關(guān)于直線y=-尤+2對稱,

d-i+zy=1—xx=-2

所以,,整理得<,解得

y=x+5y=3

Zzl=i

、X+1

所以圓C得方程為：(x+2)2+(y-3)2=9.

故答案為：(x+2y+(y-3)2=9

21.x+4=0和4x+3y+25=0

【詳解】由已知條件知圓心(-1,—2),半徑r=5,弦長機(jī)=8.

設(shè)弦心距是d,則由勾股定理得解得d=3.若/的斜率不存在，則直線/的方程為無

=-4,圓心到直線的距離是3,符合題意.若/的斜率存在，設(shè)為k,則直線/的方程為＞+3=依尤+4),

即區(qū)一＞+飲一3=0,則/='r―'=3,即升2—6%+1=9r+9,解得左=一小則直線/的方程

為4x+3y+25=0.所以直線I的方程是x+4=0和4x+3y+25=0.

22.(1)證明見解析

⑵當(dāng)

6

(3)3亞

【分析】(1)連接尸G,則由三角形中位線定理可得FG〃即，然后利用線面平行的判定定

理可證得結(jié)論；

(2)由題意可得&SALAD,AB±AD,所以以AB,AD，AS為正交基底建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-N,利用空間向量求解；

答案第7頁，共11頁

(3)假設(shè)存在點(diǎn)設(shè)G"=XGE=(—Z4/L,%)，利用空間向量求解即可.

【詳解】(1)連接FG,因?yàn)樗倪呅?WE為矩形，所以歹為SD的中點(diǎn)，

在"SBD中，F(xiàn)、G分別為SD,S3的中點(diǎn)，所以FG//BD,

又因?yàn)镕Gu平面A￡G,3￡>cz平面AEG,所以平面AEG.

(2)因?yàn)镾A_L平面ABC。，AB,ADu平面A5CD,所以5A_LAB,SALAD,

rr

又/BAD=—,所以鈣，位),

2

以AB,AD>AS為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-邙

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),S(0,0,2),E(0,4,2),G(l,0,l),

則①=(-2,2,0),SC=(2,2,-2),

JYI.CD——2x+2y—0

設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為機(jī)=(%,y,z),貝叫，

m-SC=2x+2y-2z=0

令x=l,得y=l,z=2,所以平面SCD的一個(gè)法向量為m=(1,1,2),

易知平面ESD(即平面APES)的一個(gè)法向量為幾二(1,0,0),

所以平面SCD與平面ESD所成角的余弦值為好.

(3)由(2)得GE=(-1,4,1),=(-1,0,1),

假設(shè)存在點(diǎn)設(shè)G"=XGE=(-44X,X),

貝lj3"=3G+G"=3G+/IGE=(-1—X,4%1+幾),

由(2)知，平面SCO的一個(gè)法向量為根=(1,1,2),

答案第8頁，共11頁

因?yàn)锽H與平面SCD所成角的大小為TIT,

6

.7iI/\|m-BH卜1—/1+4/1+2+2丸|

所以sm—6=cos(m,BH)\=——；----1=122----------------------------

?'H|喇^162+2(l+2)xVl+1+42

|52+1|

所以即("1)2=0,所以％=i,則G"=(-L4,1),

V6x718A2+4/l+22

故存在滿足題意的點(diǎn)H,此時(shí)|GH|=J1+16+1=30.

23.(l)x2+y2=5

(2)4

【分析】（1）由設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由待定系數(shù)法將A,8代入方程，即可求解，

（2）聯(lián)立直線與圓的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系以及忸“3尸N|=PM-/W即可求解.

【詳解】（1）由于圓心在》=一%故設(shè)圓的方程為（*一。）2+（、+。）2=/，將A（1,2）,B

(l-a『+(2+a)2=，a=0

（2,1）代入可得，

(2-a)2+(l+a)2=r2牛守r-=5,

所以圓的方程為：%2+/=5

（2）當(dāng)直線Ux軸時(shí)，|/W|x|PN|=（3-6）（3+岔）=4,

當(dāng)直線/有斜率時(shí)，設(shè)其方程為：y=kx-3,

+2=5

聯(lián)立直線與圓的方程,消元得（公+1）尤2-6履+4=0,

Iy=KJC—J

設(shè)〃（%,兇）川（々,%）,則%%=7^7，A=20左2—16>0,