6.1 平方根 人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)知識(shí)講解

專題6.1平方根（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根．2．了解開(kāi)方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用開(kāi)方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根．【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、平方根和算術(shù)平方根的概念1.算術(shù)平方根的定義如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即,那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開(kāi)方數(shù).特別說(shuō)明：當(dāng)式子有意義時(shí)，一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方.平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算.(≥0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根.知識(shí)點(diǎn)二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1．區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和2．聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．特別說(shuō)明：（1）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．（2）正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫(xiě)出它的另一個(gè)平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來(lái)研究平方根.知識(shí)點(diǎn)三、平方根的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)四、平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如：，，，.【典型例題】類型一、平方根??概念的理解??平方根??算術(shù)平方根 1．下列說(shuō)法：①的平方根是±0.5；②任何數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，因而任何數(shù)的平方根也是非負(fù)數(shù)；③算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是0，1；④平方根等于本身的數(shù)是0，其中正確的是（）A．④ B．①② C．②③④ D．③④【答案】D【分析】平方根的定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，這個(gè)數(shù)就叫做的平方根，也叫做的二次方根；算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根；依此即可求解．解：①負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，故錯(cuò)誤；②正數(shù)和才有平方根，且正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，的平方根是，故錯(cuò)誤；③的算術(shù)平方根是，的算術(shù)平方根是，故正確；④的平方根是，故正確；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了平方根，熟練掌握平方根的定義是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】下列說(shuō)法中正確的是（

）A．的平方根為 B．的算術(shù)平方根為C．0的平方根與算術(shù)平方根都是0 D．的平方根為【答案】C【分析】根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的概念即可得到答案．解：A、負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、0的平方根與算術(shù)平方根都是0，符合題意，選項(xiàng)正確；D、，的平方根，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了平方根和算術(shù)平方根，解題關(guān)鍵是熟練掌握其定義，注意負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根和算術(shù)平方根，0的平方根與算術(shù)平方根都是0．【變式2】下列說(shuō)法：（1）任何一個(gè)數(shù)都有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；（2）數(shù)a的平方根是±；（3）的算術(shù)平方根是2；（4）負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方；（5），其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，再逐一判斷即可．解：負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，故（1）不符合題意；（2）不符合題意；（3）不符合題意；（4）符合題意；（5）故（5）不符合題意；故選A．【點(diǎn)撥】本題考查的是平方根的含義，掌握“一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根”是解本題的關(guān)鍵．類型二、平方根??求一個(gè)數(shù)的平方根與算術(shù)平方根 2．若是的算術(shù)平方根，則的平方根是______．【答案】【分析】先求出，再求出16的平方根即可．解：∵是的算術(shù)平方根，∴．∴16的平方根是．故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查算術(shù)平方根以及平方根，解題的關(guān)鍵是理解算術(shù)平方根以及平方根的相關(guān)概念并會(huì)求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根以及平方根．舉一反三：【變式1】0.16的算術(shù)平方根是______，的平方根是______．【答案】

【分析】根據(jù)求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與平方根進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】0.16的算術(shù)平方根是，，則的平方根是故答案為：，【點(diǎn)撥】本題考查了求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與平方根，理解平方根與算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，那么這個(gè)數(shù)就叫的平方根，其中屬于非負(fù)數(shù)的平方根稱之為算術(shù)平方根．立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根．【變式2】已知2a-1的算術(shù)平方根為3，3a+b-1的算術(shù)平方根為4，求a+2的平方根．【答案】a+2的平方根是【分析】利用平方根及算術(shù)平方根列出式子，得到a的值，確定出a+2的值，即可求出平方根．解：由題意得2a-1=9，3a+b-1=16，解得：a=5，b=2，則a+2=7，∴a+2的平方根是．【點(diǎn)撥】此題考查了平方根，以及算術(shù)平方根，讀懂題意并列出式子是解本題的關(guān)鍵．類型三、平方根??平方根??算術(shù)平方根的非負(fù)性 3．已知＝b＋8，求a＋b的平方根．【答案】±3【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性列出不等式，解不等式求出a，進(jìn)而求出b，根據(jù)平方根的概念計(jì)算即可．解：由題意得：a﹣17≥0，17﹣a≥0，解得：a＝17，則b＝﹣8，∴a+b＝9，∵9的平方根是±3，∴a+b的平方根是±3．【點(diǎn)撥】本題考查的是算術(shù)平方根的非負(fù)性、平方根的概念，掌握被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】若，求的平方根．【答案】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性，絕對(duì)值的非負(fù)性及偶次方的非負(fù)性得到，求出a，b，c的值，再根據(jù)平方根定義得到答案即可．解：∵，∴，∴，∴，∴的平方根是．【點(diǎn)撥】此題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，絕對(duì)值的非負(fù)性及偶次方的非負(fù)性，求一個(gè)數(shù)的平方根，正確掌握各非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知，求的平方根．【答案】±【分析】首先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程組求得a和b的值，然后求解．解：∵，∴a﹣3=0，b﹣4=0，解得a=3，b=4，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則每個(gè)數(shù)是0，初中范圍內(nèi)的非負(fù)數(shù)有：數(shù)的偶次方、絕對(duì)值以及算術(shù)平方根．類型四、平方根??算術(shù)平方根估算??算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分4．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為，陰影部分是一個(gè)正方形．（1）陰影部分的面積是__________，邊長(zhǎng)是____________；（2）寫(xiě)出不大于陰影正方形邊長(zhǎng)的所有正整數(shù)；（3）為陰影正方形邊長(zhǎng)的小數(shù)部分，為的整數(shù)部分，求的值．【答案】（1）13，；（2）不大于的所有正整數(shù)為：1，2，3；（3）【分析】（1）由大正方形的面積減去四個(gè)小三角形的面積即可得到陰影部分面積，根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求出邊長(zhǎng)；（2）對(duì)進(jìn)行估值，即可解答；（3）對(duì)，估值，分別求出a，b的值即可．解：（1）陰影部分面積為：，∵陰影部分是一個(gè)正方形，∴邊長(zhǎng)為：，故答案為：13，．（2）不大于的所有正整數(shù)為：1，2，3．（3）∵，∴，∵∴∴．【點(diǎn)撥】本題考查了無(wú)理數(shù)的估值及運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握無(wú)理數(shù)的估值方法．舉一反三：【變式1】已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整數(shù)部分，求a+b+2c的平方根．【答案】±5【分析】分別根據(jù)算術(shù)平方根、平方根的意義，無(wú)理數(shù)的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根據(jù)平方根的意義即可求解．解：∵＝3，∴2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∴15﹣b+1＝16，解得：b＝0，∵，∴10＜＜11，∴c＝10，∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25，∴a+b+2c的平方根為＝±5．【點(diǎn)撥】本題考查了算術(shù)平方根、平方根的意義，無(wú)理數(shù)的估算，熟知算術(shù)平方根、平方根的意義是解題關(guān)鍵．【變式2】設(shè)2+的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別是x、y，試求x、y的值與x-1的算術(shù)平方根．【答案】．分析：先找到介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，從而找到整數(shù)部分，小數(shù)部分讓原數(shù)減去整數(shù)部分，然后代入求值即可．解：因?yàn)?＜6＜9，所以2＜＜3，即的整數(shù)部分是2，所以2+的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是2+-4=-2，即x=4，y=-2，所以=．考點(diǎn)：1．估算無(wú)理數(shù)的大?。?．算術(shù)平方根．類型五、平方根??求代數(shù)式平方根5．已知是方程組的解，求的平方根．【答案】±1【分析】將a與b代入值代入方程組計(jì)算求出m與n的值即可．解：將代入方程組可得：解得：,所以（m+n）2018=1，所以（m+n）2018的平方根是±1．【點(diǎn)撥】此題考查了解二元一次方程組和平方根的定義，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．舉一反三：【變式1】已知的平方根是，的算術(shù)平方根是4．求a、b的值；求的平方根．【答案】(1)a＝5，b＝4；(2)．【分析】（1）根據(jù)平方根，算術(shù)平方根的定義，求解即可；（2）根據(jù)平方根定義，求解即可．(1)解：∵的平方根是，的算術(shù)平方根是4．∴，，解得a＝5，b＝4．(2)解：當(dāng)a＝5，b＝4時(shí)，ab+5＝25，而25的平方根為，即ab+5的平方根是．【點(diǎn)撥】此題主要考查平方根和算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是熟知平方根，算術(shù)平方根的定義．【變式2】已知x﹣2和y﹣2互為相反數(shù)，求x+y的平方根．【答案】±2【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義可求x+y，再根據(jù)平方根的定義可得答案．解：∵x﹣2和y﹣2互為相反數(shù)，∴x﹣2+y﹣2＝0，∴x+y＝4，4的平方根是±2．故x+y的平方根是±2．【點(diǎn)撥】本題考查了相反數(shù)的性質(zhì)和平方根的定義，屬于基本題型，熟練掌握以上基本知識(shí)是解題關(guān)鍵．類型六、平方根??利用平方根解方程6．求下列各式中的x．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）先移項(xiàng)，然后利用平方根求解方程即可；（2）先移項(xiàng)，然后利用平方根求解方程即可．（1）解：移項(xiàng)得：，∴，∴，∴（2），∴∴∴．【點(diǎn)撥】題目主要考查利用平方根解方程，熟練掌握解方程方法是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】解方程：；(2)．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）先將方程整理為，再利用平方根解方程即可得；（2）先將方程整理為，再利用平方根解方程即可得．（1）解：，，，或．（2）解：，，，或，或．【點(diǎn)撥】本題考查了利用平方根解方程，熟練掌握平方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2】求下列各式中的的值．；(2)【答案】(1)；(2)或【分析】根據(jù)平方根的定義求解.解：(2)解：或【點(diǎn)撥】本題考查了利用平方根解方程，解題的關(guān)鍵是理解平方根的概念.類型七、平方根??算術(shù)平方根??規(guī)律題7．求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根，有些數(shù)可以直接求得，如，有些數(shù)則不能直接求得，如，但可以通過(guò)計(jì)算器求．還有一種方法可以通過(guò)一組數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用規(guī)律求得，請(qǐng)同學(xué)們觀察下表：n160.160.00161600160000…4x0.04y400…(1)表格中x＝；y＝；(2)從表格中探究n與數(shù)位的規(guī)律，并利用這個(gè)規(guī)律解決下面兩個(gè)問(wèn)題：①已知≈1.435，則≈；②已知＝1.83，若＝0.183，則x＝．【答案】(1)0.4；40；(2)①143.5；②0.03489【分析】（1）把n=0.16代入x=求解即可；把n=1600代入y=求解即可；（2）①根據(jù)被開(kāi)方數(shù)小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)了4位，則算術(shù)平方根小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位求解；②根據(jù)算術(shù)平方根小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)1位；則被開(kāi)方數(shù)小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)了2位求解．（1）解：當(dāng)n=0.16時(shí)，x===0.4，當(dāng)n=1006時(shí)，x===40，故答案為：0.4，40；（2）解：①已知≈1.435，則≈143.5；故答案為：143.5；②已知＝1.83，若＝0.183，則x＝0.03489．故答案為：0.03489．【點(diǎn)撥】本題考查了算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵在于從小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)位數(shù)考慮．舉一反三：【變式1】你能找出規(guī)律嗎？計(jì)算：，，，；(2)根據(jù)找到的規(guī)律計(jì)算：；(3)若，，用含a，b的式子表示．【答案】(1)6；6；20；20；規(guī)律見(jiàn)解析；(2)9；(3)【分析】（1）首先求出每個(gè)算式的值是多少，然后總結(jié)出規(guī)律：（a≥0，b≥0），據(jù)此判斷即可．（2）根據(jù)進(jìn)行解答即可．（3）根據(jù)，，可得，據(jù)此解答即可．解（1）∵，，，，∴總結(jié)出的規(guī)律是：（a≥0，b≥0）．故答案為：6；6；20；20（2）；（3）∵，，∴，【點(diǎn)撥】此題主要考查了算術(shù)平方根的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是注意觀察總結(jié)出規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律．【變式2】（1）先完成下列表格：a……0.00010.01110010000…………0.01______1____________……（2）由上表你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（3）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：①已知=1.732則=______=______②已知=0.056，則=______【答案】（1）0.1，10，100；（2）被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左或向右每移動(dòng)兩位開(kāi)方后所得的結(jié)果相應(yīng)的也向左或向右移動(dòng)1位；（3）17.32，0.1732，560【分析】（1）直接利用已知數(shù)據(jù)開(kāi)平方得出答案；（2）利用原數(shù)據(jù)與開(kāi)平方后的數(shù)據(jù)變化得出一般性規(guī)律是被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左或向右每移動(dòng)兩位開(kāi)方后所得的結(jié)果相應(yīng)的也向左或向右移動(dòng)1位；（3）利用（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)而分別得出各數(shù)據(jù)答案．解：（1）a……0.00010.01110010000…………0.010.1110100……（2）規(guī)律是：被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左或向右每移動(dòng)兩位開(kāi)方后所得的結(jié)果相應(yīng)的也向左或向右移動(dòng)1位；（3）①∵=1.732，∴=17.32；=0.1732；②∵=0.056，∴=560．故答案為①17.32；0.1732；②560．【點(diǎn)撥】此題主要考查了算術(shù)平方根，正確發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)開(kāi)平方后的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．類型八、平方根??應(yīng)用??算術(shù)平方根??平方根8．如圖，紙上有五個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的圖形紙（圖1），我們可以把它剪開(kāi)拼成一個(gè)正方形（圖2）．(1)圖中拼成的正方形的面積是___________；邊長(zhǎng)是___________；(2)你能把十個(gè)小正方形組成的圖形紙（圖3），剪開(kāi)并拼成正方形嗎？若能，請(qǐng)仿照?qǐng)D的形式把它重新拼成一個(gè)正方形．并求出這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是___________．【答案】(1)；；(2)剪拼圖見(jiàn)解析；【分析】（1）拼成的正方形面積等于原五個(gè)小正方形的面積；進(jìn)一步求邊長(zhǎng)即可；（2）仿照（1）中的方法剪拼，根據(jù)大正方形的面積求邊長(zhǎng)即可；（1）解：∵拼成的正方形面積等于原五個(gè)小正方形的面積∴拼成的正方形面積為：由正方形的面積公式可得：（2）解：剪拼圖如下：∵拼成的正方形面積等于原10個(gè)小正方形的面積∴拼成的正方形面積為：由正方形的面積公式可得：【點(diǎn)撥】本題考查了算術(shù)平方根；熟練掌握?qǐng)D形的拆補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，用兩個(gè)邊長(zhǎng)為cm的小正方形拼成一個(gè)大的正方形．(1)求大正方形的邊長(zhǎng)：(2)若沿此大正方形邊長(zhǎng)的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，能否使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為4：3，且面積為48？【答案】(1)大正方形的邊長(zhǎng)為8cm沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，能使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為4：3，且面積為48【分析】（1）根據(jù)已知正方形的面積關(guān)系即可求出大正方形的邊長(zhǎng)；（2）先求出長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，再判斷即可．解（1）大正方形的邊長(zhǎng)為acm，則，∵，∴．答：大正方形的邊長(zhǎng)為8cm．（2）設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為4xcm，寬為3xcm，則，解得，∵，∴，，，∵大正方形的邊長(zhǎng)為8cm，符合．所以沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，能使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為4：3，且面積為48．【點(diǎn)撥】本題考查了平方根的實(shí)際應(yīng)用，能根據(jù)題意列出算式是解此題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，有一塊正方形鐵皮，從四個(gè)頂點(diǎn)處分別剪掉一個(gè)面積為的正方形后，所剩部分正好圍成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體容器，量得該容器的體積是，求原正方形鐵皮的邊長(zhǎng)．【答案】【分析】設(shè)原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)為，然后根據(jù)長(zhǎng)方體容積公式列方程計(jì)算．解：從四個(gè)頂點(diǎn)處分別剪掉一個(gè)面積為25的正方形，剪掉的正方形邊長(zhǎng)為5，設(shè)原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)為，由題意可得：，，，解得：或（不合題意，舍去），原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)為16．【點(diǎn)撥】本題考查平方根的實(shí)際應(yīng)用，理解平方根的概念