數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1-線性規(guī)劃2024/3/24數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃

運籌學(xué)是一門新興的應(yīng)用學(xué)科.由于它所研究的對象極其廣泛有著許多不同的定義.

1978年聯(lián)邦德國的科學(xué)詞典上定義:“運籌學(xué)是從事決策模型的數(shù)學(xué)解法的一門學(xué)科”.

1976年美國運籌學(xué)會定義:“運籌學(xué)是研究用科學(xué)方法來決定在資源不充分的情況下如何最好地設(shè)計人一機系統(tǒng),并使之最好地運行的一門學(xué)科”.

前者著重于處理實際問題,而對于“科學(xué)方法”則未加說明,后者強調(diào)數(shù)字解,而注重數(shù)學(xué)方法.運籌學(xué)簡介

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃運籌學(xué)一詞的英文名詞為operationsresearch可直譯為“運用研究”和“作用研究”.早在1938年英國空軍就有了飛機定位和控制系統(tǒng),并在沿海有幾個雷達站,可以用來發(fā)現(xiàn)敵機,但在一次防空大演習(xí)中發(fā)現(xiàn),由這些雷達送來的(常常是互相矛盾的)信息,需要加以協(xié)調(diào)和關(guān)聯(lián),以改進作戰(zhàn)效果,這一任務(wù)的提出即產(chǎn)生“運籌學(xué)”一詞,英國空軍成立了運籌學(xué)小組,主要從事警報和控制系統(tǒng)的研究.

運籌學(xué)簡介

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃

我國運籌學(xué)的先驅(qū)者從《史記.高祖本記》:“夫運籌帷幄之中,決勝于千里之外”一語摘取“運籌”二字作為這門科學(xué)的名稱,既顯示其軍事的起源,也表明其萌芽早已出現(xiàn)在我國.釋義籌：計謀、謀劃；帷幄：古代軍中帳幕。指擬定作戰(zhàn)策略。引申為籌劃、指揮。運籌學(xué)簡介

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃運籌學(xué)研究的基本特征是：系統(tǒng)的整體觀念、多學(xué)科的綜合、應(yīng)用模型技術(shù)。數(shù)學(xué)模型是最為抽象的模型，當(dāng)你看到數(shù)學(xué)模型時，往往看不出它所代表的現(xiàn)實是什么，如Y=kX。正是由于數(shù)學(xué)模型的抽象性，所以數(shù)學(xué)模型有其廣泛的適應(yīng)性。數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)和變量最容易改變，運用起來也最為方便。如：參數(shù)k:m、v、R、P；變量Y:F、S、V、C；變量X:a、t、I、Q

運籌學(xué)中用的模型主要是數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型是運籌學(xué)的核心，可以說，沒有數(shù)學(xué)模型，就沒有運籌學(xué)。運籌學(xué)簡介

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃運籌學(xué)應(yīng)用的步驟示意圖：分析與表述問題建立模型

對模型和由模型導(dǎo)出的解進行檢驗建立起對解的有效控制對問題求解

方案實施不滿意滿意運籌學(xué)簡介

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃

運籌學(xué)的主要分支：1.線性規(guī)劃2.非線性規(guī)劃3.動態(tài)規(guī)劃4.圖論與網(wǎng)絡(luò)分析5.存貯論6.排隊論7.對策論8.決策論運籌學(xué)簡介

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃一.線性規(guī)劃模型的建立線性規(guī)劃模型

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃建立數(shù)學(xué)模型：線性規(guī)劃模型

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃模型的特點：線性規(guī)劃模型

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃線性規(guī)劃模型

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃線性規(guī)劃模型

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃線性規(guī)劃模型

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃線性規(guī)劃模型的求解----圖解法

在此討論線性規(guī)劃問題的解，以下面的LP問題為例：數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃課題的來源及意義

線性規(guī)劃模型的求解----圖解法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃用Matlab求解線性規(guī)劃問題命令:simpleMthd調(diào)用格式：[x,minf]=simpleMthd(A,c,b,baseVector)其中,A:約束矩陣c:目標(biāo)函數(shù)系數(shù)向量b:約束右端向量baseVector:初始基向量x:目標(biāo)函數(shù)取最小值時的自變量值minf:目標(biāo)函數(shù)的最小值線性規(guī)劃模型的求解----計算機的實現(xiàn)

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃例1：用單純形法求解線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃模型的求解----計算機的實現(xiàn)

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃化成標(biāo)準(zhǔn)型：線性規(guī)劃模型的求解----計算機的實現(xiàn)

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃輸入命令：A=[-12100;23010;1-1001];C=[-4-1000];b=[4;12;3];[x,minf]=simpleMthd(A,c,b,[345])所得結(jié)果：X=4.20001.20000Minf=-18線性規(guī)劃模型的求解----計算機的實現(xiàn)

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃例2：用大M法求解線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃模型的求解----計算機的實現(xiàn)

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃化成標(biāo)準(zhǔn)型：線性規(guī)劃模型的求解----計算機的實現(xiàn)

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃輸入命令：A=[1-211000;-4120-110;-2010001];C=[-3110010001000];b=[11;3;1];[x,mf]=simpleMthd(A,c,b,[467])所得結(jié)果：X=4.00001.00009.0000mf=-2線性規(guī)劃模型的求解----計算機的實現(xiàn)

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃其中,A:不等式約束的系數(shù)矩陣，Aeq：等式約束的系數(shù)矩陣beq:等式約束右端向量b:不等式約束右端向量Lb，ub:自變量的上下范圍在MatlabR2008b求解線性規(guī)劃問題的函數(shù):linprog求解對象是：線性規(guī)劃模型的求解----計算機的實現(xiàn)

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃調(diào)用格式：1）x=linprog(f,A,b),要求線性規(guī)劃只存在不等式約束。2）x=linprog(f,A,b，Aeq,beq),要求線性規(guī)劃存在不等式和等式約束。3）x=linprog(f,A,b，Aeq,beq,lb,ub),一般格式4）x=linprog(f,A,b，Aeq,beq,lb,ub，x0),x0為設(shè)定的初始值。5）x=linprog(f,A,b，Aeq,beq,lb,ub，x0，options),x0為設(shè)定的初始值,options來指定優(yōu)化參數(shù)線性規(guī)劃模型的求解----計算機的實現(xiàn)

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃例3：linprog函數(shù)求解線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃模型的求解----計算機的實現(xiàn)

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃輸入命令：f=[-4;-1];A=[-12；23；1-1；];b=[4;12;3];[x,fval,exitflag,output,lamda]=linprog(f,A,b,[],[],zeros(2,1))所得結(jié)果：Optimizationterminated.X=4.20001.20000fval=-18.0000exitflag=1output=iterations:5algorithm:`large-scale`:interiorpointcgiterations:0message：’Optimizationterminated‘線性規(guī)劃模型的求解----計算機的實現(xiàn)

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃線性規(guī)劃建模舉例數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃線性規(guī)劃建模舉例數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃線性規(guī)劃建模舉例數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃線性規(guī)劃建模舉例數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃線性規(guī)劃建模舉例數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃線性規(guī)劃建模舉例數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃線性規(guī)劃建模舉例數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃靈敏度分析舉例數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃靈敏度分析舉例數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃靈敏度分析舉例數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃靈敏度分析舉例數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃課題的來源及意義

特殊的線性規(guī)劃模型----運輸問題

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃表上作業(yè)法是單純形法在求解運輸問題時的一種簡化方法，其實質(zhì)是單純形法。但具體計算和術(shù)語有所不同。可歸納為：(1)找出初始基可行解。即初始調(diào)運方案(2)進行最優(yōu)檢驗，判別是否最優(yōu)(3)若不是最優(yōu)，對方案進行調(diào)整和改進，直到最優(yōu)。運輸問題的求解----表上作業(yè)法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃

例1某公司經(jīng)銷甲產(chǎn)品。它下設(shè)三個加工廠。

每日的產(chǎn)量分別是：A1為8噸，A2為5噸，A3為11噸。

該公司把這些產(chǎn)品分別運往四個銷售點。各銷售點每日銷量為：B1為4噸，B2為7噸，B3為6噸，B4為7噸。

已知從各工廠到各銷售點的單位產(chǎn)品的運價為表3-2所示。

問該公司應(yīng)如何調(diào)運產(chǎn)品，在滿足各銷點的需要量的前提下，使總運費為最少。

運輸問題的求解----表上作業(yè)法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃問該公司應(yīng)如何調(diào)運產(chǎn)品，在滿足各銷點的需要量的前提下，使總運費為最少。運輸問題的求解----表上作業(yè)法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃運輸問題的求解----表上作業(yè)法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃P2數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃求解（P2）：

1.給出初始調(diào)運方案

兩種方法來確定初始方案

（1）最小元素法和沃格爾法

這方法的基本思想是按單位運價的大小決定供應(yīng)的先后，優(yōu)先滿足單價運價最小者的供銷要求(1)找出初始基可行解。即初始調(diào)運方案(2)進行最優(yōu)檢驗，判別是否最優(yōu)(3)若不是最優(yōu)，對方案進行調(diào)整和改進，直到最優(yōu)。運輸問題的求解----表上作業(yè)法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃運輸問題的求解----表上作業(yè)法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃運輸問題的求解----表上作業(yè)法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃用最小元素法給出的初始解是運輸問題的基可行解，其理由為：(1)用最小元素法給出的初始解，是從單位運價表中逐次地挑選最小元素.并比較產(chǎn)量和銷量。當(dāng)產(chǎn)大于銷，劃去該元素所在列。當(dāng)產(chǎn)小于銷，劃去該元素所在行。然后在未劃去的元素中再找最小元素，再確定供應(yīng)關(guān)系。運輸問題的求解----表上作業(yè)法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃用最小元素法給出的初始解是運輸問題的基可行解，其理由為：這樣在產(chǎn)銷平衡表上每填入一個數(shù)字，在運價表上就劃去一行或一列。表中共有m行n列，總共可劃(n+m)條直線。但當(dāng)表中只剩一個元素時，這時當(dāng)在產(chǎn)銷平衡表上填這個數(shù)字時，而在運價表上同時劃去一行和一列。此時把單價表上所有元素都劃去了，相應(yīng)地在產(chǎn)銷平衡表上填了(m+n-1)個數(shù)字。即給出了(m+n-1)個基變量的值。數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃

用最小元素法給出初始解時，有可能在產(chǎn)銷平衡表上填入一個數(shù)字后，在單位運價表上同時劃去一行和一列。這時就出現(xiàn)退化。關(guān)于退化時的處理將后面加以講述。

運輸問題的求解----表上作業(yè)法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃2.方案的最優(yōu)檢驗和改進---閉回路法和位勢法（1）閉回路法在給出調(diào)運方案的計算表上，如表1，數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃從每一空格出發(fā)找一條閉回路。它是以某空格為起點。用水平或垂直線向前劃，當(dāng)碰到一數(shù)字格時可以轉(zhuǎn)90°后，繼續(xù)前進，直到回到起始空格為止。閉回路如圖的(a),(b),(c)等所示。數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃閉回路法的特點：1.閉回路的其余三個頂點均應(yīng)由填有數(shù)字的格組成2.每一個空格都存在唯一一條這樣的閉回路3.閉回路的形狀不一定是簡單的矩形數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃最優(yōu)檢驗標(biāo)準(zhǔn)：1.觀察各個空格的檢驗數(shù)，若存在負(fù)檢驗數(shù)，說明運費還可以減少。2.若同時存在幾個負(fù)檢驗數(shù)時，通常以絕對值最大者對應(yīng)的變量為引入變量3.若存在非基變量的檢驗數(shù)為零，則說明最優(yōu)方案不唯一。數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃4.確定引入變量后，對其閉回路上各頂點的運量作盡可能多的調(diào)整，使其中某個數(shù)字格的運量變?yōu)?，這個格對應(yīng)的變量就是退出變量。數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃4.當(dāng)同時有幾個變量為0時，就發(fā)生退化，選取其中一個為退出變量，其余的需在對應(yīng)格中填入0，以保持填有數(shù)字的格的個數(shù)為m+n-1個。數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃新方案的總運費為：122元對這一方案進行最優(yōu)檢驗。最優(yōu)方案數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃前面所講表上作業(yè)法，都是以產(chǎn)銷平衡為前提條件的；但是實際問題中產(chǎn)銷往往是不平衡的。就需要把產(chǎn)銷不平衡的問題化成產(chǎn)銷平衡的問題。1.當(dāng)產(chǎn)大于銷產(chǎn)銷不平衡的運輸問題及其求解方法數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃前面所講表上作業(yè)法，都是以產(chǎn)銷平衡為前提條件的；但是實際問題中產(chǎn)銷往往是不平衡的。就需要把產(chǎn)銷不平衡的問題化成產(chǎn)銷平衡的問題。1.當(dāng)產(chǎn)大于銷產(chǎn)銷不平衡的運輸問題及其求解方法數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃運輸問題的數(shù)學(xué)模型可寫成(P4)

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃增加一個假想的銷地j=n+1(實際上是儲存)，該銷地總需要量為而在單位運價表中從各產(chǎn)地到假想銷地的單位運為，就轉(zhuǎn)化成一個產(chǎn)銷平衡的運輸問題

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃所以這是一個產(chǎn)銷平衡的運輸問題。

此時數(shù)學(xué)模型為：數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃

2.當(dāng)銷大于產(chǎn)時，

可以在產(chǎn)銷平衡表中增加一個假想的產(chǎn)地i=m+1，該地產(chǎn)量為

在單位運價表上令從該假想產(chǎn)地到各銷地的運價，同樣可以轉(zhuǎn)化為一個產(chǎn)銷平衡的運輸問題.。

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃產(chǎn)銷平衡的運輸問題數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃例3某廠按合同規(guī)定須于當(dāng)年每個季度末分別提供10，15，25，20臺同一規(guī)格的柴油機。已知該廠各季度的生產(chǎn)能力及生產(chǎn)每臺柴油機的成本如表所示。又如果生產(chǎn)出來的柴油機當(dāng)季不交貨的，每臺每積壓一個季度需儲存、維護等費用0.15萬元。要求在完成合同的情況下，作出使該廠全年生產(chǎn)(包括儲存、維護)費用最小的決策

產(chǎn)銷不平衡的運輸問題應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃解由于每個季度生產(chǎn)出來的柴油機不一定當(dāng)季交貨，所以設(shè)xij為第i季度生產(chǎn)的用于第j季度交貨的柴油機數(shù)。根據(jù)合同要求，必須滿足

產(chǎn)銷不平衡的運輸問題應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃又每季度生產(chǎn)的用于當(dāng)季和以后各季交貨的柴油機數(shù)不可能超過該季度的生產(chǎn)能力，故又有：

產(chǎn)銷不平衡的運輸問題應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃

第i季度生產(chǎn)的用于j季度交貨的每臺柴油機的實際成本cij應(yīng)該是該季度單位成本加上儲存、維護等費用。cij的具體數(shù)值見

產(chǎn)銷不平衡的運輸問題應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃設(shè)用ai表示該廠第i季度的生產(chǎn)能力，bj表示第i季度的合同供應(yīng)量，則問題可寫成：

目標(biāo)函數(shù)：滿足產(chǎn)銷不平衡的運輸問題應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃顯然，這是一個產(chǎn)大于銷的運輸問題模型。注意到這個問題中當(dāng)i＞j時，xij=0，所以應(yīng)令對應(yīng)的cij=M，再加上一個假想的需求D，就可以把這個問題變成產(chǎn)銷平衡的運輸模型，并寫出產(chǎn)銷平衡表和單位運價表(合在一起，數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃經(jīng)用表上作業(yè)法求解，可得多個最優(yōu)方案，表3-32中列出最優(yōu)方案之一。即第Ⅰ季度生產(chǎn)25臺，10臺當(dāng)季交貨，15臺Ⅱ季度交貨；Ⅱ季度生產(chǎn)5臺，用于Ⅲ季度交貨；Ⅲ季度生產(chǎn)30臺，其中20臺于當(dāng)季交貨，10臺于Ⅳ季度交貨。Ⅳ季度生產(chǎn)10臺，于當(dāng)季交貨。按此方案生產(chǎn)，該廠總的生產(chǎn)(包括儲存、維護)的費用為773萬元。數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃1.若全部變量取整數(shù)，稱為全整數(shù)規(guī)劃（AllIntegerProgramming）或純整數(shù)規(guī)劃（PureIntegerProgramming）2.若部分變量取整數(shù)，稱為混合整數(shù)規(guī)劃（MixedIntegerProgramming）3.若變量只取0或者1，稱為0-1規(guī)劃1）什么是整數(shù)規(guī)劃特殊的線性規(guī)劃模型----整數(shù)規(guī)劃

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃2）整數(shù)規(guī)劃的實際背景整數(shù)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個重要分枝，有廣泛的應(yīng)用背景，如指派問題、背包問題、生產(chǎn)調(diào)度等都是整數(shù)規(guī)劃問題；整數(shù)規(guī)劃又是最難求解的問題之一，至今還沒有找到有效算法3)整數(shù)規(guī)劃與線性規(guī)劃的關(guān)系整數(shù)規(guī)劃=相關(guān)的線性規(guī)劃+整數(shù)約束整數(shù)規(guī)劃是約束得更緊的問題,它的可行域是其相關(guān)線性規(guī)劃問題可行域的一個子集；整數(shù)解的數(shù)目遠(yuǎn)少于線性規(guī)劃的解，只要可行域有界，整數(shù)解的數(shù)目有限；整數(shù)規(guī)劃的求解難度遠(yuǎn)大于線性規(guī)劃。特殊的線性規(guī)劃模型----整數(shù)規(guī)劃

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃

分支定界法可用于解純整數(shù)或混合的整數(shù)線性規(guī)劃問題。在20世紀(jì)60年代初由LandDoig和Dakin等人提出。由于這方法靈活且便于用計算機求解，所以現(xiàn)在它已是解整數(shù)線性規(guī)劃的重要方法。

思想：設(shè)有最大化的整數(shù)線性規(guī)劃問題A，與它相應(yīng)的線性規(guī)劃為問題B，從解問題B開始，若其最優(yōu)解不符合A的整數(shù)條件，那么B的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)必是A的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)z*的上界，記作；而A的任意可行解的目標(biāo)函數(shù)值將是z*的一個下界。分支定界法就是將B的可行域分成子區(qū)域(稱為分解)的方法，逐步減小和增大，最終求到z*?，F(xiàn)舉例說明：整數(shù)規(guī)劃的求解---分支定界法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃例：求解如下整數(shù)規(guī)劃問題：整數(shù)規(guī)劃的求解---分支定界法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃

解先不考慮條件⑤，即解相應(yīng)的松弛問題：

1.舍棄整數(shù)條件得原問題（A）的松弛問題(B)整數(shù)規(guī)劃的求解---分支定界法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃可得(B)的最優(yōu)解為x1=4.81，x2=1.82，z0=356整數(shù)規(guī)劃的求解---分支定界法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃

可見它不符合整數(shù)條件⑤。這時z0是問題A的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值z*的上界，記作z0=。而在x1=0，x2=0時，顯然是問題A的一個整數(shù)可行解，這時z=0，是z*的一個下界，記作=0，即0≤z*≤356可得(B)的最優(yōu)解為x1=4.81，x2=1.82，z0=356數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃

首先注意其中一個非整數(shù)變量的解，如x1，在問題B的解中x1=4.81。于是對原問題增加兩個約束條件x1≤4，x1≥5可將原問題分解為兩個子問題B1和B2(即兩支)，給每支增加一個約束條件，如圖所示。這并不影響問題A的可行域.x1≤4，x1≥5(B)的最優(yōu)解為x1=4.81，x2=1.82，z0=356數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃松弛問題(B)問題B的解中x1=4.81。于是對原問題增加兩個約束條件x1≤4，x1≥5可得(B)的最優(yōu)解為x1=4.81，x2=1.82，z0=356定界：0≤z*≤356，z*為原問題最優(yōu)解分支數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃松弛問題(B1)松弛問題(B2)整數(shù)規(guī)劃的求解---分支定界法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃顯然沒有得到全部變量是整數(shù)的解。因z1＞z2，故將改為349，那么必存在最優(yōu)整數(shù)解，得到z*，并且0≤z*≤349繼續(xù)對問題B1和B2進行分支因z1＞z2，故先分解B1為兩支。增加條件x2≤2者，稱為問題B3；增加條件x2≥3者稱為問題B4。第一次迭代0≤z*≤356整數(shù)規(guī)劃的求解---分支定界法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃分支比較，剪支第一次迭代（定界）0≤z*≤349數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃（定界）340≤z*≤341第二次迭代數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃分支剪支第二次迭代時（定界）340≤z*≤341剪支數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃第三次迭代時（定界）340≤z*≤340數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃從以上解題過程可得到，用分支定界法求解整數(shù)線性規(guī)劃(最大化)問題的步驟為：

將要求解的整數(shù)線性規(guī)劃問題稱為問題A，將與它相應(yīng)的松弛問題稱為問題B。(1)解問題B，可能得到以下情況之一。①B沒有可行解，這時A也沒有可行解，則停止。②B有最優(yōu)解，并符合問題A的整數(shù)條件，B的最優(yōu)解即為A的最優(yōu)解，則停止。③B有最優(yōu)解，但不符合問題A的整數(shù)條件，記它的目標(biāo)函數(shù)值為整數(shù)規(guī)劃的求解---分支定界法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃（3）分支，在B的最優(yōu)解中任選一個不符合整數(shù)條件的變量xj，其值為bj，以［bj］表示小于bj的最大整數(shù)。構(gòu)造兩個約束條件xj≤［bj］和xj≥［bj］+1

2)用觀察法找問題A的一個整數(shù)可行解，一般可取xj=0，j=1，…，n，試探，求得其目標(biāo)函數(shù)值，并記作。

以z*表示問題A的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值；這時有將這兩個約束條件，分別加入問題B，求兩個衍生問題B1和B2。不考慮整數(shù)條件求解這兩個衍生問題的松弛問題。整數(shù)規(guī)劃的求解---分支定界法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃定界，1)以每個松弛問題為一分支標(biāo)明求解的結(jié)果，與其他問題的解的結(jié)果中，找出最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值最大者作為新的上界。2)從已符合整數(shù)條件的各分支中，找出目標(biāo)函數(shù)值為最大者作為新的下界，若無可行解，令

3)各分支的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)中若有小于者，則剪掉這支(用打×表示)，即以后不再考慮了。若大于，且不符合整數(shù)條件，則重復(fù)第一步驟。一直到最后得到z*為止，得最優(yōu)整數(shù)解xj*，j=1，…，n。整數(shù)規(guī)劃的求解---分支定界法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃

用分支定界法可解純整數(shù)線性規(guī)劃問題和混合整數(shù)線性規(guī)劃問題。它比窮舉法優(yōu)越。因為它僅在一部分可行解的整數(shù)解中尋求最優(yōu)解，計算量比窮舉法小。若變量數(shù)目很大，其計算工作量也是相當(dāng)可觀的。整數(shù)規(guī)劃的求解---分支定界法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃1）先不考慮整數(shù)條件求解松弛問題，記原問題為p2）用單純形法求解松弛問題（p1）得其最優(yōu)解為3）若解均為分?jǐn)?shù)，故不是最優(yōu)解，采用割平面（建立割平面）

方法：a）考慮基變量（值為分?jǐn)?shù)）所在的約束方程b)將這個方程中的系數(shù)和右側(cè)常數(shù)分成整數(shù)和非負(fù)真分?jǐn)?shù)。c)將帶整數(shù)系數(shù)的部分移至等號右側(cè)d)根據(jù)非負(fù)要求可得到割平面方程，用不是添加的變量表示出來4）將割平面方程作為新的約束條件添加到（p1）中，得到新的線性規(guī)劃問題（p2）。5)用單純形法求解（p2）,檢查是否最優(yōu)，是，停止；否則，返回3）。整數(shù)規(guī)劃的求解---割平面法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃的求解---割平面法

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃的Matlab的實現(xiàn)：

1.分枝定界法調(diào)用格式：[intx,intf]=IntProgFZ(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)2.割平面法。調(diào)用格式[intx,intf]=DividePlane(A,c,b,basevector)整數(shù)規(guī)劃的求解---計算機的實現(xiàn)

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃0-1型整數(shù)線性規(guī)劃:在整數(shù)線性規(guī)劃中，如果它的變量xi僅取值0或1。此時xi稱為0-1變量，或布爾變量.它和一般整數(shù)線性規(guī)劃的約束條件形式是一致的。在實際問題中，如果引入0-1變量，就可以把有各種情況需要分別討論的線性規(guī)劃問題統(tǒng)一在一個問題中討論了。在本節(jié)我們先介紹引入0-1變量的實際問題，再研究解法。一.什么是0-1規(guī)劃特殊的整數(shù)規(guī)劃-----0-1規(guī)劃

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃用Matlab工具箱中函數(shù)bintprog來求解0-1整數(shù)規(guī)劃例1.目標(biāo)函數(shù)maxz=3x1-2x2+5x5約束條件：x1+2x2-x3≤2①x1+4x2+x3≤4②(5-17)x1+x2≤3③4x1+x3≤6④x1，x2，x3=0或1⑤輸入：A=[12-1;141;110;041]f=[-3;2;-5]b=[2;4;3;6][xm,fv]=bintprog(f,A,b)運行結(jié)果：Optimizationterminated.xm=101fv=-8特殊的整數(shù)規(guī)劃-----0-1規(guī)劃

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃在生活中經(jīng)常遇到這樣的問題，某單位需完成n項任務(wù)，恰好有n個人可承擔(dān)這些任務(wù)。由于每人的專長不同，各人完成任務(wù)不同(或所費時間)，效率也不同。于是產(chǎn)生應(yīng)指派哪個人去完成哪項任務(wù)，使完成n項任務(wù)的總效率最高(或所需總時間最小)。這類問題稱為指派問題或分派問題(assignmentproblem)。特殊的整數(shù)規(guī)劃-----分派問題

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃

價值系數(shù)矩陣?yán)?個工人，要分派他們分別完成5項工作，每人做各項工作所消耗的時間表如下所示，問應(yīng)分派哪個人去完成哪項工作，可使總的消耗時間為最??？特殊的整數(shù)規(guī)劃-----分派問題

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃特殊的整數(shù)規(guī)劃-----分派問題

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃類似有：有n項加工任務(wù)，怎樣指派到n臺機床上分別完成的問題；有n條航線，怎樣指定n艘船去航行問題……。對應(yīng)每個指派問題，需有類似表那樣的數(shù)表，稱為效率矩陣或系數(shù)矩陣，其元素cij＞0(i,j=1,2，…，n)表示指派第i人去完成第j項任務(wù)時的效率(或時間、成本等)。解題時需引入變量xij；其取值只能是1或0。并令

特殊的整數(shù)規(guī)劃-----分派問題

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃

當(dāng)問題要求極小化時數(shù)學(xué)模型是：

①②③④特殊的整數(shù)規(guī)劃-----分派問題

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃分派問題是0-1規(guī)劃的特例，也是運輸問題的特例；即n=m,aj=bi=1當(dāng)然可用整數(shù)線性規(guī)劃，0-1規(guī)劃或運輸問題的解法去求解，這就如同用單純形法求解運輸問題一樣是不合算的。利用指派問題的特點可有更簡便的解法。特殊的整數(shù)規(guī)劃-----分派問題

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃分派問題的最優(yōu)解有這樣性質(zhì)，性質(zhì)：若從系數(shù)矩陣(cij)的某一行(或某一列)各元素中分別減去該行(列)的最小元素，得到新矩陣(bij)，那么以(bij)為系數(shù)矩陣求得的最優(yōu)解和用原系數(shù)矩陣求得的最優(yōu)解相同。特殊的整數(shù)規(guī)劃-----分派問題

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃

利用這個性質(zhì)，可使原系數(shù)矩陣變換為含有很多0元素的新系數(shù)矩陣，而最優(yōu)解保持不變，在系數(shù)矩陣(bij)中，我們關(guān)心位于不同行不同列的0元素，以下簡稱為獨立的0元素。若能在系數(shù)矩陣(bij)中找出n個獨立的0元素；則令解矩陣(xij)中對應(yīng)這n個獨立的0元素的元素取值為1，其他元素取值為0。將其代入目標(biāo)函數(shù)中得到zb=0，它一定是最小。這就是以(bij)為系數(shù)矩陣的指派問題的最優(yōu)解。也就得到了原問題的最優(yōu)解。特殊的整數(shù)規(guī)劃-----分派問題

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵：在于尋找產(chǎn)生這組位于不同行不同列的零元素的方法---匈牙利數(shù)學(xué)家（konig)發(fā)展并證明了這種方法。設(shè)已給定一個初始的價值系數(shù)矩陣，運用匈牙利法求最優(yōu)分派的步驟如下：1.找出每行（或每列）的最小元素，將的每行（或每列）的所有元素都減去該行（或該列）的最小元素，然后轉(zhuǎn)下一步。2.找出每列（或每行）的最小元素，若它們均等于零，轉(zhuǎn)下一步。否則，以其每列（或每行）的所有元素減去其最小元素。至此所得價值系數(shù)矩陣的各行和各列均含有零元素，并稱其為簡約化的價值系數(shù)矩陣。數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃3.以最少的m條直線（水平的或豎直的）去覆蓋（或說劃去）簡約化價值系數(shù)矩陣中的所有零元4.若m=n，停止；可從上述簡約化的價值系數(shù)矩陣的零元中找到一組位于不同行且不同列的零元，令對應(yīng)于這組零元位置的變量，其余變量。就得到了一個最優(yōu)解。若m<n，從未被m條直線覆蓋的元素中找出最小元素，從所有未被覆蓋的元素中將它減去，并將這個最小元素加在所有位于水平覆蓋線和豎直覆蓋線相交處的元素上，而其它被覆蓋的覆蓋的元素保持不變。這樣得到一個新簡約化價值系數(shù)矩陣，轉(zhuǎn)第3步

特殊的整數(shù)規(guī)劃-----分派問題

數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)講稿1線性規(guī)劃注：當(dāng)價值系數(shù)矩陣較大時，由簡約化價值系數(shù)矩陣中的零元確定分配方案時，遵循：如