模塊一專題1《平面向量的概念與運(yùn)算》 單元檢測篇A基礎(chǔ)卷 高一第二學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中考試專練

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁模塊一專題1平面向量的概念與運(yùn)算A基礎(chǔ)卷1.考查范圍：《平面向量的概念與運(yùn)算》2.試題難度：0.883.試題亮點(diǎn)：（1）背景新穎：如第13題，以正五角星為背景，體現(xiàn)我國文化的源遠(yuǎn)流長，考查了數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)素養(yǎng).（2）考向新穎：第12題是雙空題，這種題型是近年高考的熱點(diǎn)題型，可以自主的讓學(xué)生在不同的條件中，根據(jù)自己所學(xué)靈活選擇，充分考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).（3）情境題目：第19題是新情境題目，建立復(fù)雜的問題情景，屬于九省聯(lián)考的新題型，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式，包括對研究對象定義的理解，基于定義的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算，當(dāng)然還有閱讀理解、數(shù)學(xué)表達(dá)等.（４）知識(shí)交匯：第14題屬于物理知識(shí)與向量的知識(shí)交匯.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．（22-23高一下·新疆·期中）1．已知向量如下圖所示，下列說法不正確的是（

）A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向C．向量的起點(diǎn)是 D．向量的終點(diǎn)是（22-23高一下·天津河西·期中）2．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．向量與的長度相等 B．兩個(gè)相等向量若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)相同C．共線的單位向量都相等 D．只有零向量的模等于0（22-23高一下·北京·期中）3．給出下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若且，則 D．若，，則（22-23高一下·安徽六安·期中）4．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若ABCD為平行四邊形，則 B．若，，則C．互為相反向量的兩個(gè)向量模相等 D．（22-23高一下·山西運(yùn)城·期中）5．已知向量，不共線，且向量與方向相同，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C．1或 D．1或（22-23高一下·云南西雙版納·期中）6．在四邊形中，若，且，則（

）A．在四邊形是矩形B．在四邊形是菱形C．在四邊形是正方形D．在四邊形是平行四邊形（22-23高一下·全國·期中）7．平面上點(diǎn)P與不共線三點(diǎn)A、B、C滿足關(guān)系式：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上，且 B．在上，且C．在上，且 D．點(diǎn)為的重心（22-23高一下·湖南長沙·期中）8．下列命題：①若，則；②若，，則；③的充要條件是且；④若，，則；⑤若、、、是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題5分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．（22-23高一下·陜西西安·期中）9．下列命題正確的的有（

）A．B．C．若，則共線D．，則共線（22-23高一下·山西大同·期中）10．下列命題中是假命題的為（

）A．已知向量，則，可以作為某一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底B．若，共線，則C．已知是平面的一個(gè)基底，若，則也是該平面的一個(gè)基底D．若，，三點(diǎn)共線，則（22-23高一下·河南鄭州·期中）11．在中，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線與、所在的直線分別交于點(diǎn)、，若，，則下列說法正確的是（

）

A．B．C．為定值D．的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．（23-24高三上·廣東梅州·期中）12．正六邊形的中心是點(diǎn)，以這七個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中，與相等的向量共有個(gè)，與的模相等且夾角為的向量共有個(gè)．（22-23高一下·陜西·寶雞）13．正五角星是一個(gè)與黃金分割有著密切聯(lián)系的優(yōu)美集合圖形，在如圖所示的正五角星中，，，，，是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)，且，若，則（用表示）.（22-23高一下·湖北荊州·期中）14．如圖所示，無彈性細(xì)繩，的一端分別固定在，處，同樣的細(xì)繩下端系著一個(gè)秤盤，且使得，則，，三根細(xì)繩受力最大的是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（22-23高一下·黑龍江雞西·期中）15．設(shè)向量，不共線．若，．若A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值．（22-23高一下·新疆喀什·期中）16．化簡下列各式：(1)；(2)；(3)；（22-23高一下·山東濰坊·期中）17．設(shè)，是平面內(nèi)不平行的非零向量，，.(1)證明：，組成平面上向量的一組基底；(2)請?zhí)骄渴欠翊嬖趯?shí)數(shù)k，使得和平行？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.（22-23高一下·江蘇鹽城·期中）18．如圖，在中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，與交于點(diǎn)O.

(1)若，求證：；(2)若，，求實(shí)數(shù)的值.（22-23高一下·江蘇鹽城·期中）19．如圖所示，在中，在線段BC上，滿足，O是線段的中點(diǎn).

(1)當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)O的直線與邊AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)，①求的最小值；②設(shè)的面積為，的面積為，求的最小值.(2)若的面積為，，且，，，，，是線段BC的n等分點(diǎn)，其中，n、，，求的最小值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．D【分析】根據(jù)向量的幾何表示逐個(gè)選項(xiàng)分析可得答案.【詳解】由圖可知，向量可以用表示，故A正確；向量的方向由指向，故B正確；向量的起點(diǎn)是，故C正確；向量的終點(diǎn)是，故D不正確.故選：D2．C【分析】根據(jù)相反向量、相等向量、單位向量和零向量的定義判斷各個(gè)選項(xiàng)．【詳解】對于A，向量與互為相反向量，其長度相等，故A正確；對于B，因?yàn)橄嗟认蛄康姆较蛳嗤?，長度相等，則兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，故B正確；對于C，共線的單位向量可以是相反向量，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)槟ｉL為0的向量為零向量，所以只有零向量的模長等于0，故D正確．故選：C．3．B【分析】根據(jù)向量平行及相等定義分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，當(dāng)與方向不同時(shí)，不成立，∴A錯(cuò)誤，對于B，若，，則，∴B正確，對于C，當(dāng)與方向相反時(shí)，不成立，∴C錯(cuò)誤，對于D，當(dāng)時(shí)，滿足，，但不一定成立．所以D錯(cuò)誤.故選：B．4．B【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念和線性運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對于A：若ABCD為平行四邊形，則，故A正確；對于B：若，則與任何向量均平行，可得，，但不一定平行，故B錯(cuò)誤；對于C：相反向量：模長相等，方向相反的向量互為相反向量，所以互為相反向量的兩個(gè)向量模相等，故C正確；對于D：因?yàn)?，故D正確；故選：B.5．A【分析】利用向量共線定理求解即可【詳解】因?yàn)橄蛄颗c方向相同，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使，因?yàn)橄蛄?，不共線，所以，解得或（舍去），故選：A6．A【分析】由平面向量加法的平行四邊形法則可判斷為平行四邊形，再由向量加法、減法運(yùn)算和模的含義可得對角線相等，然后可判斷四邊形形狀.【詳解】因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，又，所以，即對角線相等，所以四邊形為矩形.故選：A7．A【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算求得正確答案.【詳解】依題意，，，，所以三點(diǎn)共線，所以A選項(xiàng)正確.故選：A8．A【分析】利用向量的概念可判斷①；利用相等向量的定義可判斷②；利用相等向量的定義以及充分條件、必要條件的定義可判斷③⑤；取可判斷④.【詳解】對于①，因?yàn)?，但、的方向不確定，則、不一定相等，①錯(cuò)；對于②，若，，則，②對；對于③，且或，所以，所以，“且”是“”的必要不充分條件，③錯(cuò)；對于④，取，則、不一定共線，④錯(cuò)；對于⑤，若、、、是不共線的四點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則且，此時(shí)，四邊形為平行四邊形，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，由相等向量的定義可知，所以，若、、、是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件，⑤對.故選：A.9．ABC【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算判斷A，B；由共線向量的定義判斷C，D.【詳解】解：對于A，，故正確；對于B，，故正確；對于C，因?yàn)?，所以，所以共線，故正確；對于D，因?yàn)楹愠闪?，所以不一定共線，故錯(cuò)誤.故選：ABC.10．AB【分析】A中，共線向量有可能有零向量，所以不能作為基底，判斷A的真假；B中，共線向量不一定相等，判斷B的真假；C中，由向量的基底的定義及向量的基本性質(zhì)，可得，不共線，判斷C的真假；D中，由三點(diǎn)共線的性質(zhì)可判斷D的真假．【詳解】A中，若或中至少一個(gè)為零向量時(shí)，，就不能作為基底，所以A不正確；B中，若，共線，而，的方向不一定相同，且模長也不一定相等，所以B不正確；C中，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)基底，則與不共線，而，所以，不共線，所以可以作為該平面的基底，所以C正確；D中，由題得得，，即，即，即，所以D正確；故選：AB．11．BCD【分析】根據(jù)題意，利用向量的線性運(yùn)算，得到，結(jié)合、、三點(diǎn)共線，求得，再化簡得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，即，所以，又因?yàn)?，，所以，，所以，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：BCD．

12．【分析】直接寫出符合條件的向量即可得個(gè)數(shù).【詳解】與相等的向量有，共個(gè)，與的模相等且夾角為的向量有，共個(gè).故答案為：；.13．【分析】使用平面向量線性運(yùn)算知識(shí)進(jìn)行求解即可.【詳解】由已知，結(jié)合正五角星的圖形，有，∵與方向相同，，∴.故答案為：.14．【分析】設(shè)，，三根細(xì)繩對所施力分別為，，，可知，在平行四邊形中比較向量模的大小即可求解.【詳解】受力最大的是，理由如下：設(shè)，，三根細(xì)繩對所施力分別為，，，則，設(shè)與的合力為，則，如圖：在平行四邊形中，因?yàn)?，，所以，，即，，所以繩受力最大.故答案為：.15．2.【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量基本定理列式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，則，存在實(shí)數(shù)，使得，而，．因此，即，又向量，不共線，于是，解得，所以實(shí)數(shù)的值是2.16．(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）按照向量的加法、減法法則計(jì)算即得.【詳解】（1）；（2）；（3）.17．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）證明不共線即可；（2）設(shè)，然后可建立方程組求解即可.【詳解】（1）假設(shè)共線，設(shè)，則，因?yàn)椋瞧矫鎯?nèi)不平行的非零向量，所以，無解，所以不共線，所以，組成平面上向量的一組基底，（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得和平行，設(shè)，則，因?yàn)?，是平面?nèi)不平行的非零向量，所以，解得，所以存在實(shí)數(shù)k，使得和平行，.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由點(diǎn)D為的中點(diǎn)可得，再結(jié)合已知條件即可證明；（2）設(shè)，，，利用向量加減法法則可得，，從而可得，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)D為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，兩式相加得，所以，?（2）由，得，設(shè)，，，則，又.所以，因?yàn)椋还簿€，所以，解得.19．(1)①；②(2)【分析】（1）①根據(jù)題意，將，作為基底表示，由三點(diǎn)共線可知，，的系數(shù)之和為1可得的關(guān)系，再利用基本不等式即可得解；②利用三角