考點(diǎn)08 切線（選填題12種考法）（解析版）

專題08切線（選填題12種考法）考法一在點(diǎn)：求切線方程【例1】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)椋?，所以所以所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選：C【變式】1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【解析】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．2．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【解析】，又，所以，所以切線方程為，即．故答案為:.3．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【解析】由題意函數(shù)為奇函數(shù)可知所以，所以，則函數(shù)可化為，則，則由導(dǎo)數(shù)得幾何意義可知曲線在點(diǎn)(0，0)處的切線斜率為-1.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為故答案為:.考法二在點(diǎn)：已知切線求參數(shù)【例2-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若直線與曲線相切，則．【答案】【解析】依題意，設(shè)切點(diǎn)為，則，由，求導(dǎo)得，于是，解得，從而，則.故答案為：【例2-2】（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知直線是曲線在點(diǎn)處的切線方程，則【答案】e【解析】由題設(shè)，且，則，所以，切線方程為，即，所以，故.故答案為：【變式】1．（2023·安徽·池州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（其中）在處的切線為，則直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【解析】根據(jù)題意：函數(shù)在處有切線，切點(diǎn)為，又，故切線斜率為，直線的方程為，該直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：2．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若曲線在處的切線與直線相互垂直，則．【答案】【解析】已知，則,因?yàn)榍€在處的切線與直線相互垂直，所以，解得.故答案為：.3．（2023·廣東東莞·東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎本€與曲線相切，則.【答案】3【解析】對(duì)求導(dǎo)，得，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，故答案為：3.考點(diǎn)三在點(diǎn)：求參數(shù)最值【例3】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與曲線相切，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】由，知定義域?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)為，，，所以，故切點(diǎn)為，代入直線方程，則，，令，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，故的最小值為1.故選：B【變式】1．（2023·新疆阿克蘇·校考一模）若直線與曲線相切，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，.故選：A2.（2023秋·河南商丘·高三商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，直線與曲線相切，則的最小值為.【答案】8【解析】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，得，所以，即，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值，所以的最小值為8.故答案為：8.3．（2023秋·青海西寧·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知直線與曲線相切，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以．令，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．故選：A4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知曲線與直線相切，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)切點(diǎn)為，，時(shí)，，，切線方程為，又切線方程為，即，所以，消去得，易知，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，所以時(shí)，，從而取得最大值．故選：C．考法四過點(diǎn)：求切線方程【例4】（2023春·上海浦東新）已知曲線，過點(diǎn)作曲線的切線，則切線的方程為____.【答案】【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，,則切線的斜率，故切線方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，整理得到，解得，所以切線方程為．故答案為:.【變式】1．（2023吉林）已知函數(shù)，則曲線過點(diǎn)的切線方程為______．【答案】或【解析】設(shè)切點(diǎn)為，，則切線斜率為，故曲線在處的切線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程可得，解或，故所求切線方程為或，即或.故答案為：或.2．（2023·山東·河北衡水中學(xué)統(tǒng)考一模）過點(diǎn)與曲線相切的直線方程為______．【答案】【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，.則切線方程為，因?yàn)樵谇芯€上，所以，即又，所以，令，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以方程只有唯一解為.即切點(diǎn)坐標(biāo)為，故所求切線方程為，即.故答案為：3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．【答案】【解析】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，圖象為：所以當(dāng)時(shí)的切線，只需找到關(guān)于y軸的對(duì)稱直線即可.[方法三]：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；.考法五過點(diǎn)：已知切線求參數(shù)【例5】（2023·北京）過原點(diǎn)的直線與分別與曲線，相切，則直線斜率的乘積為（

）A．-1 B．1 C． D．【答案】B【解析】設(shè)的切點(diǎn)分別為，由題意可得，，所以在處的切線為，在處的切線為，又因?yàn)閮蓷l切線過原點(diǎn)，所以，解得，所以直線斜率的乘積為，故選：B【變式】1．（2023春·河南周口）已知曲線在處的切線過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，曲線在處的切線的斜率為，又因?yàn)椋€在處的切線過點(diǎn)，故，則．故選：B．2.（2023廣東湛江）過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】D【解析】，設(shè)切點(diǎn)為坐標(biāo)，則，即，則，由題意知有兩解，分別為m，n，故，故選：D.考法六過點(diǎn)：求切線的數(shù)量【例6】（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)過點(diǎn)作曲線的切線，則切線的條數(shù)為．【答案】2【解析】當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)為，，又故過的切線方程為,將代入可得,解得或4，均大于0，滿足要求；當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)為，又，故過的切線方程為將代入，可得解得或4，均大于0，不合要求，舍去．故答案為：2．【變式】1．（2023春·甘肅張掖）若過點(diǎn)作曲線的切線，則這樣的切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】C【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以，所以切線方程為，即，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，解得或，所以過點(diǎn)作曲線的切線可以作2條，故選：C2.（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，則切線的條數(shù)為．【答案】1【解析】當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)為，，其中，故過的切線方程為，將代入，可得，解得，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)為，，其中，故過的切線方程為，將代入，可得，解得，不合要求，舍去；故答案為：13．（2023·高二單元測(cè)試）已知函數(shù)，則過點(diǎn)與曲線相切的直線有條.【答案】2【解析】曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，由，得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，在處的切線的斜率為，故切線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以聯(lián)立得，解得或，故所求切線方程為或，則過點(diǎn)與曲線相切的直線有2條.故答案為：2.考法七過點(diǎn)：求最值與取值范圍【例7-1】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．【答案】【解析】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：【例7-2】（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)，若過點(diǎn)恰能作3條曲線的切線，則的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】設(shè)切點(diǎn)為，則，所以切線的斜率為，則切線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，即，令，則，令，得或，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，因?yàn)檫^點(diǎn)恰能作3條曲線的切線，所以直線與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：

所以m的取值范圍是，故選：BC【變式】1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在曲線上任取一點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.2．（2023·云南）過坐標(biāo)原點(diǎn)可以作曲線兩條切線，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為，則，切線斜率,切線方程為，∵切線過原點(diǎn)，∴，整理得：,∵切線有兩條，∴，解得或，∴的取值范圍是,故選：D3．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若過軸上任意點(diǎn)可作曲線兩條切線，則的取值范圍．【答案】【解析】設(shè)曲線上一點(diǎn)，在點(diǎn)的切線方程，把點(diǎn)代入切線方程得，得：，令，則，分別令，解得在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，當(dāng)，，，，要有兩個(gè)解，則即對(duì)任意，則，對(duì)任意，則，只要，令，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則．．故答案為：.4．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若曲線有三條過點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】【解析】設(shè)該切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，所以切線方程為，又切線過點(diǎn)，則，整理得.要使過點(diǎn)的切線有3條，需方程有3個(gè)不同的解，即函數(shù)圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，且極小值、極大值分別為，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，即過點(diǎn)的切線有3條.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.考法八公切線【例8-1】（2023·江西南昌·?？寄M預(yù)測(cè)）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則b的值為（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或【答案】B【解析】設(shè)是在點(diǎn)的切線，則，同理設(shè)設(shè)是在點(diǎn)的切線，則，由方程組得，代入解得故選：B【例8-2】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，，設(shè)公切線與切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，，所以，所以，所以，所以或，因?yàn)?，所以，所以，所以，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的最小值為.故選：A【變式】1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若直線為和的公切線，則b等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)直線與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，由，所以，由，則，即點(diǎn)，代入直線中有：，

①由，所以，由，，即點(diǎn)，代入直線中有：，

②聯(lián)立①②解得：，所以，故選：B.2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線是曲線與的公切線，則.【答案】/【解析】對(duì)于函數(shù)，則，設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，切線斜率，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即，對(duì)于函數(shù)，則，根據(jù)斜率關(guān)系可得：，解得，可得，可知切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，即，可得，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，此時(shí)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，切線方程為，故，；綜上所述：.故答案為：.3．（2023·全國(guó)·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，依題意只需求公切線斜率即可.，，設(shè)切點(diǎn)分別為，，則切線方程為，即.，即.則，由①得，代入②得：，則，故公切線斜率為或，如圖，.

故選：C.4．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若存在直線與曲線都相切，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)該直線與相切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，所以該切線方程為，即.設(shè)該直線與相切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，所以該切線方程為，即.所以，所以，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減；在和上單調(diào)遞增.又-1，所以，所以，解得，所以的取值范圍為.故選：D.考法九切線與傾斜角【例9-1】（2023·四川成都·四川省成都列五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴或.故選：B.【例9-2】（2023春·福建·高二校聯(lián)考期中）曲線在某點(diǎn)處的切線的傾斜角為銳角，且該點(diǎn)坐標(biāo)為整數(shù)，則該曲線上這樣的切點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】由，得，曲線在某點(diǎn)處的切線的傾斜角為銳角，，即，解得：．又切點(diǎn)坐標(biāo)為整數(shù)，，0，1．該曲線上這樣的切點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)．故選：C．【變式】1．（2023·上海徐匯·位育中學(xué)?？既＃┰O(shè)P是曲線上任意一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角α的取值范圍是．【答案】【解析】由已知得，由得．故答案為：．2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是【答案】【解析】，，，，，.點(diǎn)P是曲線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為，.，.3．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式.則的圖像上任意一點(diǎn)處的切線的斜率的取值范圍為.【答案】【解析】因?yàn)椋裕?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，所以的圖像上任意一點(diǎn)處的切線的斜率的取值范圍為.故答案為：.考法十切線的應(yīng)用1---點(diǎn)到曲線的距離最值【例10】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若點(diǎn)與曲線上點(diǎn)距離最小值為，則實(shí)數(shù)為_______.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可知，直線與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，則，得，由兩點(diǎn)間的距離公式得，由于的最小值為，即，，解得，因此，.故答案為：【變式】1．（2022·江蘇·蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)）直線分別與曲線，直線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題，設(shè)到直線的距離為，直線的傾斜角為，則，又，，故最小即最小，即為當(dāng)過點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)最小，由曲線，得，所以切點(diǎn)為，可求得點(diǎn)到直線的距離最小值為故，故選：C2．（2022·河北邯鄲·二模）已知點(diǎn)P為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)最小時(shí)，直線OP恰好與曲線相切，則實(shí)數(shù)a＝___．【答案】【解析】設(shè)，所以，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，即有最小值，所以，此時(shí)直線OP的方程為，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，由，顯然在直線上，則，因此有，故答案為：3．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）設(shè)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且.則的取值范圍是.【答案】【解析】∵，∴，設(shè)點(diǎn)，則在點(diǎn)P處的切線斜率為，∵，即：當(dāng)且僅當(dāng)PA垂直于切線時(shí)，取得最小值，又∵，∴，即：，①∴，即：，②∴由①②得：，解得：或，又∵由①知，，∴，即：，解得：，∴.故答案為：.考法十一切線的應(yīng)用2---曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最值【例11】（2023春·陜西安康）若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】過點(diǎn)作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線距離最小.設(shè)切點(diǎn)為，所以切線斜率為，由題知，解得或（舍），，此時(shí)點(diǎn)到直線距離.故選：D【變式】1．（2023春·廣西欽州）已知P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是（

）A． B．5 C．6 D．【答案】A【解析】設(shè)直線與直線平行，且與函數(shù)的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，直線的斜率為1，所以，解得，即切點(diǎn)為，所以點(diǎn)P到直線的距離的最小值是點(diǎn)到直線的距離，即為.故選：A2．（2023秋·河南許昌·高三禹州市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最短距離.【答案】/【解析】，令，解得（舍去），又，可得與直線平行且與曲線相切的直線的切點(diǎn)為，所以點(diǎn)到直線的最短距離為.故答案為：.3．（2023春·福建漳州·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，如果直線與的圖象無交點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】【解析】令，整理得，構(gòu)建，原題意等價(jià)于與沒有交點(diǎn)，因?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，則切線方程為，若切線過原點(diǎn)，則，解得，此時(shí)切線斜率，可得，解得，所以的取值范圍是.考法十二切線的應(yīng)用3--零點(diǎn)或?qū)嵏膫€(gè)數(shù)【例12-1】（2023北京）函數(shù)，若方程恰有3個(gè)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】畫出函數(shù)的圖象,如圖所示：由題意可知，先求與相切時(shí)的情況，由圖可得此時(shí),設(shè)切點(diǎn)為,則，解得,，此時(shí)直線，此時(shí)直線與只有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以，又斜率，又當(dāng)時(shí)與平行，與有三個(gè)公共點(diǎn)，而當(dāng)，直線與有四個(gè)交點(diǎn)，故.故答案為：【例12-2】（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】作出與的圖象，如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)與相切于點(diǎn)，則，解得，所以，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，與有1個(gè)交點(diǎn)，即與有3個(gè)交點(diǎn).；當(dāng)時(shí)，設(shè)與相切于點(diǎn)，由可知，，解得或（舍去），此時(shí)，而，由圖象知，當(dāng)時(shí)，與有3個(gè)交點(diǎn).綜上，或時(shí)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選：A【變式】1．（2023·四川·?？寄M預(yù)測(cè)）若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)趨向正無窮時(shí)，趨向正無窮，故作出的大致圖象，如圖所示．由題知函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與直線的圖象恰有2個(gè)交點(diǎn)，易知點(diǎn)為與直線的公共點(diǎn)，又曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以當(dāng)，直線與與曲線有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：C．2．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【答案】【解析】由得，由題意得，函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有2個(gè)公共點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，如圖，再作出直線，它始終過原點(diǎn)，設(shè)直線與相切，切點(diǎn)為，由知，切線斜率為，切線方程為，把代入得，所以切線斜率為，設(shè)與相切，則，所以，，解得舍去），由圖可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是或.故答案為：3．（2023·福建福州·福州四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】【解析】由可知，即與存在兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，令，解得：，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，解得，則在處的切線方程為；令，解得，則在處的切線方程為，所以與的圖象如下表：

且這兩條切線在軸上的截距分別為實(shí)數(shù)的取值范圍為.單選題1．（2023·山東濰坊·三模）若為函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為切點(diǎn)作曲線的切線，則切線傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，，得，則以為切點(diǎn)的切線斜率為，令切線傾斜角為，，則，則.故選：D.2．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，設(shè)曲線在處的切線斜率為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，，，，在上單調(diào)遞減；，所以，而，所以，.故選：A.3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】由題意得，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，由于，故，，由題意可知為的兩個(gè)解，故，故選：D4．（2023秋·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)的切線的斜率都大于0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的定義域是，依題意，恒成立，即恒成立，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：C

5．（2023·山東煙臺(tái)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（且）有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，且，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，時(shí)，，又，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以，矛盾，故，由有兩不同實(shí)數(shù)根可知，有兩個(gè)不同交點(diǎn)，設(shè)過原點(diǎn)與相切的直線為，切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，解得，即，如圖，

所以與有兩個(gè)不同交點(diǎn)則需，解得，又，所以，此時(shí)滿足極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，且.故選：B6．（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與曲線和曲線均相切，則實(shí)數(shù)的解的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)【答案】C【解析】根據(jù)題意可知，直線與曲線和曲線都相切，所以對(duì)于曲線，則，所以，所以切點(diǎn)，對(duì)于曲線，則，所以，切點(diǎn)，易知A,B不重合，因?yàn)楣芯€過兩點(diǎn)，所以，進(jìn)而可得，令，則，令，則所以在單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以存在使得，即，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故.又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以在?nèi)存在，使得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，所以在?nèi)存在，使得，綜上所述，存在兩條斜率分別為，的直線與曲線和曲線都相切，故選：C.7．（2023春·江蘇南通·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，存在兩條過原點(diǎn)的直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，則切線斜率又，則切線方程為：，又切線過原點(diǎn)，則，即方程在上有兩不相等的實(shí)根，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，要使得兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，解得，又，時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.8．（2023·四川綿陽(yáng)·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若曲線上恰有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．-3 B． C．1 D．-3或1【答案】A【解析】依題意，設(shè)直線與直線平行，且與曲線的圖象相切于點(diǎn)，對(duì)于，定義域?yàn)?，則，所以有，直線的斜率，又因?yàn)橹本€與直線平行，則有，解得：，則，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為：，若曲線上恰有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，必有直線到直線的距離為，則有，解得：或，當(dāng)時(shí)，直線即為與曲線沒有交點(diǎn)，曲線上只有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線即為與曲線有個(gè)交點(diǎn)，曲線上恰有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，一個(gè)點(diǎn)為點(diǎn)，剩余的兩個(gè)點(diǎn)則在直線的右下方，符合題意；故.故選：A.9．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)實(shí)根，且兩實(shí)根之和小于0，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，易知方程總有一個(gè)實(shí)根為0，當(dāng)時(shí)，，，方程沒有非零實(shí)根.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增如圖所示，作出兩函數(shù)的大致圖像，可知坐標(biāo)原點(diǎn)為兩個(gè)圖像的公共點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，，，，與的圖像在原點(diǎn)處相切，當(dāng)時(shí)，，，，，與的圖像在原點(diǎn)處相切，此時(shí)方程僅有一個(gè)實(shí)根0.結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，方程另有一正根，不合題意；當(dāng)時(shí)，方程另有一負(fù)根，符合題意.故滿足條件的的取值范圍是.故選：C.10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，為函數(shù)的零點(diǎn)，，若，則（

）A． B．C． D．與大小關(guān)系不確定【答案】C【解析】易知為函數(shù)的零點(diǎn)，又解之：，負(fù)根舍去；又，即與有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，如下圖先計(jì)算過原點(diǎn)的切線方程，不妨設(shè)切點(diǎn)為切線方程為：過原點(diǎn)，此時(shí)的斜率比切線斜率小，結(jié)合圖像容易分析出，故選：C．多選題11．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則有2個(gè)零點(diǎn) B．若，則有3個(gè)零點(diǎn)C．存在負(fù)數(shù)，使得只有1個(gè)零點(diǎn) D．存在負(fù)數(shù)，使得有3個(gè)零點(diǎn)【答案】ABC【解析】由題意知的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出和的圖象.

對(duì)A，由圖可知，當(dāng)時(shí)，圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故A正確；對(duì)B，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，則，故切線斜率，所以當(dāng)，直線與有3個(gè)不同的交點(diǎn)，即有3個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)C，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，則，故切線斜率，所以當(dāng)時(shí)，恰有1個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象至多有2個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.12．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）已知，若過點(diǎn)恰能作兩條直線與曲線相切，其中，則m與n可能滿足的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，則，切線斜率為，所以，曲線在處的切線方程為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程可得，過點(diǎn)恰能作兩條直線與曲線相切，即方程有2個(gè)解，即，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，，若，令，得或，令，得，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，

若，令，得或，令，得，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，

又，，故由圖可知，當(dāng)或時(shí)，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，或.故選：AD.13．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的切線斜率可以是B．曲線的切線斜率可以是3C．過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條D．過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有2條【答案】BCD【解析】因?yàn)?，所以，?duì)于A：令，方程無解，所以曲線的切線斜率不可以是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，解得，所以曲線的切線斜率可以是，故B正確；對(duì)于C：設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，即，顯然，所以，故過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條，故C正確；對(duì)于D：設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，，所以，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以存在使得，所以方程有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有條，故D正確；故選：BCD14．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則過點(diǎn)恰能作曲線的兩條切線的充分條件可以是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】由，得，設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，所以有，整理可得：，由題意可知：此方程有且恰有兩個(gè)解，令，，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，所以只要或，即或；②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以只要或，由可得：，由得；③當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；綜上：當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或，所以選項(xiàng)A正確，B正確，C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤，故選：AB15（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)，時(shí)，有且僅有一條切線B．當(dāng)時(shí)，可作三條切線，則C．當(dāng)，時(shí)，可作兩條切線D．當(dāng)時(shí)，可作兩條切線，則b的取值范圍為或【答案】AD【解析】A：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，，若為切點(diǎn)，則切線斜率為，所以切線方程為，若不為切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，切線斜率為，所以，，即切點(diǎn)為原點(diǎn)，所以時(shí)，有且僅有一條切線，正確；B：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，則切線的斜率為，切線方程為，當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以時(shí)有極小值，為，時(shí)有極大值，為，時(shí)，畫出的圖象，當(dāng)時(shí)，若有三條切線，則與有3個(gè)交點(diǎn)，由圖得，錯(cuò)誤；C：當(dāng)時(shí)，由切線方程得，則，設(shè)，則，所以單調(diào)遞減，且，如圖，所以當(dāng)，時(shí)，與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以只能作一條切線，錯(cuò)誤；D：當(dāng)時(shí)，由切線方程為得，則，設(shè)，則，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，有極小值為，時(shí)，有極大值為，的圖象為若有兩條切線，則的取值為或，正確.故選：AD.填空題16．（2023·四川綿陽(yáng)·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知的圖象在處的切線與與函數(shù)的圖象也相切，則該切線的斜率.【答案】【解析】函數(shù)的圖象在處的切線的切點(diǎn)為，因?yàn)椋郧芯€斜率為，切線方程為，即，設(shè)的圖象的切線的切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線斜率為，切線方程為，即，由題，解得，，斜率為.故答案為：.17．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）若曲線存在兩條互相垂直的切線，則a的取值范圍是．【答案】【解析】由題知，令，則．若函數(shù)曲線存在兩條互相垂直的切線則可得，，．當(dāng)時(shí)，，，與題目矛盾；當(dāng)時(shí)，由，可得的值域是故，使得，，．故答案為：．18．（2023·廣東肇慶·?？寄M預(yù)測(cè)）已知曲線與曲線有相同的切線，則這條切線的斜率為.【答案】/0.5【解析】設(shè)曲線與曲線的切點(diǎn)分別為，，又，，所以，，所以切線為，即，，即，所以，所以，，即這條切線的斜率為.故答案為：.19．（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則所有的切線中斜率最小的切線方程為.【答案】【解析】由，，則，時(shí)等號(hào)成立，則函數(shù)所有切線中斜率最小為3，且過點(diǎn)，則切線方程為故答案為：20．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）曲線在處的切線的傾斜角為，則．【答案】【解析】由題得，所以，所以，所以.故答案為：21．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）設(shè)點(diǎn)為函數(shù)與圖象的公共點(diǎn)，以為切點(diǎn)可作直線與兩曲線都相切，則實(shí)數(shù)的最大值為．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，因?yàn)橐詾榍悬c(diǎn)可作直線與兩曲線都相切，所以，即或由，故，此時(shí)；所以點(diǎn)坐標(biāo)為，代入整理得：，，令，即，得，可判斷在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)有極大值也是最大值，，故答案為.22．（2023·河南鄭州·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為.【答案】【解析】由得，故，而，故曲線在處的切線方程為，即故答案為：23．（2023·江蘇南京·南京市第九中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在處的切線方程為.【答案】【解析】函數(shù)，可得，又由，可得，即切線的斜率為，所求切線方程為，即.故答案為：.24．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】【解析】，則，則又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以所求的直線方程為，即.故答案為：.25．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，所以，則，故，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得.故答案為：26．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是．【答案】【解析】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)因?yàn)?，所以方程的兩個(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即圖象在上方當(dāng)時(shí)，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個(gè)根為因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，則需滿足，，即故，所以.27．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為．【答案】/0.5【解析】，假設(shè)兩曲線在同一點(diǎn)處相切，則，可得，即，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，且時(shí)，所以，則，此