新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示教師用書新人教A版必修第二冊(cè)

6.3.5平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)任務(wù)1．把握平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)進(jìn)行平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．能夠用兩個(gè)向量的坐標(biāo)來解決與向量的模、夾角、垂直有關(guān)的問題．(規(guī)律推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)i，j分別是x軸和y軸方向上的單位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，則a·b的值為多少？a·b的值與a，b的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b為多少？學(xué)問點(diǎn)平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角．(1)數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a·b＝x1x2＋y1y2．(2)向量模的公式：|a|＝x1(3)兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x2(4)向量的夾角公式：cosθ＝a·ba(5)向量垂直的充要條件：若a與b都是非零向量，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．已知向量a＝(x，y)，則與a共線的單位向量的坐標(biāo)是什么？[提示]設(shè)與a共線的單位向量為±1aa＝±xa，y1．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，則m＝________．23[由于a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，解得m＝22．已知a＝(3，1)，b＝(－3，1)，則|a|＝________，|b|＝________，a，b的夾角θ＝________．[答案]22120°類型1平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【例1】(1)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，則(a＋2b)·(a－3b)＝()A．10 B．－10C．3 D．－3(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，AF＝2FD，則BE·CF＝________．(1)B(2)23[(1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．故選(2)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，由于AF＝2FD，所以F43所以BE＝(2，1)，CF＝43，2－(2，0)所以BE·CF＝(2，1)·-＝2×-23＋1×2＝數(shù)量積運(yùn)算的途徑及留意點(diǎn)(1)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式開放，再依據(jù)已知計(jì)算．(2)對(duì)于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目，只需把握?qǐng)D形的特征，并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，則AB·AD＝()A．2 B．－2C．4 D．無法確定(2)已知點(diǎn)A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，則向量AB在CD方向上的投影向量長(zhǎng)度為________．(1)C(2)322[(1)以B為原點(diǎn)，以BA，BC的方向?yàn)閯tB(0，0)，A(2，0)，D(0，y)．所以AB＝(－2，0)，AD＝(－2，y)，得AB·AD＝(－2，0)·(－2，y)＝4．(2)由已知得AB＝(2，1)，CD＝(5，5)，因此AB在CD方向上的投影向量長(zhǎng)度為AB·CDCD＝15類型2向量模的坐標(biāo)表示【例2】若向量a的始點(diǎn)為A(－2，4)，終點(diǎn)為B(2，1)，求：(1)向量a的模；(2)與a平行的單位向量的坐標(biāo)；(3)與a垂直的單位向量的坐標(biāo)．[解](1)∵a＝AB＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，∴|a|＝42+(2)與a平行的單位向量是±aa＝±15(4，－即坐標(biāo)為45，-(3)設(shè)與a垂直的單位向量為e＝(m，n)，則a·e＝4m－3n＝0，∴mn＝3又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1，解得m=35∴e＝35，45或求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運(yùn)算利用|a|2＝a2，將向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題．(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算若a＝(x，y)，則a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知平面對(duì)量a＝(3，5)，b＝(－2，1)．(1)求a－2b及其模的大??；(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|．[解](1)a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)，|a－2b|＝72+3(2)a·b＝(3，5)·(－2，1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，∴c＝a－(a·b)·b＝(3，5)＋(－2，1)＝(1，6)，∴|c|＝1+62＝類型3向量的夾角與垂直問題【例3】(源自湘教版教材)已知a＝(3，1)，b＝-32，(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為鈍角．[解](1)由于a∥b，所以3k－1×-32＝0，解得k＝－(2)由于a⊥b，所以3×-32＋1×k＝0，解得k＝(3)由于π2＜〈a，b〉＜π，所以cos〈a，b〉＜0則由向量夾角余弦公式可得3×-32＋1×k＝－92＋k解得k＜92由(1)知，k＝－12時(shí)，a∥b，即a，b共線，此時(shí)〈a，b〉＝所以k＜92且k≠－12時(shí)，a，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩向量夾角的步驟(1)求向量的數(shù)量積．利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積．(2)求模．利用|a|＝x2(3)求夾角余弦值．由公式cosθ＝x1(4)求角．由向量夾角的范圍及cosθ求θ的值．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知點(diǎn)A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．(1)求證：AB⊥AD；(2)要使四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)以及矩形ABCD兩對(duì)角線所夾銳角的余弦值．[解](1)證明：由于A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，AB＝(1，1)，AD＝(－3，3)，所以AB·AD＝1×(－3)＋1×3＝0，所以AB⊥AD，即AB⊥AD．(2)由于AB⊥AD，四邊形ABCD為矩形，所以AB＝DC，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，則由AB＝(1，1)，DC＝(x＋1，y－4)，得x+1=1，y所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，5)，從而AC＝(－2，4)，BD＝(－4，2)，且|AC|＝25，|BD|＝25，AC·BD＝8＋8設(shè)AC與BD的夾角為θ，則cosθ＝AC·BDACBD＝所以矩形的兩對(duì)角線所夾銳角的余弦值為451．(2022·全國(guó)乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，則a-b＝(A．2 B．3C．4 D．5D[由于a－b＝2，1－-2所以a-b＝4故選D．]2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，則a與b的夾角為()A．π6 B．C．π3 D．B[a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝32+-12＝10，|b|設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝a·bab＝又0≤θ≤π，∴θ＝π43．已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，則a·(a＋2b)＝________．4[a＋2b＝(1，5)，a·(a＋2b)＝1×(－1)＋5×1＝4．]4．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直，則n＝________．±3[由題意2a－b＝(3，n)，∵2a－b與b垂直，∴3×(－1)＋n2＝0，∴n2＝3，∴n＝±3．]回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：已知非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．1．如何求向量a與b的夾角θ的余弦值cosθ？[提示]cosθ＝a·ba2．向量a與b的夾角θ的范圍與向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的關(guān)系是什么？[提示](1)當(dāng)θ為銳角或零角?x1x2＋y1y2>0；(2)當(dāng)θ為直角?x1x2＋y1y2＝0；(3)當(dāng)θ為鈍角或平角?x1x2＋y1y2<0．向量的數(shù)量積與三角形的面積在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定A(x1，y1)，B(x2，y2)，假設(shè)O，A，B不在同一條直線上，如圖所示，你能用A，B的坐標(biāo)表示出△OAB的面積嗎？一般地，利用向量的數(shù)量積可以便利地求出△OAB的面積為S＝12|x1y2－x2y1事實(shí)上，如圖所示，記t＝|OA|，a＝1t(－y1，x1)，則簡(jiǎn)潔驗(yàn)證，a是與OA過B作OA的垂線BC．由于a為單位向量，所以由向量數(shù)量積的幾何意義可知|BC|＝|a·OB|，因此，△OAB的面積為S＝12|AO|×|BC|＝12|AO|×|a·＝12t×＝12|(－y1，x1)·(x2，y2＝12|x1y2－x2y1由此也可以看出，如圖所示，假如A(x1，y1)，B(x2，y2)，而且O，A，B三點(diǎn)不共線，則以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OACB的面積為S＝|x1y2－x2y1|．由此你能體會(huì)到向量數(shù)量積的作用之大了嗎？課時(shí)分層作業(yè)(十)平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示一、選擇題1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，則x等于()A．3 B．－3C．53 D．－A[a·b＝－x＋6＝3，故x＝3．]2．設(shè)平面對(duì)量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|2a－b|等于()A．4 B．5C．35 D．45D[由a∥b得y＋4＝0，∴y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4，8)，∴|2a－b|＝45．故選D．]3．已知向量m＝(1，1)，向量n與向量m的夾角為3π4，且m·n＝－1，則|n|＝(A．－1 B．1C．2 D．－2B[cos3π4＝m·nmn＝-12n＝－4．已知向量a＝(0，－23)，b＝(1，3)，則向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)為()A．32，C．32，D[向量a在向量b上的投影向量為a·bb·bb＝-62·b2＝－32b，其坐標(biāo)為－325．(多選)已知a，b是單位向量，且a＋b＝(1，－1)，則()A．|a＋b|＝2B．a(chǎn)與b垂直C．a(chǎn)與a－b的夾角為πD．|a－b|＝1BC[由a＋b＝(1，－1)兩邊平方，得|a|2＋|b|2＋2a·b＝12＋(－1)2＝2，則|a＋b|＝2，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由于a，b是單位向量，所以1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，所以B選項(xiàng)正確；由|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，所以|a－b|＝2，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)a與a－b的夾角為θ，則cosθ＝a·a-baa-b＝a2-a·b1×2＝12＝22二、填空題6．(2022·全國(guó)甲卷)已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，則m＝________．－34[由題意知，a·b＝m＋3(m＋1)＝0，解得m＝－37．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的對(duì)角線OB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0，0)，B(1，1)，則AB·AC＝________．1[如圖所示，在正方形OABC中，A(0，1)，C(1，0)(當(dāng)然兩者位置可互換，不影響最終結(jié)果)，則AB＝(1，0)，AC＝(1，－1)，從而AB·AC＝(1，0)×(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1．]8．設(shè)向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝a2+b2，則－2[法一：a＋b＝(m＋1，3)，又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2．法二：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2．]三、解答題9．已知平面對(duì)量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a∥b，求|a－b|；(2)若a與b的夾角為銳角，求x的取值范圍．[解](1)由于a∥b，所以－x－x(2x＋3)＝0，解得x＝0或x＝－2．當(dāng)x＝0時(shí)，a＝(1，0)，b＝(3，0)，所以a－b＝(－2，0)，則|a－b|＝2．當(dāng)x＝－2時(shí)，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，所以a－b＝(2，－4)，則|a－b|＝25．綜上，|a－b|＝2或25．(2)由于a與b的夾角為銳角，所以a·b＞0，即2x＋3－x2＞0，解得－1＜x＜3．又當(dāng)x＝0時(shí)a∥b，故x的取值范圍是(－1，0)∪(0，3)．10．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，則△ABC的外形是()A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形A[由題設(shè)知AB＝(8，－4)，AC＝(2，4)，BC＝(－6，8)，所以AB·AC＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB⊥AC．所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．]11．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則實(shí)數(shù)t＝()A．－6 B．－5C．5 D．6C[由已知有c＝(3＋t，4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，故9+3t+16c·5＝3+tc·112．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量OA＝(2，2)，OB＝(4，1)，在x軸上有一點(diǎn)P使得AP·BP有最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(－3，0) B．(2，0)C．(3，0) D．(4，0)C[設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，則AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)．所以AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，所以當(dāng)x＝3時(shí)，AP·BP有最小值1．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，0)．]13．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三點(diǎn)，直線CD⊥AB且CB∥AD，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是________．(0，1)[依據(jù)題意，設(shè)D(x，y)，則CD＝(x－3，y)，AB＝(1，3)，CB＝(－1，2)，AD＝(x－1，y＋1)．由于CD⊥AB，所以CD·AB＝(x－3)×1＋3y＝0．①由于CB∥AD，所