新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第1課時分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課件新人教A版選擇性必修第三冊

第六章計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第1課時分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理學(xué)習(xí)任務(wù)1．理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理．(數(shù)學(xué)抽象)2．會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實(shí)際計(jì)數(shù)問題．(邏輯推理)必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知01在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和日常生活中，我們經(jīng)常會遇到類似“共有多少種情況”的計(jì)數(shù)問題．例如：(1)一個由3個元素組成的集合，共有多少個不同的子集？(2)由3個數(shù)字組成的密碼鎖，如圖所示，如果忘記了密碼，最多要試多少次才能打開密碼鎖？知識點(diǎn)1分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝______種不同的方法．m＋n提醒

定義中每一類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事．思考

1．若完成一件事情有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？[提示]

共有m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．知識點(diǎn)2分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝______種不同的方法．m×n提醒(1)完成這件事有多個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺一不可；(2)每一步都有若干種方法．思考

2．分類加法計(jì)數(shù)原理每一類中的方法與分步乘法計(jì)數(shù)原理每一步中的方法有何區(qū)別？[提示]

分類加法計(jì)數(shù)原理每一類中的方法可以完成這件事，而分步乘法計(jì)數(shù)原理中每一步的方法不能獨(dú)立完成這件事．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同． (

)[提示]

在分類加法計(jì)數(shù)原理中，分類標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，兩類不同方案中的方法是不能相同的．(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事． (

)[提示]

在分類加法計(jì)數(shù)原理中，是把能完成這件事的所有方法按某一標(biāo)準(zhǔn)分類的，故每類方案中的每種方法都能完成這件事．1234×√(3)在分步乘法計(jì)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的． (

)[提示]

因?yàn)樵诜植匠朔ㄓ?jì)數(shù)原理中的每一步都有多種方法，而每種方法各不相同．(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨(dú)的步驟都能完成這件事． (

)[提示]

因?yàn)樵诜植匠朔ㄓ?jì)數(shù)原理中，要完成這件事需分兩步，而每步都不能完成這件事，只有各步都完成了，這件事才算完成．1234×√2．從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為________種．123499

[分三類：第一類，乘汽車，從3次中選1次有3種走法；第二類，乘火車，從4次中選1次有4種走法；第三類，乘輪船，從2次中選1次有2種走法．所以，共有3＋4＋2＝9(種)不同的走法．]3．現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為________種．12

[先從4件上衣中任取一件共4種選法，再從3條長褲中任選一條共3種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，上衣與長褲配成一套共4×3＝12(種)不同配法．]1234124．如圖，從A→B→C有________種不同的走法；從A→C有________種不同的走法．12344

6

[A→B→C分兩步：第一步，A→B，有2種走法；第二步，B→C，有2種走法．所以A→B→C共有2×2＝4(種)走法．A→C分兩類：第一類，A→B→C共有4種走法；第二類，A→C(不經(jīng)過B)有2種走法．所以A→C共有4＋2＝6(種)走法．]4

6關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1分類加法計(jì)數(shù)原理類型2分步乘法計(jì)數(shù)原理類型3兩個計(jì)數(shù)原理的簡單應(yīng)用【例1】

(源自湘教版教材)某市的有線電視可以接收中央臺12個頻道、本地臺10個頻道和其他省市46個頻道的節(jié)目．(1)當(dāng)這些頻道播放的節(jié)目互不相同時，一臺電視機(jī)共可以選看多少個不同的節(jié)目？◆

類型1分類加法計(jì)數(shù)原理[解]

當(dāng)所有頻道播放的節(jié)目互不相同時，一臺電視機(jī)選看的節(jié)目可分為3類：第一類，選看中央臺頻道的節(jié)目，有12個不同的節(jié)目；第二類，選看本地臺頻道的節(jié)目，有10個不同的節(jié)目；第三類，選看其他省市頻道的節(jié)目，有46個不同的節(jié)目．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，一臺電視機(jī)共可以選看12＋10＋46＝68(個)不同的節(jié)目．(2)如果有3個頻道正在轉(zhuǎn)播同一場球賽，其余頻道正在播放互不相同的節(jié)目，一臺電視機(jī)共可以選看多少個不同的節(jié)目？[解]

因?yàn)橛?個頻道正在轉(zhuǎn)播同一場球賽，即這3個頻道轉(zhuǎn)播的節(jié)目只有1個，而其余頻道(共有(12＋10＋46－3)個)正在播放互不相同的節(jié)目，所以，一臺電視機(jī)共可以選看1＋(12＋10＋46－3)＝66(個)不同的節(jié)目．反思領(lǐng)悟

用分類加法計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后根據(jù)這個分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類．分類時還要注意兩條基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須分入相應(yīng)的類；二是不同類的方法必須是互不相同的．只有滿足這兩條基本原則才可以使計(jì)數(shù)不重不漏．√[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖所示，在A，B間有四個焊接點(diǎn)1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通，那么電路不通時焊接點(diǎn)脫落的不同情況有(

)A．9種 B．11種C．13種 D．15種C

[按照可能脫落的個數(shù)分類討論．若脫落1個，則有(1)，(4)，共2種情況；若脫落2個，則有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6種情況；若脫落3個，則有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4種情況；若脫落4個，則有(1，2，3，4)，共1種情況；綜上，共有2＋6＋4＋1＝13(種)情況．]√

A

[因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)位于x軸上，所以m>n．當(dāng)m＝4時，n＝1，2，3；當(dāng)m＝3時，n＝1，2；當(dāng)m＝2時，n＝1，即所求的橢圓共有3＋2＋1＝6(個)．]◆類型2分步乘法計(jì)數(shù)原理【例2】已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)表示平面上的點(diǎn)(a，b∈M)，問：(1)P(a，b)可表示平面上多少個不同的點(diǎn)？[解]

確定平面上的點(diǎn)P(a，b)可分兩步完成：第一步確定a的值，共有6種方法；第二步確定b的值，也有6種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到P(a，b)可表示平面上6×6＝36(個)不同的點(diǎn)．(2)P(a，b)可表示平面上多少個第二象限的點(diǎn)？[解]

確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：第一步確定a，因?yàn)閍<0，所以有3種方法；第二步確定b，因?yàn)閎>0，所以有2種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到P(a，b)可表示平面上3×2＝6(個)第二象限的點(diǎn)．[母題探究]1．(變結(jié)論)若本例條件不變，P(a，b)可表示多少個不在直線y＝x上的點(diǎn)？[解]

依題意a≠b，第一步確定a有6種方法，第二步確定b有5種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不在直線y＝x上的點(diǎn)P(a，b)共有6×5＝30(個)．2．(變條件，變結(jié)論)從集合M中的六個數(shù)字中任選三個不重復(fù)的數(shù)字作為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系數(shù)a，b，c，則可以組成多少條不同的拋物線？[解]

解答本題需分三步完成，第一步選系數(shù)a(a不能為0)，有5種選法．

第二步選系數(shù)b，有5種選法．

第三步選系數(shù)c，有4種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得組成拋物線的條數(shù)為5×5×4＝100．反思領(lǐng)悟

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理的注意點(diǎn)(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的．

(2)“步”與“步”之間是連續(xù)的、不間斷的、缺一不可的，但也不能重復(fù)、交叉．(3)若完成某件事情需要n步，則必須依次完成這n個步驟后，這件事情才算完成．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．通信公司在某一段時間內(nèi)向市場投放一批手機(jī)號碼，這一批號碼(共11位數(shù)字)的前七位是統(tǒng)一的，后四位都是0～9之間的一個數(shù)字，那么這一號段共有多少個不同的號碼？[解]

后四位中的每一位都可以從0～9這10個數(shù)字中任選一個，都有10種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可依次確定手機(jī)號碼的第八、九、十、十一位，那么這一號段共有10×10×10×10＝10000(個)不同的號碼．◆

類型3兩個計(jì)數(shù)原理的簡單應(yīng)用【例3】現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？[思路導(dǎo)引]

[解]

(1)分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法．(2)分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種、2種、7種不同的選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×2×7＝70(種)不同的選法．(3)分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5×2＝10(種)不同的選法；第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35(種)不同的選法；第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14(種)不同的選法，所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法．反思領(lǐng)悟

利用兩個計(jì)數(shù)原理的解題策略用兩個計(jì)數(shù)原理解決具體問題時，首先，要分清是“分類”還是“分步”，區(qū)分分類還是分步的關(guān)鍵是看這種方法能否獨(dú)立地完成這件事情；其次，要清楚“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)，在“分類”時要遵循“不重不漏”的原則，在“分步”時要正確設(shè)計(jì)“分步”的程序，注意步與步之間的連續(xù)性；有些題目中“分類”與“分步”同時進(jìn)行，即“先分類后分步”或“先分步后分類”．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．某學(xué)校共有34人自愿組成數(shù)學(xué)建模社團(tuán)，其中高一年級13人，高二年級12人，高三年級9人．(1)若選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？[解]

根據(jù)題意，選其中一人為負(fù)責(zé)人，可分為3類．第1類：選出的是高一學(xué)生，有13種選法；第2類：選出的是高二學(xué)生，有12種選法；第3類：選出的是高三學(xué)生，有9種選法．由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有13＋12＋9＝34(種)選法．(2)若每個年級各選一人為組長，有多少種不同的選法？[解]

根據(jù)題意，共分為3步．第1步：從高一學(xué)生中選出1人，有13種選法；第2步：從高二學(xué)生中選出1人，有12種選法；第3步：從高三學(xué)生中選出1人，有9種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有13×12×9＝1404(種)選法．(3)若選兩人作為社團(tuán)發(fā)言人，這兩人需要來自不同的年級，有多少種不同的選法？[解]

根據(jù)題意，可分為3類．第1類：選出的是高一、高二學(xué)生，有13×12＝156(種)選法；第2類：選出的是高一、高三學(xué)生，有13×9＝117(種)選法；第3類：選出的是高二、高三學(xué)生，有12×9＝108(種)選法．由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有156＋117＋108＝381(種)選法．學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)031．家住A地的小明同學(xué)準(zhǔn)備周末去B地旅游，從A地到B地一天中動車組有30個班次，特快列車有20個班次，汽車有40個不同班次，則小明乘坐這些交通工具去B地的不同方法有(

)A．240種B．180種C．120種D．90種1234√D

[根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有30＋20＋40＝90(種)不同方法．]2．現(xiàn)有3名老師、8名男學(xué)生和5名女學(xué)生共16人．若需1名老師和1名學(xué)生參加評選會議，則不同的選法種數(shù)為(

)A．39 B．24C．15 D．161234√A

[先從3名老師中任選1名，有3種選法，再從13名學(xué)生中任選1名，有13種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為3×13＝39．]3．中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學(xué)依次選一個作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)每個吉祥物都喜歡，若三位同學(xué)對