2022年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷

2022年全國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷一、填空題(共7小題，每空2分，滿分20分)1.(2分)已知m-n=-5,m2+n2=13,那么m?+n?=2.(2分)如圖，以AB為直徑畫一個(gè)大半圓，BC=2AC,分別以AC,CB為直徑在大半P到A的距離與P到B的距離之差最大時(shí)，這個(gè)差等于米.4.(4分)如圖，有個(gè)正方形，有個(gè)三角形.5.(2分)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P[m(m+1),m-1](m為實(shí)數(shù))不行能在第象限.6.(4分)某校組織師生春游，假如單獨(dú)租用45座客車若干輛，剛好坐滿；假如單獨(dú)租用60座客車，可以少租一輛，且余30個(gè)座位。則該校去參與春游的人數(shù)為;若已知45座客車的租金為每輛250元，60座客車租金為每輛300元，這次春游同時(shí)租用這兩種客車，其中60座客車比45座客車多租1輛，所以租金比單獨(dú)一種客車要節(jié)省，按這種積為二、選擇題(共1小題，每小題4分，滿分2分)8.(2分)假如a,b,c均為正數(shù)，且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,那么abe的值是()A.672B.688C.720D.750三、解答題(共9小題，滿分100分)9.(8分)已知a,b,c都是整數(shù)，當(dāng)代數(shù)式7a+2b+3c的值能被13整除時(shí)，那么代數(shù)式5a+7b-22c的值是否一定能被13整除，為什么?10.(8分)如圖所示，在四邊形ABCD中，AM=MN=ND,BE=EF=FC,四邊MEFN,NFCD的面積分別記為S,S?和S,求11.(9分)已知n是正整數(shù)，且2n+1與3n+1都是完全平方數(shù).是否存在n,使得5n+3是質(zhì)數(shù)?假如存在，懇求出全部n的值；假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.12.(10分)某市電話號(hào)碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位數(shù)和其次位數(shù)之間加上3成為一個(gè)七位數(shù)；其次次升位是在首位數(shù)前加上2成為一個(gè)八位數(shù)，某人發(fā)覺(jué)他家中的電話號(hào)碼升位后的八位數(shù)恰好是原六位數(shù)的電話號(hào)碼33倍.問(wèn)這家原來(lái)的電話號(hào)碼是多少?13.(10分)如圖，一個(gè)9×9的方格圖，由粗線隔為9個(gè)橫豎各有3個(gè)格的“小九宮”格，其中，有一些方格填有1至9的數(shù)字，小鳴在第九行的空格中各填入了一個(gè)不大于9的正整數(shù)，使每行、每列和每個(gè)“小九宮”格內(nèi)的數(shù)字都不重復(fù)，然后小鳴將第九行的數(shù)字從左向右寫成一個(gè)9位數(shù).請(qǐng)寫出這個(gè)9位數(shù)，簡(jiǎn)潔說(shuō)明理由.第2頁(yè)(共18頁(yè))584623498549356917639536948214.(10分)平面上有6個(gè)點(diǎn)，其中任何3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，以這6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可以選出多少個(gè)三角形?(前兩問(wèn)不要求說(shuō)明理由)15.(15分)壯壯、菲菲、路路誕生時(shí)，他們的媽媽都是27歲，某天三位媽媽王雪、劉芳劉芳說(shuō)：“路路和王雪的年齡的和是35歲”。已知壯齡的總和是105歲.請(qǐng)回答：是路路的媽媽?壯壯、菲菲和路路的年齡各是歲，16.(15分)請(qǐng)回答：能否表示為3個(gè)互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和?能否表示為3個(gè)互異的完全平方數(shù)的倒數(shù)的和?假如能，請(qǐng)給出一個(gè)例子；假如不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.17.(15分)甲、乙二人在同一條橢圓形跑道上作特殊訓(xùn)練：他們同時(shí)從同一地點(diǎn)動(dòng)身，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達(dá)動(dòng)身點(diǎn)后馬上回頭加速跑其次圈，跑第一圈時(shí)，乙的速度是甲速度的甲跑其次圈時(shí)速度比第一圈提高乙跑其次圈時(shí)速度提高了已知甲、乙二人其次次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn)190米，問(wèn)：這條橢圓形跑道長(zhǎng)多少米?第3頁(yè)(共18頁(yè))2011年全國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷一、填空題(共7小題，每空2分，滿分20分)【分析】依據(jù)m-n=-5,m2+n2=13,可求出mn=-6,然后利用完全平方公式即可得出答案.【解答】解：∵m-n=-5,m2+n2=13,故m?+n?=132-2×36=97.故答案為：97.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是嫻熟把握完全平方公式.2.(2分)如圖，以AB為直徑畫一個(gè)大半圓，BC=2AC,分別以AC,CB為直徑在大半u內(nèi)部畫兩個(gè)小半圓,那么陰影部分的面積與大半圓面積的比等于【分析】設(shè)出小半圓的半徑為x,利用BC=2AC,得到稍大半圓的半徑和大半圓的半徑，然后算出陰影部分的面積并求出它們的比值即可.【解答】解：設(shè)AC=2x,∴陰影部分的面積與大半圓面積的比為：第4頁(yè)(共18頁(yè)).3.(2分)加油站A和商店B在大路MN的同一側(cè)(如圖),A到MN的距P到A的距離與P到B的距離之差最大時(shí)，這個(gè)差等于7米.【分析】當(dāng)ABP構(gòu)成三角形時(shí)，AP與BP的差小于第三邊AB,所以當(dāng)ABP在同始終線上時(shí)，PA與PB之差最大=AB=7.此時(shí)三點(diǎn)構(gòu)成三角形∵兩邊AP與BP的差小于第三邊AB∴P到A的距離與P到B的距離之差最大，∴這個(gè)差就是AB的長(zhǎng)，故答案為：7.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)稱的相關(guān)學(xué)問(wèn)，解題時(shí)關(guān)鍵是弄清當(dāng)三點(diǎn)在同始終線上時(shí)，距離之差最大.第5頁(yè)(共18頁(yè))角邊長(zhǎng)為3的直角三角形，④直角邊長(zhǎng)為4的直角三角形，⑤斜邊長(zhǎng)為2的三角形，⑥斜邊長(zhǎng)為4的三角形，⑦1~6列依次有3+3+3+2+3+3=17個(gè).從而可算出三角形的個(gè)數(shù).【解答】解：(1)一類是有一組對(duì)邊為水平方向的正方形個(gè)數(shù)，這類正方形的個(gè)數(shù)為6×6+5×5+4×4+3×3+2×2+1×1=91.另外還有4個(gè)正方形.所以正方形的個(gè)數(shù)為91+4=95;(2)①直角邊長(zhǎng)為1的三角形的個(gè)數(shù)為6×6×2=72個(gè).②直角邊長(zhǎng)為2的三角形8+6+2+8+6=30個(gè).③直角邊長(zhǎng)為3的直角三角形4+2+4=10個(gè)④直角邊長(zhǎng)為4的直角三角形有2個(gè).⑤斜邊長(zhǎng)為2的三角形12+3+1+4=20個(gè).⑥斜邊長(zhǎng)為4的三角形1+2+1=4個(gè).⑦1～6列依次還有3+3+3+2+3+3=17個(gè).所以三角形的個(gè)數(shù)為72+30+10+2+20+4+17=155個(gè).故答案為：95;155.【點(diǎn)評(píng)】本題考查看圖力量，關(guān)鍵是能夠分類找出正方形和三角形，最終求出和.5.(2分)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P[m(m+1),m-1](m為實(shí)數(shù))不行能在第二象限.【分析】先確定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的符號(hào)，進(jìn)而推斷點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的符號(hào)，即可得到它可能在或m-1>-1或m-1<-2,即P[m(m+1),m-1]可能經(jīng)過(guò)第一或四象限.即P[m(m+1),m-1]經(jīng)過(guò)第三象限.第6頁(yè)(共18頁(yè))標(biāo)的符號(hào)是解決本題的突破點(diǎn).6.(4分)某校組織師生春游，假如單獨(dú)租用45座客車若干輛，剛好坐滿；假如單獨(dú)租用60座客車，可以少租一輛，且余30個(gè)座位.則該校去參與春游的人數(shù)為_(kāi)270;若已知45座客車的租金為每輛250元，60座客車租金為每輛300元，這次春游同時(shí)租用這兩種客車，其中60座客車比45座客車多租1輛，所以租金比單獨(dú)一種客車要節(jié)省，按這【分析】(1)設(shè)該校去參與春游的人數(shù)為a人，單獨(dú)租用45座客車需輛，單獨(dú)租用60座客車需輛，依據(jù)單獨(dú)租用60座客車，可以少租一輛，可求出春游的人數(shù)；(2)設(shè)租用45座客車x輛，則租用60座客車(x+1)輛，依據(jù)同時(shí)租用這兩種客車，其中60座客車比45座客車多租1輛，租金比單獨(dú)一種客車要節(jié)省，列出不等式組可解出這種方案需要的租金.【解答】解：設(shè)該校去參與春游的人數(shù)為a人，則有設(shè)租用45座客車x輛，則租用60座客車(x+1)輛，由題意若單獨(dú)租45座客車需要270÷45=6輛，租金250×6=1500元，若單獨(dú)租60座客車需要(270+30)÷60=5輛，租金300×5=1500元，則有：即租45座客車2輛，60座客車3輛，此時(shí)租金為：250×2+300×3=1400(元)故答案為270,1400.【點(diǎn)評(píng)】解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，關(guān)鍵知道60座客車比45座客車多租1輛，租金比單獨(dú)一種客車要節(jié)省，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系.7.(2分)如圖，P是平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且S?=5,S=2,則陰影部分的面第7頁(yè)(共18頁(yè))則S=Scp-ScD-SAD’=SA-SAPAD’=3.故答案為：3.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行四邊形內(nèi)三角形面積的求解問(wèn)題，應(yīng)嫻熟把握此類問(wèn)題.二、選擇題(共1小題，每小題4分，滿分2分)8.(2分)假如a,b,c均為正數(shù)，且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,那么abe的值是()A.672B.688C.720①,bc+ba=162②,ca+cb=170③,然后將三式相加，即可求得ab+bc+ca值，繼而求得bc,ca,ab的值，將它們相乘再開(kāi)方，即可求得abc的值.【解答】解：∵a(b+c)=152,b(c+a)∴ab+ac=152①bc+ba=162②∴①+②+③,并化簡(jiǎn)，得：ab+bc+ca=242④,第8頁(yè)(共18頁(yè))三、解答題(共9小題，滿分100分)9.(8分)已知a,b,c都是整數(shù)，當(dāng)代數(shù)式7a+2b+3c的值能被13整除時(shí)，那么代數(shù)式5a+7b-22c的值是否肯定能被13整除，為什么?5a+7b-22c=x(7a+2b+3c)+13(ya+zb+te),則有7x+13y=52x+13z=7,從而得出y=2,z=1,t=-1,則有13(2a+b-c)-3(7a+2b+3c)=5a+7b-22c,從而得出代數(shù)式5a+7b-22c的值能被13整除.例如：取x=10,則有y=-5,z=-1,t=-4,則有5a+7b-22c=10(7a+2b+3c)-13(5a+b+4c)實(shí)際上，(2)是一組二元整系數(shù)不定方程，我們先解第一個(gè)，得到x=-3+13k,y=2-7k,這里k是任意整數(shù)，將x=-3+13k代入其余方程，解得z=1-2k,t=-1-3k,5a+7b-22c=(-3+13k)(7a+2b+3c)+13[(2-7k)a+(1-2k)b+(-1-3k)c].【解答】解：設(shè)x,y,z,t是整數(shù)，并且假設(shè)5a+7b-22c=x(7a+2b+3c)+13(ya+zb+tc)(1)應(yīng)當(dāng)有7x+13y=52x+13z=7(2)可以得到y(tǒng)=2,z=1,t=-1,第9頁(yè)(共18頁(yè))既然3(7a+2b+3c)和13(2a+b-c)都能被13整除，5a+7b-22c就能被13整除.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)的整除性問(wèn)題，特殊值法是常用的方法.【解答】解：如圖a所示：連接AE、EN和NC,∵AM=MN=ND,BE=EF=FC,上面兩個(gè)式子相加得SAEu+SAcw=S?,設(shè)四邊形AECN的面積為S,..∵AM=MN=ND,BE=EF=FC,..第10頁(yè)(共18頁(yè))圖a【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了機(jī)敏運(yùn)用三角形的面積公式，分別求出各個(gè)量與中間量得關(guān)系，分別用中間量表示各個(gè)量，代入所求式子求值的方法，關(guān)鍵在于設(shè)出合適的中間量.11.(9分)已知n是正整數(shù)，且2n+1與3n+1都是完全平方數(shù).是否存在n,使得5n+3是質(zhì)數(shù)?假如存在，懇求出全部n的值；假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】解：假如2n+1=k2,3n+1=m2,則5n+3=4(2n+1)-(3n+1)=4k2由于5n+3>(3n+1)+2=m2+2>2m+1,所以2k-m≠1(否則5n+3=2k+m=2m+1).從而5n+3=(2k+m)(2k-m)是合數(shù).【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方數(shù)的應(yīng)用，考查了因式分解法求值的應(yīng)用，考查了分類爭(zhēng)辯思想，本題中爭(zhēng)辯2k-m與2k+m的值是解題的關(guān)鍵.12.(10分)某市電話號(hào)碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位數(shù)和其次位數(shù)之間加上3成為關(guān)鍵描述語(yǔ)升位后的8位數(shù)是原6位的33倍，列出不等式即可求得結(jié)果.【解答】解：設(shè)原電話號(hào)碼為abcdef,則升位后為2a3bcdef,令bcdef=x第11頁(yè)(共18頁(yè))化簡(jiǎn)得32x=20300000-2300000a(I≤a≤9,0≤x<100000的整數(shù)),解得171<23a≤203,所以a=8.故所求的電話號(hào)碼為859375.而找到所求的量的等量關(guān)系.13.(10分)如圖，一個(gè)9×9的方格圖，由粗線隔為9個(gè)橫豎各有3個(gè)格的“小九宮”格，其中，有一些方格填有1至9的數(shù)字，小鳴在第九行的空格中各填入了一個(gè)不大于9的正整數(shù)，使每行、每列和每個(gè)“小九宮”格內(nèi)的數(shù)字都不重復(fù)，然后小鳴將第九行的數(shù)字從左向右寫成一個(gè)9位數(shù).請(qǐng)寫出這個(gè)9位數(shù)，簡(jiǎn)潔說(shuō)明理由.58462349854937569176395369482【分析】此題可以用排解法填數(shù)，用(m,n)表示位于第m行和第n列的方格.依據(jù)“小九宮”格已填的數(shù)，并按要求使每行、每列和每個(gè)“小九宮”格內(nèi)的數(shù)字都不重復(fù)進(jìn)行分析填【解答】解：填數(shù)的方法是排解法，用(m,n)表示位于第m行和第n列的方格.第七行、第八行和第3列有9,所以，原題圖6左下角的“小九宮”格中的9應(yīng)當(dāng)填在第1列、第2列和第七行有數(shù)字5,所以，在圖右下角的“小九宮”格中的數(shù)字5只能第七行、第八行有數(shù)字6,圖6中下部的“小九宮”格的數(shù)字6應(yīng)當(dāng)填在(9,6);此時(shí)，在第九行尚缺數(shù)字7和3,由于第9列有數(shù)字7,第12頁(yè)(共18頁(yè))所以，7應(yīng)當(dāng)填在(9,8);3自然就填在(9,9)了，填法見(jiàn)圖.九位數(shù)是：495186273.846213498549356917639536949)862/【點(diǎn)評(píng)】此題考查的學(xué)問(wèn)點(diǎn)是整數(shù)問(wèn)題的綜合運(yùn)用.解答此題關(guān)鍵是依據(jù)要求使每行、每列和每個(gè)“小九宮”格內(nèi)的數(shù)字都不重復(fù)接受排解法填數(shù).14.(10分)平面上有6個(gè)點(diǎn)，其中任何3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，以這6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可以選出多少個(gè)三角形?(前兩問(wèn)不要求說(shuō)明理由)【分析】(1)先從6個(gè)點(diǎn)中選取1個(gè)做三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，有6種取法；再?gòu)挠嘞碌?個(gè)點(diǎn)中選取1個(gè)做三角形的其次個(gè)頂點(diǎn)，有5種取法；再?gòu)挠嘞碌?個(gè)點(diǎn)中選取1個(gè)做三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)，有4種取法；由于任何3個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，所以這樣選出的三個(gè)點(diǎn)可以作出1個(gè)三角形.但是假如選出的三個(gè)點(diǎn)相同的話，則作出的三角形相同，三個(gè)點(diǎn)相同的取(2)每個(gè)三角形有3個(gè)頂點(diǎn)，依此即可求解；(3)用英文大寫字母A、B、C、D、E、F記這6個(gè)點(diǎn)，假設(shè)可以選出兩兩沒(méi)有公共邊的5個(gè)三角形，它們共有15個(gè)頂點(diǎn)，需要15個(gè)英文大寫字母.依此分析即可求解.【解答】解：(1)先從6個(gè)點(diǎn)中選取1個(gè)做三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，有6種取法；再?gòu)挠嘞碌?個(gè)點(diǎn)中選取1個(gè)做三角形的其次個(gè)頂點(diǎn)，有5種取法；再?gòu)挠嘞碌?個(gè)點(diǎn)中選取1個(gè)做三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)，有4種取法.由于任何3個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，所以，這樣選出的三個(gè)點(diǎn)可以作出1個(gè)三角形.第13頁(yè)(共18頁(yè))所以，以這6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)造個(gè)不同的三角形；(2)每個(gè)三角形有3個(gè)頂點(diǎn)，所以，6個(gè)點(diǎn)最多只能構(gòu)造2個(gè)沒(méi)有公共頂點(diǎn)的三角形；(3)用英文大寫字母A、B、C、D、E、F記這6個(gè)點(diǎn)，假設(shè)可以選出兩兩沒(méi)有公共邊的5個(gè)三角形，它們共有15個(gè)頂點(diǎn)，需要15個(gè)英文大寫字母.這里不同的英文大寫字母僅有6形兩兩沒(méi)有公共邊，即除去公共頂點(diǎn)A之外，其余6個(gè)頂點(diǎn)互不相同，即表示這6個(gè)頂點(diǎn)的字母不相同.但是，除A之外，我們僅有5個(gè)不同的字母.所以不行能存在5個(gè)三角形，它們兩兩沒(méi)有公共邊.所以，最多可以選出4個(gè)三角形，其中任何兩個(gè)三角形都沒(méi)有公共邊.15.(15分)壯壯、菲菲、路路誕生時(shí)，他們的媽媽都是27歲，某天三位媽媽王雪、劉芳劉芳說(shuō)：“路路和王雪的年齡的和是35歲”.已知壯壯、菲菲、路路和他們的媽媽6個(gè)人年【分析】依據(jù)題中所給的條件，先設(shè)劉芳的年齡的關(guān)系，從中得出正確答案.①劉芳和路路的年齡和是36歲，因此路路的媽媽不是劉芳.留意到菲菲比劉芳小29歲，第14頁(yè)(共18頁(yè))所以，壯壯的媽媽是劉芳.②壯壯和媽媽劉芳的年齡的和為(2x-27)路路(36-x)歲，他的媽媽應(yīng)當(dāng)是(36-x+27)歲，和為(99-2x)菲菲(x-29)歲，她的媽媽應(yīng)當(dāng)是(x-29+27)歲，和為(2x-31)由于6個(gè)人共105歲，所以，(2x-27)+(99-2x)+(2x-31)=105.③解出x=32,菲菲比劉芳小29歲，所以菲菲3歲；路路和劉芳的年齡的和是36,路路4歲；路路和王雪的年齡的和是35歲，所以王雪31歲.答：王雪是路路的媽媽；壯壯5歲、菲菲3歲和路路4歲.故填：王雪，5,3,4.【點(diǎn)評(píng)】解決此題的關(guān)鍵在于找出其中的相互關(guān)系，然后依據(jù)實(shí)際狀況爭(zhēng)辯，同時(shí)也考查了一元一次方程的應(yīng)用.16.(15分)請(qǐng)回答：能否表示為3個(gè)互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和?能否表示為3個(gè)互異的完全平方數(shù)的倒數(shù)的和?假如能，請(qǐng)給出一個(gè)例子；假如不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】(1)由證明即可；【解答】解：(1)由于故有所以，能表示為3個(gè)互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和(表示法不唯一).(2)不妨設(shè)a<b<c,現(xiàn)在的問(wèn)題就是查找整數(shù)a,b,c,滿