2023年北京大學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)科學(xué)夏令營試題（含答案）

年北大夏令營試題解答與評析2023年8月5日和6日進行了兩場考試，每天上午各一場，每場4小時4題.試題第1，5，7題較簡單，第3，4，6題難度中等，第2，8題較困難.試題整體思想性較強，需要將問題想到位，想清楚.筆者水平有限，解答如有不當之處，敬請指正.I.試題1.設(shè)奇數(shù)，求證：是無理數(shù).2.對正整數(shù)，用表示在十進制中的數(shù)碼和之和.求證：對任意正整數(shù)，3.在中，是最長邊.設(shè)的中垂線與直線分別交于點關(guān)于此中垂線的對稱點為.設(shè)的中垂線與直線分別交于點關(guān)于此中垂線的對稱點為.設(shè)交于點的外接圓與直線交于另一點的外接圓與直線交于另一點.過作的平行線交直線于，設(shè)是的交點，是外接圓平行于的直徑，求證：直線交于一點.4.將一個方格表的每個格黑白染色，滿足每個小正方形中均至少有一個黑格，且每個黑格均在一個小黑色正方形中.記為每行中黑格的個數(shù)，為每列中黑格的個數(shù)，求的最大值.5.給定正整數(shù).求所有的數(shù)組，使得對任意滿足的實數(shù)組，都有.6.是否存在質(zhì)數(shù)和非零整系數(shù)多項式，使得對任意正整數(shù)中至少有個正整數(shù)使得？7.魔術(shù)師和小美在的方格表中放入或的骨牌.魔術(shù)師先放入一些兩兩無公共格的骨牌，滿足對任意，方格表中每個的正方形至多與個已放入的骨牌有公共格.求證：小美可以再放入骨牌恰覆蓋方格表中余下的方格.8.設(shè)簡單有向圖的頂點是（10行1000列）的格點.的邊滿足：除最后一列外，每個頂點恰有三條有向邊指向下一列的三個不同頂點；除第一列外，每個頂點恰有三條有向邊被前一列的三個不同頂點指向；中無其他邊.對最后一列的每個頂點賦予一個實數(shù).對其余每個頂點，若從出發(fā)指向，則遞歸定義.求證：.II.解答與評注題1.證明1用反證法，若是有理數(shù)，設(shè)為，其中為正整數(shù).則.又由且，得為一根.化簡得模并結(jié)合，可得，與為大于等于3的奇數(shù)矛盾!證明2用反證法，若是有理數(shù)，設(shè)為，其中為正整數(shù)，.易得.則.記，且.則.歸納易證明為奇數(shù)，且，也即說明這樣的存在且單調(diào)遞增.只需注意到為奇數(shù)，.由歐拉定理，知有，與單調(diào)遞增矛盾.評注本題較為簡單，做法也較多，法一引入切比雪夫多項式，是考場上大多數(shù)同學(xué)的證法.法二較為巧妙.由法一可以看出是代數(shù)整數(shù)，故若其為有理數(shù)則必定為整數(shù)，則為奇數(shù)的條件可加強為.題2.證明記為在十進制中數(shù)碼和.不妨設(shè)，只需證明對歸納，時成立.若命題對小于的數(shù)均成立，設(shè).①.設(shè).對.有又歸納假設(shè)有兩式相加即證.需證②.有，只又時，.只需證即，化為歸納假設(shè).③.設(shè).有只需證若，化為更弱的①②情形；若，即化為更弱的更小情形.評注本題較為復(fù)雜，雖然入手點較多，但無論是直接表示還是討論進位次數(shù)最多的數(shù)都容易卡住.關(guān)鍵的想法是把看作在退位上對應(yīng)最佳，從而走通歸納法.除了此作法外，還可以應(yīng)用用類似Kummer公式表示.通過討論進位次數(shù)來解決一部分的情形①③），其余的情況可用歸納法解決.題3.證明易證共線，設(shè)為與交點，則是的外心.由共圓，有進而共圓.由，有共圓，記為圓1.又由，有共圓，記為圓2.由得.再由，得與圓1相切，及.再結(jié)合，得為圓1與圓2的根軸.設(shè)與交于，由，得與圓2相切.故為圓1，圓2，點圓的根心.由共圓，進而共圓，同理共圓.又共圓，得延長與圓1交于，由在圓1和點圓根軸上得：.故共圓，直線與圓1交于.故與重合，即共線.評注本題是中等難度的幾何題，作圖是一個難點.從很多共圓可感覺到根軸根心的想法十分自然，余下部分主要是倒角.題4.解答案為，構(gòu)造為行均染黑，其余染白.因為因此只需又，只需設(shè)第行中某段連續(xù)黑格長為，由每個黑格均在黑色正方形中，第?第行中與這一段同列的黑格總數(shù)個.設(shè)第行中某段連續(xù)白格長為，由每個小正方形中均至少有一個黑格，第?第行中與這一段同列黑格數(shù)各有個.若，由以上論述，，由及二次函數(shù)凸性，結(jié)合得證.若，第行白格被分為至多674段，故得證.將這674條式子與相加得證.評注答案較容易猜出，此后調(diào)整法可以走通，也可以通過取等配湊均值.這一類題目需敢于下手處理，抓住要點即可做出.難度中等.題5.解答案為滿足的所有數(shù)組.一方面，若存在，即.取使趨向于且之和為0.則趨向于0時，矛盾!另一方面，若有.即且時該式大于等于不取等.所以即，得證.評注容易看出數(shù)列應(yīng)集中于較大的一側(cè)，進而用密度大于刻畫得到最后答案，構(gòu)造和證明自然就得到了.題6.解不存在.加強命題為：不存在常數(shù)，使存在質(zhì)數(shù)和非零整系數(shù)多項式，使得對任意正整數(shù)中至少有個正整數(shù)使得.對次數(shù)歸納證明.時平凡.若對成立，考慮的情況.用反證法.若存在常數(shù)，質(zhì)數(shù)和多項式，使得對任意正整數(shù)中至少有個正整數(shù)使得.引入優(yōu)化版本的Hensel引理：由反證假設(shè)，中至少有個正整數(shù)使得.待定正整數(shù)，設(shè)有個正整數(shù)使得.若不整除，則中有個數(shù)滿足；（由），即，所有模同余，至多個若整除，則中有個數(shù)滿足.故取，即.則存在個數(shù)滿足.由的任意性及為定值，也即存在質(zhì)數(shù)和非零整系數(shù)多項式，使得對任意正整數(shù)中至少有個正整數(shù)使得.又，由歸納假設(shè)得矛盾.評注考慮到Hensel定理的證明方式，可以想到把變?yōu)?，于是對次?shù)歸納.中間用到模分析?多項式展開等基本數(shù)論技巧.題7.證明只用到的情況，即每個只與一個給定多米諾相交，這時給出構(gòu)造.將棋盤劃分為個兩兩不交的.若某個與給定多米諾均不交，用兩個多米諾填充該；若與一個給定多米諾相交，分類：（1）給定多米諾落在內(nèi)部.則再放入一個多米諾填充該；（2）給定多米諾與這個（記為）與另一個（記為）均恰有一格相交.由條件，相鄰且不與其他任一個給定多米諾相交，易得可再放入三個多米諾填充和.綜上，找到了符合條件的構(gòu)造.評注很有腦筋急轉(zhuǎn)彎的感覺.敢于用情況去做可以得到意外簡單的答案.也可用一般的及Hall定理處理.題8.證明設(shè)行列處數(shù)為，記.記為列指向列的有向邊.下證對均成立.對某個，記列上的數(shù)為列上的數(shù)為.存在使得兩兩不同，中各出現(xiàn)3次.則最后一個等號可以這樣理解：每個出現(xiàn)于3組中，即至