平面向量與復(fù)數(shù)-2023年高考數(shù)學(xué)考試（新高考）（解析版）

專題09平面向量與復(fù)數(shù)

易命臺所

一、忽略向量共線致誤

-2

1、已知向量a=(x,x+y與b=(2x,-3)的夾角為鈍角，則實數(shù)X的取值范圍為.

一2——

【錯解】因為向量α=(x,x+?與b=(2x,-3)的夾角為鈍角，所以α?6<0,

21

即2χ2+(χ+])χ(-3)<0,解得一]<χ<2,

【錯因】概念模糊，錯誤地認(rèn)為<Z,B>為鈍角oZ?B<0,實際上，<Z,B>為鈍角

xΛ+ΛΛ<0

<=>a?b<0且4與B不共線<=>V

^y2-?i??≠°

【正解.】因為向量Z=(X,x+∣?)與B=(2x,-3)的夾角為鈍角，所以Z?B<ORZ與B不共線,

2

2X2+(X+-)×(-3)<0

3,解得一且

即4,<x<2/N0,

22

(-3)x-2x(X+y)≠0

所以實數(shù)X的取值范圍為一1<X<2月.X≠0

2

2、已知α=(2,l),6=(z,iμ∈R,α與h的夾角為。若。為銳角,則7的取值范圍是

【錯解】,.,cos?=-r"?1'.因6為銳角,有cos^>0,

∣α∣?∣?∣√5?^?∕Λ2+1

>。="+1>。，得2>勺的取值范圍是層‘+°°]

2Λ+1

?7；2+1

【錯因】當(dāng)向量a,b同向時,6=0,CoSθ-?滿足cosGO,但不是銳角.

a?b22+1

【正解】。為銳角,O<cos6*<1,XVcosO=

IQMbl√5?√Z2+1

22+12?+1J2>.+1>O,z>一

φ,解得,2

c√5-√Λ2+l√5-√A2+Γ,??∣22+l≠√5?√λ2+1

A≠2.

.。的取值范圍是K^押#2}.

二、對向量共線定理及平面向量基本定理理解不準(zhǔn)確致誤

3、給出下列命題：(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底；(2)平面向量的基底不唯一,

只要基底確定后,平面內(nèi)的任何一個向量都可被這組基底唯一表示;(3)若a,h共線,則b=且/1

存在且唯一：(4)幻"+〃波=義2。+〃26,則21=22M="2.其中真命題的個數(shù)為

A.lB.2C.3D.4

【錯解】選B或C或D

【錯因】⑴對于兩個向量共線定理3〃翔)與6共線Q存在唯一實數(shù)派得B=M中條件“中0”的

理解：當(dāng)α=0時,。與任一向量力都是共線的；當(dāng)。=0且后0時力=M是不成立的,

但。與8共線.因此,為了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我們要求α≠0.換

句話說,如果不加條件““≠(F,Z與b共線”是“存在唯一實數(shù)/使得6=癡”的必要不充分

條件.

(2)面向量的一組基底是兩個不共線向量,平面向量基底可以有無窮多組.用平面向量基

本定理可將平面中任一向量分解成形如“=九01+力202(九12丘1<61￡2為同一平面內(nèi)不

共線的兩個向量)的形式,它是向量線性運算知識的延伸.如果e∣,02是同一平面內(nèi)的

一組基底,且九eι+72e2=0(7∣,22eR),那么九=22=0.

【正解】平面內(nèi)的兩個不共線的向量可以作為一組基底,(1)是假命題；(2)是真命題；對于(3),

當(dāng)a,h均為零向量時λ可以取任意實數(shù),當(dāng)a為零向量力為非零向量時λ不存在，

(3)是假命題；對于⑷,只有a,b為不共線向量時才成立.

三、對兩兩夾角相等理解不準(zhǔn)確

4、若單位向量α∕,c兩兩夾角相等,則α+∕>+c的模為.

【錯解】因為單位向量α∕,c兩兩夾角相等,則夾角為120',所以(α+8+c)2=∕+∕+c2

+2ab+2b-c+2c?a=?2+l2+l2+2×l×l×cosl200+

2×l×l×cosl20°+2χlχlXCoSI20°=0,所以Q+b+c的模為0。

【錯因】忽略了夾角為零度的情況

【正解】當(dāng)o,b,c的夾角為0。時α+b+c的模為3,當(dāng)0,b,c夾角為120°時,

[a+b+c?=a2+b^+c2+2ab+2bc+2c-a=?2+↑2+↑2+2×1×1×cosl200+

2×1×1×cos120°+2×1×?×cos120==0,a+b+c的模為0.

四、確定向量夾角忽略向量的方向致錯

5,己知等邊4/8C的邊長為1,則虎?不+方?赤+港?尻'=.

【錯解】?.?A42C為等邊三角形,.?.∣或]=|就=|港|=1,

向量赤、比、不間的夾角均為60。.：.肥?麓=值或=L

2

戌E+0?荏+油就=、

2

【錯因】數(shù)量積的定義β?A=∣α∣?∣A∣?cos。,這里。是a與b的夾角,本題中記與出夾角不是Nc兩向

量的夾角應(yīng)為平面上同一起點表示向量的兩條有向線段間的夾角,如圖發(fā)`與晶的夾角

應(yīng)是NZCD

【正解】瑟與成的夾角應(yīng)是乙4C8的補角N/8,即180。-NNC8=120。.又I就！=|。|=|港|=1,

所以設(shè)'?dl=I就IldIlCOS120°=-；同理得已1?孫=A^βt=-?

故型B+蘇赤+港?覺=-3.

2

6、在A46C中,河是BC的中點MW=I,點尸在∕Λ∕上且滿足AP=2PM,則PA（JB+PC）等

于（）

4444

A.一一B.一一C.-D.-

9339

［錯解】由療=2PM知,P為AABC的重心,根據(jù)向量的加法,PB+PC^IPM.

則莎?（而+卮

【錯因】蘇,而夾角是π,不是0.

【正解】由/=2PM知,P為AABC的重心,根據(jù)向量的加法,而+卮=2PM

J

則可?（而+正）=百?2麗=2∣莎I阿卜OSTr=-：.故選A.

五、向量基本概念模糊致錯

7、下列五個命題：

（T）若。〃b,b〃c,則。〃c；

②若/,民CQ是同一平面內(nèi)的四點且孫=比，則/8CD為平行四邊形；

③若α?Z>="?c,則α=0或b=c；

④（4?Z>）c=（∕>?c）”；其中正確的命題有個。

【錯解】1或2或3或4

【錯因】①忽略零向量與任意向量共線：②忽略四點共線的情況；③忽略a_L（。-c）；④對

數(shù)量積的運算律理解錯誤。

【正解】①若6為零向量,則。〃C不一定成立,故若?！?8〃G則?！–?為假命題；②若港=尻,

則48CQ可能共線,故為假命題；③若叱力二公5則“二0或方二,,或“"!4。一。)，

故為假命題；④因(a?b)c表示與C共線的向量，(Z>?c)α表示與“共線的向

量,(α?b)c,(b?c)α可能不共線,故不一定相等,該命題是假命題，正確的命題有O個。

六、忽視平面向量基本定理的成立條件

8、下列各組向量中，可以作為基底的是()

A、a=(O,0)>h=(1,-2)a=(-1,2).h=(5.7)

C、a=(3,5),b=(6,10)D、a=(2,-3),b=(4,-6)

【錯解】選A或C或D

【錯因】概念模糊，根據(jù)基底的定義，只有非零且不共線的向量才可以作為平面內(nèi)的基底。

【正解】選B,如果1、1是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量

有且只有一對實數(shù)λ∣,λ2,使Z=λ∣W+λ2%.在平面向量知識體系中，基本定理是基石，共線向

量定理是重要工具?？忌趯W(xué)習(xí)這部分知識時，務(wù)必要注意這兩個定理的作用和成立條件。

七、純虛數(shù)的條件不明晰

9、若復(fù)數(shù)z=∕-i+(α一i)i是純虛數(shù),則實數(shù)〃=()

A.+lB,-1C.0D,1

【錯解】由復(fù)數(shù)z=α2-i+(q-i)i是純虛數(shù),得q2-i=o,解得：。=±1,故選A.

a—0

【錯因】復(fù)數(shù)α+bi(α,b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是錯解中沒有考慮實部不為零。

忽略了α-lHO.

2]n

【正解】B,由復(fù)數(shù)z=∕-i+(q-i)i是純虛數(shù),得一=,解得：ɑ?-l,

a-1≠0

八、對復(fù)數(shù)的虛部理解錯誤

i3

10、復(fù)數(shù)-----(i為虛數(shù)單位)的虛部是()

2i-l

A.B.-iC.—iD.

5555

i?—i(2i+1)9ι

【錯解】因為‘一二^一一√~v=-±+±i,故選B.

2i-l(2i-l)(2i+l)55

【錯因】誤認(rèn)為復(fù)數(shù)α+bi(α,6eR)的虛部是bi.虛部是:,不是(i.

?iii

【正解】復(fù)數(shù)α+biz(α,6eR)的虛部是仇不是歷.-1+/的虛部是不是點，選B。

九、亂用判別式

11、已知關(guān)于X的一元二次方程x2+(m+2i)x+(1+mi)=O有實數(shù)根,求m的取值范圍.

【錯解】由于一元二次方程有實數(shù)根,可得判別式：Δ=(w+2Z)2-4×(l+mz)=∕M2-8≥0,

解得："i≤-2√^或M≥2√L

【錯因】對于一元二次方程通過根的判別式來確定根的個數(shù),這是在實數(shù)范圍內(nèi)才能成立的,在復(fù)

數(shù)范圍內(nèi)就不適用了.而本題中所給一元二次方程/+(加+21口+(1+加)=0,其中

含有虛數(shù)單位i,則首先要將其整理成復(fù)數(shù)的形式：(χ2+tnx+1)+(2x+〃?)i=0,利用

*2C

x+mx..+1=0

復(fù)數(shù)相等的條件有：n，進(jìn)而可求出團(tuán).

2x0+加=0

2

【正解】設(shè)方程的實數(shù)根為工,代入方程有：χ0+(/M+2∕μ0+(1+?；/)=0,

2

整理化簡可得：(x0+mx0+1)+(2x0+ιn)i=0,

*7-?

x^+mx+1=0,,一一?

則有：\n0h°,可解得：m二-2或加=2.

2x0+陽=0

十、忽略虛數(shù)不能比較大小

12、給出下列命題:①INl；②2i>i；③∣x∣≠回θx≠y或x≠-y,其中正確命題的個數(shù)為一.

A.0B.lC.2D.3

【錯解】D

【錯因】兩個復(fù)數(shù)如果不全是實數(shù),不能比較大小.本題易出現(xiàn)的錯誤是誤認(rèn)為②正確.

【正解】①正確；②錯誤,因為虛數(shù)不能比較大??；，③錯誤.故選B.

H、利用α+bi=c+dio=C解題,忽略前提條件：a,b,c,d為實數(shù)

[h=d

13、已知X為實數(shù)沙為純虛數(shù),且2x+l+i=y+(y-l)i,求x,y的值.

A.+1B.-1C.0D.1

【錯解】由2x+l+i=y+(y—l)i得2x+l=Ky—1=1,所以x=；,y=2.

【錯因】當(dāng)4,b,c,d為實數(shù)時，有α+6i=c+力o'"=’.錯解中忽略了y為純虛數(shù).

b=d

【正解】因為R為實數(shù)沙為純虛數(shù),設(shè)歹=A伍∈R),

由2x+l+i=y+(y-l)K與2x+l+i=-6+(b-l)i,

-3

所以2x+1=—α/?—1=1,所以X=—,y=2i.

2.

1、已知復(fù)數(shù)Z=言，則下列說法正確的是()

A.Z的虛部為4/B.Z的共規(guī)復(fù)數(shù)為1-4i

C.∣Z∣=5D.Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限

【答案】B

【解答】???z=瀉=票然=竽=l+4i,A：Z的虛部為4,故A錯誤；

I-I(IT)(I+1)2

B：Z的共甄復(fù)數(shù)為1—4i,故B正確；C：∣z∣=Vl2+42=V17＞故C錯誤；

D：z=1+4i對應(yīng)的點為(1,4),在第一象限，故D錯誤：

2、下列說法正確的是()

A.若回＞I刷，則3＞bB.若I司=M貝I厲=b

C.若,=石，則出4D.若G≠a則了與石不是共線向量

【答案】C

【解析】向量不能比較大小，故4錯,?向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故8錯；

不相等的向量也可能是共線向量，故D錯;C顯然正確.

3.己知α∈R,若z=(α+i)(α+4i)-Ioi為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則“的值為()

A.2B.-2C.±2D.±1

【答案】B

屋—4=0

【解析】因為z=(α+i)(α+4i)-IOi=解一4+(5〃-10)i,a∈R且Z為純虛數(shù),所以?

5^-10≠0,

所以〃=一2,故選B.

4.若(l-i)+(2+3i)=α+6i(α,ft∈R,i是虛數(shù)單位),則一一6等于()

A.5B.1C.0D.-3

【答案】B

【解析】因為(l-i)+(2+3i)=α+&i,即3+2i=α+bi,所以α=3,b=2,所以α-b=l.

5、已知向量7=(70,b=且K與萬+方的夾角為銳角，則2滿足()

A.Λ<-^B.λ>-j

C.λ>-^λ≠OD.2<-∣K2≠-5

【答案】C

【解析】由題意，???甘與甘+犯的夾角為銳角，???3?0+葩)>o且3與m+a6不同向，

即FO+入司>0，故啊12+λa?b=5+3λ>0,解得入>-∑aλ≠0.

lλ≠0U≠03

6.向量a=(2,f),6=(—1,3),若a,6的夾角為鈍角，則f的取值范圍是()

j2[R+∞][-6,4

A.I3jBUJC.(-∞,-6)U-I3JD.(-∞,-6)

【答案】C

【解析】如若心b的夾角為鈍角，則a?8Vo且a,。不反向共線.由a?A=-2+3/V0,

解得ZV,向量d=(2,/),Z?=(—1,3)共線時，2X3=-f,得，=一6,此時a=-26.

所以yκ2且/#一6.

3

7.(多選)已知〃?，〃是實數(shù)，a,b是向量，下列命題正確的是()

A.ιn(a-b)=ma-mbB.(m-n)a=ma-na

C.ma—mb,則a=bD.若機則加=〃

【答案】AB

【解析】C錯誤，例如陽=0;D錯誤，例如a=0：A,B是數(shù)乘運算的分配律，正確.

8.已知矩形力BCD,I常|=1,|面|=2,設(shè)市=a,~BC=b,~BD=c,則忸+S+c∣=()

A.3+√5B.4C.2D.3+2√5

【答案】B

【解析】由向量加法的三角形法則得∣a+6+c∣=∣77+及r+詬I=I市+BD+ΛD\

=2∣1K∣=4.

9、已知，?為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)Z滿足z〃+2。=?020+3則下面關(guān)于復(fù)數(shù)Z的三個命題：

數(shù)Z的虛部為一夕；⑼z∣=3：③復(fù)數(shù)Z的共軌復(fù)數(shù)5對應(yīng)的點在第一象限.其中正確命題的個數(shù)

為()

A.1B.2C.3D.O

【答案】A

【解析】由z"+2"=W20+i,可得Z=怒=弋3=(-gi,則復(fù)數(shù)Z的虛部為一夕故◎昔

誤；IZl=Jg丫+(_J?=>,故之滯誤；2=：+?，所對應(yīng)的點?J在第一象限，故③正確，

所以正確命題的個數(shù)為1,

10.在4/8C所在平面中，點。滿足OZ+08+OC=O,則50=()

A.-^∑Γ+??B.-?-??

3333

C.^BA+~^ACD.-~BA+~^AC

3333

【答案】A

------>------>------>A

【解析】如圖，由。/+08+OC=O,易知。為AZBC的重心，A

Λ^=∣~BD=∣(-BA+AD)=∣(~BA+^C)=∣~BA+j7c.

11.已知向量a,6不共線，且C=船+b,d=a+(2λ-?)b,若。與d反向共線，則實數(shù)2的值為

()

A.1B.—?

2

C.1或一1D.-1或一」

22

【答案】B

【解析】由于。與d反向共線，則存在實數(shù)人使得。=何內(nèi)0),則有2d+。=履+(22—1匹瓦

λ=k1

所以?整理可f得2於一2—1=0,因為標(biāo)0,解得2=一二

l(2Λ-iχ=l,2

12.已知eι≠O,A∈R,a=eι+λe2fb=2e↑,則a與方共線的條件為()

A.λ=0B.會=0

C.e?∕/eiD.?〃微或2=0

【答案】D

【解析】當(dāng)@〃々時，a//e↑9又力=2劭，所以力〃e∣,又xι≠O,故日與力共線：當(dāng)2=0時，a

=eι,又。=2劭，βι≠O,故a與。共線.

13.已知向量a=(〃落-9),?=(1,-1),則“〃7=—3”是“a〃/的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若陽=-3,則a=(9,-9)=96,故a〃6：若a〃6,則一∕∏2-(—9)X1=0,

解得加=3或，川=-3.所以“加=一3”是“a〃6”的充分不必要條件.

若盍諭+〃/，則〃的值為(

14.如圖,在正方形/88中，E為。C的中點,=22+)

,--■?≥A?1A1A■—1,≥1-,—-≥AA

【解析】因為E為OC的中點，所以AC=AB+AD=-AB+LAB+AD=-AB+DE+AD

222

1-------A------->-------->1------->-------A

=LAB+AE,AE=~LAB+AC,所以，=U，"=1，所以1+〃=；.

22

15.設(shè)點”(2,0),8(4,2),若點P在直線/8上,且∣∕8∣=2∣ZP∣,則點P的坐標(biāo)為()

A.(3,1)B.(1,-1)

C.(3,1)或(1,-1)D.(3,1)或(1,1)

【答案】C

【解析】V/4(2,0),8(4,2),ΛAB=(2,2),；點P在直線48上,JL∣AB∣=2∣AP∣,ΛAB=

27適=,故7R=(1,1)或定=(一1,-1),故P點坐標(biāo)為(3,1)或(1,-1).

16.設(shè)X,y∈R,向量a=(x,l),1=(1,y),c-(2,~4),且a_Lc,b//c,則∣a+6∣=()

A.√5B.√WC.2√5D.10

【答案】B

【解析】?∕a±c,b∕∕c,Λ2χ-4=0,一4-2y=0,解得x=2,y=-2,

a+6=(3,—1),∣a÷t?=?√32+(-l)2=V10.

17.已知平面向量a,6的夾角為全且∣a∣=l,∣?∣=2,則2a+6與6的夾角是()

?5πC2π

A.-B.一CwDi

63

【答案】D

【解析】因為平面向量a,b的夾憊為$且同=1,冏=2,所以∣2a+々=?∣(2a+b)2=?∣4*+4a?b+旦

2cos22

=Λsy4∣a∣÷4∣4W^÷l^l=Λ^4+4X1X2X；+4=23.又(2a+h)?b=2a?b÷Zz=

2∣a∣?∣?∣?cos^+∣?∣2=2×1×2×^?+4=6,設(shè)2a+Z?與方的夾角為仇由向量夾角公式得COSe=

j?+“M=T—=也又e∈[0,π],所以。=匹，故選D.

∣2a+4?冏2√3×226

18、下列五個命題:

⑤向量耳耳與力共線，則Pi、P2、0、A必在同一條直線上；

?如果向量”與石平行，則α與右方向相同或相反；

⑦四邊形P1P2OA是平行四邊形的充要條件是根=方；

—>→—>一

⑧若Ial=I力I,則n、6的長度相等且方向相同或相反；

?由于零向量方向不確定，故零向量與任何向量不平行。

其中正確的命題有個。

【答案】0

【解析】向星福與蘇共線，則直線P∣P2與直線OA可能平行，①錯；選若Z為零向量，則

命題不正確：②錯，P^=OA,則四點P∣,P2.O,A可能共線；③錯，GI=IiI,只能

說明:、%的長度相等但確定不了方向；④錯，零向量與任何向量平行，⑤錯。

19、若復(fù)數(shù)Z滿足〃+"z=3+彳其中i是虛數(shù)單位),復(fù)數(shù)Z的共甄復(fù)數(shù)為2,則下面結(jié)論：@z|=

√5;@z的實部是2;