第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 章末題型歸納總結(jié)（原卷版）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識思維導圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：不等式的性質(zhì)及應用經(jīng)典題型二：利用基本不等式求最值經(jīng)典題型三：含參數(shù)與不含參數(shù)一元二次不等式的解法經(jīng)典題型四：不等式在實際問題中的應用經(jīng)典題型五：恒成立與有解問題模塊三：數(shù)學思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識思維導圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：不等式的性質(zhì)及應用例1．（2023·全國·高一專題練習）已知，則必有（

）A． B．且C． D．且例2．（2023·全國·高一專題練習）對于實數(shù)a，b，c，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則．例3．（2023·全國·高一專題練習）下列說法中，錯誤的是（

）A．若，則一定有 B．若，則C．若，則 D．若，則例4．（2023·山東濟南·高一?？计谥校┤绻?，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．例5．（2023·江蘇·高一專題練習）已知，則以下不等式不正確的是（

）A． B．C． D．例6．（2023·山東濰坊·高一統(tǒng)考階段練習）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則例7．（2023·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）設(shè)a，bR，，則（

）A． B． C． D．例8．（2023·高一課時練習）已知互不相等的正數(shù)a、b、c滿足，則下列不等式中可能成立的是（

）．A． B． C． D．例9．（2023·安徽合肥·高一?？茧A段練習）已知實數(shù)x，y滿足，，則（

）A．1≤x≤3 B．2≤y≤1 C．2≤4x+y≤15 D．xy例10．（2023·北京·高一校考期中）若，則下列不等式：①；②；③；④中，正確的不等式有（

）A．①② B．③④ C．①④ D．①③④經(jīng)典題型二：利用基本不等式求最值例11．（2023·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中）已知正實數(shù)、滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．例12．（2023·云南·高一校考階段練習）已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．例13．（2023·甘肅武威·高一校考期中）已知的最小值為（

）A．12 B．13 C．25 D．26例14．（2023·全國·高一專題練習）已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．例15．（2023·江蘇·高一專題練習）已知，，，則的最小值為（

）A．8 B．16 C．24 D．32例16．（2023·全國·高一專題練習）已知正數(shù)a，b滿足，則最小值為（

）A．25 B． C．26 D．19例17．（2023·全國·高一專題練習）若正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．例18．（2023·全國·高一專題練習）若，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．例19．（2023·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）若且，則的最小值是（

）A．3 B．5 C．7 D．9例20．（2023·河北保定·高一定州市第二中學?？茧A段練習）若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．8 B． C．16 D．48例21．（2023·江蘇·高一專題練習）已知，，且，則的最小值為（

）．A．4 B．6 C．8 D．12例22．（2023·福建泉州·高一福建省泉州市培元中學?？计谥校┰O(shè)正實數(shù)x，y滿足，則（

）A．的最大值是 B．的最小值是8C．的最小值為 D．的最小值為2例23．（2023·遼寧大連·高一校聯(lián)考階段練習）下列說法錯誤的是（

）A．的最小值是2 B．的最小值是C．的最小值是2 D．的最大值是例24．（2023·全國·高一校聯(lián)考階段練習）已知正數(shù)x，y滿足，則下列選項不正確的是（

）A．xy的最大值是 B．的最小值是C．的最小值是4 D．的最大值是例25．（2023·北京·高一?？茧A段練習）設(shè)正實數(shù)、滿足，則下列說法不正確的是（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為例26．（2023·廣東惠州·高一校考階段練習）若，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．的最大值為1 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最大值為2例27．（2023·高一課時練習）若不等式對任意正數(shù)a，b恒成立，則實數(shù)x的最大值為（

）A． B．3 C． D．1例28．（2023·全國·高一專題練習）已知，則函數(shù)的最大值是（）A． B． C． D．經(jīng)典題型三：含參數(shù)與不含參數(shù)一元二次不等式的解法例29．（2023·全國·高一專題練習）求下列不等式的解集：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).例30．（2023·江蘇無錫·高一江蘇省南菁高級中學校考開學考試）解下列不等式：(1)(2)(3)(4)例31．（2023·高一單元測試）解下列不等式：(1)；(2).例32．（2023·全國·高一專題練習）解關(guān)于的不等式.例33．（2023·全國·高一專題練習）已知關(guān)于的不等式對于恒成立．(1)求的取值范圍；(2)在（1）的條件下，解關(guān)于的不等式．例34．（2023·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末）（1）解關(guān)于x的方程：；（2）求關(guān)于x的不等式的解集．例35．（2023·全國·高一專題練習）解下列關(guān)于的不等式．例36．（2023·全國·高一專題練習）解下列關(guān)于的不等式．例37．（2023·廣東惠州·高一校考階段練習）若不等式的解集是，求不等式的解集.經(jīng)典題型四：不等式在實際問題中的應用例38．（2023·高一課時練習）某熱帶風暴中心B位于海港城市A南偏東的方向，與A市相距400km，該熱帶風暴中心B以40km/h的速度向正北方向移動，影響范圍的半徑是350km.問：從此時起，經(jīng)多少時間后A市將受熱帶風暴影響，大約受影響多長時間？例39．（2023·全國·高一假期作業(yè)）學校要在一塊長為40米，寬為30米的矩形地面上進行綠化，四周種植花卉(花卉帶的寬度相等)，中間設(shè)草坪(如圖)．要求草坪的面積不少于總面積的一半，求花卉帶寬度的取值范圍．

例40．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚中高級中學校聯(lián)考期中）某市為推動美麗鄉(xiāng)村建設(shè)，發(fā)展農(nóng)業(yè)經(jīng)濟，鼓勵某食品企業(yè)生產(chǎn)一種飲料，該飲料每瓶成本為10元，售價為15元，月銷售8萬瓶．(1)據(jù)市場調(diào)查，若每瓶售價每提高1元，月銷售量將減少8000瓶，要使下月總利潤不低于原來的月總利潤，該飲料每瓶售價最多為多少元？(2)為提高月總利潤，企業(yè)決定下月調(diào)整營銷策略，計劃每瓶售價元，并投入萬元作為調(diào)整營銷策略的費用．據(jù)市場調(diào)查，每瓶售價每提高1元，月銷售量將相應減少萬瓶，則當每瓶售價為多少時，下月的月總利潤最大？并求出下月的最大總利潤．（提示：月總利潤月銷售總收入月總成本)例41．（2023·全國·高一專題練習）設(shè)某企業(yè)每月生產(chǎn)電機臺，根據(jù)企業(yè)月度報表知，每月總產(chǎn)值(萬元)與總支出(萬元)近似地滿足下列關(guān)系:，，當時，稱不虧損企業(yè)；當時，稱虧損企業(yè)，且為虧損額.(1)企業(yè)要成為不虧損企業(yè)，每月至少要生產(chǎn)多少臺電機?(2)當月總產(chǎn)值為多少時，企業(yè)虧損最嚴重，最大虧損額為多少?例42．（2023·廣東深圳·高一校考階段練習）為加強“疫情防控”，某校決定在學校門口借助一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為4米，底面積為32平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園應急室，由于此應急室后背靠墻，無需建造費用，某公司給出的報價為：應急室正面和側(cè)面報價均為每平方米200元，屋頂和地面報價共計7200元，設(shè)應急室的左右兩側(cè)的長度均為米，公司整體報價為元.(1)試求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)公司應如何設(shè)計應急室正面和兩側(cè)的長度，可以使學校的建造費用最低，并求出此最低費用.例43．（2023·上海寶山·高一?？计谥校┠承陆ň用裥^(qū)欲建一面積為700平方米的矩形綠地，在綠地四周鋪設(shè)人行道，設(shè)計要求綠地長邊外人行道寬3米，短邊外人行道寬4米.怎樣設(shè)計綠地的長與寬，才能使人行道的占地面積最小？（結(jié)果精確到0.1米）例44．（2023·陜西渭南·高一渭南市瑞泉中學校考階段練習）某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為和，其中x為銷售量（單位：輛）．若該公司本月在這兩地一共銷售10輛車，求該公司本月獲得的最大利潤.例45．（2023·江蘇南京·高一江蘇省南京市第十二中學?？计谥校┠硢挝灰ㄔ煲婚g地面面積為的背靠墻的長方體形小房，房屋正面留有一扇寬為的小門，房屋的墻和門的高度都是，房屋正面的單位面積造價為1200元，房屋側(cè)面的單位面積造價為800元，屋頂?shù)脑靸r為5800元.若不計房屋背面的費用和門的費用，問：怎樣設(shè)計房屋能使總造價（單位：元）最低？最低總造價是多少？例46．（2023·湖北省直轄縣級單位·高一校考期中）如圖，長方形ABCD表示一張6×12（單位：分米）的工藝木板，其四周有邊框（圖中陰影部分），中間為薄板，木板上一瑕疵（記為點P）到外邊框AB，AD的距離分別為1分米、2分米.現(xiàn)欲經(jīng)過點P鋸掉一塊三角形廢料MAN，其中M，N分別在AB，AD上.設(shè)AM，AN的長分別為m分米，n分米.(1)求的值；(2)為使剩余木板MBCDN的面積最大，試確定m，n的值.經(jīng)典題型五：恒成立與有解問題例47．（2023·海南·高一?？计谥校┮阎?，，且，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.例48．（2023·高一課時練習）已知.(1)如果對一切，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)，使得對任意，恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.例49．（2023·四川遂寧·高一射洪中學?？茧A段練習）設(shè)．(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．例50．（2023·江蘇·高一專題練習）已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．(1)求的最小值；(2)若4x+1﹣mxy≥0恒成立，求實數(shù)m的最大值．例51．（2023·湖南長沙·高一校聯(lián)考開學考試）（1）若不等式的解集為，求不等式的解集；（2）若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若方程在有解，求實數(shù)的取值范圍.例52．（2023·高一單元測試）已知，，.(1)求的最小值并說明取得最小值時，滿足的條件；(2)，恒成立，求的取值范圍.例53．（2023·重慶銅梁·高一?？计谥校┤粽龑崝?shù)滿足，且不等式有解，則實數(shù)的取值范圍.例54．（2023·廣東江門·高一校考階段練習）若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是例55．（2023·全國·高一專題練習）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是．例56．（2023·重慶江北·高一重慶十八中?？茧A段練習）當時，若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是.例57．（2023·全國·高一專題練習）當時，不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是.模塊三：數(shù)學思想方法① 分類討論思想例58．（2023·江蘇南通·高一海門市第一中學校聯(lián)考期中）關(guān)于的不等式任意兩個解得差不超過14，則的最大值與最小值的差是（

）A．3 B．4 C．5 D．6例59．（2023·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第三高級中學?？茧A段練習）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件例60．（2023·甘肅武威·高三武威第六中學校考階段練習）對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．例61．（2023·高一課時練習）若關(guān)于的不等式的解中，恰有3個整數(shù)，則實數(shù)應滿足（

）A． B．或C． D．或②轉(zhuǎn)化與化歸思想例62．（2023·浙江·高二校聯(lián)考開學考試）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．例63．（2023·全國·高一專題練習）如果，