第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式（9大知識(shí)歸納+10大題型突破）（原卷版）-2023-2024學(xué)年學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期單元精講·速記·巧練（人教A版2019必修第一冊(cè)）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式（知識(shí)歸納+題型突破）1.了解并掌握等式及不等式性質(zhì)，或熟練運(yùn)用性質(zhì)判斷或證明不等式大小關(guān)系，會(huì)表示不等關(guān)系．2.掌握基本不等式的基本公式，會(huì)熟練運(yùn)用基本不等式求最值及其應(yīng)用．3.掌握一元二次不等式的相關(guān)計(jì)算及其應(yīng)用．等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果，那么性質(zhì)2如果，，那么性質(zhì)3如果，那么性質(zhì)4如果，那么性質(zhì)5如果，，那么作差法比較大小關(guān)系，，不等式的性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱性性質(zhì)2傳遞性性質(zhì)3可加性性質(zhì)4可乘性性質(zhì)5同向可加性性質(zhì)6同向同正可乘性性質(zhì)7可乘方性性質(zhì)8可開(kāi)方性若a＞b＞0，m＞0，則eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)＞eq\f(b－m,a－m)，(b－m＞0)；eq\f(a,b)＞eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)＜eq\f(a－m,b－m)，(b－m＞0)．基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)通常表達(dá)為：（積定和最?。?yīng)用條件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推論1基本不等式的推論2（和定積最大）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象開(kāi)口方向向上向下對(duì)稱軸方程最值一元二次方程求根公式及韋達(dá)定理一元二次方程求根公式的根為：韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）的兩根為，；則解一元二次不等式“三個(gè)二次”：一元二次不等式與一元二次方程及二次函數(shù)的聯(lián)系判別式一元二次方程的根有兩個(gè)不等實(shí)根，（設(shè)）有兩個(gè)相等實(shí)根無(wú)實(shí)數(shù)根二次函數(shù)的圖象的解集的解集??ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要條件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)．a(chǎn)x2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要條件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)．解分式不等式①②③④解單絕對(duì)值不等式或，題型一用不等式或不等式組表示不等關(guān)系及用不等式的性質(zhì)求取值范圍【例1】（1）（2023秋·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動(dòng)車組列車攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)130cm，且體積不超過(guò)，設(shè)攜帶品外部尺寸長(zhǎng)、寬、高分別記為a，b，c（單位：cm），這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（

）A．且 B．且C．且 D．且（2）（2023春·廣東揭陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知，且，則的取值范圍是．鞏固訓(xùn)練：1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某學(xué)生月考數(shù)學(xué)成績(jī)x不低于100分，英語(yǔ)成績(jī)y和語(yǔ)文成績(jī)z的總成績(jī)高于200分且低于240分，用不等式組表示為（

）A． B．C． D．2．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知，，則的取值范圍是．題型二比較代數(shù)式大小及不等式證明【例2】（1）（2023春·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則（2）（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．（3）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）閱讀材料：（1）若，且，則有（2）若，則有．請(qǐng)依據(jù)以上材料解答問(wèn)題：已知a，b，c是三角形的三邊，求證：．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）已知，則（）A． B． C． D．無(wú)法確定2．（2023秋·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學(xué)?？计谀┫铝忻}為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求證：≤；（2）已知c>a>b>0，求證：題型三基本不等式之直接求最值【例3】（1）（2023春·江西宜春·高一江西省豐城拖船中學(xué)?？计谀┮阎?，，則的最大值為（

）A．6 B．9 C．12 D．36（2）（2023秋·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)校考期末）若都是正數(shù)，且，則的最小值是.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·甘肅天水·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．2 B．1 C． D．2．（2023春·湖南邵陽(yáng)·高一邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？计谀┮阎?，則的最小值為．題型四基本不等式之妙用“1”求最值【例4】（1）（2023秋·吉林延邊·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，則的最小值是（

）A．23 B．26 C．22 D．25（2）（2023秋·河南安陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）若，，且，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．4（3）（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┮阎?，且滿足，則的最大值為（

）A．9 B．6 C．4 D．1鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）已知，且，則的最小值為.2．（2023秋·新疆喀什·高一校聯(lián)考期末）若，且，則的最小值為．3．（2023秋·重慶長(zhǎng)壽·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為.題型五基本不等式之拼湊求最值【例5】（1）（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的最小值為（

）A．12 B．10 C．8 D．4（2）（2023春·山西·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．（3）（2023秋·甘肅天水·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知，且，若不等式恒成立，則的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．7（4）（2023秋·廣東廣州·高一廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎龑?shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.鞏固訓(xùn)練1．（2023春·湖南岳陽(yáng)·高一湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)?？计谀┤?，則的最小值為．2．（2023秋·天津南開(kāi)·高一天津大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）已知，則的最小值為．3．（2023秋·山東濟(jì)南·高一?？计谀┤魞蓚€(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．4．（2023秋·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最小值為.5．（2023秋·天津靜?！じ咭混o海一中校考期末）已知，且，則的最小值是.題型六基本不等式之商式分離或換元求最值【例6】（1）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2（2）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)在處取最小值，則（

）A． B．2 C．4 D．6（3）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為.鞏固訓(xùn)練1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，則函數(shù)的最小值為.3．（2023秋·高一單元測(cè)試）函數(shù)的最小值為．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)的最小值是．題型七基本不等式的應(yīng)用【例7】（1）（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知，，，求證：.（2）（2023秋·廣東湛江·高一雷州市第一中學(xué)?？计谀樾麄?022年北京冬奧會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計(jì)三個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為一個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角梯形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為.設(shè)直角梯形的高為.(1)當(dāng)時(shí)，求海報(bào)紙的面積；(2)為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。浚?）（2023春·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）一艘船上的某種液體漏到一片海域中，為了治污，根據(jù)環(huán)保部門(mén)的建議，現(xiàn)決定在該片海域中投放一種與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑，已知每投放個(gè)單位的藥劑，它在海水中釋放的濃度（克/升）隨著時(shí)間（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為（投放當(dāng)天），其中若多次投放，則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為各次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)海水中藥劑的濃度不低于6（克/升）時(shí)，它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放2個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天？(2)若第一次投放4個(gè)單位的藥劑，6天后再投放（第二次投放）個(gè)單位的藥劑，要使第二次投放后的5天（含投放當(dāng)天）能夠持續(xù)有效治污，試求的最小值．鞏固訓(xùn)練1．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知，，，且．求證：．2．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一鐵路一中校考期末）如圖，某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度沒(méi)有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym．(1)若菜園面積為72m2，則x，y為何值時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最??？(2)若使用的籬笆總長(zhǎng)度為30m，求的最小值．3．（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）某學(xué)校要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形的體育館，其地面面積為，體育館高，如果甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為：館頂每平方米的造價(jià)為100元，體育館前后兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米150元，左右兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米250元，設(shè)體育館前墻長(zhǎng)為米．(1)當(dāng)前墻的長(zhǎng)度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與該校的體育館建造競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，若無(wú)論前墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功，試求的取值范圍．題型八一元二次不等式的解法【例8】（1）（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一鐵路一中?？计谀┣蠼庀铝胁坏仁降慕饧?1)；(2)；(3)；(4)；(5).（2）（2023秋·重慶江北·高一字水中學(xué)?？计谀┮阎坏仁降慕饧癁?則不等式的解集為()A．或 B．C． D．或（3）（2023秋·重慶江北·高一字水中學(xué)?？计谀?）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)2．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一鐵路一中校考期末）已知不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．{或} C． D．或3．（2023秋·湖南常德·高一漢壽縣第一中學(xué)校考期末）關(guān)于的不等式：(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；(2)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式.題型九一元二次不等式的關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)綜合【例9】（1）（2023秋·山西朔州·高一懷仁市第一中學(xué)校?？计谀┮阎?，非空集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）（2023秋·河南信陽(yáng)·高一信陽(yáng)高中?？计谀┮阎?，，關(guān)于x的不等式的解集為（1）求m，n的值；（2）正實(shí)數(shù)a，b滿足，求的最小值．鞏固訓(xùn)練1．（2022秋·廣東深圳·高一深圳市高級(jí)中學(xué)校考期末）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中，并求解下列問(wèn)題：已知集合，若__________，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┮阎}是假命題.(1)求實(shí)數(shù)的取值集合；(2)設(shè)不等式的解集為A，若是的必要不充分條件