第二章 一元二次函數、方程和不等式（單元重點綜合測試）（解析版）

一元二次函數、方程和不等式（單元重點綜合測試）一、單項選擇題：每題5分，共8題，共計40分。1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先化簡集合A，再根據補集的運算得到，再根據交集的運算即可得出答案.【詳解】因為，，所以或，所以.故選：D.2．若且，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對于ABC，舉反例排除即可；對于D，利用不等式的性質即可判斷.【詳解】對于A，令，則，但，故A錯誤；對于B，令，則，但，故B錯誤；對于C，令，則，故C錯誤；對于D，因為，則，即，又，所以，故D正確.故選：D.3．已知不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．或C． D．或【答案】C【分析】根據題意知、為方程的解且，根據韋達定理得，進一步化簡可得，再解不等式即可.【詳解】解：因為不等式的解集為，所以、為方程的解且，所以，解得：，所以即為所以解不等式得，即不等式的解集為.故選：C4．已知正實數a，b滿足，則的最小值為（）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】，利用做乘法，借助基本不等式求最值,.選C.5．關于x的不等式解集為，且，則實數（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】依題意可得、為方程的解，根據根與系數的關系，得到關于的方程解得即可，【詳解】解：的解集為，為方程的解，，，又，，，，根據不等式的解集為，又，可得且故二次函數的對稱軸在軸左側，即，.故選：B．6．已知且，不等式恒成立，則正實數m的取值范圍是（）A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8【答案】D【分析】由條件結合基本不等式可求的范圍，化簡不等式可得，利用二次函數性質求的最大值，由此可求m的取值范圍.【詳解】不等式可化為，又，，所以，令，則，因為，，所以，當且僅當時等號成立，又已知在上恒成立，所以因為，當且僅當時等號成立，所以m≥8，當且僅當，或，時等號成立，所以m的取值范圍是，故選：D.7．《九章算術》是中國傳統(tǒng)數學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數學的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門，出東門一十五里有木，問出南門幾何步而見木？”其算法為：東門南到城角的步數，乘南門東到城角的步數，乘積作被除數，以樹距離東門的步數作除數，被除數除以除數得結果，即出南門x里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門1200步有樹，出南門750步能見到此樹，則該小城的周長的最小值為（

）（注：1里＝300步）A．里 B．里 C．里 D．里【答案】C【分析】設步，步，由相似形得出的關系，然后由基本不等式求得小城周長的最小值．【詳解】如圖，設步，步，由得，所以，（步）所以小城周長為（步）＝（里），當且僅當，即時取等號，故選：C．8．是不同時為0的實數，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【詳解】若要使最大，則均為正數，即符號相同，不妨設均為正實數，則，當且僅當，且取等，即取等號，即則的最大值為，故選：A．【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方，注意多次運用不等式，等號成立條件是否一致.二、多項選擇題：每題5分，共4題，共計20分，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的不得分。9．下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】BC【分析】根據不等式的性質，結合特殊值判斷.【詳解】A.取特殊值，，，顯然不滿足結論；B.由可知，，由不等式性質可得，結論正確；C.由同向不等式的性質知，，可推出，結論正確；D.取，滿足條件，顯然不成立，結論錯誤.故選：BC.10．公元3世紀末，古希臘亞歷山大時期的一位幾何學家帕普斯發(fā)現了一個半圓模型（如圖所示），以線段為直徑作半圓，，垂足為，以的中點為圓心，為半徑再作半圓，過作，交半圓于，連接，設，，則下列不等式一定正確的是（）．A． B．C． D．【答案】AD【解析】先結合圖象，利用垂直關系和相似關系得到大圓半徑，小圓半徑，，，，再通過線段大小判斷選項正誤即可.【詳解】因為是圓O的直徑，則，因為，則，所以，故，易有，故，即，大圓半徑，小圓半徑，，，故，同理.選項A中，，顯然當時是鈍角，在上可截取，故，即大圓半徑，故，正確；選項B中，當時，大圓半徑，有，故錯誤；選項C中，中，，故，故錯誤；選項D中，大圓半徑，小圓半徑，則，而，故，故正確.故選：AD.【點睛】本題解題關鍵在于將選項中出現的數式均與圖中線段長度對應相等，才能通過線段的長短比較反饋到數式的大小關系，突破難點.11．已知不等式的解集為或，其中，則下列選項正確的是（

）A． B．不等式的解集為或C． D．不等式的解集為或【答案】AB【分析】對于A，由不等式的解集進行判斷，對于BD，由韋達定理，然后結合一元二次不等式的解法進行判斷，對于C，由不等式的解集結合根與系數的關系判斷.【詳解】不等式的解集為或，所以，，所以A正確，所以，由解集形式可知，由于，所以，所以，所以C不正確，由，得，因為，所以，即，因為，所以，所以不等式的解集為或，所以B正確，D錯誤，故答案為：AB12．設正數滿足，則（

）A． B． C． D．的最大值為【答案】AC【分析】根據已知等式，變形處理各選項的式子，結合基本不等式分別求解最值即可.【詳解】解：對于A，，，即又，∴，可得，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，，又，則，當且僅當時，等號成立，故B不正確；對于C，，當且僅當，即時等號成立，即，故C正確；對于D，，又，當且僅當，即時等號成立，又，所以，所以，則取等條件成立，所以，故D不正確.故選：AC.三、填空題：每題5分，共4題，共計20分。13．已知，，則6x＋5y的取值范圍為．【答案】【分析】由結合不等式的性質得出答案.【詳解】解：，即故6x＋5y的取值范圍為．故答案為：14．若．則P，Q的大小關系（用“”，“”，“”連接兩者的大小關系）【答案】【分析】通過平方的方法來判斷的大小關系.【詳解】依題意可知，所以，所以.故答案為：15．若且滿足，則的最小值是．【答案】/【分析】由變形為；化應用基本不等式可求最小值．【詳解】因為滿足所以，則所以當且僅當，即時取“”，解得,所以的最小值為；故答案為：．16．已知且，則的最小值為.【答案】【分析】令，，將已知條件簡化為；將用表示，分離常數，再使用“乘1法”轉化后利用基本不等式即可求得最小值．【詳解】解：令，，因為，所以，則，，所以,所以，當且僅當，即，，即時取“”，所以的最小值為.故答案為：.四、綜合題：共6題，共計70分。17．（本題滿分10分）解關于x的不等式.【答案】答案見解析【分析】對不等式變形為，然后對進行合理分類討論即可.【詳解】原不等式變?yōu)?，①當時，原不等式可化為，所以當時，解得；當時，解集為；當時，解得②當時，原不等式等價于，即.③當時，，原不等式可化為，解得或.綜上，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為或.18．（本題滿分12分）已知不等式的解集為條件，關于的不等式（）的解集為條件．(1)若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍；(2)若的充分不必要條件是，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由條件解不等式得，條件解不等式得，根據是的充分不必要條件，可得，再根據包含關系可得答案；（2）根據的充分不必要條件是，則，解不等式組可得答案.【詳解】（1）條件由，可得，解得，記；條件由，可得，因為，所以，所以，記，若是的充分不必要條件，則，可得，解得，所以實數的取值范圍是.（2）若的充分不必要條件是，則，可得，解得，又，所以實數的取值范圍是.19．（本題滿分12分）若，,（1）求證：；（2）求證：；（3）在（2）中的不等式中，能否找到一個代數式，滿足所求式？若能，請直接寫出該代數式；若不能，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）能，.【分析】（1）根據的符號去絕對值可證不等式成立；（2）根據同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性質可證明不等式成立；（3）在的兩邊同時乘以，得，在的兩邊同時乘以，得，所以.【詳解】（1）因為，且，所以，所以.（2）因為，所以．又因為，所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得．所以．所以，因為，所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得．所以，所以由兩邊都是正數的同向不等式的相乘可得.（3）因為，，所以，因為，，所以，所以.所以在（2）中的不等式中，能找到一個代數式滿足題意.【點睛】本題考查了利用不等式的性質證明不等式成立，屬于中檔題.20．（本題滿分12分）如圖，長方形表示一張（單位：分米）的工藝木板，其四周有邊框（圖中陰影部分），中間為薄板.木板上一瑕疵（記為點P）到外邊框的距離分別為1分米，2分米.現欲經過點P鋸掉一塊三角形廢料，其中M，N分別在上.設的長分別為m分米，n分米.(1)求的值；(2)為使剩下木板的面積最大，試確定m，n的值；(3)求剩下木板的外邊框長度（的長度之和）的最大值及取得最大值時m，n的值.【答案】(1)1(2)(3)最大值為分米，此時.【分析】（1）過點分別作的垂線，垂足分別為，根據可得出；（2）利用基本不等式求出的最小值即可；（3）利用基本不等式求出的最小值即可.【詳解】（1）過點分別作的垂線，垂足分別為，則，所以，則，整理可得；（2）要使剩下木板的面積最大，即要鋸掉的三角形廢料的面積最小，因為，則，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以當時，剩下木板的面積最大；（3）要使剩下木板的外邊框長度最大，則鋸掉的邊框長度最小，則，當且僅當，即時等號成立，故此時剩下木板的外邊框長度的最大值為分米，此時.21．（本題滿分12分）某市為推動美麗鄉(xiāng)村建設，發(fā)展農業(yè)經濟，鼓勵某食品企業(yè)生產一種飲料，該飲料每瓶成本為10元，售價為15元，月銷售8萬瓶．(1)據市場調查，若每瓶售價每提高1元，月銷售量將減少8000瓶，要使下月總利潤不低于原來的月總利潤，該飲料每瓶售價最多為多少元？(2)為提高月總利潤，企業(yè)決定下月調整營銷策略，計劃每瓶售價元，并投入萬元作為調整營銷策略的費用．據市場調查，每瓶售價每提高1元，月銷售量將相應減少萬瓶，則當每瓶售價為多少時，下月的月總利潤最大？并求出下月的最大總利潤．（提示：月總利潤月銷售總收入月總成本)【答案】(1)20元(2)當每瓶售價為19元時，下月的最大總利潤為45.45萬元【分析】（1）設提價元，根據“下月總利潤不低于原來的月總利潤”列不等式，求得的取值范圍，從而求得最高售價.（2）求得下月總利潤的表達式，利用基本不等式求得下月總利潤的最大值以及此時的售價.【詳解】（1）設提價元，由題意，每瓶飲料的利潤為元，月銷售量為萬瓶，所以提價少月銷售