第二章 直線(xiàn)和圓的方程 章末測(cè)試（提升）（解析版）

直線(xiàn)和圓的方程章末測(cè)試（提升）單選題(每題5分，每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，8題共40分)1．（2023山東）過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切的圓的方程是（

）A．或B．C．D．【答案】A【解析】由題意可得，圓心到兩坐標(biāo)軸的距離相等，且為半徑，所以圓心一定在直線(xiàn)或上；當(dāng)圓心在上時(shí)，不妨設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，則，且圓心到的距離為，即解得或，所以圓心為時(shí)，半徑，圓的方程為；圓心為時(shí)，半徑為，圓的方程為；當(dāng)圓心在上時(shí)，不妨設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，且，即，此時(shí)方程無(wú)解；所以圓的方程為或.如下圖所示：

故選：A2．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若兩條直線(xiàn)：，：與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】由題意直線(xiàn)平行，且與圓的四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成矩形，則可知圓心到兩直線(xiàn)的距離相等，由圓的圓心為：，圓心到的距離為：，圓心到的距離為：，所以，由題意，所以，故選：A.3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知從點(diǎn)發(fā)出的一束光線(xiàn)，經(jīng)x軸反射后，反射光線(xiàn)恰好平分圓：的圓周，則反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的圓心坐標(biāo)為，設(shè)是x軸上一點(diǎn)，因?yàn)榉瓷涔饩€(xiàn)恰好平分圓的圓周，所以反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由反射的性質(zhì)可知：，于是，所以反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為：，故選：A.4．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以相?dāng)于圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離，所以的最大值為圓心到點(diǎn)距離與圓的半徑的和，即.故選：C.

5．（2023春·河南漯河·高二統(tǒng)考期末）設(shè)點(diǎn)為直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，則直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，連接，，

根據(jù)題意，設(shè)為直線(xiàn)上的一點(diǎn)，則，由于為圓的切線(xiàn)，則有，，則點(diǎn)、在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為,，半徑，則其方程為，變形可得，聯(lián)立可得直線(xiàn)AB：，又由，則有AB：，變形可得，則有，解可得，故直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).故選：B.6．（2023·湖南益陽(yáng)·安化縣第二中學(xué)?？既＃┲本€(xiàn)與曲線(xiàn)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．【答案】B【解析】是斜率為的直線(xiàn)，曲線(xiàn)是以原點(diǎn)為圓心為半徑的圓的右半圓，畫(huà)出它們的圖象如圖，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，（舍去），當(dāng)直線(xiàn)過(guò)時(shí)，,由圖可以看出：當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與半圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，故選：

7．（2023春·安徽安慶·高二安徽省宿松中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）若M、N為圓上任意兩點(diǎn)，P為直線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，所以圓心到直線(xiàn)的距離為，所以直線(xiàn)與圓相離，設(shè)PA、PB是過(guò)點(diǎn)P圓的兩切線(xiàn)，且A、B為切點(diǎn)，如圖，顯然，當(dāng)PM，PN為兩切線(xiàn)時(shí)取等號(hào)；因?yàn)镻A、PB是過(guò)點(diǎn)P圓的兩切線(xiàn)，所以，，由圓的對(duì)稱(chēng)性易得，顯然是銳角，在中，，又，所以，所以，∴．故選：B．.8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，點(diǎn)P為直線(xiàn)上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，令，則，則M.如圖，當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，且垂直于直線(xiàn)時(shí)，有最小值，為，即直線(xiàn)到點(diǎn)M距離，為.故選：D二、多選題（每題至少有兩個(gè)選項(xiàng)為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）9．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)有一組圓：，下列命題正確的是（

）A．不論如何變化，圓心始終在一條直線(xiàn)上B．所有圓均不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓有且只有一個(gè)D．所有圓的面積均為【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，圓心為，一定在直線(xiàn)上，A正確；B選項(xiàng)，將代入得：，其中，方程無(wú)解，即所有圓均不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，B正確；C選項(xiàng)，將代入得：，其中，故經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓有兩個(gè)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，所有圓的半徑為2，面積為，故D正確.故選：ABD.10．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線(xiàn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則B．若直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，且，則C．若直線(xiàn)與圓相切，則D．若直線(xiàn)是圓與圓的公共弦所在直線(xiàn)，則【答案】BC【解析】直線(xiàn)，對(duì)于A，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)直線(xiàn)在軸上的截距分別為，即直線(xiàn)過(guò)，且，則且，又，則且，則，則，故B正確；圓的圓心，半徑為，若直線(xiàn)與圓相切，則圓心到直線(xiàn)的距離，即，則，則，故C正確；圓與圓的公共弦所在直線(xiàn)為，即，直線(xiàn)，由題意，兩線(xiàn)重合，則，得，又，即，解得，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．（2023春·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知圓，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．的最大值為B．的最小值為C．直線(xiàn)的斜率范圍為D．以線(xiàn)段為直徑的圓與圓的公共弦方程為【答案】AC【解析】圓的圓心，半徑，又，所以，即點(diǎn)在圓外，所以，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)在線(xiàn)段與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；設(shè)直線(xiàn)，根據(jù)題意可得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，解得，故C正確；設(shè)的中點(diǎn)為，則，又，所以以為直徑圓的方程，顯然圓與圓相交，所以公共弦方程為，故D錯(cuò)誤．

故選：AC．12．（2023春·甘肅慶陽(yáng)·高二?？计谀c(diǎn)P在圓上，點(diǎn)Q在圓上，則（

）A．的最小值為2B．的最大值為7C．兩個(gè)圓心所在的直線(xiàn)斜率為D．兩個(gè)圓相交弦所在直線(xiàn)的方程為【答案】BC【解析】由已知，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，半徑，∴圓心距，又在圓上，在圓上，則的最小值為，最大值為，故A錯(cuò)誤、B正確；兩圓圓心所在的直線(xiàn)斜率為，C正確；圓心距大于兩圓半徑和，兩圓外離，無(wú)相交弦，D錯(cuò)誤.故選：BC.

三、填空題(每題5分，4題共20分)13．（2023福建）已知圓：，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓交于點(diǎn)，，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【解析】由圓：方程變形為標(biāo)準(zhǔn)式，進(jìn)而得出，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，又因?yàn)闉榫€(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，由垂徑定理得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得，，所以，得，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，故答案為：

14．（2023春·重慶沙坪壩）已知點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【解析】如圖所示，圓的圓心為，半徑為3，圓的圓心為，半徑為1，可知，所以，若求的最大值，轉(zhuǎn)化為求的最大值，設(shè)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，設(shè)B坐標(biāo)為，則，解得，故B，因?yàn)?，可得，?dāng)P，B，A三點(diǎn)共線(xiàn)，即P點(diǎn)為時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故答案為：.15．（2023春·廣東陽(yáng)江·高二統(tǒng)考期末）已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)被該圓所截的弦長(zhǎng)的最小值為.【答案】【解析】將圓的一般方程化為設(shè)圓心為，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，則，半徑，

設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，則弦長(zhǎng)，當(dāng)直線(xiàn)與所在的直線(xiàn)垂直時(shí)最大，此時(shí)最小，這時(shí)，所以最小的弦長(zhǎng)，故答案為：.16．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓交與P，Q兩點(diǎn)，如果，則直線(xiàn)l的方程為．【答案】或【解析】圓的圓心，半徑，因?yàn)閳A截直線(xiàn)所得弦長(zhǎng)為，則圓到直線(xiàn)的距離，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)，顯然圓心到直線(xiàn)距離為1，因此直線(xiàn)：符合題意；當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，于是，解得，方程為，所以直線(xiàn)l的方程為或.故答案為：或

四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）17．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，直線(xiàn).(1)證明：直線(xiàn)和圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)若直線(xiàn)和圓交于兩點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)直線(xiàn)的方程.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)最小值為，此時(shí)直線(xiàn)方程為【解析】（1）直線(xiàn)，即，聯(lián)立解得所以不論取何值，直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn).圓，圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，則直線(xiàn)與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn).（2）直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)，圓心，記圓心到直線(xiàn)的距離為d.因?yàn)椋援?dāng)d最大時(shí)，取得最小值，所以當(dāng)直線(xiàn)時(shí)，被圓截得的弦最短，此時(shí)，因?yàn)?，所以直線(xiàn)的斜率為，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，直線(xiàn)的方程為，即，綜上：最小值為，此時(shí)直線(xiàn)方程為.

18．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二江蘇省江都中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為，．(1)當(dāng)時(shí)，過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)l與圓C相切，求直線(xiàn)l的方程；(2)對(duì)于，若圓C上存在點(diǎn)M，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，圓C的方程為，圓心，半徑，①當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l的方程為，滿(mǎn)足條件；②當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，由直線(xiàn)l與圓C相切，則，解得，所以l的方程為，即，綜上得，直線(xiàn)l的方程為或；（2）圓心，，則線(xiàn)段的中垂線(xiàn)的方程為，即，要使得，則M在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上，所以存在點(diǎn)M既要在上，又要在圓C上，所以直線(xiàn)與圓C有公共點(diǎn)，所以，解得，所以．

19．（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓過(guò)兩點(diǎn)，，且圓心P在直線(xiàn)上．(1)求圓P的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交圓于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的方程．【答案】(1)(2)或【解析】（1）依題意圓心P在直線(xiàn)上，可設(shè)圓P的方程為，因?yàn)閳AP過(guò)兩點(diǎn)，，所以，解得，所以圓P的方程為.（2）由（1）可知，圓心，半徑，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，其方程為，圓心到直線(xiàn)的距離為1，此時(shí)滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，當(dāng)時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離，即有，解得，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，即為.綜上，直線(xiàn)的方程為或.20．（2022秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線(xiàn)的方程為，若在軸上的截距為，且．(1)求直線(xiàn)和的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)與的交點(diǎn)，且在軸上截距是在軸上的截距的2倍，求的方程．【答案】(1)(2)或【解析】（1）由直線(xiàn)的方程為，，可得直線(xiàn)的斜率為2，又在軸上的截距為，即過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)方程：，即，聯(lián)立方程，得：，故交點(diǎn)為；（2）依據(jù)題意直線(xiàn)在軸上截距是在軸上的截距的2倍，且直線(xiàn)經(jīng)過(guò)與的交點(diǎn)當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為：，當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，則，解得，故方程為：，即綜上所述：的方程為或.21．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考階段練習(xí)）已知圓(1)若圓C的切線(xiàn)在x軸、y軸上的截距相等，求切線(xiàn)方程；(2)從圓C外一點(diǎn)向該圓引一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為M，且有為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的軌跡方程.【答案】(1)或或；(2)【解析】（1）圓的圓心為，半徑為2，①設(shè)圓C的切線(xiàn)在x軸、y軸上的截距