高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬試卷（解析版）

絕密★考試結(jié)束前2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬試卷（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）姓名___________班級_________考號_______________________注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1．（2023春·河南濮陽·高二統(tǒng)考期末）已知，那么（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由條件概率公式得，故選：B.2．（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體OABC中，，，．點(diǎn)M在OA上，且滿足，N為BC的中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，連接，是的中點(diǎn)，，，，．故選：．3．（2022春·安徽合肥·高二?？计谀┠硨W(xué)校有6個數(shù)學(xué)興趣小組，每個小組都配備1位指導(dǎo)老師，現(xiàn)根據(jù)工作需要，學(xué)校準(zhǔn)備將其中4位指導(dǎo)老師由原來的小組均相應(yīng)的調(diào)整到其他興趣小組，其余的2位指導(dǎo)老師仍在原來的興趣小組（不作調(diào)整），如果調(diào)整后每個興趣小組仍配備1位指導(dǎo)老師，則不同的調(diào)整方案為（）A．135種B．360種C．90種D．270種【答案】A【解析】根據(jù)題意，6個數(shù)學(xué)興趣小組有位指導(dǎo)老師仍在原來的興趣小組，則不做調(diào)整的兩個小組有種情況，其余的4個小組的指導(dǎo)老師由原來的小組均相應(yīng)地調(diào)整到其他數(shù)學(xué)興趣小組，假設(shè)4個小組為1、2、3、4，對應(yīng)的4位指導(dǎo)老師依次為、、、，不能在第1小組，有3種情況，假設(shè)分到第2小組，則有3種情況，剩下的兩人有1種情況，則其余的4個小組有種調(diào)整方案，故有種調(diào)整方案，故選：A．4．（2022春·河北滄州·高二統(tǒng)考期末）已知與的數(shù)據(jù)如表所示，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求得關(guān)于的線性回歸方程為，則的值是（）2345A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以樣本中心為，將其代入回歸方程，得，解得.故選：C.5．（2023秋·湖南婁底·高二湖南省新化縣第一中學(xué)校考期末）如圖，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AP上，AC與BD交于點(diǎn)O，，若平面，則（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得,，則,所以，設(shè)平面EFC的法向量為，則，解得，令，則，所以平面EFC的一個法向量為.因?yàn)槠矫鍱FC，則，設(shè)，則，所以，解得，所以，即.故選：C6．（2023秋·遼寧阜新·高二?？计谀┠撑隹诘乃揞^，每罐凈重X（單位：g）服從正態(tài)分布．隨機(jī)抽取1罐，其凈重在179g與186.5g之間的概率為（）（注：若，，，）A．0.9755B．0.84C．0.954D．0.8185【答案】D【解析】由題意可知，，可得凈重在179g與186.5g之間的概率為由正態(tài)分布的對稱性可知，；所以凈重在179g與186.5g之間的概率為.故選：D.7．（2022春·遼寧大連·高二統(tǒng)考期末）為考察一種新藥預(yù)防疾病的效果，某科研小組進(jìn)行動物實(shí)驗(yàn)，收集整理數(shù)據(jù)后將所得結(jié)果填入相應(yīng)的列聯(lián)表中.由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得.參照附表，下列結(jié)論正確的是（）0.0250.0100.0050.0015.026.6357.87910.828A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“藥物有效”B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“藥物無效”C．有99.99%以上的把握認(rèn)為“藥物有效”D．有99.99%以上的把握認(rèn)為“藥物無效”【答案】A【解析】因?yàn)?，即，所以在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“藥物有效”或有99.9%以上的把握認(rèn)為“藥物有效”．故選：A．8．（2022春·吉林·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，當(dāng)時，，為單調(diào)遞增函數(shù)，最多只有一個零點(diǎn)，不合題意，舍去；當(dāng)時，令，得，令，得.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴.∵函數(shù)有兩個零點(diǎn)，∴，，得.又，，且，，故.故在與上均有零點(diǎn)，滿足題意.綜上.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．（2022春·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）已知，則（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】因?yàn)榱?，則，所以A正確；令，則，又由，所以，所以B錯誤，C正確；由，令，則，所以D正確.故選：ACD.10．（2022春·福建福州·高二校聯(lián)考期末）下列說法正確的是（）A．在回歸直線方程中，與具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系B．兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越大C．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，，則D．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A：由，可得在回歸直線方程中，與具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系.判斷正確；選項(xiàng)B：兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越大.判斷正確；選項(xiàng)C：已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，，則，解之得，則.判斷錯誤；選項(xiàng)D：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則.判斷正確.故選：ABD11．（2023秋·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是（

）A．平面B．C．直線與平面所成的角的正弦值為D．直線與所成角的余弦值為【答案】ACD【解析】對于A中，由底面為菱形，所以，由題可知，因?yàn)?，所以，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，所以A正確；對于B中，因?yàn)椋傻?，所以B不正確；對于C中，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面平面，所以在平面?nèi)的射影為，所以為直線與平面所成的角，又因?yàn)?，，，所以，所以，所以C正確；對于D中，由B中知且，，所以，所以D正確.故選：ACD.12．（2023春·湖南長沙·高二望城一中校考期末）已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)C．函數(shù)有且僅有一個極值點(diǎn)D．直線是曲線的切線【答案】BC【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，令，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)存在極小值，所以A選項(xiàng)不正確，B，C選項(xiàng)正確；由得或，因?yàn)?，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，同理在點(diǎn)處的切線方程為，所以D選項(xiàng)不正確．故選：BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（2023春·湖南長沙·高二望城一中?？计谀┑恼归_式中項(xiàng)的系數(shù)為______.【答案】【解析】的展開式通項(xiàng)公式為，令，解得，令，解得，故的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為故答案為：14．（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，若，則______.【答案】/【解析】空間向量，，由，得，解得，所以.故答案為：15．（2022春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀┕欣韺W(xué)會組建甲、乙兩個數(shù)學(xué)解題小組，兩個小組獨(dú)立開展解題工作，已知某道競賽題甲小組解題成功的概率為，乙小組解題成功的概率為．在解題成功的條件下，乙小組解題失敗的概率為__________．【答案】/0.4【解析】設(shè)事件A為“解題成功”，即甲乙兩個小組至少有一個小組解題成功，其概率為，事件B為“乙小組解題失敗”，則，所以在解題成功的條件下，乙小組解題失敗的概率為，故答案為：16．（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的右支交于兩點(diǎn)，若，且，則的離心率為__________.【答案】【解析】如圖：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由，得，所以，在中，，因?yàn)?，所以，在中，，因?yàn)?，所以，即，整理可得，解得或（舍），所以離心率，故答案為：.四．解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2023秋·山東德州·高二統(tǒng)考期末）已知的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和是512．（1）求展開式中含項(xiàng)的系數(shù)；（2）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng).【答案】（1）27；（2）【解析】（1）因?yàn)榈恼归_式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和是512．所以令，得，所以，所以的展開式通項(xiàng)公式為，令，解得，所以展開式中含項(xiàng)為，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為27.（2）由（1）知，，從而，因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，所以的常數(shù)項(xiàng)為，又的常數(shù)項(xiàng)為，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.18．（2022春·山東德州·高二?？计谀┮阎獢?shù)列滿足的前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，①②由①-②得，即．當(dāng)時也成立，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）證明：由（1）知，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以?9．（2022春·湖南株洲·高二統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是正方形，平面，，，，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：依題意，平面．如圖，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．依題意，可得，，，，，，．取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)?，，，所以，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）因?yàn)?所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以，?,所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，且平?所以平面,平面,所以，，，平面，所以平面，故為平面的一個法向量．設(shè)平面的法向量為，因?yàn)樗约矗?，得，，故．所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.20．（2022春·寧夏銀川·高二?？计谀?jù)天氣預(yù)報，在元旦期間甲?乙兩地都降雨的概率為，至少有一個地方降雨的概率為，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在這段時間甲?乙兩地降雨互不影響.（1）分別求甲?乙兩地降雨的概率.（2）在甲?乙兩地3天假期中，僅有一地降雨的天數(shù)為X，求X的分布列?均值與方差.【答案】（1）甲地降雨的概率為，乙地降雨的概率為（2）分布列見解析，，.【解析】（1）設(shè)甲?乙兩地降雨的事件分別為A，B，且由題意得解得所以甲地降雨的概率為，乙地降雨的概率為.（2）在甲?乙兩地中，僅有一地降雨的概率為X滿足二項(xiàng)分布，X的可能取值為0，1，2，3.，，，，所以X的分布列為X0123P所以，方差21．（2022秋·廣東珠?！じ叨楹Ｊ卸烽T區(qū)第一中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，圓：，圓：，點(diǎn)，一動圓M與圓內(nèi)切、與圓外切.（1）求動圓圓心M的軌跡方程E；（2）是否存在一條過定點(diǎn)的動直線，與E交于A、B兩點(diǎn)，并且滿足？若存在，請找出定點(diǎn)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，過定點(diǎn)【解析】（1）由圓方程知：圓心，半徑；由圓方程知：圓心，半徑，設(shè)動圓的半徑為，動圓與圓內(nèi)切，與圓外切，，，且，動圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的左支，，動圓圓心的軌跡方程E為：.（2）設(shè)直線為，把代入，并整理得，，即，設(shè)，則，，所