03 模塊三　立體幾何 【正文】作業(yè)手冊(cè)

模塊三立體幾何限時(shí)集訓(xùn)(八)微專題8空間幾何體[時(shí)間:45min]基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.[2023·漳州二模]已知某圓錐的底面半徑為1,高為3,則它的側(cè)面積與底面積之比為 ()A.12 B.C.2 D.42.[2023·東營(yíng)二模]已知m,n表示空間內(nèi)兩條不同的直線,則“m∥n”的必要不充分條件是()A.存在平面α,使得m∥α,n∥αB.存在平面α,使得m⊥α,n⊥αC.存在直線l,使得m⊥l,n∥lD.存在直線l,使得m∥l,n∥l3.[2023·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)一模]最早的測(cè)雨器記載見(jiàn)于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》,該書第二章為“天時(shí)類”,收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子,分別是“天池測(cè)雨”“圓罌測(cè)雨”“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.其中“天池測(cè)雨”法是下雨時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆收集雨水來(lái)測(cè)量平地降雨量(盆中水的體積與盆口面積之比).已知天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸,當(dāng)盆中積水深九寸(注:1尺=10寸)時(shí),平地的降雨量是 ()A.9寸 B.6寸C.4寸 D.3寸4.[2023·江蘇蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研]埃及胡夫金字塔是世界七大奇跡之一,它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐,其側(cè)面與底面所成銳二面角的余弦值為5-12,則側(cè)面三角形的頂角的正切值為 (A.2 B.3 C.5-12 5.如圖,點(diǎn)A,B,C,M,N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則下列各圖中,不滿足直線MN∥平面ABC的是 () A B C D6.[2023·濟(jì)南二模]17世紀(jì)30年代,意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在《不可分量幾何學(xué)》一書中介紹了利用平面圖形旋轉(zhuǎn)計(jì)算球體體積的方法.如圖,AEB是一個(gè)半圓,圓心為O,四邊形ABCD是半圓的外切矩形.以直線OE為軸將該平面圖形旋轉(zhuǎn)一周,記△OCD,陰影部分,AEB所形成的幾何體的體積分別為V1,V2,V3,則下列說(shuō)法正確的是 ()A.V1+V2<V3 B.V1+V2>V3C.V1>V2 D.V1=V27.坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一,蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓,展現(xiàn)造型之美.如圖,某坡屋頂可視為一個(gè)五面體,其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形,兩個(gè)面是全等的等腰三角形.若AB=25m,BC=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面ABCD的夾角的正切值均為145,則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為 (A.102m B.112mC.117m D.125m8.(多選題)已知圓錐TO(O是圓錐底面圓的圓心,T是圓錐的頂點(diǎn))的母線長(zhǎng)為3,底面半徑為5.若P,Q為底面圓周上的任意兩點(diǎn),則下列說(shuō)法中正確的是 ()A.圓錐TO的側(cè)面積為35πB.△TPQ面積的最大值為25C.三棱錐O-TPQ體積的最大值為5D.圓錐TO的內(nèi)切球的體積為4π9.(多選題)[2023·南京二模]已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形,AA1=AB,∠A1AB=∠A1AD=60°,則 ()A.點(diǎn)A1在平面ABCD內(nèi)的射影在AC上B.AC1⊥平面A1BDC.AC1與平面A1BD的交點(diǎn)是△A1BD的重心D.二面角B1-BD-C的大小為45°10.已知一個(gè)半球內(nèi)含有一個(gè)圓臺(tái),半球的底面圓即為圓臺(tái)的下底面,圓臺(tái)的上底面圓周在半球球面上,且上底面半徑為3,若半球的體積為144π,則圓臺(tái)的體積為.

11.在三棱錐A-BCD中,AB=1,CD=2,AB與CD所在的直線間的距離為3,且AB與CD所成的角為60°,則三棱錐A-BCD的體積為.

12.[2023·安徽馬鞍山二模]如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E,F在棱AB上,點(diǎn)H,G在棱CD上,點(diǎn)E1,H1在棱A1D1上,點(diǎn)F1,G1在棱B1C1上,AE=BF=DH=CG=A1E1=B1F1=D1H1=C1G1=12,則六面體EFGH-E1F1G1H1的體積為能力提升13.[2023·山東威海二模]已知等邊三角形SAB為圓錐的軸截面,AB為圓錐的底面直徑,O,C分別是AB,SB的中點(diǎn),過(guò)OC且與平面SAB垂直的平面記為α,若點(diǎn)S到平面α的距離為6,則該圓錐的側(cè)面積為 ()A.8π B.16π C.24π D.32π14.(多選題)[2023·溫州二模]蜜蜂是自然界的建筑大師,在18世紀(jì)初,法國(guó)數(shù)學(xué)家馬拉爾迪指出,蜂巢由許許多多類似正六棱柱形狀的蜂房(如圖)構(gòu)成,其中每個(gè)蜂房的底部都是由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成的,每個(gè)菱形鈍角的余弦值是-13,則 (A.AB∥平面EDD1E1B.AB⊥EFC.蜂房底部的三個(gè)菱形所在的平面兩兩垂直D.該幾何體的體積與以六邊形A1B1C1D1E1F1為底面,以BB1為高的正六棱柱的體積相等(第14題圖)15.(多選題)[2023·江蘇八市二調(diào)]如圖,正三棱錐A-PBC和正三棱錐D-PBC的側(cè)棱長(zhǎng)均為2,BC=2.若將正三棱錐A-PBC繞BC旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)A,P分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A',P'處,且A',B,C,D四點(diǎn)共面,點(diǎn)A',D分別位于BC兩側(cè),則 ()(第15題圖)A.A'D⊥CPB.PP'∥平面A'BDCC.多面體PP'A'BDC的外接球的表面積為6πD.點(diǎn)A,P旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)相等16.[2023·武漢武昌區(qū)5月質(zhì)檢]祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”,即:夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.有一個(gè)球形瓷碗,它可以看成半球的一部分,若瓷碗的碗口直徑為8,高為2,利用祖暅原理可求得該球形瓷碗的體積為.

限時(shí)集訓(xùn)(九)微專題9球的截面性質(zhì)與切接問(wèn)題[時(shí)間:45min]基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.如圖,該幾何體為兩個(gè)底面半徑為1,高為1的相同的圓錐組成的組合體,設(shè)它的體積為V1,它的內(nèi)切球的體積為V2,則V1∶V2= ()A.2∶3 B.22∶3C.2∶2 D.2∶12.已知某圓臺(tái)上、下底面圓的半徑分別為3和4,該圓臺(tái)的高h(yuǎn)>5,球O是該圓臺(tái)的外接球,若球O的表面積為100π,則該圓臺(tái)的體積為 ()A.175π3 B.C.238π3 D.3.三星堆古遺址3號(hào)坑發(fā)現(xiàn)的神樹紋玉琮,為今人研究古蜀社會(huì)中神樹的意義提供了重要依據(jù).玉琮(如圖所示)是古人用于祭祀的一種禮器,有學(xué)者認(rèn)為其外方內(nèi)圓的構(gòu)造,契合了古代“天圓地方”的觀念,是天地合一的體現(xiàn).假定某玉琮形狀對(duì)稱,由一個(gè)空心圓柱及正方體構(gòu)成,且圓柱的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面,圓柱的高為12,圓柱底面外圓周和正方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O上,則球O的表面積為 ()A.72π B.162πC.216π D.288π4.如圖,某幾何體為一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的組合體,其中圓錐的底面和圓柱的一個(gè)底面重合,設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為A,圓柱上、下底面圓的圓心分別為B,C.若該幾何體存在外接球(即圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周在該球面上,且圓柱的底面圓周也在該球面上),且BC=2AB=4,則該幾何體的體積等于 ()A.56π B.703C.48π D.64π5.已知球O與棱長(zhǎng)為4的正四面體的各條棱都相切,則球O的表面積為 ()A.8π B.82C.32π D.24π6.[2023·河北唐山三模]把邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角D'-AC-B(點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)D'的位置),則三棱錐D'-ABC的外接球的球心到平面BCD'的距離為 ()A.33 B.2C.63 D.7.[2023·浙江Z20名校聯(lián)考]已知半徑為4的球O被兩個(gè)平面截得圓O1和圓O2,記兩圓的公共弦為AB,且O1O2=2,若二面角O1-AB-O2的大小為2π3,則四面體ABO1O2體積的最大值為(A.83 B.42C.829 D8.(多選題)水平面上緊挨著放置n個(gè)半徑r=1的小球(不疊起),用一個(gè)半徑最小的大半球把這n個(gè)小球罩住,記大半球的半徑為R,則 ()A.當(dāng)n=1時(shí),R=2B.當(dāng)n=2時(shí),R=2+1C.當(dāng)n=3時(shí),R=213+D.當(dāng)n=4時(shí),R=39.(多選題)[2023·嘉興二模]已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠BAD=60°,將△ABD沿對(duì)角線BD翻折,得到三棱錐P-BCD(點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置),則在翻折過(guò)程中,下列說(shuō)法正確的是()A.存在某個(gè)位置,使得PC⊥BCB.直線BC與平面PBD所成角的最大值為60°C.當(dāng)二面角P-BD-C為120°時(shí),三棱錐P-BCD外接球的表面積為28πD.當(dāng)PC=2時(shí),分別以P,B,C,D為球心,2為半徑作球,這四個(gè)球的公共部分稱為勒洛四面體,則該勒洛四面體內(nèi)切球的半徑為2-610.[2023·山東淄博三模]已知某圓錐的側(cè)面展開圖為半圓,則該圓錐的側(cè)面積與其內(nèi)切球的表面積之比為.

11.[2023·廣東潮州三模]已知圓柱的側(cè)面積為2π,其外接球的表面積為S,則S的最小值為.

12.[2023·湖南雅禮中學(xué)二模]如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,AB=3,AD=2,∠BAD=π3,現(xiàn)將△ABD沿直線BD翻折,使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A'的位置,得到三棱錐A'-BCD,若A'C=7,則三棱錐A'-BCD內(nèi)切球的表面積為能力提升13.已知正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1上、下底面的邊長(zhǎng)分別為1和3,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則以下底面的頂點(diǎn)A為球心,7為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為 ()A.π3 B.πC.2π3 D.14.(多選題)如圖,棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球的球心為O,E,F分別是棱AB,CC1的中點(diǎn),G在棱BC上運(yùn)動(dòng),則 ()A.對(duì)于任意點(diǎn)G,OA∥平面EFG恒成立B.存在點(diǎn)G,使得OD⊥平面EFGC.直線EF的被球O截得的弦長(zhǎng)為3D.過(guò)直線EF的平面截球O所得截面圓面積的最小值為π15.(多選題)[2023·莆田二模]已知正四面體P-ABC的棱長(zhǎng)為6,S是△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.若a>2,集合T={Q∈S|PQ≤a},則T表示的區(qū)域的形狀可以是 () A B C D16.[2023·湖南雅禮中學(xué)一模]已知三棱錐P-ABC滿足PA=1,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,若VP-ABC=23,則三棱錐P-ABC的外接球體積的最小值為

限時(shí)集訓(xùn)(十)微專題10空間角與空間距離[時(shí)間:45min]基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.[2023·杭州二模]如圖,在三棱錐S-ABC中,△ABC為等腰直角三角形,∠SAB=∠SCB=∠ABC=90°.(1)求證:AC⊥SB;(2)若AB=2,SC=22,求平面SAC與平面SBC夾角的余弦值.2.[2023·唐山二模]如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,AB=AD=2,BC=1,∠BAD=120°,PA⊥CD,PD⊥AC,點(diǎn)E是棱PD上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn).(1)證明:PA⊥平面ABCD;(2)若平面PAC與平面EAC的夾角的余弦值為31010,求四棱錐P-ABCD3.[2023·青島二模]如圖①,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E為CD的中點(diǎn),現(xiàn)將△ADE,△BCE分別沿AE,BE向上翻折,使點(diǎn)D,C分別到達(dá)點(diǎn)M,N的位置,且平面AME,平面BNE均與平面ABE垂直,如圖②.(1)證明:M,N,A,B四點(diǎn)共面;(2)求直線AE與平面ABNM所成角的正弦值. ① ②4.[2023·廣東茂名二模]如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,O為AD的中點(diǎn).(1)求證:PO⊥BC;(2)若AB∥CD,AB=8,AD=DC=CB=4,PO=27,點(diǎn)E在棱PB上,直線AE與平面ABCD所成的角為π6,求點(diǎn)E到平面PCD的距離能力提升5.[2023·湖北黃石模擬]如圖,在四棱錐E-ABCD中,底面ABCD為矩形,AB=AE=2DE=2,∠AED=60°,二面角E-AD-C的大小是60°,平面EAB與平面ECD的交線l上存在一點(diǎn)F滿足二面角F-BC-D的大小也是60°.(1)求三棱錐F-BCD的體積;(2)若M為直線AB上的動(dòng)點(diǎn),求直線MF與平面EBC所成角的正弦值的最大值.6.如圖是由正四棱錐P-ABCD和正三棱錐P-CDE組成的.(1)設(shè)平面PAB與平面PCD的交線為l,求證:l⊥PE;(2)若PE∥BC,PE的中點(diǎn)為F,求平面BCF與平面CDE夾角的余弦值.

限時(shí)集訓(xùn)(十一)微專題11立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)、截面與折疊展開問(wèn)題[時(shí)間:45min]基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.用一個(gè)平面去截一正方體,則截面的形狀不可能是 ()A.四邊形 B.五邊形C.六邊形 D.七邊形2.[2023·山東濟(jì)南三模]如圖,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),將△ADE,△BEF,△CDF分別沿DE,EF,DF折起,使A,B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A',則三棱錐A'-DEF的外接球體積為 ()A.86π B.66πC.46π D.26π3.[2023·長(zhǎng)春四模]已知正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M,N分別為線段AB',AC上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)T在平面BCC'B'內(nèi),則MT+NT的最小值是 ()A.2 B.2C.62 D.4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是棱C1D1(不含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn),N為BC的中點(diǎn),則 ()A.BD⊥AMB.平面A1BD⊥平面AD1MC.MN∥平面A1BDD.CM∥平面A1BD5.在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M為B1C1的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作平面α使α⊥BM,則平面α截正方體所得截面的面積為 ()A.42 B.45C.85 D.1626.如圖,矩形ABCD中,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),且BC=2AB=2,現(xiàn)將△ABE沿AE向上翻折,使點(diǎn)B到點(diǎn)P的位置,則在翻折過(guò)程中,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ()A.存在點(diǎn)P,使得PE∥CFB.存在點(diǎn)P,使得PE⊥EDC.三棱錐P-AED體積的最大值為2D.當(dāng)三棱錐P-AED的體積達(dá)到最大值時(shí),三棱錐P-AED外接球的表面積為4π7.(多選題)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)P,Q分別在A1C1,B1C上,點(diǎn)A,P,Q所確定的平面將三棱柱截成兩部分的體積分別為V1和V2(V1<V2),則下列說(shuō)法正確的有 ()A.若PQ為A1C1與B1C的公垂線段,則PQ⊥AB1B.不存在P,Q,使得PQ∥平面ABB1A1C.點(diǎn)A,P,Q所確定的平面截三棱柱,截面可能為梯形D.若A1P=C1P,CQ=4B1Q,則V1∶V2=5∶138.(多選題)[2023·武漢武昌區(qū)質(zhì)檢]如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,P為底面ABCD內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是 ()A.三棱錐B1-C1D1P的體積為定值B.存在點(diǎn)P,使得D1P⊥AC1C.若D1P⊥B1D,則點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)的軌跡長(zhǎng)為2D.若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn),點(diǎn)Q是BB1的中點(diǎn),過(guò)P,Q作平面α⊥平面ACC1A1,則平面α截正方體ABCD-A1B1C1D1得到的截面面積為339.已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1,過(guò)點(diǎn)B作截面α分別交棱AC,AD于點(diǎn)E,F,且四面體ABEF的體積為四面體ABCD體積的13,則線段EF的長(zhǎng)度的最小值為10.[2023·張家口三模]已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,PA⊥平面ABCD,PA=42,則四棱錐P-ABCD外接球的表面積為;若點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),則PQ+QB的最小值為.

11.[2023·湖北天門模擬]已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M為棱B1C1的中點(diǎn),N為底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)