第9講【圓錐曲線】計(jì)算技巧系列10講-圓錐曲線系方程如何巧用

【圓錐曲線】計(jì)算技巧系列10講——圓錐曲線系方程如何巧用？應(yīng)用曲線系方程解題，即引入適當(dāng)?shù)膮?shù)先設(shè)出符合部分條件的曲線系方程，然后根據(jù)題中的其他條件，通過推理，運(yùn)算求出曲線系方程中的參數(shù)值，從而實(shí)現(xiàn)問題的解決.運(yùn)用曲線系方程往往可以回避聯(lián)立解方程組、求交點(diǎn)坐標(biāo)等帶來的麻煩，既減少了計(jì)算量，又體現(xiàn)了參數(shù)變化、整體處理、待定系數(shù)法等重要的數(shù)學(xué)思想方法。當(dāng)然，由于曲線系方程的多樣化、所給問題條件的隱蔽性，應(yīng)用曲線系方程解題雖然減少了運(yùn)算量，但對(duì)技巧的要求頗高，在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中運(yùn)用較為廣泛，本文對(duì)各類圓雉曲線系方程進(jìn)行歸納總結(jié).【知識(shí)精講】曲線系方法是優(yōu)化圓錐曲線運(yùn)算的一種重要方法，它本質(zhì)上是對(duì)圓錐曲線的一種更深層的認(rèn)識(shí).一．基本原理【定理1】【定理1】給定五個(gè)點(diǎn)，其中任何三個(gè)點(diǎn)都不共線，則過這五個(gè)點(diǎn)有且僅有一條圓錐曲線.進(jìn)一步可得：由組成的曲線：.【定理2】【定理2】圓錐曲線上的四點(diǎn)共圓問題：設(shè)圓錐曲線方程為，則存在四點(diǎn)共圓的情況必為，由于沒有的項(xiàng)，必有.【定理2】即是四點(diǎn)共圓的充要條件：設(shè)兩條直線與二次曲線有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是.【證明】由組成的曲線即所以經(jīng)過它與的四個(gè)交點(diǎn)的二次曲線一定能表示成以下形式不同時(shí)為0)：③必要性.若四個(gè)交點(diǎn)共圓，則存在使方程③表示圓，所以式③左邊的展開式中含項(xiàng)的系數(shù).而(否則③表示曲線，不表示圓)，所以.充分性.當(dāng)時(shí)，式③左邊的展開式中不含的項(xiàng)，選時(shí)，再令式③左邊的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)相等，即，得.此時(shí)曲線③即④的形式，這種形式表示的曲線有且僅有三種情形：一個(gè)圓、一個(gè)點(diǎn)、無軌跡.而題中的四個(gè)交點(diǎn)都在曲線④上，所以曲線④表示圓.這就證得了四個(gè)交點(diǎn)共圓.二．結(jié)論歸納圓錐曲線系方程:(1)共頂點(diǎn)圓錐曲線系方程(1)共頂點(diǎn)圓錐曲線系方程為參數(shù)).(2)共漸近線雙曲線系方程為參數(shù),.(3)共焦點(diǎn)圓錐曲線系方程:(3)共焦點(diǎn)圓錐曲線系方程:為焦半徑,為參數(shù)).當(dāng)時(shí),表示共焦點(diǎn)橢圓系;當(dāng)一時(shí),表示共焦點(diǎn)雙曲線系;當(dāng)時(shí),無軌跡.(4)共離心率圓錐曲線系方程為參數(shù),).(5)過兩圓錐曲線4個(gè)交點(diǎn)的圓錐曲線系:若是有4個(gè)交點(diǎn)的二次曲線,則是過的交點(diǎn)的圓雉曲線系,其中不包括為參數(shù)).(6)過兩條直線與圓錐曲線4個(gè)交點(diǎn)的圓錐曲線系:(6)過兩條直線與圓錐曲線4個(gè)交點(diǎn)的圓錐曲線系:若與圓錐曲線有4個(gè)交點(diǎn),則方程為過4個(gè)交點(diǎn)的圓錐曲線系方程.【真題精講】例1.例1.（2022新高考1卷）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．（1）求的斜率；（2）若，求的面積．【解析】（1）（曲線系）點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)直線的方程為，的方程為，的方程，則過這四條直線交點(diǎn)的二次曲線方程為.又因?yàn)殡p曲線過這些交點(diǎn)，比較的系數(shù)得.又由，所以.（2）不妨設(shè)直線PA,PB的傾斜角為α,βα<β，因?yàn)閗AP+因?yàn)閠an∠PAQ=22，所以tanβ?α=2即2tan2α?tanα?于是，直線PA:y=2x?2+1聯(lián)立y=2x?2+1因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為2，所以xP=10?423同理可得，xQ=10+423所以PQ:x+y?53=0，PQ=163，點(diǎn)故△PAQ的面積為12例2例2．（2021新高考1卷）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.【解析】因?yàn)椋蓤A冪定理知A，B，P，Q四點(diǎn)共圓．設(shè),直線的方程為，直線的方程為,則二次曲線．又由，得過A，B，P，Q四點(diǎn)的二次曲線系方程為：，整理可得：，其中．由于A，B，P，Q四點(diǎn)共圓，則xy項(xiàng)的系數(shù)為0，即.例3.例3.（2020一卷）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn).【解析】（2）設(shè)，則，將寫成雙直線二次曲線:，因?yàn)槭请p直線二次曲線與橢圓的交點(diǎn),聯(lián)立方程:，考慮到是已知的，且縱坐標(biāo)均為，則聯(lián)立后的方程必有因式于是將①式按整理得:由①:，代入得:，由于交點(diǎn)滿足聯(lián)立后的方程，且縱坐標(biāo)不為，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）于是滿足方程，即直線的方程為:，按整理得，令得定點(diǎn).例4例4．（2020山東卷）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【解析】（2）A點(diǎn)處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程．由題意得．則過A，M，N三點(diǎn)的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．用直線及點(diǎn)A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．即．對(duì)比項(xiàng)、x項(xiàng)及y項(xiàng)系數(shù)得，將①代入②③，消去并化簡得，即．故直線的方程為，直線過定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．【典例精講】(1)求漸近線方程為,焦點(diǎn)為橢圓的一對(duì)頂點(diǎn)的雙曲線的方程；(2)求與雙曲線有共同的漸近線,且與直線相切的標(biāo)準(zhǔn)雙曲線方程.【分析】當(dāng)已知雙曲線的漸近線方程為或)時(shí),可設(shè)雙曲線的方程為或(其中為不等于零的待定常數(shù),以簡化運(yùn)算過程,這里方程且)稱之為與雙曲線共漸近線的雙曲線系,為解題帶來方便.【解析】依題意,可設(shè)雙曲線的方程為是正實(shí)數(shù)),當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)為橢圓的長軸的頂點(diǎn),即與時(shí),由,可得,雙曲線的方程為;當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)為橢圓的短軸的頂點(diǎn),即與時(shí),雙曲線的方程為是正實(shí)數(shù)),即.雙曲線的方程為（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）(2)【解法1】(利用共漸近線雙曲線系方程結(jié)合判別式法)設(shè)所求雙曲線的方程為,此雙曲線與直線相切,且顯然其漸近線都不平行于直線∴由方程組消去,得,其判別式,解得.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,即.【解法2】(利用共漸近線雙曲線系方程結(jié)合待定系數(shù)法)設(shè)所有雙曲線的方程為,即,設(shè)其與直線相切的切點(diǎn)為,則切線方程為有.代人雙曲線方程中并化簡得,故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【解法3】(利用共漸近線雙曲線系方程結(jié)合雙曲線參數(shù)方程解)設(shè)所求雙曲線方程為,雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為,,以此點(diǎn)為切點(diǎn)的雙曲線的切線方程為化簡得.它和直線重合,,即,由等比定理得,即,代人原雙曲線方程得,此即為所求.討論方程所表示的曲線.【分析】觀察方程可以發(fā)現(xiàn)其中心在原點(diǎn),是有心曲線,對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,若,則方程表示橢圓系,若方程表示則曲線系,.所有的曲線焦點(diǎn)相同,因此,原方程表示中心在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,有相同焦點(diǎn)的圓錐曲線系.【解析】由所給方程知且,原方程可化為它表示中心在原點(diǎn),對(duì)稱軸為兩坐標(biāo)軸的有心圓錐曲線系.(1)當(dāng)時(shí),它的曲線是橢圓.焦點(diǎn)為和(2)當(dāng)時(shí),它的曲線是雙曲線.焦點(diǎn)為和(3)當(dāng)時(shí),,方程無實(shí)數(shù)解,故方程無軌跡.因此,原方程表示的是具有同一中心,相同對(duì)稱軸、相同焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系.已知圓和雙曲線,求通過它們的4個(gè)交點(diǎn)和點(diǎn)的二次曲線方程.【分析】構(gòu)造過圓與雙曲線4個(gè)交點(diǎn)的圓錐曲線系,而圓錐曲線系過點(diǎn),2),可待定參數(shù)的值,從而大大減少運(yùn)算量.【解析】圓方程和雙曲線方程可分別寫成,將其中第二個(gè)方程乘以任意實(shí)數(shù),然后與第一個(gè)方程相加,得圓和雙曲線的任一交點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)滿足圓方程和雙曲線的方程,因而使式左邊兩個(gè)括號(hào)里面代數(shù)式的值同時(shí)為0,所以這些交點(diǎn)都在①式表示的二次曲線上.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入(1)式,得將所得值代入(1)式,得化簡得,即所得的曲線是一個(gè)橢圓,它的中心是點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,長半軸和短半軸分別是和(如圖所示)．一條圓錐曲線過點(diǎn),切直線于點(diǎn),切直線于點(diǎn),求它的方程.【分析】由于圓錐曲線的形態(tài)不清楚,無法直接求解,只能通過圓錐曲線系來解,如何列出符合條件的圓錐曲線系是關(guān)鍵.【解析】過點(diǎn)的直線方甶為,①由于都是切點(diǎn),直線(1)可以看作是兩條重合的直線(退化了的曲線),于是所求方程可寫成.②再由曲線過點(diǎn),代人(2)式,解得.故所求方程為.(1)(蝴蝶定理)過圓弦的中點(diǎn),任意作兩弦和和交弦于,求證:;(2)是圓的一條定弦,為上的定點(diǎn),過點(diǎn)作圓的兩條弦和,弦和交于點(diǎn),弦與交于點(diǎn)求證: 【分析】運(yùn)用曲線系方程證明蝴蝶定理及其推廣比用平面幾何知識(shí)證明要簡便許多.【證明】(1)如圖所示,以為原點(diǎn),所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)圓方程為設(shè)直線的方程分別為.將它們合并為,于是過點(diǎn)的曲線系方程為令,得,即過點(diǎn)的曲線系與交于點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的兩個(gè)根.由韋達(dá)定理得,即是的中點(diǎn),故(2)如圖所示,以為原點(diǎn),直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)圓的方程為則直線合成的二次曲線方程為從而,經(jīng)過這4點(diǎn)的曲線系方程為（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）0存在,使得(1)為直線合成的二次曲線.在①中,令,則是方程的兩個(gè)根.由韋達(dá)定理得.在(1)中,令,則是方侱的兩個(gè)根.由韋達(dá)定理得,【提升訓(xùn)練】1.已知任意二次曲線是曲線的弦,是的中點(diǎn),過點(diǎn)任意作弦、,過點(diǎn)另作一條任意二次曲線,如果曲線與直線交于點(diǎn)、,求證:【分析】上例5.介紹了平面幾何蝴蝶定理的證明和應(yīng)用,本例是平面幾何蝴蝶定理的推廣,從圓一步飛躍到任意的二次曲線,聯(lián)結(jié)圓上4點(diǎn)的兩直線和也直接換成一般的二次曲線,從蝴蝶定理的特殊圖形里看到一般的二次曲線系,升級(jí)換代、一次到位,不是拾級(jí)而上,而是直上高樓,美景無限.觀察如圖所示圖形,里面是否隱藏著一只飛舞的蝴蝶?【證明】如圖所示,取直線為軸,為原點(diǎn),方向?yàn)檩S的正方向建立直角坐標(biāo)系.設(shè),則點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為.二次曲線通過點(diǎn),在曲線的方程中,當(dāng)時(shí),應(yīng)有.因而二次曲線的方程形如：又：弦者通過原點(diǎn),且與直線相交(因而都不是軸).可設(shè)它們的方程分別為這一對(duì)直線和合在一起,可以看成一條退化二次曲線.其方程為.(2)曲線(1)和(2)相交于點(diǎn),利用曲線系知識(shí),通過的二次曲線系的方程為,(3)若曲線(3)中的一條二次曲線交軸于點(diǎn)和點(diǎn),則在(3)式中以代人,得,(4)和應(yīng)該是所得二次方程(4)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得,即.2.(1)4條直線圍成一個(gè)四邊形,問取何值時(shí),該四邊形有一個(gè)外接圓,并求出外接圓的方程;（2)已知橢圓與雙曲線有4個(gè)交點(diǎn),求證:此4個(gè)交點(diǎn)共圓,并求出此圓的中心坐標(biāo).【分析】第(1)問,用直線方程交,點(diǎn)構(gòu)成的二次其線系方程求解;第(2)問,用過兩圓錐曲線交點(diǎn)的二次曲線系方程求解或證明.【解析】（1）設(shè)過該四邊形4個(gè)頂點(diǎn)的二次曲線系方程為(2)【證明】設(shè)過和交點(diǎn)的曲線系方程為(不包括,即（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）顯然,當(dāng),即時(shí),曲線系方程表示一個(gè)過和交點(diǎn)的圓.將代人曲線系方程化簡得:,即橢圓與雙曲線的4個(gè)交點(diǎn)共圓。不難得到此圓的中心坐標(biāo)即圓心坐標(biāo)為.3.求過這5點(diǎn)的二次曲線方程.【分析】寫出過其中4點(diǎn)的二次曲線系,用第5點(diǎn)的坐標(biāo)代入確定參數(shù)的值.【解析】過的直線方程為,過的直線方程為,兩者合并為.直線的方程為,直線的方程為,兩者合并為因此,過這4點(diǎn)的二次曲線系方程為.所求二次曲線必須經(jīng)過點(diǎn).代人解得,從而所求二次曲線方程為.即.4.已知點(diǎn)為橢圓上異于點(diǎn)的任意兩點(diǎn),且若點(diǎn)在線段上的射影為,求點(diǎn)的軌跡方程.【分析】在運(yùn)用曲線手方程解題時(shí),曲線系方程中包含著一些特殊情況,如本題中設(shè)出經(jīng)過三,點(diǎn)的曲線系,其中包含橢圓在點(diǎn)處的切線和直線,這點(diǎn)務(wù)必請(qǐng)注意到.【解析】易知直線的斜率均存在且不為0,設(shè)則經(jīng)過點(diǎn)的曲線系方程為(1)即,其中包含過點(diǎn)的橢圓的切線.方程左邊多項(xiàng)式中必含有因子,把代人(1)式得,而不恒等于0,故,即此時(shí)直線的方程為,即恒過定點(diǎn)如圖所示,由知,點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的圓(除去點(diǎn)).,即,其方程為,即.5.求與拋物線相切于點(diǎn)兩點(diǎn),且過點(diǎn)的圓錐曲線方程.【解析】【解法一】設(shè)過兩點(diǎn)的切線方程為,則,化簡得.則過兩切點(diǎn)的圓錐曲線系為,又曲線過點(diǎn).代人圓錐曲線系方程可得所求圓錐曲線方程為【