2023年北京西城區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷【含答案】

2023年北京西城區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷一、單選題1、復(fù)數(shù)的虛部為（

）A. B. C. D.2、已知集合，，則（

）A. B. C. D.3、已知拋物線與拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，則的準(zhǔn)線方程是（

）A. B. C. D.4、在中，，則（

）A. B. C. D.5、設(shè)，，，則（

）A. B. C. D.6、將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，折起后點(diǎn)記為．若，則四面體的體積為（

）A. B. C. D.7、已知數(shù)軸上兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，現(xiàn)兩點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為第一秒運(yùn)動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，以后每秒比前一秒多運(yùn)動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度；點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為每秒運(yùn)動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度．則點(diǎn)相遇時(shí)在數(shù)軸上的坐標(biāo)為（

）A. B. C. D.8、已知函數(shù)．則“”是“為偶函數(shù)”的（

）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件9、某放射性物質(zhì)的質(zhì)量每年比前一年衰減，其初始質(zhì)量為，年后的質(zhì)量為，則下列各數(shù)中與最接近的是（

）A. B. C. D.10、在坐標(biāo)平面內(nèi)，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，在坐標(biāo)平面內(nèi)跳躍行進(jìn)，每次跳躍的長(zhǎng)度都是且落在整點(diǎn)處．則點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)所跳躍次數(shù)的最小值是（

）A. B. C. D.二、填空題11、函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

.12、設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則

；使成立的的最小值為

．13、在中，若，，，則

．14、已知兩點(diǎn)．點(diǎn)滿足，則的面積是

；的一個(gè)取值為

．15、已知直線和曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在實(shí)數(shù)和，使直線和曲線沒(méi)有交點(diǎn)；②存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線和曲線恰有個(gè)交點(diǎn)；③存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線和曲線不會(huì)恰有個(gè)交點(diǎn)；④對(duì)任意實(shí)數(shù)和，直線和曲線不會(huì)恰有個(gè)交點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

．三、解答題16、如圖，在直三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．17、已知函數(shù)，其中．再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，使存在，并完成下列兩個(gè)問(wèn)題．(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，若曲線與直線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．條件①：；條件②：是的一個(gè)零點(diǎn)；條件③：．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18、體重指數(shù)（，簡(jiǎn)稱）是國(guó)際上衡量人體胖瘦程度的一項(xiàng)常用指標(biāo)．已知，其中表示體重（單位：），表示身高（單位：）．對(duì)成人，若，則身體處于肥胖狀態(tài)．某企業(yè)為了解員工的身體狀況，從全體員工中隨機(jī)抽取人，測(cè)量他們的體重（單位：）和身高（單位：），得到如下散點(diǎn)圖（圖中曲線表示時(shí)體重和身高的關(guān)系），假設(shè)用頻率估計(jì)概率．該企業(yè)員工總數(shù)為人，試估計(jì)該企業(yè)員工身體處于肥胖狀態(tài)的人數(shù)；從該企業(yè)身體處于肥胖狀態(tài)的員工中隨機(jī)抽取人，設(shè)其中體重在以上的人數(shù)為，估計(jì)的分布列和數(shù)學(xué)期望；從樣本中身高大于或等于的員工中隨機(jī)抽取人，若其身體處于肥胖狀態(tài)的概率小于，寫出的所有可能取值．（結(jié)論不要求證明）19、已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，一個(gè)焦點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為．當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求的值．20、已知函數(shù)．求在區(qū)間上的最大值和最小值；若恒成立，求實(shí)數(shù)的值．給定奇數(shù)，設(shè)是的數(shù)陣．表示數(shù)陣第行第列的數(shù)，且．定義變換為“將數(shù)陣中第行和第列的數(shù)都乘以”，其中．設(shè)．將經(jīng)過(guò)變換得到，經(jīng)過(guò)變換得到，，經(jīng)過(guò)變換得到．記數(shù)陣中的個(gè)數(shù)為．當(dāng)時(shí)，設(shè)，，寫出，并求；當(dāng)時(shí)，對(duì)給定的數(shù)陣，證明：是的倍數(shù)；證明：對(duì)給定的數(shù)陣，總存在，使得．1、【答案】A;【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可判斷其虛部.【詳解】，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A2、【答案】D;【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，再根據(jù)并集的定義求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所?故選：D.3、【答案】D;【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)閽佄锞€與拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，所以兩個(gè)拋物線的準(zhǔn)線也關(guān)于軸對(duì)稱，所以的準(zhǔn)線方程是.因此正確答案為：D4、【答案】B;【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因此正確答案為：B．5、【答案】A;【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及基本不等式判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?，又，，所以，且，所以，所?故選：A6、【答案】A;【解析】【分析】先將正方形折起得到四面體，由，得平面，再求出，的長(zhǎng)度，證明，最后把四面體看做兩個(gè)同底的三棱錐和拼接而成，即可用三棱錐的體積公式求體積.【詳解】如圖1，連接與相交于點(diǎn)，則.如圖2，將正方形沿對(duì)角線折起，折起后點(diǎn)記為．因?yàn)?，，，平面，平面，所以平面，因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為，所以,，又因?yàn)?所以,所以.所以四面體的體積為．故選：A7、【答案】B;【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列分析可得第秒時(shí)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，列式求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)第秒運(yùn)動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，前秒運(yùn)動(dòng)總長(zhǎng)度為，則，所以是以首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，則，可得；設(shè)點(diǎn)第秒運(yùn)動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，前秒運(yùn)動(dòng)總長(zhǎng)度為，則；故第秒時(shí)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題意可得：，解得或（舍去），即，所以點(diǎn)相遇時(shí)在數(shù)軸上的坐標(biāo)為.故選：B.8、【答案】C;【解析】【分析】根據(jù)充分，必要條件的定義，結(jié)合三角函數(shù)變換，即可判斷選項(xiàng).【詳解】當(dāng)，即則，化簡(jiǎn)為，即，，當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，所以，能推出函數(shù)是偶函數(shù)反過(guò)來(lái)，若函數(shù)是偶函數(shù)，則有，所以“”是“為偶函數(shù)”的充分必要條件.故選：C9、【答案】C;【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理即可估算近似值.【詳解】由題意可知故選：C10、【答案】B;【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量分析運(yùn)算，列出方程求解，即可得到結(jié)果.【詳解】每次跳躍的路徑對(duì)應(yīng)的向量為，因?yàn)榍筇S次數(shù)的最小值，則只取，設(shè)對(duì)應(yīng)的跳躍次數(shù)分別為，其中，可得則，兩式相加可得，因?yàn)?，則或，當(dāng)時(shí)，則次數(shù)為；當(dāng)，則次數(shù)為；綜上所述：次數(shù)最小值為10.故選：B.11、【答案】;【解析】解：通過(guò)題意，要使函數(shù)有意義，則需滿足，解得且.所以函數(shù)的定義域?yàn)椋阂虼苏_答案為：12、【答案】;;【解析】由，得：，所以，故，故得：，由于為整數(shù)，故的最小值為，故答案為：，13、【答案】/;【解析】由，得，則，則，所以（負(fù)值舍去），由，在三角形中易得，因?yàn)?，所?因此正確答案為：.14、【答案】/;（答案不唯一）;【解析】由點(diǎn)可知，，所以點(diǎn)在圓，且，則點(diǎn)在雙曲線的右支上，其中，，，則雙曲線方程為，聯(lián)立，解得：或，則的面積；當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，則其中的一個(gè)取值是.因此正確答案為：；（合理即可）15、【答案】①②③;【解析】【分析】根據(jù)圖象的對(duì)稱性，求導(dǎo)得切線斜率的最大值，由數(shù)形結(jié)合，結(jié)合選項(xiàng)即可判斷.【詳解】對(duì)于①,由于為偶函數(shù)，故圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且，當(dāng)或時(shí)，此時(shí)直線和曲線沒(méi)有交點(diǎn)；（如下圖）故正確①，對(duì)于②，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，故當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)取極大值也是最大值，故某一點(diǎn)處的切線的斜率最大值為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線和曲線恰有個(gè)交點(diǎn)；故②正確，對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的直線過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)直線與只有一個(gè)零點(diǎn)，故③正確，對(duì)于④，當(dāng)直線與曲線上某一點(diǎn)處的切線平行時(shí)（斜率小于），且在切點(diǎn)之上的位置時(shí)，此時(shí)直線與曲線有3個(gè)交點(diǎn)，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②③【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．16、【答案】(1)證明見解析(2);【解析】（1）連接，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以．

在三棱柱中，，所以，四點(diǎn)共面．

因?yàn)?，，、分別為、的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形．

所以，

因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?/p>

（2）由題設(shè)平面，平面，所以，，因?yàn)?，所以兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

所以，則，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，于是，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．17、【答案】(1)答案見解析(2);【解析】（1）選條件①：無(wú)意義，所以選條件①時(shí)不存在，故不能選①，選條件②．由題設(shè)，所以．

因?yàn)椋?，所以?/p>

所以．

選條件③，由題設(shè)．整理得．

以下同選條件②．（2）由（1）因?yàn)?，所以?/p>

于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值；

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．

又，即時(shí)，．且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以曲線與直線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則或的取值范圍是．18、【答案】(1)300(2)分布列見解析，1(3)或;【解析】【分析】（1）求出該企業(yè)身體處于肥胖狀態(tài)的員工得概率，再乘以即可得解；（2）求出從該企業(yè)身體處于肥胖狀態(tài)的員工中隨機(jī)抽取人，其中體重在以上的概率，寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可；（3）求出中所有的其身體處于肥胖狀態(tài)的概率，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由散點(diǎn)圖可知，抽取人中有人身體處于肥胖狀態(tài)，故該企業(yè)身體處于肥胖狀態(tài)的員工得概率為，則估計(jì)該企業(yè)員工身體處于肥胖狀態(tài)的人數(shù)為人；（2）因?yàn)槌槿∪酥杏腥松眢w處于肥胖狀態(tài)，其中人體重在以上，則從該企業(yè)身體處于肥胖狀態(tài)的員工中隨機(jī)抽取人，其中體重在以上的概率為，由題設(shè)，可取，，，，，所以的分布列為：；（3）有散點(diǎn)圖可知，從樣本中身高大于或等于的員工中隨機(jī)抽取人，當(dāng)時(shí)，其身體處于肥胖狀態(tài)的人數(shù)有人，總?cè)藬?shù)有人，概率為，當(dāng)時(shí)，其身體處于肥胖狀態(tài)的人數(shù)有人，總?cè)藬?shù)有人，概率為，當(dāng)時(shí)，其身體處于肥胖狀態(tài)的人數(shù)有人，總?cè)藬?shù)有人，概率為，當(dāng)時(shí)，其身體處于肥胖狀態(tài)的人數(shù)有人，總?cè)藬?shù)有人，概率為，當(dāng)時(shí)，其身體處于肥胖狀態(tài)的人數(shù)有人，總?cè)藬?shù)有人，概率為，當(dāng)時(shí)，其身體處于肥胖狀態(tài)的人數(shù)有人，總?cè)藬?shù)有人，概率為，綜上所述，當(dāng)或，符合題意.19、【答案】(1)，(2);【解析】（1）由題設(shè)

解得

所以橢圓的方程為．

的離心率為．（2）設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，則直線過(guò)點(diǎn)．

由

得．

設(shè)，則，．

由題設(shè)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等．所以四邊形的面積為面積的倍．

又，所以．

所以．

設(shè)，則．所以．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，．所以四邊形的面積最大時(shí)，．20、【答案】(1)最小值為，最大值為(2);【解析】【分析】（1）先求的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的正負(fù)確定的單調(diào)性，從而可求其在給定區(qū)間的最大與最小值；（2）設(shè)，由已知得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，得，再證明當(dāng)時(shí)，恒成立即可．【詳解】（1）因?yàn)椋?/p>

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．

所以的最小值為；的最大值為．（2）的定義域?yàn)椋桑?）知，且在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

設(shè)．若恒成立，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，即，解得．

下面證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．此時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞增，．

當(dāng)時(shí)，設(shè)．因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增．又，，所以存在唯一的，使得．

且當(dāng)，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，恒成立．綜上，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第一小問(wèn)考查函數(shù)在給定區(qū)間的最值，通過(guò)對(duì)單調(diào)性的討論即可，屬于基礎(chǔ)題；第二小問(wèn)主要考查不等式恒成立求參數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵是通過(guò)的正負(fù)得到的正負(fù)，從而確定的值再證明，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng)．21、【