2023年山東泰安高三二模數學試卷【含答案】

2023年山東泰安高三二模數學試卷一、單選題1、已知全集，集合，，則集合可能是（）A. B. C. D.2、若（為虛數單位），則（

）A. B. C. D.3、為了研究某班學生的腳長（單位厘米）和身高（單位厘米）的關系，從該班隨機抽取名學生，根據測量數據的散點圖可以看出與之間有線性相關關系，設其回歸直線方程為．已知，，．該班某學生的腳長為，估計其身高為A. B. C. D.4、已知非零向量滿足，且向量在向量方向的投影向量是，則向量與的夾角是（

）A. B. C. D.5、在平面直角坐標系中，已知圓：，若直線：上有且只有一個點滿足：過點作圓C的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N，且使得四邊形PMCN為正方形，則正實數m的值為（

）A.1 B. C.3 D.76、已知奇函數在上是減函數，，若，，，則a，b，c的大小關系為（

）A. B. C. D.7、我國古代《九章算術》將上下兩個平行平面為矩形的六面體稱為芻童.如圖所示的池盆幾何體是一個芻童，其中上下底面為正方形，邊長分別為6和2，側面是全等的等腰梯形，梯形的高為.已知盆中有積水，將一半徑為1的實心鐵球放入盆中之后，盆中積水深變?yōu)槌嘏韪叨鹊囊话耄瑒t該盆中積水的體積為（

）A.B.C.D.8、已知雙曲線，其一條漸近線方程為，右頂點為A，左，右焦點分別為，，點P在其右支上，點，三角形的面積為，則當取得最大值時點P的坐標為（

）A.B.C.D.二、多選題9、隨機變量且，隨機變量，若，則（

）A.B.C.D.10、已知函數的零點依次構成一個公差為的等差數列，把函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則函數（

）A.是奇函數B.圖象關于直線對稱C.在上是減函數D.在上的值域為11、如圖，在直三棱柱中，，，，點M在線段上，且，N為線段上的動點，則下列結論正確的是（

）A.當N為的中點時，直線與平面所成角的正切值為B.當時，平面C.的周長的最小值為D.存在點N，使得三棱錐的體積為12、已知函數，．（

）A.若曲線在點處的切線方程為，且過點，則，B.當且時，函數在上單調遞增C.當時，若函數有三個零點，則D.當時，若存在唯一的整數，使得，則三、填空題13、用數字1，2，3，4，5，6，7組成沒有重復數字，且至多有一個數字是偶數的四位數，這樣的四位數一共有

個.（用數字作答）14、已知，則

.15、若m，n是函數的兩個不同零點，且m，n，這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則

.16、已知橢圓的左，右焦點分別為，，橢圓C在第一象限存在點M，使得，直線與y軸交于點A，且是的角平分線，則橢圓C的離心率為

.四、解答題17、在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，.(1)求；(2)若點D在的外接圓上，且，求的長.如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，D，E分別為，的中點，，，.求證：平面；在線段上是否存在點F，使得平面與平面的夾角為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．已知數列的前n項和為，，，.求；設，數列的前n項和為，若，都有成立，求實數的范圍.20、2022年11月，《2021年全國未成年人互聯網使用情況研究報告》發(fā)布.報告顯示，2021年我國未成年網民規(guī)模達1.91億，未成年人互聯網普及率達96.8%.互聯網已成為未成年人學習，娛樂，社交的重要工具.但與此同時，約兩成的未成年網民認為自己對互聯網存在不同程度的依賴.某中學為了解學生對互聯網的依賴情況，決定在高一年級采取如下“隨機回答問題”的方式進行問卷調查：一個袋子中裝有5個大小相同的小球，其中2個黑球，3個紅球.所有學生從袋子中有放回地隨機摸兩次，每次摸出一球.約定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式①回答問卷，否則按方式②回答問卷”.方式①：若第一次摸到的是紅球，則在問卷中畫“√”，否則畫“×”；方式②：若你對互聯網有依賴，則在問卷中畫“√”，否則畫“×”.當所有學生完成問卷調查后，統(tǒng)計畫“√”，畫“×”的比例.用頻率估計概率，由所學概率知識即可求得高一年級學生對互聯網依賴情況的估計值.（）若高一（五）班有50名學生，用X表示其中按方式①回答問卷的人數，求X的數學期望；若所有調查問卷中，畫“√”與畫“×”的比例為1：2，試估計該中學高一年級學生對互聯網的依賴率.（結果保留兩位有效數字）已知點和點之間的距離為2，拋物線經過點N，過點M的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，點E，F分別在直線，上，且，（O為坐標原點）.求直線l的傾斜角的取值范圍；求的值.已知函數，.當時，討論方程解的個數；當時，有兩個極值點，，且，若，證明：（i）；（ii）.1、【答案】C;【解析】∵，∴又∵∴因此正確答案為：C.2、【答案】B;【解析】由可得，所以，因此正確答案為：.3、【答案】C;【解析】由已知,，因此正確答案為C.4、【答案】B;【解析】因為，所以，即①.因為向量在向量方向的投影向量是，所以.所以②，將①代入②得，，又，所以.因此正確答案為：B5、【答案】C;【解析】根據四邊形PMCN為正方形可得，轉化為圓心到直線的距離為可求得結果.【詳解】由可知圓心，半徑為，因為四邊形PMCN為正方形，且邊長為圓的半徑，所以，所以直線：上有且只有一個點，使得，即，所以圓心到直線的距離為，所以，解得或（舍）.故選：C【點睛】關鍵點點睛：將題意轉化為圓心到直線的距離為是解題關鍵.6、【答案】D;【解析】因為奇函數且在上是減函數，所以，且，時.因，所以，故為偶函數.當時，，因，，所以.即在上單調遞減.，因，所以，即.因此正確答案為：D.7、【答案】D;【解析】通過題意可知，這個芻童為棱臺，如下圖所示，為垂直底面的截面，則棱臺的高為，因為盆中積水深變?yōu)槌嘏韪叨鹊囊话?，所以水面邊長為，高為，則實心球只有一半在水中，所以該盆中積水的體積為.因此正確答案為：D.8、【答案】B;【解析】【分析】根據三角形的面積結合漸近線方程可得的值，再根據雙曲線的定義轉換可得當且僅當共線且在中間時取得最大值，進而聯立直線與雙曲線的方程求解即可.【詳解】設，則由三角形的面積為可得，即，又雙曲線一條漸近線方程為，故，即，故，故，解得，故，雙曲線.又由雙曲線的定義可得，當且僅當共線且在中間時取得等號.此時直線的方程為，即，聯立可得，解得，由題意可得在中間可得，代入可得，故.故選：B9、【答案】A;C;【解析】【分析】對AB，根據正態(tài)分布的期望方差性質可判斷；對C，根據及二項分布期望公式可求出；對D，根據二項分布方差的計算公式可求出，進而求得.【詳解】對AB，因為且，所以，故，，選項A正確，選項B錯誤；對C，因為，所以，所以，解得，選項C正確；對D，，選項D錯誤.故選：AC.10、【答案】A;C;D;【解析】【分析】利用輔助角公式得出，由已知條件求得的值，再利用函數圖象變換求得函數的解析式，利用正弦型函數的基本性質可判斷各選項的正誤.【詳解】，由于函數的零點構成一個公差為的等差數列，則該函數的最小正周期為，，則，所以，將函數的圖象沿軸向右平移個單位，得到函數的圖象.對于A選項，函數的定義域為，，函數為奇函數，A選項正確；對于B選項，，所以函數的圖象不關于直線對稱，B選項錯誤；對于C選項，當時，，則函數在上是減函數，C選項正確；對于D選項，當時，，則，.所以，函數在區(qū)間上的值域為，D選項正確.故選：ACD11、【答案】B;D;【解析】【分析】取的中點,證明平面，故為直線與平面所成的角，求解可判斷A；延長交于點，可得四邊形是平行四邊形，從而可判斷B；當點與重合時，求出的周長可判斷C；取的中點,連接，若三棱錐的體積為，則，根據可判斷D.【詳解】對于A，當為的中點時，取的中點,連接，易知,平面，則平面，故為直線與平面所成的角，則,故A錯誤；對于B，當時，延長交于點，此時，所以，所以.又，所以四邊形是平行四邊形，所以，即.因為平面，平面，所以平面，故B正確；對于C，當點與重合時，易知，此時的周長為，顯然有，故C錯誤；對于D，取的中點,連接，易知平面,,若三棱錐的體積為，即，所以,所以.因為所以存在點N，使得三棱錐的體積為，故D正確.故選:BD.12、【答案】B;C;D;【解析】選項，，由題，，則，，故選項有誤；選項，當時，，．因，則，或在上單調遞增，則在上單調遞增，故選項無誤；選項，當時，令，注意到當時，，則，則函數有三個零點，相當于直線與函數圖象有三個交點．令，其中，，．令或在，上單調遞增；或或或在，，，上單調遞減，又，，，，則可得大致圖象如下，則由圖象可以知，當，直線與函數圖象有三個交點，即此時函數有三個零點，故選項無誤；

選項，由題可得，，即存在唯一整數，使圖象在直線下方，則，，，得在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，，過定點，可在同一坐標系下做出與圖象．又設過點切線方程的切點為，則切線方程為：，因其過，則或，又注意到結合兩函數圖象，可知或．當時，如下圖所示，需滿足；當時，如下圖所示，需滿足；綜上：，故選項無誤．

故選．13、【答案】312;【解析】偶數包含2，4，6，奇數包含1，3，5，7，1.若四位數沒有偶數，則都是奇數，有個；2.若四位數有一個偶數，三個奇數，有個，綜上所述，共有個.因此正確答案為：31214、【答案】;【解析】【分析】利用輔助角公式求得，根據倍角公式和誘導公式化簡目標式，即可求得結果.【詳解】因為，故可得，則故答案為：.15、【答案】;【解析】【分析】由題可確認m，n同為正數，則成等比數列，又不妨設，則成等差數列，即可得答案.【詳解】由題可得，則成等比數列，得.又不妨設，則成等差數列，得.結合，可得，解得或（舍去），即.故答案為：16、【答案】;【解析】通過題意得，又由橢圓的定義得，記，則，，則，所以，故，則，則，即等價于，得：或（舍）因此正確答案為：17、【答案】(1)(2);【解析】【分析】（1）方法一，由余弦定理先求，再根據正弦定理求；方法二，首先根據正弦定理求，再根據求解；（2）首先根據角的相等關系得到，再根據，得，再根據余弦定理求.【詳解】（1）方法一：在中，由余弦定理得，即解得（舍）或，由正弦定理得，.方法二：中，.由正弦定理得，.（2）連接又，，設在中，由余弦定理得，，.18、【答案】(1)證明見解析(2)存在，;【解析】（1）為等邊三角形，D為中點，，又，，，平面，平面，平面，，取中點G，連接，為等邊三角形，，平面平面，平面平面，平面.平面，，與相交，，平面，平面；（2）以為坐標原點，，所在直線為x軸，y軸，過C且與平行的直線為z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，設，則，，設平面的一個法向量為，則，所以，取，可得，為平面的一個法向量，取平面的一個法向量為，則，解得，此時，在線段上存在點F使得平面與平面的夾角為，且.19、【答案】(1)，(2);【解析】【分析】（1）由，可得，兩式相減并化簡后可得，后分奇偶情況可得；（2）方法1，由題，由等比數列前n項和公式可得表達式；方法2，注意到，可得表達式.后注意到的單調性，利用可得答案.【詳解】（1），.，，.又，，，數列的奇數項，偶數項分別是以2，4為首項，4為公差的等差數列.當時，；當時，.綜上，，（2）方法一：，.，.方法二：，，，，∴時，為遞增數列，時，為遞減數列，若，都有成立，只需使，則且，則.20、【答案】(1)24(2)18%;【解析】【分析】（1）按方式①回答問卷，即兩次摸到的球的顏色不同，概率為，50名學生按方式①回答問卷的人數服從于二項分布，運用公式計算數學期望（2）記事件A為“按方式①回答問卷”，事件B為“按方式②回答問卷”，事件C為“在問卷中畫‘√’號”，利用全概率公式計算條件概率.【詳解】（1）每次摸到黑球的概率，摸到紅球的概率每名學生兩次摸到的球的顏色不同的概率由題意知，高一五班50名學生按方式①回答問卷的人數，X的數學期望.（2）記事件A為“按方式①回答問卷”，事件B為“按方式②回答問卷”，事件C為“在問卷中畫‘√’號”.由（1）知，，由全概率公式得，由調查問卷估計，該中學高一年級學生對互聯網的依賴率約為18%.21、【答案】(1)(2)2;【解析】【分析】（1）由求出，將代入拋物線C的方程得，設直線l的方程為，與拋物線方程聯立利用判別式得的范圍，再由向量共線得點E，F均在y軸上，可得k的取值范圍及直線l的傾斜角的取值范圍；（2）設，根據M，A，B三點共線得，再由，求出，，求出直線的方程令得，同理可得，代入可得答案.【詳解】（1），，，，將代入，解得，拋物線C的方程為，直線l過點，且與拋物線C有兩個