北京市平谷區(qū)2022-2023學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控?cái)?shù)學(xué)（含解析）

平谷區(qū)2022—2023學(xué)年度高二第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控試卷

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，共4頁(yè)，共150分，考試時(shí)間

為120分鐘.

2.試題所有答案必須書(shū)寫(xiě)在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將答題紙交回，試卷按學(xué)校要求保存好.

第I卷選擇題（共40分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）

1.直線3尤+2y+l=°在X軸上的截距為（）

1111

A.-B.-C.---D.—

2323

【答案】D

【解析】

【分析】令直線方程中的y=o得出的x值即是直線在x軸上的截距.

【詳解】令直線3x+2y+l=0中的y=0,

得x=［，

即直線3x+2y+1=0在x軸上的截距為一；,

故選：D

2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（U,1）,則線段A3的中點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.（1,0,1）B.（2,1,1）C.（1,1,2）D.（1,2,3）

【答案】B

【解析】

【分析】通過(guò)空間直角坐標(biāo)系已知線段兩端點(diǎn)坐標(biāo)求中點(diǎn)坐標(biāo)，只需將各坐標(biāo)相加并除以2,即可得出中

點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)3（3,1/），

，線段A3的中點(diǎn)的坐標(biāo)是（n，一丁，一二一］，

即線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)是（2,1,1）,

故選：B.

3.一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4.從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，那么

取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率為（）

1I12

A.-B.~C.-D.一

6233

【答案】C

【解析】

【分析】利用列舉法列出所有可能情況，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；

【詳解】從編號(hào)為1、2、3、4的4個(gè)球中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，

其可能結(jié)果有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）共6個(gè)

其中滿足編號(hào)之和不大于4的有，（1,2）（1,3）共2個(gè)，

21

所以取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率P=-=-

63

故選：C

4.已知圓/+^一31+出+1=0關(guān)于丁=%對(duì)稱，則實(shí)數(shù)加等于()

3.3

A.——B.-3C.3D.一

22

【答案】B

【解析】

【分析】把圓關(guān)于直線對(duì)稱轉(zhuǎn)化為直線過(guò)圓心，點(diǎn)代入直線計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)閳Af+J-3x+my+1=0關(guān)于y=%對(duì)稱，

所以直線＞=%過(guò)圓x?+y?-3x+/〃y+1=0的圓心（■|,一晟）

3in

即得巳=一一，解得加=-3,經(jīng)檢驗(yàn)，加=一3滿足題意，

22

故選：B.

5.已知平面a,0,直線加，〃，下列命題中真命題是（）

A.若m_L尸，則。_L￡B.若加〃〃，m.La,則〃_La

C.若m_La,尸，則a〃4D.若加a,a//ft,nu。，則相〃力

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)線面垂直和面面垂直的性質(zhì)與判定定理、線面平行的判定定理和性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A：,,m_Le,mk/3,:.a//f3,故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B：mlIn,〃z_La,由平行線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，

則另一條也垂直于這個(gè)平面可知，故B正確；

對(duì)于C：mLa,nX.P

若mu/3,由面面垂直判定定理可知二_L〃，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：m//&,二//尸,〃<=/?,二加//〃或加與〃互為異面直線或/〃與"相交，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

6.已知圓C：x2+y2-2y-4=0,直線/：3x+y-6=0,則直線/被圓。所截得的弦長(zhǎng)為（）

A.V10B.C.5D.10

2

【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)圓的一般方程求圓心和半徑，再結(jié)合半徑，弦長(zhǎng)和圓心到直線距離的關(guān)系式，計(jì)算即可.

【詳解】已知圓C：f+y2—2y—4=0,所以圓心C（0』）,半徑為「=史土2土㈢.=6,

2

圓心。（0,1）到直線/：3x+y—6=0的距離d=與曰=竟=半

所以直線/被圓C所截得的弦長(zhǎng)為25一/=2/一曰=2聘=V10

故選:A.

7.“加>0”是“方程/一碎/+m=o表示雙曲線,，的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意求出方程表示雙曲線的條件，即可判斷出結(jié)論.

詳解】若加=0時(shí)，方程f一加y2=—加不表示雙曲線；

若相關(guān)0時(shí)，方程f一加y2=一m0j￡_+y2=1為雙曲線，則/”>0,

-m

，加>()是方程f-my?=一機(jī)表示雙曲線的充分必要條件，

故選：C.

8.已知半徑為2的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),其圓心到直線3x+4y+13=0的距離的最小值為()

A.OB.1C.2D.6

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)得到圓的圓心的軌跡方程，再利用點(diǎn)到線的距離公式求解.

【詳解】半徑為2的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),設(shè)圓心坐標(biāo)為(。,份，則(a-l『+S-iy=4

所以該圓的圓心的軌跡是以(1,1)為圓心，2為半徑的圓

故圓心到直線3x+4)，+13=0的距離的最小值為點(diǎn)(1,1)到直線的距離減半徑，即

|3xl+4xl+13|2.因2.2

^+75

故選：C.

9.某地區(qū)工會(huì)利用“健步行APP”開(kāi)展健步走活動(dòng).為了解會(huì)員的健步走情況，工會(huì)在某天從系統(tǒng)中隨機(jī)抽

取了1000名會(huì)員，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天他們的步數(shù)(千步為單位)，并將樣本數(shù)據(jù)分為[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),

[11,13),[13,15),[15,17),[17,19),[19,21]九組，整理得到頻率分布直方圖如圖所示，則當(dāng)天這1000

名會(huì)員中步數(shù)少于11千步的人數(shù)為()

頻率

組距

0.15

0.1

79111315171921步數(shù)（單位:千步)

A.100B.200C.260D.300

【答案】D

【解析】

【分析】分別求出健步走的步數(shù)在［3,5）,［5,7）,［7,9）,［9』1）的人數(shù)，即得解.

【詳解】這1000名會(huì)員中健步走的步數(shù)在［3,5）內(nèi)的人數(shù)為0.02x2x1000=40；

健步走的步數(shù)在［5,7）內(nèi)的人數(shù)為0.03x2x1000=60；

健步走的步數(shù)在［7,9）內(nèi)的人數(shù)為0.05x2x1000=100；

健步走的步數(shù)在［9,11）內(nèi)的人數(shù)為0.05x2x1000=100；

40+60+100+100=300.

所以這1000名會(huì)員中健步走的步數(shù)少于II千步的人數(shù)為300人.

故選：D.

22

10.已知耳，居分別是橢圓二+1=1（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且p瑞垂直于

a~b~

3

x軸，cosZF.PF.=-,則橢圓的離心率為（）

A.；B.-C.—D.2

252

【答案】A

【解析】

【分析】在直角.中，由cos/FfK得到的等量關(guān)系，結(jié)合/=。2+02計(jì)算即可得到離心率.

3

【詳解】由已知cos/￡P(guān)g=g,且P居垂直于x軸

又在橢圓中通徑的長(zhǎng)度為|P瑞|=忙，忻閭="，

44

所以sin/耳尸瑪=g,tan/耳PFi=^

tan/R桃=3=陛jl=當(dāng)

12

故3\PF2\忙，

a

2ac2e4c2r八八

即nn—：---y=------=—，2夕+3e-2=0,

（2e—l）（e+2）=0,又因?yàn)?<e<l

解得e=—

2

故選：A

第n卷非選擇題（共no分）

二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線

上.）

11.直線x+6），-1=0的傾斜角為.

【答案】150

【解析】

【分析】由直線x+百y—1=（）斜率為女=一日，得到1211。=一半,26[0°180°），即可求解.

【詳解】由題意，可知直線x+Gy-1=0的斜率為人=一乎，

設(shè)直線的傾斜角為a,貝hana=-等,ae[0°,180°），解得a=150°，

即換線的傾斜角為150°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角的求解問(wèn)題，其中解答中熟記直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，合理準(zhǔn)

確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.北京市某高中有高一學(xué)生300人，高二學(xué)生250人，高三學(xué)生275人，現(xiàn)對(duì)學(xué)生關(guān)于消防安全知識(shí)了

解情況進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取了一個(gè)容量為〃的樣本，其中高三學(xué)生有11人，則〃的值等于.

【答案】33

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)槌槿×艘粋€(gè)容量為〃的樣本，其中高三學(xué)生有11人，

故答案為：33.

22

13.已知雙曲線±=1（。＞0）的焦距為，則。的值為:此雙曲線的漸近線方程是

a-16

【答案】①.8②.y=+-x

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求出上c,再求漸近線方程即可.

22

【詳解】因?yàn)殡p曲線乙=1(a>0)的焦距為8后,所以2c=8岔,即

a'16

又因?yàn)閏?=々2+〃,所以16x5+16,即a,=64河得a=8;

b1

因?yàn)殡p曲線漸近線方程為y=±±x,又因?yàn)?=8/=4,所以雙曲線漸近線方程為y=±-x

a2

故答案為：8；y=±gx

14.已知拋物線C：y2=2px(P>O)的焦點(diǎn)為F(l,o),則拋物線。的方程是；若“是。上一

點(diǎn)，月0的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N,且M為FN的中點(diǎn)，則|/W|=.

【答案】①.y2=4x(2).3

【解析】

【分析】利用C：尸=2px(〃>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為已知焦點(diǎn)坐標(biāo)求得P,

得到拋物線的方程；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得M的橫坐標(biāo)，

利用拋物線的定義求得M到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而得到所求.

【詳解】拋物線C：y2=2px(p>o)的焦點(diǎn)為"i,o),可得〃=2,則拋物線。的方程是丁=4c

由〃為WV的中點(diǎn)，N在N軸上，N的橫坐標(biāo)為0,b的橫坐標(biāo)為1,得M的橫坐標(biāo)為

拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，

M是拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，拋物線C：：/=22%5>0)的準(zhǔn)線方程為*=—_^=—1,

\MF\=XM+y=1+1=p

:.\FN\^2\FM\^3.

故答案為：y2=4x；3.

15.在直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線W的方程是+v+N=i,為W上的任意一點(diǎn).給出下

面四個(gè)命題：

①曲線W上的點(diǎn)關(guān)于x軸，V軸對(duì)稱；②曲線W上兩點(diǎn)間的最大距離為20；

17

③I。”取值范圍為-,1；④曲線W圍成的圖形的面積小于

則以上命題中正確的序號(hào)有.

【答案】①③

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)稱性，最值及圖像特征分別判斷命題即可.

【詳解】對(duì)于①，設(shè)p（x,y）在曲線W的方程上，因?yàn)镻'（x,-y）也在曲線W的方程上,

y）也在曲線W的方程上，所以曲線W上的點(diǎn)關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱;故①正確

對(duì)于③|OP|=y/x2+y2=1—N,又因?yàn)榍€W的方程是y/x2+y2+|y|=l,

所以J7三=1一|",即得/+/=1一2|乂+32,%2=1-2況20,

得0?3?工,所以|0P|=i—|y|e,故③正確

對(duì)于④當(dāng)y?（）時(shí)，曲線W的方程為y=；（l—?。€卬與工軸交點(diǎn)A（1,O）與y軸交點(diǎn)

曲線W上的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱可以得到曲線卬的大致圖像，

曲線W圍成的圖形的面積大于4S°A,=4xgxlx；=l,故④錯(cuò)誤；

對(duì)于②，如圖及曲線W的對(duì)稱性可知，曲線W上兩點(diǎn)間的最大距離為2|。4|=2x1=2,故②錯(cuò)誤；

故答案為:①③

三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）

16.如圖，在正方體ABC。-ABC。中，正方體的棱長(zhǎng)為2,￡為的中點(diǎn).

（I）求證：AB1AD.；

（2）求直線A4與平面AQE所成角的正弦值；

（3）求Bq到平面ADE的距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）-

3

（3）-

3

【解析】

【分析】（1）以A為原點(diǎn)，ARARAT所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，向量法即可

證出；

（2）求出平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)線面角的向量公式即可求出；

（3）根據(jù)點(diǎn)到平面的距離向量公式即可求出.

【小問(wèn)1詳解】

以A為原點(diǎn)，AD,A8,A4所在的直線分別為x,?z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

A（0,0,0）,B（0,2,0），A（2,0,2）,

A6=（O,2⑼,蝴=（2,0,2）

ABA￡）1=2x0+0x2+2x0=0

AB1AD,

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,A（0,0,0）,A（0,0,2）,￡）,（2,0,2）,￡（0,2,1）

AA4,=(0,0,2),AD}=(2,0,2),AE=(0,2,1),

rz、〃?AD.=2x+2z=0

設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，則

n?AE=2y+z=0

令z=2，則x=-2,y=-l,〃=(-2,-l,2),

設(shè)直線A4與平面AD,E所成角為6,則sin。=11=

422

I2X74+1+4I=3,故直線A%與平面所成角的正弦值為§.

【小問(wèn)3詳解】

?.?C（2,2,0）,3￡=（2,0,2）由（2）知,平面所的法向量為〃=（—2,—1,2）,

：.BCcn^0：.BC]//平面ARE,

所以8G到平面ARE的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面AO|E的距離，

/、\n?AB9?

AB=（0,2,0）,d=J____?=2=±

\n\-4+1+43

17.某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.

方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過(guò)；

方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過(guò).

假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的概率分別是0.5,0.6.0.9,且三門課程考試是否及格相互之

間沒(méi)有影響.求：

（1）該應(yīng)聘者用方案一考試通過(guò)的概率；

（2）該應(yīng)聘者用方案二考試通過(guò)的概率.

【答案】（1）0.75;（2）0.43;

【解析】

【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接計(jì)算即可；

（2）分情況結(jié)合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解.

【詳解】（1）記該應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的事件分別為A,B,C，

則尸（4）=0.5,P（B）=0.6,P（C）=0.9,

應(yīng)聘者用方案一考試通過(guò)的概率：

Pi=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.6x0.9+（l-0.5）x0.6x0.9+0.5x（l-0.6）x0.9+0.5x0.6x（l-0.9）

=0.27+0.27+0.18+0.03

=0.75；

（2）應(yīng)聘者用方案二選擇任意兩科的概率為工，

3

考試通過(guò)概率：

P2=gp（A叫Pg+：P（AC）

=-x0.5x0.6+-x0.6x0.9+-x0.5x0.9

333

=0.1+0.18+0.15

=0.43.

18.已知橢圓C：工+==1（a>6>0）的短軸長(zhǎng)為4,離心率為好.點(diǎn)P為圓/：/+236

a2b23

上任意一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）記線段OP與橢圓。交點(diǎn)為。，求|P0的取值范圍.

22

【答案】（1）三+匯=1

94

（2）[1,2]

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式及〃=。2一。2,即可求得"和Z,的值，求得橢圓方程；

（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式|OQ|=，4+茅，根據(jù)由€［-3,3J,即可求得|PQ|的取值范圍；

【小問(wèn)1詳解】

由題意可知：2b=4,e---?/?2=6f2-c2=4?則。=3,c=^5

a3

22

???橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：三+二=1;

94

【小問(wèn)2詳解】

由題意可知：歸。=|0"-|0。=4一|。。|，

22

設(shè)。&,芳），則.+,=I,

???31="#+上=卜：+（4一於

由西目-3,3］,當(dāng)占=0時(shí)，100^=2，當(dāng)司=±3時(shí)，|。。1M=3，

??.|PQ|的取值范圍［1,2］；

19.某高中高一500名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了

100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：［20,30）,［30,40）,…，［80,90］,并整理得到頻率

（1）從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于60的概率；

（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50）內(nèi)的人數(shù)；

（3）估計(jì)隨機(jī)抽取的100名學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)，估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)；

（4）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計(jì)總體

中男生和女生人數(shù)的比例.

【答案】（1）0.2

（2）25人

（3）眾數(shù)為75；測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)為78.75

（4）3:2

【解析】

【分析】（1）由對(duì)立事件結(jié)合頻率分布直方圖先得出數(shù)不小于60的頻率，即可得出分?jǐn)?shù)小于60的頻

率，則可得出總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于60的概率估計(jì)值；

（2）先由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于50的頻率，即可得出分?jǐn)?shù)不小于50的人數(shù)，在集合題意即可

得出總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50）內(nèi)的人數(shù)；

（3）總數(shù)為頻率分布直方圖中頻率最高的分?jǐn)?shù)區(qū)間的中間值，測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)先得出從前到后的

頻率之和為0.75時(shí)在那個(gè)區(qū)間，在通過(guò)頻率求出；

（4）先由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)，在通過(guò)已知得出樣本中的男女生比例，即可

得出總體中男女生的比例估計(jì).

【小問(wèn)1詳解】

由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于60的頻率為：（0.02+0.04+0.02）x10=0.8,

則分?jǐn)?shù)小于60的頻率為：1—0.8=02,

故從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于60的概率估計(jì)為0.2；

【小問(wèn)2詳解】

由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于50頻率為：（0.01+002+0.04+0.02）x10=0.9,

則分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50）內(nèi)的人數(shù)為：100-100x0.9-5=5人，

則總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50）內(nèi)的人數(shù)為：500x高=25人；

【小問(wèn)3詳解】

由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在區(qū)間［70,80）的頻率最高，

則隨機(jī)抽取的100名學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)估計(jì)為75,

由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)小于70的頻率為0.4,分?jǐn)?shù)小于80的頻率為0.8,

則測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)落在區(qū)間［70,80）上，

035

則測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)為70+1Ox=78.75；

0.4

【小問(wèn)4詳解】

由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02+0.04)x10x100=60人，

因?yàn)闃颖局蟹謹(jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等

所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60x1=30人，

2

又因?yàn)闃颖局杏幸话肽猩姆謹(jǐn)?shù)不小于70,

所以樣本中的男生共有30x2=60人，

則樣本中的女生共有100-60=40人，

所以總體中男生和女生人數(shù)的比例估計(jì)為60:40=3:2.

20.如圖，四棱雉P—A8CZ)中，底面A8CO為矩形，平面ABCD,￡為PD的中點(diǎn).

(1)求證：依〃平面AEC；

(2)求證：平面PCD_L平面APD；

(3)設(shè)平面A4E與平面夾角為60。，AP=\，AD=6求AB長(zhǎng).

【答案】(I)答案見(jiàn)解析

3

(2)答案見(jiàn)解析(3)—

2

【解析】

【分析】(1)連BD交AC于。點(diǎn)，連接OE,由線面平行判定定理可證；

(2)證明8,平面勿。，則應(yīng)用面面垂直的判定定理證明即可；

(3)建立空間坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用法向量的夾角公式運(yùn)算得出AB的長(zhǎng).

【小問(wèn)1詳解】

連3。交AC于。點(diǎn)，連接OE,

?.?。為3。中點(diǎn)，E為PD中盤.：.PB//OE,QEu平面平面A￡C

；.PB〃平面AEC

【小問(wèn)2詳解】

*/PA_L平面ABCD,CDcz平面ABCD,

：.PA±CD,

：ABC。為矩形，D4，CO,

又B4cA。=A,/%u平面PAD,ZMu平面24。

.??。。1_平面24。，又8u平面尸CD.

???平面PCO_L平面APT)；

【小問(wèn)3詳解】

以A為原點(diǎn)，以AB,AD,AP為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示,

設(shè)A8=a,則A(0,0,0),C(小石，0),D(0,73.0),P(0,0,1),E(0,—,；),

22

?*,AC—("'y/3>。),AE=>3")'AP=(0,0,1),

22

顯然加=(1,0,0)為平面AEO的一個(gè)法向量,

ax+JSy-0

n-AC=0

設(shè)平面ACE的法向量為〃=(x,y,z),則《即《

V31n

n-AE=0

I272

令z=5/3得加=(，-1，>/3)，

a

?平面D4E與平面AEC夾角為60°,

1

m-n

~2，

A|cos<m9n>|=|I―iTj

33

解得。,即A5=—.

22