2021年高考數(shù)學(xué)真題試卷（天津卷）

2021年高考數(shù)學(xué)真題試卷（天津卷）

閱卷人

、選擇題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

得分

1.(2021天津)設(shè)集合力={-1,0,1},B={1,3,5},C={0,2,4),貝U(XAF)UC=

)

A.{0}B.{0,1,3,5)

C.{0,1,2,4)D.{0,2,3,4}

2.(2021?天津)已知aCR,則“a>6”是“a2>36”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不允分也不必要條件

3.（2。21天津）函數(shù)、=罌的圖像大致為（）

4.（2021?天津）從某網(wǎng)格平臺(tái)推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計(jì)其評(píng)分分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個(gè)評(píng)分?jǐn)?shù)

據(jù)分為8組：［66,70）,［70,74）,…，［94,98］,并整理得到如下的費(fèi)率分布直方圖，則評(píng)分在區(qū)

間［82,86）內(nèi)的影視作品數(shù)量是（)

nt/eiR*

A.20B.40C.64D.80

03

5.（2021?天津）設(shè)a=log20.3,b=log工0.4,c=O,4,則“，b<c的大小關(guān)系為（）

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

6.（2021?天津）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為竽，兩個(gè)圓錐

的高之比為I..3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）

A.37rB.4兀C.9兀D.127r

7.（2。21?天津）若2。=5-0，則〉3（）

A.-1B.Ig7C.1D.log710

8.（2021?天津）已知雙曲線l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)與拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)重

合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A,8兩點(diǎn)，交雙曲錢的漸近線于C、。兩點(diǎn)，若\CD\=y[2\AB\.則雙

曲線的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.3

(COS(2TTX—27ra).

9.(2021?天津)設(shè)a€R,函數(shù)/(%)=%”,2,c,若/(%)在區(qū)間(0,+

八'(x2-2(cz4-l)x+a2+5

8)內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A.（2，芻U（|,B.G，2）U（|,斗

C.（2,右U洋，3）D.弓，2）U洋，3）.

閱卷人

二、填空題，本大題共6小題，每小題5分，共30分，試題中包含兩個(gè)空

得分的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分.

10.（2021?天津）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)組乎=.

11.（2021?天津）在（2爐+》6的展開式中，x6的系數(shù)是.

12.（2021?天津）若斜率為遮的直線與y軸交于點(diǎn)4,與圓x2+（y-l）2=l相切于點(diǎn)8,則

|ZB|=,

13.（2021?天津）若a〉0,b>0,則］+/+b的最小值為.

14.（2021?天津）甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方

獲勝，否則本次平局，已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為:和［，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)

65

與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為,3次活動(dòng)中，甲至少

獲勝2次的概率為.

15.（2021?天津）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形43c中，O為線段3c上的動(dòng)點(diǎn)，DE1AB且交A8于點(diǎn)

E.DF//AB且交AC于點(diǎn)F,則\2BE+~DF\的值為;（DE+DF）DA的最小值

為_________

閱卷入

三、解答題，本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程

成演算步驟.

得分

16.（2021?天津）在△ABC，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知sinA；sinB：sinC=

2：1：V2，b=\［2■

（1）求4的值；

（2）求cosC的值；

（3）求sin（2C—著）的值.

17.（2021?天津）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-中，E為棱8c的中點(diǎn)，E為棱的

中點(diǎn).

（1）求證：。/〃平面A1EC1；

（2）求直線AC.與平面&EC］所成角的正正弦值.

（3）求二面角A—41cl-E的正弦值.

18.(2021?天津)已知橢圓^|+4=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為8,離心率為等,且

\BF\=V5.

(1)求橢圓的方程；

(2)直線/與橢圓有唯一的公共點(diǎn)與y軸的正半軸交于點(diǎn)N,過N與8尸垂直的直線交x軸于點(diǎn)

P.若MP//BF,求直線/的方程.

19.(2021?天津)己知｛an｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64.［bn］是公比大于。的等比數(shù)

歹ll，b1=4，星—勿=48.

⑴求M和｛bn］的通項(xiàng)公式；

(2)記Cn=M6/V*.

(i)證明｛*—。2九｝是等比數(shù)列；

(ii)證明\m±l<2V2(nGN*)

k=l

20.(2021?天津)已知a>0,函數(shù)/(%)=ax—xe*.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程：

(2)證明f(x)存在唯一的極值點(diǎn)

(3)若存在a,使得/(x)<a+b對(duì)任意X&R成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

答案解析部分

L【答案】C

【解析】【解答】解：由題意得ACB={1},則(ACB)UC={0,1,2,4}

故答案為：C

【分析】根據(jù)交集，并集的定義求解即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：當(dāng)a>6時(shí)，a2>36,所以充分性成立；

當(dāng)a2>36時(shí)，a<-6或a>6,所以必要性不成立，

故"a>6”是受2>36”的充分不必要條件.

故答案為：A

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義求解即可.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：/(一%)=部轟=黑=/(%),則函數(shù)/(%)=黑是偶函數(shù)，排除A,C,

當(dāng)XG(O,1)時(shí),In|x|<0,x2+2>0,則f(x)<0,排除D.

故答案為：B

【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可排除AC,再由xe(O,1)時(shí)，f(x)<0,排除D,即可得解.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：由頻率分布直方圖可知，評(píng)分在區(qū)間［82,86)內(nèi)的影視作品數(shù)量是

400x0.05x4=80.

故答案為：D

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求解即可.

5.【答案】D

【解析】【解答】解：：log20.3<k)g21=0,...aco

：log10.4=-log20.4=log2|>log22=1,,-.b>l

,.,0<0.4°3<0.4O=l,.*.0<c<l

a<c<b

故答案為：D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a,c,b的范圍即可求解.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)D,

設(shè)圓錐AD和圓錐BD的高之比為3：1,即AD=3BD,

3

設(shè)球的半徑為R,則皿=%三解得R=2,

33

所以AB=AD+BD=4BD=4,

所以BD=1,AD=3

VCD1AB,

???ZCAD+ZACD=ZBCD+ZACD=90°

???NCAD=NBCD

又因?yàn)镹ADONBDC

所以△ACD^ACBD

所在I以'M詼。=前CD

:.CD=yjAD-BD=V3

,這兩個(gè)圓錐的體積之和為gITxCD2x(AD+BD)=Jnx3x4=4n

故答案為：B

【分析】作出圖形，求得球的半徑，進(jìn)而求得兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑,

再結(jié)合錐體的體積公式求解即可.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：由2。=5占=10得a=log210,b=log510,

1111

則萬+萬=函而+%而=62+切5=/gl0=l

故答案為：c

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，結(jié)合換底公式求解即可.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：設(shè)雙曲線馬—馬=l(a>0,b>0)與拋物線V=2pQ>0)的公共焦點(diǎn)為

ab

(c,0),

則拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為x=-c

將X=-C代入/=1,得解得y=±匕，所以|/8|=他一，

又因?yàn)殡p曲線的漸近線為y=±t*所以|CD|=華，

所以他￡=2回2,貝|jc=，5b

aa

所以a2=c2—2=%

所以雙曲線的離心率為e=^=V2

故答案為：A

【分析】根據(jù)雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì)，結(jié)合離心率的定義求解即可.

9.【答案】A

【解析】【解答】解：入2-2年+1〃+22+5=0最多有2個(gè)根，

?\COS(2TTX?2兀a尸0至少有4個(gè)根，

由2加％—=￡+kn,k6Z,得％=4+J+Q,kEZ

由0VA+J+aVQ得一2a_i<fc<—i

Z4LL

⑴當(dāng)x<a時(shí)，當(dāng)一5工一20—5〈一4時(shí)，f(x)有4個(gè)零點(diǎn)，即彳<。<去

當(dāng)一6￡—2。一*〈一5時(shí)，f(x)有5個(gè)零點(diǎn)，即?<a<￥；

當(dāng)一7W—2a-/<-6時(shí).，f(x)有6個(gè)零點(diǎn)，即導(dǎo)<a<竽；

(2)當(dāng)xNa時(shí),f(x)=x2-2(a+1)x+a2+5

A=4(a+1)2-4(a2+5)=8(a-2)

當(dāng)a<2時(shí),A<0,f(x)無零點(diǎn)；

當(dāng)a=2時(shí)，A=0,f(x)有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a>2時(shí)，令f(a)=a2-2(a+l)a+a2+5=-2a+5X),則2<as|，此時(shí)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)；

所以若a>制寸，f(x)有1個(gè)零點(diǎn);

綜上，要是f(x)在[(),+8)上有6個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)滿足

799n

<a<-<a<_

-4-411<a<13

4~或444

5-

2<a<-a2她>a<2

2=

則a的取值范圍是(2,1]U(1,由

【分析】由x2-2(a+l)x+a2+5=0最多有2個(gè)根，可得cos(2兀x-2兀a尸0至少有4個(gè)根，再結(jié)合分類討論思

想，根據(jù)x<a與x>a分類討論兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，再綜合考慮求解即可.

10.【答案】4-i

【解析】【解答】解：由題意得舞=(需?匕;)=約旦=4T

故答案為：4-i

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.

11.【答案】160

【解析】【解答】解：(2%3+1)6的展開式的通項(xiàng)公式是Tr+1=C式2/)6-『=26f.-8-針

令18-4r=6,得m3

所以K的系數(shù)是23霏=160

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式求解即可.

12.【答案】V3

【解析】【解答】解：設(shè)直線AB的方程為y=gx+b,則點(diǎn)A(0,b)

?.?直線AB與圓x2+(y-l)2=1相切

.?.與且=1，解得b=-l或b=3

所以|AC|=2

又：|BC|=1

\AB\=y/\AC\2-\BC\2=V3

故答案為：V3

【分析】根據(jù)直線的斜截式方程，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

13.【答案】2^2

【解析】【解答】解：?*>(),b>0

?弓+/+力？+b=介b2=2在

當(dāng)且僅當(dāng):=/且崟=6,即a=b=四時(shí)等號(hào)成立

所以l+的最小值是22.

【分析1利用基本不等式求解即可.

14.【答案】I；20

【解析】【解答】解：由題意知在一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為,xg=|,

23

則在3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為喘x（|）x|+（|）'=翁

故答案為：|,弱

【分析】根據(jù)甲猜對(duì)乙沒猜對(duì)可求出一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率，再根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率求法

求解即可.

15.【答案】1；/

【解析】【解答】解：設(shè)BE=x,xe（0,j）

VAABC為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，DEJ_AB

.?.ZBDE=30°,BD=2x,DE=V3x,DC=l-2x

,.,DF//AB

；.△DFC為邊長(zhǎng)為l-2x的等邊三角形，DELDF

222

(2BE+而)=4BE+4BE-DF+DF=4x2+4x(1-2x)-cos0°+(1-2x)2=1

：.^2BE+DF=1

2

9^(DE+DF]-DA=(DE+DF]-(DE+￡71)=Z5E+DF-EA

211

(V3%)+(1—2%)x(1—x)=5x2—3%4-1=5+

20

則當(dāng)％=喘時(shí)，（法+而卜蘇1取得最小值為分

故答案為：1,,

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積及向量的求模公式，再結(jié)合二次函數(shù)的最值問題求解即可.

16.【答案】（1）因?yàn)閟inA：sinB：sinC=2：1：V2,由正弦定理可得a：b：c=2：1：V2，

vb—y[2,Aa—c=2;

口2+匕2_/284-2-43

（2）由余弦定理可得cosC=

2ab2x272x72-4

(3)vcosC=7,:.sinC=V1-cos2C=4,

**q

二sin2C=2sinCcosC=2x，x搟=>cos2c=2cos2c—l=2x^—1=^，

448loa

所以sin（2C—看）=sin2Ccos看一cos2csi吟=x_1x1=.

【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理直接求解即可；

（2）根據(jù)余弦定理直接求解即可；

（3）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式以及兩角差的正弦公式求解即可.

17.【答案】（1）以4為原點(diǎn)，AB,AD,A4分別為x,y,z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),公(0,0,2),8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0)，Q(2,2,2),

。1(0,2,2)

因?yàn)镋為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)，所以E（2,1,0）,尸（1,2,0）,

所以印=(1,0,-2).&C；=(2,2,0),布=(2,L-2)

設(shè)平面AyEC-i的一個(gè)法向量為m=（%1,yx，z1），

m-A1Ci=2xi+2yl=0

則令=2則m=[2,-2,1),

m-AXE=2%i+-2zi=0

因?yàn)槿fF?訪=2-2=0，所以，

因?yàn)镈iFC平面A1EC1,所以D[F”平面A1EC1；

(2)由(1)得，宿=(2,2,2),

設(shè)直線ACr與平面&Eg所成角為6,

則sin。=|cos（m,禧）|=|-^=:|=j宣=等；

|m|-|24c1|3x2/3?

（3）由正方體的特征可得，平面AArCi的一個(gè)法向量為麗=（2,-2,0）,

麗沅_8_2/2.

則cos(DB,m)=

\DB\-\m\~3x2>/2~~

所以二面角A—AIC-^—E的正弦值為Jl-COS2（DB'，）'

【解析】【分析】（1）根據(jù)向量垂直的充要條件求得平面4EQ的一個(gè)法向量荒，再利用向量法直接求

證即可;

（2）先求出AC/再由sin。=}os<m,AC]>|求解即可;

TT

（3）先求出平面A&G的一個(gè)法向量而，再由cos<蔡,而>=苛空-結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)

\m\-\DB\

系求解即可.

18.【答案】(1)易知點(diǎn)F(c,0)、8(0,b),故\BF\=Vc2+b2=a=遙，

因?yàn)闄E圓的離心率為e=￡=攣，故c=2,b=Va2-c2=1.

a5

因此，橢圓的方程為（+儼=1；

2

（2）設(shè)點(diǎn)MQo，y0）為橢圓+y=1上一點(diǎn)，

先證明直線MN的方程為誓+y0y=1,

—c-+yoy=1

2

聯(lián)立2，消去y并整理得X-2XQX4-%0=0,4=4%o-4XQ=0

號(hào)X+儼2=d1

因此，橢圓<+y2=i在點(diǎn)M(Xo,y0)處的切線方程為等+y0y=l.

在直線MN的方程中，令％=0,可得y=/由題意可知y0>0,即點(diǎn)N（0,

直線BF的斜率為/cBF=-^=-l,所以，直線PN的方程為y=2x+^-,

DrC￡,Z0

在直線PN的方程中，令y=0,可得％=一1笳，即點(diǎn)「（一航1，0），

y2y31

即而鏟n=2和%+]=-整理可得(%o+5yo)2=°,

因?yàn)镸P//BF,則kMP=kBF

所以，的=-5幾，因?yàn)橛?%=6%=1，二丁。>0，故兀=絡(luò)，4=一等，

所以，直線I的方程為—電工+電y=i,即x-y+V6=0.

66J

【解析】【分析】（1）先求出a值，結(jié)合a,b,c的關(guān)系求得b,從而求得橢圓的方程；

0

（2）設(shè)M（xo,yo）,可得直線1的方程5求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)MP//BF得KMP=KBF,

求得xo,yo的值，即可得出直線1的方程

19.【答案】（1）因?yàn)椋鸻n｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64.

所以Qi+---FQ8=8%+^―x2=64，所以=1,

所以=%+2（幾-1）=2幾一1,nEN*;

設(shè)等比數(shù)列｛,｝的公比為q,（q>0）,

22

所以b3—b2=&iQ—bxq=4(q—Q)=48,解得q=4(負(fù)值舍去),

所以勾=biqnT=4",nWN*;

（2）（i）由題意，cn=+今=42,+京,

所以碌—C2n=（42n+式）—（4.+擊）=24，

所以非一C2n工0，且廠3+2==4，

c

n-c2n2-4

所以數(shù)列｛非—C2n｝是等比數(shù)列;

即4+1_(2九一1)(2n+1)_4九2-14九2

（ii）由題意知,2n2n

Cn-c2n24"2-22-2

2

\anan+\|4n_2n__1___n

所以Jc2c2n^2-22nV2-2n422n-1

AT_\_1,2,3,,n

則亂=/+,+亳+…+袋，

兩式相減得見=1+抖志+…+/-%=上等f=2-字，

所以^=4—器，

n

n

所以Z霽*戶=*-序會(huì)?

【解析】【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求解即可；

(2)(i)運(yùn)算可得以-C2n=2?43結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；

(ii)利用放縮法得翳"<然，進(jìn)而可得孤1歲廿<青憶1￡，結(jié)合錯(cuò)位相減法即

C

n-C2n2-24q-C2k"2

可得證.

20.【答案】(1)/(%)=a—(x+l)ex,則f(0)=a—1，

又/(0)=0，則切線方程為y=(a—l)x,(a>0);

xx

(2)令/(%)=a_(x+l)e=0，貝Ua=(x+l)e

令g(x)=(%4-l)ex，則g(x)=(%+2)ex，

當(dāng)xe(-co,-2)時(shí)，g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)(-2,+8)時(shí)，g(x)>0,g(x)

單調(diào)遞增,

當(dāng)x-oo時(shí)，g(x)V0,,g(-l)=0,當(dāng)％t+8時(shí)，，g(x)>0,畫出g(x)大致圖像如下:

所以當(dāng)Q>0時(shí)，、=。與)/=g(x)僅有一個(gè)交點(diǎn)，令g(m)=a,則血>一1,且f(m)=a—

g⑺=0,

當(dāng)%e(-oo,m)時(shí)，a>g(x),則/(%)>0，/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)%G(m,+oo)時(shí)，a<g(x),則/(%)<0，/(%)單調(diào)遞減，

x=m為/(%)的極大值點(diǎn)，故/(%)存在唯一的極值點(diǎn)；

m

(3)由(II)知/(X)max—/()，此時(shí)m>—1,

所以{/(無)-a}max=f(jn)—a=(m2-m-l)em,(m>-1),

令/i(x)=(x2—x—l)ex,(x>—1)，

若存在a,使得/(x)<a+b對(duì)任意xER成立，等價(jià)于存在xe(-1,+oo),使得h(x)Wb,即

bNh(%)min，

h(x)=(%2+x—2)ez=(x—1)(%+2)ez>x>—1,

當(dāng)xe(-1,1)時(shí)，/t(x)<0，h(%)單調(diào)遞減，當(dāng)xc(l,+8)時(shí)，h(x)>0，/i(x)單調(diào)遞

增，

所以/i(x)min=h(l)=-e,b>—e,

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍［-e,+oo).

【解析】【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；

(2)令f(x)=O,可得a=(x+l)ex,則可化為證明y=a與y=g(x)僅有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究y=g(x)的變

化情況，數(shù)形結(jié)合求解即可；

(3)令h(x)=(x2-x-l)ex,(x>-l),則將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為存在xe(-l,+8),使得h(x)Wb,BPb>h(x)min,利

用導(dǎo)數(shù)求出h(x)的最小值即可.

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：150分

客觀題（占比）50.0(33.3%)

分值分布

主觀題（占比）100.0(66.7%)

客觀題（占比）10(50.0%)

題量分布

主觀題（占比）10(50.0%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

選擇題，在每小題給

出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

9(45.0%)45.0(30.0%)

有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

解答題，本大題共5

小題，共75分，解

答應(yīng)寫出文字說明，5(25.0%)75.0(50.0%)

證明過程成演算步

驟.

填空題，本大題共6

小題，每小題5分，

共30分，試題中包

6(30.0%)30.0(20.0%)

含兩個(gè)空的，答對(duì)1

個(gè)的給3分，全部答

對(duì)的給5分.

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號(hào)難易度占比

1普通(20.0%)

2容易(55.0%)

3困難(25.0%)

4、試卷知識(shí)點(diǎn)分析

序號(hào)知識(shí)點(diǎn)（認(rèn)知水平）分值（占比）對(duì)應(yīng)題號(hào)

1頻率分布直方圖5.0(3.3%)4

2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和15.0(10.0%)19

3二項(xiàng)式定理的應(yīng)用5.0(3.3%)11

4奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性5.0(3.3%)3

5復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算5.0(3.3%)10

6直線與圓的位置關(guān)系5.0(3.3%)12

7等比數(shù)列的通項(xiàng)公式15.0(10.0%)19

8直線與圓錐曲線的綜合問題15.0(10.0%)18

9等差數(shù)列的通項(xiàng)公式15.0(10.0%)19

旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)

105.0(3.3%)6

構(gòu)特征

11函數(shù)零點(diǎn)存在定理5.0(3.3%)9

12兩角和與差的正弦公式14.0(9.3%)16

13相互獨(dú)立事件的概率乘法公式5.0(3.3%)14

14雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)5.0(3.3%)8

15數(shù)列的求和15.0(10.0%)19

16正弦定理14.0(9.3%)16

17導(dǎo)數(shù)的幾何意義16.0(10.7%)20

18向量的模5.0(3.3%)15

19指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化5.0(3.3%)7

20基本不等式5.0(3.3%)13

21同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用14.0(9.3%)16

22余弦定理14.0(9.3%)16

23直線與圓錐曲線的關(guān)系15.0(10.0%)