2023-2024學(xué)年小升初奧數(shù)增強多位數(shù)計算

多位數(shù)計算

即皿4啜醇目褐

多位數(shù)的運算在奧數(shù)計算體系里面一般都扮演難題角色，因為多位數(shù)計算不僅能體現(xiàn)普通數(shù)字四則運

算的一切考法，還有自身的“獨門秘籍”，那就是“數(shù)字多的數(shù)不出來”，只能依靠觀察數(shù)字結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)

律的方式掌握多位數(shù)的整體結(jié)構(gòu)，然后再確定方法進行解題。

多位數(shù)的主要考查方式有

1.用帶省略號的描述方式進行多位數(shù)的具體值四則計算

2.計算多位數(shù)的各個位數(shù)字之和

劭曲E球跟.

一、多位數(shù)運算求精確值的常見方法

1.利用9999=10"-1,進行變形

k^9

2.“以退為進”法找規(guī)律遞推求解

二'多位數(shù)運算求數(shù)字之和的常見方法

MX999...9的數(shù)字和為9x"(其中M為自然數(shù)，且MW999...9).可以利用上面性質(zhì)較快的獲得結(jié)果.

k個9k個9

削蝴4初題豳

模塊一,多位數(shù)求精確值運算

【例1】計算：55…5x33…3

2007個5200,個3

【考點】多位數(shù)計算之求精確值【難度】3星【題型】計算

【解析】這道題目，你會發(fā)現(xiàn)無規(guī)律可循.這時我們就要從找規(guī)律這個思想里走出來，將33…3乘以3湊出

2007個3

一個99…9,然后在原式乘以3的基礎(chǔ)上除以3,所以

2007個3

原式=55…gx99…”3=55..Jx(100---0-l)-3=(55…500…勺-55…5)+3

2007個52007個92007個52007個02007個52007個02007個5

=,53544—45+3=185.-?1851848148???14815

2006個52007個4668個185668個148

【答案】185■??1851848148?-?14815

668個185668個148

【鞏固】計算：88…8x33…3

2007個82007個3

【考點】多位數(shù)計算之求精確值【難度】3星【題型】計算

【解析】這道題目，你會發(fā)現(xiàn)無規(guī)律可循.這時我們就要從找規(guī)律這個思想里走出來，將豈乘以3湊出

2007個3

一個99…9,然后在原式乘以3的基礎(chǔ)上除以3,所以

2007個9

原式=88…8x99…9+3=88…8x(100…0-1)+3=(88…800-0-88-8)+3

2007個82007個92007個82007個02007個82007個02007個8

二88二8711…12+3=296=2962957037;;03704

2006個82006個1668個296668個037

【答案】296--2962957037---03704

668個296668個037

【鞏固】計算3333x59049

2004個3

【考點】多位數(shù)計算之求精確值【難度】3星【題型】計算

【解析】我們可以把豈3/轉(zhuǎn)化為9999a3,進而可以進行下一步變形，具體為：

2004個32004個9

原式=史33x59049=9999+3x59049=9999x19683

2004個32004個92004個9

=(10000-l)x19683=1968300...0-19683=1968299...9980317

2004個02004個01999個9

【答案】1968299...9980317

199s個9

【鞏固】計算6666x9x邑3避的乘積是多少？

2004個62008個3

【考點】多位數(shù)計算之求精確值【難度】3星【題型】計算

【解析】我們可以將原題的多位數(shù)進行9999=10"-1的變形：

原式二3333x2x3x3x3333=3333x2x3x9999

2004個32008個32004個32008個9

=199998x(10000-1)=199998x10000-199998

2003個92008個02003個92008個02003個9

=199997999800002.

200」個92003個0

【答案】199997999800002

2003個92003個0

【鞏固】快來自己動手算算(11…的結(jié)果看誰算得準？

2007個1200,個92003個9200沁7

【考點】多位數(shù)計算之求精確值【難度】3星【題型】計算

【解析】本題是提取公因數(shù)和湊整的綜合。

原式=[99…9x(11…1+77…7)]+3=99…9x88Y+3=(100-0-1)義88.二§一3

2007個92007個12007個72007個92007個82007個。2007個8

二(邵…800…0—88??-8)?3=88…8711…12+3=296???2962957037???03704

2007個82007個02007個82006個82006個1668個296668個037

【答案】296…2962957037…03704

66恭296668^037

【鞏固】計算99??契x88…8+66…6

2008個92008個82008個6

【考點】多位數(shù)計算之求精確值【難度】3星【題型】計算

【解析】本題著重是給大家一種湊的思想，除數(shù)是66…6,所以需要我們的被除數(shù)也能湊出66…6

2008個62008個6

這就需要我們根據(jù)乘法的性質(zhì)來計算了。所以：

原式=3x33???3x4x22???2?66,?,6=3x4xll,,,lx66???6?66,?,6

2008個32008個22008個62008個12008個62008個6

=3x44…4=13332

2007個3

【答案】13332

2007個3

【例2】請你計算999x999+1999結(jié)果的末尾有多少個連續(xù)的零？

2008個92008個92008個9

【考點】多位數(shù)計算之求精確值【難度】3星【題型】計算

【解析】同學(xué)們觀察會發(fā)現(xiàn)，兩個乘數(shù)都非常大，不便直接相乘，可以引導(dǎo)學(xué)生按照兩種思路給學(xué)生展開

方法一：是學(xué)生喜歡的從簡單情況找規(guī)律

9x9=81;99x99=9801;999x999=998001;9999x9999=99980001;.......

所以：999x999=99980001

2008個92008個92007個92007個0

原式=99980001+1999=1000

20(^個92007個02008個94016個0

方法二：觀察一下你會發(fā)現(xiàn)，兩個乘數(shù)都非常大，不便直接相乘，其中999很接近1000,

于是我們采用添項湊整，簡化運算。

原式=(100o-l)x999+1000+999=99?■-900--0-99-■-9+100-■-0+99?--9

2008個02008個92008個02008個92008個92008個02008個92008個02008個9

=99--900.0+100--0=100-0

2008個920084-02008個04016個0

所以末尾有4016個0

【答案】4016個0

【例3】計算2222x2222的積

1998個21998個2

【考點】多位數(shù)計算之求精確值【難度】3星【題型】計算

【解析】我們先還是同上例來湊成9999;

k個9

C/、?(、

22

2222x2222=-x9999x2222=—義10000-1x2222

oQ

1998個21998個2/\1998個971998個2/\1998個071998個2

=-x10000-1X4444=-x44440000-4444

g

J\1998個071998個49\1998^4'^998^01998^4

=—義4444355556、

Q

/1997個41997個5

我們知道4444能被9整除，商為：049382716.又知1997個4,9個數(shù)一組，共221組，還剩

9個4

下8個4,則這樣數(shù)字和為8x4=32,加上后面的3,則數(shù)字和為35,于是再加上2個5,數(shù)字和為

45,可以被9整除.4444355能被9整除，商為04938271595;我們知道5555能被9整除，

8個49個5

商為：061728395;這樣9個數(shù)一組，共221組，剩下的1995個5還剩下6個5,而6個5和1

個、6,數(shù)字和36,可以被9整除.55556能被9整除，商為0617284.于是，最終的商為：

6個5

49382716049382716049382716049382715950617283950617283950617284

220個049382716221個061728395

【答案］49382716049382716049382716049382715950617283950617283950617284

220個049382716221個061728395

【例4】計算：12345679012345679012345679x81

99個01^345679

【考點】多位數(shù)計算之求精確值【難度】3星【題型】計算

【解析】原式=12345679x1000000001000000001x81

99個ooboooooi

=999999999x1000000001000000001

99個000000001

=999999999999999999

100個999999999

【答案】999999999999999999

100個99^999999

【鞏固】12345679012345679x81

【考點】多位數(shù)計算之求精確值【難度】3星【題型】計算

【關(guān)鍵詞】2024,武漢，明心奧數(shù)

【解析】原式=(12345679x1000000000+12345679)x81

=12345679x1000000001x81

=999999999x1000000001

=999

18個9

【答案】999

18個9

[例5]求3+33+333+...+33...3的末三位數(shù)字.

2007個3

【考點】多位數(shù)計算之求精確值【難度】3星【題型】計算

【解析】原式的末三位和每個數(shù)字的末三位有關(guān)系，有2007個3,2006個30,2005個300,

貝42007x3+2006x30+2005x300=6021+60180+601500=667701,原式末三位數(shù)字為701

【答案】701

模塊二、多位數(shù)求數(shù)字之和

【例6】求3333333x6666666乘積的各位數(shù)字之和.

【考點】多位數(shù)計算之求數(shù)字和【難度】3星【題型】計算

【解析】方法一：本題可用找規(guī)律方法：

3x6=18;33x66=2178;333x666=221778;3333x6666=22217778;.......

所以：33....3x66....6=22...2177...78,則原式數(shù)字之和2x6+1+7x6+8=63

n個3n個6(n-1)個2(n-1)個7

原式=9999999x2222222

=(10000000-l)x2222222

=22222220000000-2222222

=22222217777778

所以，各位數(shù)字之和為7x9=63

【答案】63

【鞏固】求111111x999999乘積的各位數(shù)字之和。

【考點】多位數(shù)計算之求數(shù)字和【難度】3星【題型】計算

【解析】觀察可以發(fā)現(xiàn)，兩個乘數(shù)都非常大，不便直接相乘，其中999999很接近1000000,于是我們采用

添項湊整，簡化運算。

原式=111111x(1000000-1)

=111111x1000000-111111x1

=111111000000-111111

=111110888889

數(shù)字之和為9x6=54

【答案】54

【例7】如果4=3+33+333++333,那么A的各位數(shù)字之和等于。

2010個3

【考點】多位數(shù)計算之求數(shù)字和【難度】3星【題型】計算

【關(guān)鍵詞】2024,學(xué)而思杯，5年級

【解析】104=30+330+3330++3330,所以

2010個3

9A=3330-3-3--3=33327300,A=33327300-9=370370370369700,數(shù)字和為

2010個32010次2006個32006個36684^370

668x10+25=6705.

【答案】6705

【例8】若a=151515x3333,則整數(shù)“的所有數(shù)位上的數(shù)字和等于().

1004個152008個3

(A)18063(B)18072(C)18079(D)18054

【考點】多位數(shù)計算之求數(shù)字和【難度】3星【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】2024,第十三屆，華杯賽

【解析】a=1515￡x3332=5050505x9999=5050505xQ00000-1)

10044-152008個31004個5和1003個02008個91004個5和1003個02008個0

=5050505000000-5050505=50505050494949-495

1004個502007個。1004個5加1003個。100訃501004個49

所以整數(shù)a的所有數(shù)位上的數(shù)字和=1003x5+1004x(4+9)+5=18072.

【答案】(3)18072

【鞏固】計算6666x66667x25的乘積數(shù)字和是多少？

2004個62003個6

【考點】多位數(shù)計算之求數(shù)字和【難度】4星【題型】計算

【解析】我們還是利用9999=10000-1,來簡便計算，但是不同于上式的是不易得出湊成9999,

k個9k個0k個9

于是我們就創(chuàng)造條件使用：

6666x66667x25

2004個62003個6

=[2x9999x(-x9999+l)]x25=[-x(10000-1)]x[-x(10000)+I]x25

32004個9-32004^932004-^032004^0

1195

=_x-x[2xl0000-2]x[2x(10000)+I]x25=—x[4x10000-2x10000-2]

Q

aJJa2004個02004個0y4008個02004個0

=122x9999-—x9999=100x1111-50x1111

94008^9920044^4008^1-2004^7

=111100-55550=lll^J0555^0

4008個12004個52004個12004個5

所以原式的乘積為111055550,那么原式乘積的數(shù)字和為1x2004+5x2004=12024.

2004個12004個5

【答案】12024

【例9]試求1993x123x999999乘積的數(shù)字和為多少？

【考點】多位數(shù)計算之求數(shù)字和【難度】3星【題型】計算

【解析】我們可以先求出1993x123的乘積，再計算與(1000000—1)的乘積，但是1993x123還是有點繁瑣.

設(shè)1993xl23=M,則(1000xl23=)123000<M<(2000xl23=)246000,所以M為6位數(shù)，并且末位不

是0;令M=abcdef

貝”A/X999999=Mx(1000000-1)=1000000M-M

=abcdef000000-abcdef

=abcdef(/-1)999999+1—abcdef

="c時(7-l)(9-a)(9-b)(9-c)(9-d)(9-e)(9-7)+l

=aWef(/-l)(9-a)(9-Zj)(9-c)(9-iZ)(9-e)(9-/+l)

那么這個數(shù)的數(shù)字和為：a+b+c+d+e+(f-1)+(9-a)+(9-b)+(9-c)+(9-0+(9—e)+(9—

y+l)=9x6=54,所以原式的計算結(jié)果的數(shù)字和為54.

【答案】54

【鞏固】下面是兩個1989位整數(shù)相乘：1H...11X111.J1O那么乘積的各位數(shù)字之和是多少？

1989個11989個1

【考點】多位數(shù)計算之求數(shù)字和【難度】4星【題型】計算

【解析】解法一：

在算式中乘以9,再除以9,則結(jié)果不變.因為HL.11能被9整除，所以將一個HL.n乘以9,

1989個11989個1

另一個除以9,使原算式變成：

999……99x123456790……012345679=(1000……00-l)x123456790……012345679

1989個9共1988位數(shù)198^個0共1988位數(shù)

=123456790……012345679000……00-123456790……012345679

共1988位數(shù)1986個0共1988位數(shù)

=123456790......012345679123456789876543209……987654320987654321

共1988位數(shù)共19正位數(shù)一

得到的結(jié)果中有1980-9=220個“123456790”和“987654320”及一個“12345678”和一個

“987654321”，所以各位數(shù)之和為：

(1+2+3+4+5+6+7+9)x220+(9+8+7+6+5+4+3+2)x220

+(1+2+3+4+5+6+7+8)+9+8+7+6+5+4+3+2+1)=17901

解法二：

111...11X111...11=999...99x111...llx-=999...99x?/,其中N<999...99

Q————

1989個11989個11989個91989個1/1989個91989個9

所以111…11.11的各個位數(shù)字之和為：9x1989=17901

1989個11989個1

【答案】17901

【鞏固】試求9x99x9999x...x9999x9999x9999乘積的數(shù)字和為多少？

256個9512個91024個9

【考點】多位數(shù)計算之求數(shù)字和【難度】4星【題型】計算

【解析】設(shè)9x99x9999x...x9999x9999=M

256個9512個9

則原式表示為Mx2999o

1024個9

注意到9X99X9999X99999999X...X9999X9999=M,

256個9512個9

則M<10xl00xl00013xl00000000x...xi0000x10000=10000

2564~0512個0k個0

其中+2+4+8+16+...+512=1024-/=1023

即M<10000,即M最多為1023位數(shù)，所以滿足的使用條件，那么M與喳？乘積的數(shù)字和

1023個01024個9

為1024x9=10240—1024=9216.原式的乘積數(shù)字和為9216.

【答案】9216

【例10】計算：789789x29999結(jié)果的各位數(shù)字之和是

670不7892009個9

【考點】多位數(shù)計算之求數(shù)字和【難度】3星【題型】計算

【解析】原式二789789x30000-1

670個789V2009個07

=23693693670000-789789

66949362009個0670個789

=236936935910210211

669-^693669個102

各位數(shù)字之和是2+3+669x18+5+9+669x3+1+1=670x21=14070

【答案】14070

模塊三,多位數(shù)運算中的公因式

【例11](1)200820082008x200920092009-200920092009x200820082008

2008個20082009個20092008個20092009個2008

(2)200920092009^-41004100410041

2009個20092008個4100

【考點】多位數(shù)計算之提取公因式【難度】3星【題型】計算

【解析】⑴原式

=2008x1000100010001x2009x1000100010001-2009x1000100010001x2008x1000100010001

2007個00012008個00012007個00012008個0001

=0

(2)原式=(2009x1000100010001)4-(410041004100-100)

2008個00012009個4100

=(2009x1000100010001)4-(41x1000100010001)

2008個00012008個0001

=2009+41

=49

【答案】⑴0⑵49

【鞏固】計算(1)200920092009x20082008-200820082008x20092009

(2)200720072007-22302230223

【考點】多位數(shù)計算之提取公因式【難度】3星【題型】計算

【解析】(1)2^A=2009x10001000x2008x10001-2008x100010001x2009x10001-0

(2)A=(2007x100010001)-(223x100010001)=2007+223=9

【答案】(1)0(2)9

【鞏固】計算：333x332332333-332x333333332

【考點】多位數(shù)計算之提取公因式【難度】3星【題型】計算

【關(guān)鍵詞】2024,我愛數(shù)學(xué)夏令營

【解析】原式=333x(332332332+1)-332x(333333333-1)

=333x(332x1001001+1)-332x(333x1001001-1)

=333+332

=665

【答案】665

【鞏固】計算：512x511511511512-511x512512512511

2008個5112008個512

【考點】多位數(shù)計算之提取公因式【難度】3星【題型】計算

【解析】原式=512x(511511511+1)-511x(512512512-1)

2009個5112009個512

=512x511x1001001001+512-511x512x1001001001+511