階段性檢測3.2（中）（范圍：集合至立體幾何）（解析版）

階段性檢測3.2（中）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)含絕對值不等式和分式不等式的解法求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得出答案.【詳解】因為或，或，所以.故選：D.2．已知，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．【詳解】因為，所以，即．故選：A．3．設(shè)為單位向量，在方向上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因為在方向上的投影向量為，所以，所以有，故選：D4．將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則下列正確的是（

）A．直線是圖像的一條對稱軸 B．的最小正周期為C．的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡，再平移圖像得到的解析式，然后利用對稱軸，周期，對稱中心和單調(diào)性即可逐個選項判斷.【詳解】由，則圖像向右平移個單位長度可得，，因為，所以不是圖像的一條對稱軸，A錯；由，得的最小正周期為，B錯；由，所以點(diǎn)是圖像的一個對稱中心，C正確；由，則，所以在上有增有減，D錯.故選：C5．有一種鉆頭，由兩段組成，前段是高為3cm?底面邊長為2cm的正六棱錐，后段是高為1cm的圓柱，圓柱的底面圓與正六棱錐底面的正六邊形內(nèi)切，則此鉆頭的體積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)棱錐和圓柱的體積公式即可得到答案.【詳解】由題意，鉆頭的前段正六棱錐的體積，因為圓柱的底面圓與正六棱錐底面的正六邊形內(nèi)切，作出以下圖形，所以圓柱的底面圓的半徑，所以圓柱的體積，所以此鉆頭的體積為.故選：B.

6．記數(shù)列的前項和為，滿足，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知得，利用累乘法求出，從而可求得，代入中化簡，再利用對勾函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由，得，因為，所以，所以，所以，因為，所以由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，取得最小值.故選：C7．若可導(dǎo)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，，又導(dǎo)函數(shù)得到在上單調(diào)遞減，結(jié)合是定義在R上的奇函數(shù)得到與0的大小，從而解不等式.【詳解】令，，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，，因為可導(dǎo)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，故，當(dāng)時，所以，解得，又，故不等式的解集為.故選：B8．已知定義在上的偶函數(shù)的圖像是連續(xù)的，，在區(qū)間上是增函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個周期為6 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．的圖像關(guān)于直線對稱 D．在區(qū)間上共有100個零點(diǎn)【答案】C【分析】由條件結(jié)合周期函數(shù)定義可證明為周期函數(shù)，可判斷A；再根據(jù)奇偶性、周期性、單調(diào)性判斷BC；再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的定義判斷D.【詳解】因為，所以令，得，故，又為偶函數(shù)，所以，所以，即，故，所以的一個周期為12，故A錯誤；又在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，由周期性可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯誤；因為為偶函數(shù)，所以圖像關(guān)于y軸對稱，由周期性可知圖像關(guān)于直線對稱，故C正確；因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，又，所以由周期性可知，在區(qū)間上，，而區(qū)間上有168個周期，故在區(qū)間上有336個零點(diǎn)，又，所以在區(qū)間上有337個零點(diǎn)，由于為偶函數(shù)，所以在區(qū)間上有674個零點(diǎn)，故D錯誤；故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．在正方體中，E，F(xiàn)，G分別為BC，，的中點(diǎn)，則（

）

A．直線與直線AF異面B．直線與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面是等腰梯形D．三棱錐A-CEF的體積是正方體體積的【答案】ABC【分析】根據(jù)異面直線定義、面面平行的判定定理以及性質(zhì)定理以及三棱錐的體積求解方法可求得正確選項.【詳解】對于選項A，易知AF與異面，選項A正確；對于選項B，取的中點(diǎn)為M，連接、GM，則，，易證，從而，選項B正確；對于選項C，連接，，易知平面AEF截正方體所得的截面為等腰梯形，選項C正確；對于選項D．設(shè)正方體棱長為a，三棱錐A-CEF的體積，選項D錯誤．故選：ABC．10．記正項等比數(shù)列的前n項和為，則下列數(shù)列為等比數(shù)列的有（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義和前n項公式和逐項分析判斷.【詳解】由題意可得：等比數(shù)列的首項，公比，即，對A：，且，即為等比數(shù)列，A正確；對B：，且，即為等比數(shù)列，B正確；∵，則有：對C：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，C錯誤；對D：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，D錯誤；故選：AB.11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的為（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于對稱C．的最小值為D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BC【分析】化簡函數(shù)為，，結(jié)合大致圖象判斷各選項即可求解.【詳解】函數(shù)，，大致圖象如下：

由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，故A錯誤；函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，故B正確；函數(shù)的最小值為，故C正確；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：BC.12．已知函數(shù)函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．若，則恰有2個零點(diǎn)B．若，則恰有4個零點(diǎn)C．若恰有3個零點(diǎn)，則的取值范圍是D．若恰有2個零點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】ACD【分析】由，解得或.再結(jié)合函數(shù)的圖像判斷各選項.【詳解】令，則，解得或.當(dāng)時，.由，得；由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.，當(dāng)時，取最小值，最小值為，故的大致圖象如圖所示.由圖可知，有且僅有1個實(shí)根.當(dāng)時，恰有1個零點(diǎn)，故A錯誤；當(dāng)時，有3個實(shí)根，則恰有4個零點(diǎn)，故B正確；由恰有3個零點(diǎn)，得恰有2個實(shí)根，則或或，則錯誤；由恰有2個零點(diǎn)，得恰有1個實(shí)根，且，則或或，則D錯誤.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平行四邊形中，已知，，，，則．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)題意化簡求得，再由，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，因為，，可得，，又因為，，可得，，兩式相減得到，可得，又由，所以.故答案為：.

14．如圖，AB為圓柱下底面圓O的直徑，C是下底面圓周上一點(diǎn)，已知，，圓柱的高為5．若點(diǎn)D在圓柱表面上運(yùn)動，且滿足，則點(diǎn)D的軌跡所圍成圖形的面積為．【答案】10【分析】作出過且與垂直的圓柱的截面，它是一個矩形，而由得，所以平面，從而可得點(diǎn)軌跡，求出所圍圖形面積．【詳解】作母線，，連接，因為，所以共面，是圓柱的一個截面，平面，平面，所以，又由已知得，而，平面，所以平面，由得，所以平面，矩形即為點(diǎn)軌跡，，則，又，所以矩形的面積為．故答案為：10.15．已知，，則的值為.【答案】或【分析】對已知等式左右同時取對數(shù)，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算法則化簡可得，由此可求得結(jié)果.【詳解】由得：，由得：，，，或，或.故答案為：或.16．周長為4的，若分別是的對邊，且，則的取值范圍為．【答案】【分析】利用平面向量的數(shù)量積公式結(jié)合余弦定理可得，再根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊結(jié)合基本不等式求出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為周長為4的，分別是的對邊，且，所以，令，∴，∴，解得，又∵，∴，∴故，又在上遞減，∴，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．已知和是公差相等的等差數(shù)列，且公差的首項，記為數(shù)列的前項和，．(1)求和；(2)若的前項和為，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式、前n項和公式列方程求得，進(jìn)而寫出通項公式；（2）應(yīng)用放縮有，由裂項相消法求和即可證結(jié)論.【詳解】（1）由已知得，即，解得，故．（2）由（1）得，則，得證．18．在中，內(nèi)角的對邊分別為，.(1)求；(2)若的面積為，求邊上的中線的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式，結(jié)合正弦定理、余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求出結(jié)果；（2）利用三角形面積公式，及（1）的相關(guān)結(jié)論，再結(jié)合平面向量的四邊形法則，利用向量的線性表示出，最后利用求模公式即可求邊上的中線的長.【詳解】（1）因為，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所以.（2）由，所以，由（1），所以，因為為邊上的中線，所以，所以，所以，所以邊上的中線的長為：.19．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形與均為直角梯形，平面，．(1)已知點(diǎn)G為AF上一點(diǎn)，且，求證：BG與平面DCE不平行；(2)已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為，求AF的長及四棱錐D－ABEF的體積．【答案】(1)證明見解析(2)AF的長為4；．【分析】（1）證明出兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面DCE的法向量，計算出，證明出BG與平面DCE不平行；（2）由BF與平面DCE所成角的正弦值計算出AF的長，從而求出梯形ABEF的面積，計算出四棱錐的體積.【詳解】（1）證明：因為平面ABEF，AB，平面ABEF，所以，，又，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，所以，，，設(shè)平面DCE的法向量為，則，令，則，所以，因為，且不存在使得與垂直，所以BG與平面DCE不平行；（2）設(shè)（且），則，所以，∵直線BF與平面DCE所成角的正弦值為，∴，化簡得，解得或（舍去）；故．此時梯形ABEF的面積，故．20．已知正項數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用和與項的關(guān)系可得，由可得，再利用等差數(shù)列的通項公式即可求解；（2）根據(jù)的周期性，利用分組求和的方法即可求解.【詳解】（1），當(dāng)時，，兩式子作差可得，又，所以，可得數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，當(dāng)時，，所以，數(shù)列的通項公式為.（2），，所以，數(shù)列的前項和.21．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性并求極值.(2)設(shè)函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)），若函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值；(2).【分析】（1）求出，然后可得單調(diào)性和極值；（2），然后求出當(dāng)時的單調(diào)性，要使函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn)，則有，解出，然后證明即可.【詳解】（1）因為在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值.（2）因為，所以，當(dāng)時，，所以當(dāng)或時，在上單調(diào)，至多只有一個零點(diǎn)，不滿足題意，當(dāng)時，由可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以要使函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn)，則有，由可得，下面證明當(dāng)時，令，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為.22．如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.

(1)求證：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值；(3)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，試求的范圍.【答案】(1)證明見解析(2)(3)，.【分析】（1）通過證明結(jié)合平面平面可證明結(jié)論；（2）取中點(diǎn)，連接，，通過說明，可得為二面角的平面角，后由題目條件結(jié)合余弦定理可得答案；（3）當(dāng)點(diǎn)M在F點(diǎn)時，由（2）可知答案；當(dāng)M在點(diǎn)E時，過B作，且使，連接，，則由題目條件可得；當(dāng)與，都不重合時，令，延長交的延長線于，連接，過作交于，連接，通過說明，可得.后綜合三種情況可得答案.【詳解】（1）證明：在梯形中，，，，，，，，平面平面，平面平面，平面，平面.（2）解：取中點(diǎn)，連接，，，，，，，為二面角的平面角.，，，，.

（3）由（2）知：①當(dāng)與重合時，；②