6.1平面向量的概念四大重難點(diǎn)題型原卷版

6.1平面向量的概念考點(diǎn)一向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為0的向量記作0，其方向是任意的單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共線(xiàn)向量)0與任一向量平行或共線(xiàn)相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿幌嗟?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為0【注意】（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度，記作．

考點(diǎn)二向量的線(xiàn)性運(yùn)算運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運(yùn)算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算（1）（2）當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，【注意】（1）向量表達(dá)式中的零向量寫(xiě)成，而不能寫(xiě)成0．（2）兩個(gè)向量共線(xiàn)要區(qū)別與兩條直線(xiàn)共線(xiàn)，兩個(gè)向量共線(xiàn)滿(mǎn)足的條件是：兩個(gè)向量所在直線(xiàn)平行或重合，而在直線(xiàn)中，兩條直線(xiàn)重合與平行是兩種不同的關(guān)系．（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件．（4）向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：，，．考點(diǎn)三經(jīng)典結(jié)論1、共線(xiàn)向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．3、線(xiàn)段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式如圖所示，在中，若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且（），則向量．在向量線(xiàn)性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問(wèn)題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．DDACB4、三點(diǎn)共線(xiàn)定理平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線(xiàn)的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)．此定理在向量問(wèn)題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在，使得．5、中線(xiàn)向量定理如圖所示，在中，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則中線(xiàn)向量，反之亦正確．DDACB【注意】（1）向量的三角形法則適用于任意兩個(gè)向量的加法，并且可以推廣到兩個(gè)以上的非零向量相加，稱(chēng)為多邊形法則．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量．即．（2），當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個(gè)為時(shí)，向量不等式的等號(hào)成立．（3）特別地：或當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個(gè)為時(shí)或者兩向量共線(xiàn)時(shí)，向量不等式的等號(hào)成立．（4）減法公式：，常用于向量式的化簡(jiǎn)．（5）、、三點(diǎn)共線(xiàn)，這是直線(xiàn)的向量式方程．重難點(diǎn)題型一：平面向量的基本概念例1．下列物理量中，不是向量的是（

）A．力 B．位移C．質(zhì)量 D．速度例2．下列說(shuō)法正確的是（

）A．身高是一個(gè)向量B．溫度有零上溫度和零下溫度之分，故溫度是向量C．有向線(xiàn)段由方向和長(zhǎng)度兩個(gè)要素確定D．有向線(xiàn)段和有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度相等例3．對(duì)下列命題：（1）若向量與同向，且，則；（2）若向量，則與的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；（3）對(duì)于任意向量，若與的方向相同，則；（4）由于方向不確定，故不與任意向量平行；（5）向量與平行，則向量與方向相同或相反．其中正確的命題的個(gè)數(shù)為例4．下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則變式訓(xùn)練1．（多選）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．任一向量與它的相反向量不相等C．四邊形是平行四邊形的充要條件D．模為0是一個(gè)向量的方向是任意的充要條件變式訓(xùn)練2．給出下列四個(gè)命題：①方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；②若，滿(mǎn)足且，同向，則；③不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等；④對(duì)于任意向量，，必有.其中正確命題的序號(hào)為.變式訓(xùn)練3．下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（

）（1）溫度?速度?位移?功都是向量（2）零向量沒(méi)有方向（3）向量的模一定是正數(shù)（4）直角坐標(biāo)平面上的x軸?y軸都是向量A．0 B．1 C．2 D．3變式訓(xùn)練4．對(duì)于任意向量、，下列命題中正確的是（

）A．若滿(mǎn)足且與同向，則 B．C． D．重難點(diǎn)題型二：平面向量的線(xiàn)性表示例5．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M滿(mǎn)足，則（

）A． B．1 C． D．例6．在中，點(diǎn)滿(mǎn)足，則（

）A． B．C． D．例7．在中，為邊上的中線(xiàn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．例8．在中，點(diǎn)滿(mǎn)足．則下面描述正確的是為（

）A．B．C．若，則D．若、則的最大值為變式訓(xùn)練6．如圖，在正六邊形ABCDEF中，若AB＝1，則＝．變式訓(xùn)練7．在中，，若點(diǎn)滿(mǎn)足，則（

）A． B．C． D．重難點(diǎn)題型三：平行向量或共線(xiàn)向量例9．如圖，四邊形為正方形，為等腰直角三角形，回答下列問(wèn)題：（1）圖中與共線(xiàn)的向量有；（2）圖中與相等的向量有；（3）圖中與的模相等的向量有.例10．如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點(diǎn)和中心為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與向量相等的向量有個(gè).變式訓(xùn)練8．如圖所示，四邊形，，是全等的菱形，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．＝B．與共線(xiàn)C．與共線(xiàn)D．＝變式訓(xùn)練9．如圖，在中，點(diǎn)D?E?F分別是邊BC?CA?AB的中點(diǎn)，在以A?B?C?D?E?F為端點(diǎn)的向量中，與向量的模相等的向量的個(gè)數(shù)是.變式訓(xùn)練10．如圖，四邊形ABCD與四邊形ABDE都是平行四邊形．試回答下列問(wèn)題：（1）與相等的向量是；（2）若，則．重難點(diǎn)題型四：沖刺滿(mǎn)分，壓軸題訓(xùn)練例11．為所在平面上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足,,則射線(xiàn)過(guò)的A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心例12．設(shè)，，是