5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值第1課時函數(shù)的極值（1）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值（1）—函數(shù)的極值第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2024/3/26

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用高二數(shù)學(xué)備課組引

入單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f′(x).如果f′(x)>0，如果f′(x)<0，如果f′(x)=0，復(fù)習(xí):如果f(x)在(a,b)內(nèi)為增函數(shù)，如果f(x)在(a,b)內(nèi)為減函數(shù)，則f(x)在(a,b)內(nèi)為單調(diào)遞增；則f(x)在(a,b)內(nèi)為單調(diào)遞減；則f(x)在(a,b)內(nèi)為常數(shù)函數(shù)；則f′(x)≥0在(a,b)內(nèi)恒成立；則f′(x)≤0在(a,b)內(nèi)恒成立.探究新知問題1

如果函數(shù)在某些點的導(dǎo)數(shù)為0，那么在這些點處函數(shù)有什么性質(zhì)呢？單調(diào)遞增單調(diào)遞減我們先來研究前面學(xué)習(xí)過的高臺跳水問題.觀察下圖，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t=a時，高臺跳水運動員距水面的高度最大.Otabhh′(a)=0t<a,h′(t)>0t>a,h'(t)<0在t=a附近，函數(shù)值先增后減，即當(dāng)t在a的附近從小到大經(jīng)過a時，h'(t)先正后負(fù)，且h'(t)連續(xù)變化，于是有h'(a)=0.探究新知追問1：如圖，函數(shù)y=f(x)在x=a,b,c,d,e等點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？問題2對于一般的函數(shù)y=f(x)，是否具有同樣的性質(zhì)？函數(shù)f(x)在x=a的函數(shù)值比它附近的函數(shù)值都小.函數(shù)f(x)在x=b的函數(shù)值比它附近的函數(shù)值都大.探究新知追問2：y=f(x)在這些點的導(dǎo)數(shù)值是多少?問題2對于一般的函數(shù)y=f(x)，是否具有同樣的性質(zhì)？f′(a)=0f′(b)=0探究新知追問3：在這些點附近，y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有什么規(guī)律?問題2對于一般的函數(shù)y=f(x)，是否具有同樣的性質(zhì)？在x=a附近左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0在x=b附近左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0探究新知我們把a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點，

f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值；

b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點，

f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值；極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值(extremum).1.極值點與極值的定義：探究新知問題3極大值一定大于極小值嗎？極值反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況，刻畫了函數(shù)的局部性質(zhì).

極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系．一個函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值可能大于另一點的極大值．極小值極大值Oax1x2x3x4bxyy=f(x)探究新知問題4若f′(x0)=0

，則x0是否為極值點?xyOy＝x3解：函數(shù)f(x)=x3，f′(x)=3x2當(dāng)x=0時，f′(0)=0當(dāng)x≠0時，f′(x)>0又因為函數(shù)f(x)=x3是增函數(shù)所以0不是函數(shù)f(x)=x3的極值點.追問：x=0是否為函數(shù)f(x)=x3的極值點?探究新知問題4若f′(x0)=0

，則x0是否為極值點?x0是函數(shù)f(x)的極值點

f′(x0)=0

x0是函數(shù)f(x)的極值點x0左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號

f′(x0)=0

結(jié)論：f′(x0)=0

是可導(dǎo)函數(shù)在x0處取得極值的必要而不充分條件.?探究新知x2,x4是函數(shù)f(x)的極值點,其中x2是極大值點,x4是極小值點.追問：函數(shù)y=f′(x)的極大值點和極小值點分別是什么？x1,x5是函數(shù)y=f′(x)的極大值點,

x3,x6是函數(shù)y=f′(x)的極小值點.問題5函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,試找出函數(shù)f(x)的極值點,并指出哪些是極大值點,哪些是極小值點？探究新知1.極值點與極值的定義：若函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小,且在點x=a附近的左側(cè)f′(x)<0(單減),右側(cè)f′(x)>0(單增),f′(a)=0,我們把a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.如圖(1).

若函數(shù)y=f(x)在點x=b的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大,且在點x=b附近的左側(cè)f′(x)>0(單增),右側(cè)f′(x)<0(單減),f′(b)=0,我們把b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.如圖(2).

(1)b(2)探究新知(3)

極大值與極小值沒有必然關(guān)系，極大值可能比極小值還小.注意：(1)

極值是某一點附近的小區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)，不是整體的最值；(2)

函數(shù)的極值不一定唯一，在整個定義區(qū)間內(nèi)可能有多個極大值和極小值；即f′(x0)=0是函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要條件.(4)

對于可導(dǎo)函數(shù)，若x0是極值點，則f

'(x0)=0;反之，若f

'(x0)=0，則x0不一定是極值點.探究新知Oa

x0bxy

xx0左側(cè)

x0x0右側(cè)f′(x)

f(x)

Oax0bxy

xx0左側(cè)

x0x0右側(cè)f′(x)

f(x)增f′(x)>0f′(x)=0f′(x)<0極大值減f′(x)<0f′(x)=0增減極小值f′(x)>02.判斷f

(x0)是極大值或是極小值的方法：左正右負(fù)為極大，左負(fù)右正為極小左增右減為極大，左減右增為極小例題講解例5解：x(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,＋∞)f′(x)f(x)xyO-22探究新知3.求函數(shù)的極值(點)左正右負(fù)（左增右減），取得極大值；左負(fù)右正（左減右增），取得極小值；課堂練習(xí)解：xf′(x)f(x)課堂練習(xí)解：x(－∞,－3)－3(－3,3)3(3,＋∞)f′(x)f(x)課堂練習(xí)解：x(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,＋∞)f′(x)f(x)課堂練習(xí)解：x(－∞,－1)－1(－1,1)1(1,＋∞)f′(x)f(x)課堂練習(xí)x(0,e)e(e,+∞)f′(x)＋0－f(x)當(dāng)

x

變化時，f′(x)與

f(x)的變化情況如下表：單調(diào)遞增單調(diào)遞減因此，x＝e

是函數(shù)的極大值點，極大值為

f(e)＝

，沒有極小值.令

f′(x)＝0，解得

x＝e.解：函數(shù)

的定義域為(0,+∞)，且.例題講解4.與參數(shù)有關(guān)的極值問題①已知函數(shù)極值求參數(shù)例題講解例題講解已知函數(shù)極值情況，逆向確定函數(shù)的解析式，注意兩點：(1)常根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．方法歸納(2)因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性．例題講解②已知函數(shù)極值點，求參數(shù)范圍例題講解例題講解例題講解例題講解(1)已知函數(shù)極值點的個數(shù)求參數(shù)取值范圍的一般思路：求導(dǎo)后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點問題．方法歸納(2)對于函數(shù)無極值的問題，往往轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0或f′(x)≤0在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，此時需注意不等式中的等號是否成立．例題講解例題講解變式1函數(shù)

在

處有極值10，則a，b的值為()

A.

或

B.

或

C.