備考2024年中考數(shù)學專題突破（全國通用）專題2-7 二次函數(shù)中的最值問題（解析版）

資料整理資料整理資料整理專題2－7二次函數(shù)中的最值問題TOC\o"1-3"\n\h\z\u一題可破萬題山——二次函數(shù)最值常見模型小結(jié)，一題20問題型一【鉛垂高系列】2023·四川涼山·中考真題2022·天津·中考真題2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題2023·湖南婁底·中考真題2023·湖南中考真題2023·青海西寧·中考真題2023·四川廣安·中考真題2023·湖南永州·中考真題2022·四川廣元·中考真題題型二【線段和差最值篇】2023·湖南張家界中考真題2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題2022·四川遂寧中考真題題型三【構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值】2023·山東東營·中考真題2023·四川巴中·中考真題2023·湖南張家界中考真題2023·山東聊城·中考真題2022·湖北襄陽中考真題2023·湖北荊州中考真題2022·江蘇連云港中考真題2022·湖南岳陽·中考真題2023·寧夏·中考真題2023·湖北襄陽中考真題題型四【加權(quán)線段最值】2023·四川內(nèi)江·中考真題2023·黑龍江綏化·中考真題題型五【幾何構(gòu)造最值篇】2022·天津·統(tǒng)考中考真題一題可破萬題山——二次函數(shù)最值常見模型小結(jié)，一題20問母題：如圖，已知拋物線過A（4，0）、B（0，4）、C（－2，0）三點，P是拋物線上一點求拋物線解析式【答案】【鉛垂高系列】本來這個屬于構(gòu)造二次函數(shù)型最值問題，但是比較特殊所以單獨拿出來（☆）若P在直線AB上方，求四邊形PBCA面積最大值，【答案】16補充二級結(jié)論【思路分析】先分離出面積為定值的△ABC，△ABC面積為12設P，(上面的點減去下面的點)當時，PH取最大值2，此時△APB面積為：(AO是△PBH，△PAH兩個三角形高之和)（☆）若P在直線AB上方，作PF⊥AB，F(xiàn)在線段AB上，求PF最大值【答案】【思路分析】過P作PH平行y軸，H在AB上導角可知△PFH~△AOB為等腰直角三角形，PH取最大時，PF也取到最大（★）若P在直線AB上方，作PF⊥AB，交線段AB于F，作PE∥y軸交AB于E，求△PEF周長和面積的最大值【答案】2＋2和1【思路分析】△PEF形狀固定，若P在直線AB上方，連接OP，交AB于D，求的最大值【答案】【思路分析】化斜為直，平行線，構(gòu)造8字相似轉(zhuǎn)換（★☆）若P在直線AB上方，連接CP，交AB于D，△PDA面積為S1，△CDA面積為S2，求的最小值【答案】【思路分析】化斜為自第一步：面積比轉(zhuǎn)換為共線的邊之比第二步：構(gòu)造，共線的邊之比轉(zhuǎn)換成平行邊之比（★☆）點D是點B關(guān)于關(guān)于x軸的對稱點，連接CD，點P是第一象限上一點，求△PCD面積最大值 【答案】12【思路分析】過動點P作y軸平行線交對邊(延長)于點H推導過程如下：以PH為底，設△PHC的高為h1，△PDH的高為【幾何構(gòu)造最值篇】（☆）點E是對稱軸與x軸交點，過E作一條任意直線l，（點B、C分別在直線l的異側(cè)），設C、B兩點到直線l的距離分別為m、n，求m＋n的最大值 【答案】2【思路分析】特殊位置時有最小值，大多數(shù)題目都是共線時有最值，所以要重點去分析共線時的情況（☆）已知線段BC上有兩點E(1，3)，F(xiàn)(3，1)，試在x，y軸上有兩動點M和N，使得四邊形FMNE周長最小?！敬鸢浮俊舅悸贩治觥孔鲀纱螌ΨQ即可，普通將軍飲馬問題，（★）若y軸上有兩點M（0，a）和N（0，a＋2），求△CMN周長的最小值 【答案】【思路分析】造橋選址問題，C點向上平移2個單位，得到平行四邊形，故，接下來就是常規(guī)的將軍飲馬了（★☆）點D為拋物線頂點，直線AD上有一點Q，連接BQ，將△BDQ沿BQ折疊得△BD’Q，求OD’的最小值連接OD’，M是線段OD’的中點，求AM的最小值【答案】①4－；②【思路分析】(1)D’軌跡為圓（2）把A點變?yōu)橹悬c，則AM是中位線，點圓最值問題（★★☆）（隱圓）若在第一象限的拋物線下方有一動點D，滿足DA＝OA，過D作DE⊥x軸于點E，設△ADE的內(nèi)心為I，試求BI的最小值．【答案】【思路分析】易知△ADI≌△AOI(SAS)，∠AID＝∠AIO＝135°，而OA為定線段則點I在以OA為弦，所含的圓周角等于135°的圓弧上，設該圓的圓心為F，連接FO，F(xiàn)A，∠OFA＝90°，故，【構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值】（☆）P在第一象限，作PQ∥x軸交拋物線于Q，過P、Q作x軸垂線交x軸于H、G兩點，求矩形PQGH周長的最大值【答案】【思路分析】設點坐標，用字母表示長和寬設，則，而P和Q點到對稱軸的距離為，則，PQGH的周長為：（★）在線段AC上有一點D，AB上有一點E，且DE∥BC，求△BDE面積的最大值【答案】3【思路分析】易知△ADE∽△ACB，利用相似比得出高之比設AD＝3m，則E點到x軸的距離為2m，△BDE的面積為：（★★☆）P是第一象限上一點，線段PC交BC于點D，交y軸于點E，△ADP和△BDE的面積分別為S1、S2，求S1－S2的最大值【答案】設，則（★★☆）拋物線對稱交拋物線于點D，交x軸于點E，M是線段DE上的動點，N(n，0)為x軸上一點，且BM⊥NM．求n的變化范圍當n取最大值時，將直線BN向上平移t個單位，使線段BN與拋物線有兩個交點，求t的取值范圍．【答案】（1），（2）【思路分析】①由勾股定理構(gòu)造出關(guān)于n的函數(shù)模型，【詳解】①設M坐標為(1，m)∵，整理得：，由可知，②?設平移后：分析：向上平移當N點落在拋物線上時，恰好有2個交點，此時N點坐標為，則繼續(xù)向上平移，當△＝0，此時只有一個交點綜上

【加權(quán)線段最值】（★）若y軸上有一動點M，求AM＋BM的最小值及M點坐標【答案】，M（0，2）【思路分析】胡不歸問題，作垂直代換加權(quán)線段即可作MH⊥BC于H，則，AG即所求【法一：等面積】，再由相似求出M點坐標法二：，再由三角函數(shù)求M點坐標法三：求出AG解析式（★）若動點D從點A出發(fā)先以V1的速度朝x軸負方向運動到G，再以V2的速度向B點運動，且V1＝2V2，當運動時間最短時，求點G的坐標（V1為定值）【答案】【思路分析】還是胡不歸問題，只不過需要翻譯成加權(quán)線段和【簡析】設運動總時間為t，以A為頂點，在x軸下方構(gòu)造一個30°的角，作垂線即可進行代換，，當時取到最小值．

（☆☆）將線段CO繞O點進行旋轉(zhuǎn)，得線段C’O，在旋轉(zhuǎn)過程中，求＋的最小值．【答案】【思路分析】通過構(gòu)造子母型相似代換，阿氏圓模型取點，通過SAS可知，相似比為2，故，＋＝（★☆）點D（3，4），G是x軸上一動點，求GD－AG的最小值【答案】【思路分析】相減型胡不歸，反方向構(gòu)造相關(guān)角如圖，作于E，易知，，當G，D，E三點共線時取到最小值，此時，，題型一【鉛垂高系列】2023·四川涼山·中考真題如圖，已知拋物線與軸交于和兩點，與軸交于點．直線過拋物線的頂點．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若直線與拋物線交于點，與直線交于點，取得最大值時，求的值和的最大值【答案】(1)(2)①當時，有最大值，最大值為；②或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出，進而求出直線的解析式為，則，進一步求出，由此即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于和兩點，∴拋物線對稱軸為直線，在中，當時，，∴拋物線頂點P的坐標為，設拋物線解析式為，∴，∴，∴拋物線解析式為（2）解：∵拋物線解析式為，點C是拋物線與y軸的交點，∴，設直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，∵直線與拋物線交于點，與直線交于點∴，∴，∵，∴當時，有最大值，最大值為；2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線（b，c是常數(shù)）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，，，點P為線段上的動點，過P作//交于點Q．(1)求該拋物線的解析式；(2)求面積的最大值，并求此時P點坐標．【答案】(1)(2)2；P（-1，0）【分析】（1）用待定系數(shù)法將A，B的坐標代入函數(shù)一般式中，即可求出函數(shù)的解析式；（2）分別求出C點坐標，直線AC，BC的解析式，PQ的解析式為：y=-2x+n，進而求出P，Q的坐標以及n的取值范圍，由列出函數(shù)式求解即可．【詳解】（1）解：∵點A（1，0），AB=4，∴點B的坐標為（-3，0），將點A（1，0），B（-3，0）代入函數(shù)解析式中得：，解得：b=2，c=-3，∴拋物線的解析式為；（2）解：由（1）得拋物線的解析式為，頂點式為：，則C點坐標為：（-1，-4），由B（-3，0），C（-1，-4）可求直線BC的解析式為：y=-2x-6，由A（1，0），C（-1，-4）可求直線AC的解析式為：y=2x-2，∵PQ∥BC，設直線PQ的解析式為：y=-2x+n，與x軸交點P，由解得：，∵P在線段AB上，∴，∴n的取值范圍為-6＜n＜2，則∴當n=-2時，即P（-1，0）時，最大，最大值為2．2022·天津·中考真題已知拋物線（a，b，c是常數(shù)，）的頂點為P，與x軸相交于點和點B．(1)若，①求點P的坐標；②直線（m是常數(shù)，）與拋物線相交于點M，與相交于點G，當取得最大值時，求點M，G的坐標【答案】(1)①；②點M的坐標為，點G的坐標為；【分析】（1）①將b、c的值代入解析式，再將A點坐標代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出頂點坐標即可；②先令y=0得到B點坐標，再求出直線BP的解析式，設點M的坐標為，則點G的坐標為，再表示出MG的長，配方求出最值得到M、G的坐標；（2）根據(jù)，解析式經(jīng)過A點，可得到解析式：，再表示出P點坐標，N點坐標，接著作點P關(guān)于y軸的對稱點，作點N關(guān)于x軸的對稱點，再把和的坐標表示出來，由題意可知，當取得最小值，此時，將字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐標；【詳解】（1）①∵拋物線與x軸相交于點，∴．又，得．∴拋物線的解析式為．∵，∴點P的坐標為．②當時，由，解得．∴點B的坐標為．設經(jīng)過B，P兩點的直線的解析式為，有解得∴直線的解析式為．∵直線（m是常數(shù)，）與拋物線相交于點M，與相交于點G，如圖所示：∴點M的坐標為，點G的坐標為．∴．∴當時，有最大值1．此時，點M的坐標為，點G的坐標為．2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題在平面直角坐標系中，直線y＝mx-2m與x軸，y軸分別交于A，B兩點，頂點為D的拋物線y＝-x2+2mx-m2+2與y軸交于點C．(1)如圖，當m＝2時，點P是拋物線CD段上的一個動點．①求A，B，C，D四點的坐標；②當△PAB面積最大時，求點P的坐標；【答案】（1）∵直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，∴A（2，0），B（0，-2m）．∵，∴拋物線的頂點坐標是D（m，2）．令x=0，則，∴．①當m=2時，-2m=-4，則，∴點B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；②由上可知，直線AB的解析式為，拋物線的解析式為，如圖，過點P作軸交直線AB于點E．設點P的橫坐標為t，∴，，∴，∴△PAB的面積=，∵-1＜0，∴當t=1時，△PAB的面積的最大值為3，此時P（1，1）2023·湖南婁底·中考真題如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．

(1)求b，c的值．(2)點是拋物線上的動點,當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值.【答案】(1)，(2)當時，的面積由最大值，最大值為【分析】（1）將將、代入拋物線即可求解；（2）由（1）可知：，得，可求得的解析式為，過點P作軸，交于點E，交軸于點，易得，根據(jù)的面積，可得的面積，即可求解；【詳解】（1）解：將、代入拋物線中，可得：，解得：，即：，；（2）①由（1）可知：，當時，，即，設的解析式為：，將，代入中，可得，解得：，∴的解析式為：，過點P作軸，交于點E，交軸于點，

∵，則，∴點E的橫坐標也為，則縱坐標為，∴，的面積，∵，∴當時，的面積有最大值，最大值為2023·湖南中考真題如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和點，且與直線交于兩點（點在點的右側(cè)），點為直線上的一動點，設點的橫坐標為．

(1)求拋物線的解析式．(2)過點作軸的垂線，與拋物線交于點．若，求面積的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)題意，聯(lián)立拋物線與直線，求得點的橫坐標，表示出的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值，根據(jù)即可求解；【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點和點，∴，解得：，∴拋物線解析式為：；（2）解：∵拋物線與直線交于兩點，（點在點的右側(cè)）聯(lián)立，解得：或，∴，∴，∵點為直線上的一動點，設點的橫坐標為．則，，∴，當時，取得最大值為，∵，∴當取得最大值時，最大，∴，∴面積的最大值2023·青海西寧·中考真題如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸交于點，與y軸交于點，拋物線經(jīng)過點A，B，且對稱軸是直線．

(1)求直線l的解析式；(2)求拋物線的解析式；(3)點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作軸，垂足為C，交直線l于點D，過點P作，垂足為M．求的最大值及此時P點的坐標．【答案】(1)(2)(3)的最大值是，此時的P點坐標是【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意可設拋物線的解析式為，再利用待定系數(shù)法求解即可；（3）由題意易證為等腰直角三角形，即得出．設點P的坐標為，則，從而可求出．再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當時，有最大值是，此時最大，進而即可求解．【詳解】（1）解：設直線l的解析式為，把A，B兩點的坐標代入解析式，得，解得：，∴直線l的解析式為；（2）解：設拋物線的解析式為，∵拋物線的對稱軸為直線，∴．把A，B兩點坐標代入解析式，得，解得：，∴拋物線的解析式為；（3）解：∵

，

∴．∵在中，∴．∵軸，，∴．在中，，，∴，∴．在中，，，∴，∴．設點P的坐標為，則，∴．∵，∴當時，有最大值是，此時最大，∴，當時，，

∴，∴的最大值是，此時的P點坐標是．2023·四川廣安·中考真題如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點，交軸于點，點的坐標為，對稱軸是直線，點是軸上一動點，軸，交直線于點，交拋物線于點．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式．(2)若點在線段上運動（點與點、點不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時點的坐標．【答案】(1)(2)最大值為，此時【分析】（1）先根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式求出，再把代入二次函數(shù)解析式中進行求解即可；（2）先求出，，則，，求出直線的解析式為，設，則，，則；再由得到，故當時，最大，最大值為，此時點P的坐標為；【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，∴，∴，∵二次函數(shù)經(jīng)過點，∴，即，∴，∴二次函數(shù)解析式為；（2）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過點，且對稱軸為直線，∴，∴，∵二次函數(shù)與y軸交于點C，∴，∴；設直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，設，則，，∴；∵，∴，∵，∴當時，最大，最大值為，∴此時點P的坐標為2023·湖南永州·中考真題如圖，拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點，頂點坐標為，點為拋物線上的動點，軸于H，且．

(1)求拋物線的表達式；(2)如圖，直線交于點，求的最大值；【答案】(1),(2),(3)【分析】（1）根據(jù)頂點式坐標公式和待定系數(shù)法分別求出，，值，即可求出拋物線解析式．（2）利用拋物線的解析式可知道點坐標，從而求出直線的解析式，從而設，根據(jù)直線的解析式可推出，從而可以用表達長度，在觀察圖形可知，將其和長度代入，即可將面積比轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的形式，根據(jù)橫坐標取值范圍以及此二次函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求出的最大值．【詳解】（1）解：拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點，頂點坐標為，，，，，，拋物線的解析式為：．故答案為：．（2）解：過點作軸于點，如圖所示，

拋物線的解析式為：，且與軸交于，兩點，，，設直線的解析式為：，則，，直線的解析式為：．在直線上，，在直線上，的解析式為：，，．

，．，．，，當時，有最大值，且最大值為：．故答案為：．2022·四川廣元·中考真題在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點，并與x軸的正半軸交于點C．(1)求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；(2)當a＝時，若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，求△PAB周長的最小值；(3)當a＝1時，若點Q是直線AB下方拋物線上的一個動點，過點Q作QD⊥AB于點D，當QD的值最大時，求此時點Q的坐標及QD的最大值．【答案】(1)2a=b+1，c=-2；(2)△PAB的周長最小值是2+2；(3)此時Q（-1，-2），DQ最大值為．【分析】（1）先求得點A、點B的坐標，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先利用對稱性找出△PAB周長最小時點P的位置，此時AP=CP，△PAB的周長最小值為：PB+PA+AB=BC+AB，根據(jù)勾股定理求出AB、BC的長即可求出△PAB最小值；（3）過點Q作QF⊥x軸交于F點，交直線AB于點E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，設Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，∴點A的坐標為(-2，0)，點B的坐標為(0，-2)，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點，∴，∴2a=b+1，c=-2；（2）解：當a=時，則b=-，∴拋物線的解析式為y=x2-x-2，拋物線的對稱軸為直線x=1，∵點A的坐標為(-2，0)，∴點C的坐標為(4，0)，△PAB的周長為：PB+PA+AB，且AB是定值，∴當PB+PA最小時，△PAB的周長最小，∵點A、C關(guān)于直線x=1對稱，∴連接BC交直線x=1于點P，此時PB+PA值最小，∵AP=CP，∴△PAB的周長最小值為：PB+PA+AB=BC+AB，∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），∴OA=2，OB=2，OC=4，由勾股定理得BC=2，AB=2，∴△PAB的周長最小值是：2+2．（3）解：當a=1時，b=1，∴拋物線的解析式為y=x2+x-2，過點Q作QF⊥x軸交于F點，交直線AB于點E，∵A（-2，0），B（0，-2），∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵QD⊥AB，∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，∴QD=ED=EQ，設Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，∴DQ=QE=-(t2+2t)=-(t+1)2+，當t=-1時，DQ有最大值，此時Q（-1，-2）．已知拋物線與x軸交于A、B兩點，頂點為C，連接，點P在線段下方的拋物線上運動．

(1)如圖1，連接，，若，求點P的坐標．(2)如圖2，過點P作軸交于點Q，交于點H，求周長的最大值．【答案】(1)或；(2)最大值為；【分析】（1）如圖，作軸，交直線于點D，由，得，，待定系數(shù)法確定直線解析式為，設，則，，得，解得或3，于是或．（2）如圖，可證得是等腰直角三角形，，周長，同（1），設，周長，得當時，最大值為．【詳解】（1）解：如圖，作軸，交直線于點D，

由，時，，得，，則，解得或，得,設直線解析式為，則，解得∴設，則，∴，解得，或3，或∴或．（2）解：如圖，，∴∵軸∴∴∴∴周長同（1），設，則，∴周長∴當時，點P在線段下方的拋物線上，此時周長有最大值，最大值為．

題型二【線段和差最值篇】2023·湖南張家界中考真題如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖，求周長的最小值；【答案】(1),(2)【分析】（1）根據(jù)題意設拋物線的表達式為，將代入求解即可；（2）作點O關(guān)于直線的對稱點E，連接，根據(jù)點坐特點及正方形的判定得出四邊形為正方形，，連接AE，交于點D，由對稱性，此時有最小值為AE的長，再由勾股定理求解即可【詳解】（1）解：由題意可知，設拋物線的表達式為，將代入上式得：，所以拋物線的表達式為；（2）作點O關(guān)于直線的對稱點E，連接，∵，，，∴，∵O、E關(guān)于直線對稱，∴四邊形為正方形，∴，連接，交于點D，由對稱性，此時有最小值為的長，∵的周長為，，的最小值為10，∴的周長的最小值為；2022·四川遂寧中考真題如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為，點C的坐標為．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，E為邊AB上的一動點，F(xiàn)為BC邊上的一動點，D點坐標為，求周長的最小值【答案】(1)(2)周長的最小值為【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設為D關(guān)于直線的對稱點，為D關(guān)于直線BC的對稱點，連接、、，由對稱的性質(zhì)可知當、E、F、在同一直線上時，的周長最小，最小值為的長度，再證明為等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可；【詳解】（1）∵，在上，∴，∴，∴拋物線的解析式為．（2）如圖，設為D關(guān)于直線的對稱點，為D關(guān)于直線BC的對稱點，連接、、，由對稱的性質(zhì)可知，，的周長為，∴當、E、F、在同一直線上時，的周長最小，最小值為的長度．令，則，解得，．∴B的坐標為，∴，為等腰直角三角形．∵BC垂直平分，且D的坐標為，∴．又∵D、關(guān)于x軸對稱，∴，∴，∴周長的最小值為．2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），頂點D（1，4）在直線l：y＝x+t上，動點P（m，n）在x軸上方的拋物線上．

(1)求這條拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥l于點N，當1＜m＜3時，求PM+PN的最大值【答案】(1)y=x2+2x+3(2)最大值【分析】（1）利用頂點式可得結(jié)論；（2）如圖，設直線l交x軸于點T，連接PT，BD，BD交PM于點J，設，，推出最大時，的值最大，求出四邊形DTBP的面積的最大值，可得結(jié)論；【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點為D（1，4），∴根據(jù)頂點式，拋物線的解析式為；（2）解：如圖，設直線l交x軸于點T，連接PT，BD，BD交PM于點J，設，

點，在直線l：上，∴，∴，∴直線DT的解析式為，令，得到，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴最大時，的值最大，∵，，∴直線BD的解析式為，∴，∴，∵，∵二次項系數(shù)，∴時，最大，最大值為11，∴的最大值題型三【構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值】2023·山東東營·中考真題如圖，拋物線過點，，矩形的邊在線段上（點B在點A的左側(cè)），點C，D在拋物線上，設，當時，．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)當t為何值時，矩形的周長有最大值？最大值是多少？【答案】(1)(2)當時，矩形的周長有最大值，最大值為【分析】（1）設拋物線的函數(shù)表達式為，求出點C的坐標，將點C的坐標代入即可求出該拋物線的函數(shù)表達式；（2）由拋物線的對稱性得，則，再得出，根據(jù)矩形的周長公式，列出矩形周長的表達式，并將其化為頂點式，即可求解；【詳解】（1）解：設拋物線的函數(shù)表達式為．∵當時，，∴點C的坐標為．將點C坐標代入表達式，得，解得．∴拋物線的函數(shù)表達式為．（2）解：由拋物線的對稱性得：，∴．當時，．∴矩形的周長為．∵，∴當時，矩形的周長有最大值，最大值為．2023·四川巴中·中考真題在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和，其頂點的橫坐標為．

(1)求拋物線的表達式．(2)若直線與軸交于點，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點，當取何值時，使得有最大值，并求出最大值．【答案】(1)(2)當時，有最大值為【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）設，進而分別表示出，得出關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，，即可求得最大值；【詳解】（1）解：拋物線的頂點橫坐標為對稱軸為與x軸另一交點為

∴設拋物線為∴拋物線的表達式為（2）在拋物線上∴設在第一象限

∴當時，有最大值為2023·湖南張家界中考真題如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

如圖，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值．【答案】，【分析】由待定系數(shù)法確定直線的表達式為，直線的表達式為，設，然后結(jié)合圖形及面積之間的關(guān)系求解即可．【詳解】由已知點，，，設直線的表達式為，將，代入中，，解得，∴直線的表達式為，同理可得：直線的表達式為，∵，∴設直線表達式為，由（1）設，代入直線的表達式得：，∴直線的表達式為：，由，得，∴，∵P，D都在第一象限，∴，∴當時，此時P點為.．2023·山東聊城·中考真題如圖①，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接AC，BC.點P是x軸上任意一點．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖②，當點從點A出發(fā)沿x軸向點B運動時（點P與點A，B不重合），自點P分別作，交AC于點E，作，垂足為點D．當m為何值時，面積最大，并求出最大值．【答案】(1)(2)時，有最大值，最大值為．【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；（2）如圖，過點D作，過點E作，垂足為G，F(xiàn)，可證，；運用待定系數(shù)法求直線解析式，直線解析式；設點，，則，，，，運用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，從而確定時，最大值為．【詳解】（1）將，代入，得，解得∴拋物線解析式為：（2）如圖，過點D作，過點E作，垂足為G，F(xiàn)，∵，∴∴∵∴，同理可得設直線的解析式為：則，解得∴直線：同理由點，，可求得直線：設點，，則，，，中，，∴，中，∴，解得，∴∵∴；中，∴，解得，∴∵∴∴，即．∵，∴時，，有最大值，最大值為．2022·湖北襄陽中考真題在平面直角坐標系中，直線y＝mx-2m與x軸，y軸分別交于A，B兩點，頂點為D的拋物線y＝-x2+2mx-m2+2與y軸交于點C．在y軸上有一點M（0，m），當點C在線段MB上時，①求m的取值范圍；②求線段BC長度的最大值．【答案】(2)①或；②13【分析】對于（2），由（1）可知，點B，C的坐標，再根據(jù)點C在線段MB上，分兩種情況討論，求出①的答案即可；對于②，根據(jù)①中的情況分別表示BC，再配方二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案即可．【詳解】知B（0，-2m），C（0，-m2+2），①∵y軸上有一點，點C在線段MB上，∴需分兩種情況討論：當時，解得：，當時，解得：，∴m的取值范圍是或；②當時，∵，∴當m=1時，BC的最大值為3；當時，∴，當m=-3時，點M與點C重合，BC的最大值為13，∴BC的最大值是13．2023·湖北荊州中考真題已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，且，則的值是___________；(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個公共點，，并與動直線交于點，連接，，，，其中交軸于點，交于點．設的面積為，的面積為．①當點為拋物線頂點時，求的面積；②探究直線在運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．【答案】(1)0或2或(2)①6，②存在，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與坐標軸交點情況，分情況討論函數(shù)為一次函數(shù)和二次函數(shù)的時候，按照圖像的性質(zhì)以及與坐標軸交點的情況即可求出值．（2）①根據(jù)和的坐標點即可求出拋物線的解析式，即可求出頂點坐標，從而求出長度，再利用和的坐標點即可求出的直線解析式，結(jié)合即可求出點坐標，從而求出長度，最后利用面積法即可求出的面積．②觀察圖形，用值表示出點坐標，再根據(jù)平行線分線段成比例求出長度，利用割補法表示出和，將二者相減轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)的頂點式，利用取值范圍即可求出的最小值．【詳解】（1）解：函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，，，，當函數(shù)為一次函數(shù)時，，．當函數(shù)為二次函數(shù)時，，若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，即與軸，軸分別只有一個交點時，，．當函數(shù)為二次函數(shù)時，函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，即其中一點經(jīng)過原點，，，．綜上所述，或0．故答案為：0或2或．（2）解：①如圖所示，設直線與交于點，直線與交于點．

依題意得：，解得：拋物線的解析式為：．點為拋物線頂點時，，，，，由，得直線的解析式為，在直線上，且在直線上，則的橫坐標等于的橫坐標，，，，，．故答案為：6．②存在最大值，理由如下：如圖，設直線交軸于．由①得：，，，，，，，，，，即，，，，，，，當時，有最大值，最大值為．2022·江蘇連云港中考真題已知二次函數(shù)，其中．(1)當該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點，求此時函數(shù)圖像的頂點的坐標；(2)如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點在直線上運動，平移后所得函數(shù)的圖像與軸的負半軸的交點為，求面積的最大值．【答案】(1)(2)見解析(3)最大值為【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再將二次函數(shù)解析式化為頂點式即可得到答案；（2）先根據(jù)頂點坐標公式求出頂點坐標為，然后分別證明頂點坐標的橫縱坐標都小于0即可；（3）設平移后圖像對應的二次函數(shù)表達式為，則其頂點坐標為，然后求出點B的坐標，根據(jù)平移后的二次函數(shù)頂點在直線上推出，過點作，垂足為，可以推出,由此即可求解．【詳解】（1）解：將代入，解得．由，則符合題意，∴，∴．（2）解：由拋物線頂點坐標公式得頂點坐標為．∵，∴，∴，∴．∵，∴二次函數(shù)的頂點在第三象限．（3）解：設平移后圖像對應的二次函數(shù)表達式為，則其頂點坐標為當時，，∴．將代入，解得．∵在軸的負半軸上，∴．∴．過點作，垂足為，∵，∴．在中，,∴當時，此時，面積有最大值，最大值為．2022·湖南岳陽·中考真題如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線：經(jīng)過點和點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，作拋物線，使它與拋物線關(guān)于原點成中心對稱，請直接寫出拋物線的解析式；(3)如圖3，將（2）中拋物線向上平移2個單位，得到拋物線，拋物線與拋物線相交于，兩點（點在點的左側(cè)）．①求點和點的坐標；②若點，分別為拋物線和拋物線上，之間的動點（點，與點，不重合），試求四邊形面積的最大值．【答案】(1)，(2)，(3)①或；②16【分析】（1）將點和點代入，即可求解；（2）利用對稱性求出函數(shù)頂點關(guān)于原點的對稱點為，即可求函數(shù)的解析式；（3）①通過聯(lián)立方程組，求出點和點坐標即可；②求出直線的解析式，過點作軸交于點，過點作軸交于點，設，，則，，可求，，由，分別求出的最大值4，的最大值4，即可求解．【詳解】（1）解：將點和點代入，∴，解得，∴．（2）∵，∴拋物線的頂點，∵頂點關(guān)于原點的對稱點為，∴拋物線的解析式為，∴．（3）由題意可得，拋物線的解析式為，①聯(lián)立方程組，解得或，∴或；②設直線的解析式為，∴，解得，∴，過點作軸交于點，過點作軸交于點，如圖所示：設，，則，，∴，，∵，，∴當時，有最大值，當時，有最大值，∵，∴當最大時，四邊形面積的最大值為16．2023·寧夏·中考真題如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．已知點的坐標是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)直接寫出點的坐標；(2)在對稱軸上找一點，使的值最小．求點的坐標和的最小值；(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點，過點作軸，垂足為，連接交于點．依題意補全圖形，當?shù)闹底畲髸r，求點的坐標．【答案】(1)(2)點，的最小值為(3)【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性，進行求解即可；（2）根據(jù)拋物線的對稱性，得到，得到當三點共線時，的值最小，為的長，求出直線的解析式，解析式與對稱軸的交點即為點的坐標，兩點間的距離公式求出的長，即為的最小值；（3）根據(jù)題意，補全圖形，設，得到，，將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，即可得解．【詳解】（1）解：∵點關(guān)于對稱軸的對稱點為點，對稱軸為直線，∴點為；（2）當時，，∴，連接，

∵，∴，∵點關(guān)于對稱軸的對稱點為點，∴，∴當三點共線時，的值最小，為的長，設直線的解析式為：，則：，解得：，∴，∵點在拋物線的對稱軸上，∴；∴點，的最小值為；（3）過點作軸，垂足為，連接交于點，如圖所示，

∵，設拋物線的解析式為：，∵，∴，∴，∴，設，則：，由（2）知：直線：，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當時，有最大值，此時．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=-x2+2mx+3m，點A（3，0）．(1)當拋物線過點A時，求拋物線的解析式；(2)在（1）的條件下，拋物線與y軸交于點B，點P是拋物線上位于第一象限的點，連接AB，PD交于點M，PD與y軸交于點N．設S=S△PAM－S△BMN，問是否存在這樣的點P，使得S有最大值？若存在，請求出點P的坐標，并求出S的最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)存在，點的坐標是（1，4），．過程見解析【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，從而求得m，進而求得拋物線的解析式；（2）將拋物線的解析式變形為：y=－x2+m（2x+3），進而根據(jù)2x+3=0，求得x的值，進而求得結(jié)果；（3）將S變形為：S=（S△PAM+S四邊形AONM）－（S四邊形AONM+S△BMN）=S四邊形AONP－S△AOB，設P（m，-m2+2m+3），設PD的解析式為：y=kx+b，將點P和點D坐標代入，從而求得PD的解析式，進而求得點N的坐標，進而求得S關(guān)于m的解析式，進一步求得結(jié)果．【詳解】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，-9+6m+3m=0，∴m=1，∴y=-x2+2x+3；（2）證明：∵y=-x2+m（2x+3），∴當2x+3=0時，即時，，∴無論m為何值，拋物線必過定點D，點D的坐標是；（3）如圖，連接OP，設點P（m，-m2+2m+3），設PD的解析式為：y=kx+b，∴，∴，∴PD的解析式為：y＝，當x＝0時，y＝，∴點N的坐標是（0，），∴，∵S=S△PAM-S△BMN，∴S=（S△PAM+S四邊形AONM）－（S四邊形AONM+S△BMN）=S四邊形AONP-S△AOB，∵，當x＝0時，y=-x2+2x+3＝3，∴點B的坐標是（0，3），OB＝3，，∴＝＝，∴當時，，當時，，∴點的坐標是（1，4）．2023·湖北襄陽中考真題在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過拋物線的頂點．

(1)如圖，當拋物線經(jīng)過原點時，其頂點記為．①求拋物線的解析式并直接寫出點的坐標；②時，的最小值為2，求的值；③當時.動點在直線下方的拋物線上，過點作軸交直線于點，令，求的最大值．(2)當拋物線不經(jīng)過原點時，其頂點記為.當直線同時經(jīng)過點和（1）中拋物線的頂點時，設直線與拋物線的另一個交點為，與軸的交點為.若，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)①拋物線的解析式為，頂點的坐標為；②的值為或1；③取得最大值(2)的取值范圍為或【分析】（1）由拋物線經(jīng)過原點，可得，即可求得，①利用配方法將拋物線解析式化為頂點式即可求得答案；②分三種情況：當，即時，隨增大而減小，當時，則若時，的最小值為，不符合題意，當時，隨增大而增大，分別列方程求解即可；③把代入，可得，設點，可得，進而可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；（2）利用配方法可得，運用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，可得，，分兩種情況：當時，點在第二象限，點在軸的負半軸上，作點關(guān)于點的對稱點，則，，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；當時，點在第一象限，點在、之間，作點關(guān)于點的對稱點，同理可求得答案．【詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過原點，∴，解得：或，∵，∴，①拋物線的解析式為，∵，∴頂點的坐標為；②當，即時，隨增大而減小，由題意得：，解得：，（舍去），∴的值為，當時，則若時，的最小值為，不符合題意，當時，隨增大而增