備考2024年中考數(shù)學(xué)專題突破（全國通用）專題2-7 二次函數(shù)中的最值問題（解析版）

資料整理資料整理資料整理專題2－7二次函數(shù)中的最值問題TOC\o"1-3"\n\h\z\u一題可破萬題山——二次函數(shù)最值常見模型小結(jié)，一題20問題型一【鉛垂高系列】2023·四川涼山·中考真題2022·天津·中考真題2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題2023·湖南婁底·中考真題2023·湖南中考真題2023·青海西寧·中考真題2023·四川廣安·中考真題2023·湖南永州·中考真題2022·四川廣元·中考真題題型二【線段和差最值篇】2023·湖南張家界中考真題2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題2022·四川遂寧中考真題題型三【構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值】2023·山東東營·中考真題2023·四川巴中·中考真題2023·湖南張家界中考真題2023·山東聊城·中考真題2022·湖北襄陽中考真題2023·湖北荊州中考真題2022·江蘇連云港中考真題2022·湖南岳陽·中考真題2023·寧夏·中考真題2023·湖北襄陽中考真題題型四【加權(quán)線段最值】2023·四川內(nèi)江·中考真題2023·黑龍江綏化·中考真題題型五【幾何構(gòu)造最值篇】2022·天津·統(tǒng)考中考真題一題可破萬題山——二次函數(shù)最值常見模型小結(jié)，一題20問母題：如圖，已知拋物線過A（4，0）、B（0，4）、C（－2，0）三點(diǎn)，P是拋物線上一點(diǎn)求拋物線解析式【答案】【鉛垂高系列】本來這個(gè)屬于構(gòu)造二次函數(shù)型最值問題，但是比較特殊所以單獨(dú)拿出來（☆）若P在直線AB上方，求四邊形PBCA面積最大值，【答案】16補(bǔ)充二級結(jié)論【思路分析】先分離出面積為定值的△ABC，△ABC面積為12設(shè)P，(上面的點(diǎn)減去下面的點(diǎn))當(dāng)時(shí)，PH取最大值2，此時(shí)△APB面積為：(AO是△PBH，△PAH兩個(gè)三角形高之和)（☆）若P在直線AB上方，作PF⊥AB，F(xiàn)在線段AB上，求PF最大值【答案】【思路分析】過P作PH平行y軸，H在AB上導(dǎo)角可知△PFH~△AOB為等腰直角三角形，PH取最大時(shí)，PF也取到最大（★）若P在直線AB上方，作PF⊥AB，交線段AB于F，作PE∥y軸交AB于E，求△PEF周長和面積的最大值【答案】2＋2和1【思路分析】△PEF形狀固定，若P在直線AB上方，連接OP，交AB于D，求的最大值【答案】【思路分析】化斜為直，平行線，構(gòu)造8字相似轉(zhuǎn)換（★☆）若P在直線AB上方，連接CP，交AB于D，△PDA面積為S1，△CDA面積為S2，求的最小值【答案】【思路分析】化斜為自第一步：面積比轉(zhuǎn)換為共線的邊之比第二步：構(gòu)造，共線的邊之比轉(zhuǎn)換成平行邊之比（★☆）點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P是第一象限上一點(diǎn)，求△PCD面積最大值 【答案】12【思路分析】過動(dòng)點(diǎn)P作y軸平行線交對邊(延長)于點(diǎn)H推導(dǎo)過程如下：以PH為底，設(shè)△PHC的高為h1，△PDH的高為【幾何構(gòu)造最值篇】（☆）點(diǎn)E是對稱軸與x軸交點(diǎn)，過E作一條任意直線l，（點(diǎn)B、C分別在直線l的異側(cè)），設(shè)C、B兩點(diǎn)到直線l的距離分別為m、n，求m＋n的最大值 【答案】2【思路分析】特殊位置時(shí)有最小值，大多數(shù)題目都是共線時(shí)有最值，所以要重點(diǎn)去分析共線時(shí)的情況（☆）已知線段BC上有兩點(diǎn)E(1，3)，F(xiàn)(3，1)，試在x，y軸上有兩動(dòng)點(diǎn)M和N，使得四邊形FMNE周長最小?！敬鸢浮俊舅悸贩治觥孔鲀纱螌ΨQ即可，普通將軍飲馬問題，（★）若y軸上有兩點(diǎn)M（0，a）和N（0，a＋2），求△CMN周長的最小值 【答案】【思路分析】造橋選址問題，C點(diǎn)向上平移2個(gè)單位，得到平行四邊形，故，接下來就是常規(guī)的將軍飲馬了（★☆）點(diǎn)D為拋物線頂點(diǎn)，直線AD上有一點(diǎn)Q，連接BQ，將△BDQ沿BQ折疊得△BD’Q，求OD’的最小值連接OD’，M是線段OD’的中點(diǎn)，求AM的最小值【答案】①4－；②【思路分析】(1)D’軌跡為圓（2）把A點(diǎn)變?yōu)橹悬c(diǎn)，則AM是中位線，點(diǎn)圓最值問題（★★☆）（隱圓）若在第一象限的拋物線下方有一動(dòng)點(diǎn)D，滿足DA＝OA，過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)△ADE的內(nèi)心為I，試求BI的最小值．【答案】【思路分析】易知△ADI≌△AOI(SAS)，∠AID＝∠AIO＝135°，而OA為定線段則點(diǎn)I在以O(shè)A為弦，所含的圓周角等于135°的圓弧上，設(shè)該圓的圓心為F，連接FO，F(xiàn)A，∠OFA＝90°，故，【構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值】（☆）P在第一象限，作PQ∥x軸交拋物線于Q，過P、Q作x軸垂線交x軸于H、G兩點(diǎn)，求矩形PQGH周長的最大值【答案】【思路分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，用字母表示長和寬設(shè)，則，而P和Q點(diǎn)到對稱軸的距離為，則，PQGH的周長為：（★）在線段AC上有一點(diǎn)D，AB上有一點(diǎn)E，且DE∥BC，求△BDE面積的最大值【答案】3【思路分析】易知△ADE∽△ACB，利用相似比得出高之比設(shè)AD＝3m，則E點(diǎn)到x軸的距離為2m，△BDE的面積為：（★★☆）P是第一象限上一點(diǎn)，線段PC交BC于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，△ADP和△BDE的面積分別為S1、S2，求S1－S2的最大值【答案】設(shè)，則（★★☆）拋物線對稱交拋物線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，M是線段DE上的動(dòng)點(diǎn)，N(n，0)為x軸上一點(diǎn)，且BM⊥NM．求n的變化范圍當(dāng)n取最大值時(shí)，將直線BN向上平移t個(gè)單位，使線段BN與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，求t的取值范圍．【答案】（1），（2）【思路分析】①由勾股定理構(gòu)造出關(guān)于n的函數(shù)模型，【詳解】①設(shè)M坐標(biāo)為(1，m)∵，整理得：，由可知，②?設(shè)平移后：分析：向上平移當(dāng)N點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，恰好有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為，則繼續(xù)向上平移，當(dāng)△＝0，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)綜上

【加權(quán)線段最值】（★）若y軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，求AM＋BM的最小值及M點(diǎn)坐標(biāo)【答案】，M（0，2）【思路分析】胡不歸問題，作垂直代換加權(quán)線段即可作MH⊥BC于H，則，AG即所求【法一：等面積】，再由相似求出M點(diǎn)坐標(biāo)法二：，再由三角函數(shù)求M點(diǎn)坐標(biāo)法三：求出AG解析式（★）若動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)先以V1的速度朝x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)到G，再以V2的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且V1＝2V2，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)（V1為定值）【答案】【思路分析】還是胡不歸問題，只不過需要翻譯成加權(quán)線段和【簡析】設(shè)運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為t，以A為頂點(diǎn)，在x軸下方構(gòu)造一個(gè)30°的角，作垂線即可進(jìn)行代換，，當(dāng)時(shí)取到最小值．

（☆☆）將線段CO繞O點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得線段C’O，在旋轉(zhuǎn)過程中，求＋的最小值．【答案】【思路分析】通過構(gòu)造子母型相似代換，阿氏圓模型取點(diǎn)，通過SAS可知，相似比為2，故，＋＝（★☆）點(diǎn)D（3，4），G是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求GD－AG的最小值【答案】【思路分析】相減型胡不歸，反方向構(gòu)造相關(guān)角如圖，作于E，易知，，當(dāng)G，D，E三點(diǎn)共線時(shí)取到最小值，此時(shí)，，題型一【鉛垂高系列】2023·四川涼山·中考真題如圖，已知拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線過拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，取得最大值時(shí)，求的值和的最大值【答案】(1)(2)①當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；②或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出，進(jìn)而求出直線的解析式為，則，進(jìn)一步求出，由此即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，∴拋物線對稱軸為直線，在中，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，∴，∴，∴拋物線解析式為（2）解：∵拋物線解析式為，點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，∵直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，，，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過P作//交于點(diǎn)Q．(1)求該拋物線的解析式；(2)求面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)2；P（-1，0）【分析】（1）用待定系數(shù)法將A，B的坐標(biāo)代入函數(shù)一般式中，即可求出函數(shù)的解析式；（2）分別求出C點(diǎn)坐標(biāo)，直線AC，BC的解析式，PQ的解析式為：y=-2x+n，進(jìn)而求出P，Q的坐標(biāo)以及n的取值范圍，由列出函數(shù)式求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A（1，0），AB=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0），將點(diǎn)A（1，0），B（-3，0）代入函數(shù)解析式中得：，解得：b=2，c=-3，∴拋物線的解析式為；（2）解：由（1）得拋物線的解析式為，頂點(diǎn)式為：，則C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，-4），由B（-3，0），C（-1，-4）可求直線BC的解析式為：y=-2x-6，由A（1，0），C（-1，-4）可求直線AC的解析式為：y=2x-2，∵PQ∥BC，設(shè)直線PQ的解析式為：y=-2x+n，與x軸交點(diǎn)P，由解得：，∵P在線段AB上，∴，∴n的取值范圍為-6＜n＜2，則∴當(dāng)n=-2時(shí)，即P（-1，0）時(shí)，最大，最大值為2．2022·天津·中考真題已知拋物線（a，b，c是常數(shù)，）的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)B．(1)若，①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線（m是常數(shù)，）與拋物線相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)G，當(dāng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)M，G的坐標(biāo)【答案】(1)①；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為；【分析】（1）①將b、c的值代入解析式，再將A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；②先令y=0得到B點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線BP的解析式，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為，再表示出MG的長，配方求出最值得到M、G的坐標(biāo)；（2）根據(jù)，解析式經(jīng)過A點(diǎn)，可得到解析式：，再表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，N點(diǎn)坐標(biāo)，接著作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，再把和的坐標(biāo)表示出來，由題意可知，當(dāng)取得最小值，此時(shí)，將字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐標(biāo)；【詳解】（1）①∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)，∴．又，得．∴拋物線的解析式為．∵，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．②當(dāng)時(shí)，由，解得．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．設(shè)經(jīng)過B，P兩點(diǎn)的直線的解析式為，有解得∴直線的解析式為．∵直線（m是常數(shù)，）與拋物線相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)G，如圖所示：∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為．∴．∴當(dāng)時(shí)，有最大值1．此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為．2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝mx-2m與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D的拋物線y＝-x2+2mx-m2+2與y軸交于點(diǎn)C．(1)如圖，當(dāng)m＝2時(shí)，點(diǎn)P是拋物線CD段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①求A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【答案】（1）∵直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，∴A（2，0），B（0，-2m）．∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是D（m，2）．令x=0，則，∴．①當(dāng)m=2時(shí)，-2m=-4，則，∴點(diǎn)B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；②由上可知，直線AB的解析式為，拋物線的解析式為，如圖，過點(diǎn)P作軸交直線AB于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，∴，，∴，∴△PAB的面積=，∵-1＜0，∴當(dāng)t=1時(shí)，△PAB的面積的最大值為3，此時(shí)P（1，1）2023·湖南婁底·中考真題如圖，拋物線過點(diǎn)、點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求b，c的值．(2)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值.【答案】(1)，(2)當(dāng)時(shí)，的面積由最大值，最大值為【分析】（1）將將、代入拋物線即可求解；（2）由（1）可知：，得，可求得的解析式為，過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，交軸于點(diǎn)，易得，根據(jù)的面積，可得的面積，即可求解；【詳解】（1）解：將、代入拋物線中，可得：，解得：，即：，；（2）①由（1）可知：，當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)的解析式為：，將，代入中，可得，解得：，∴的解析式為：，過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，交軸于點(diǎn)，

∵，則，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為，則縱坐標(biāo)為，∴，的面積，∵，∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值為2023·湖南中考真題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且與直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式．(2)過點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)．若，求面積的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)題意，聯(lián)立拋物線與直線，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，表示出的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值，根據(jù)即可求解；【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線解析式為：；（2）解：∵拋物線與直線交于兩點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）聯(lián)立，解得：或，∴，∴，∵點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．則，，∴，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，∵，∴當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，∴，∴面積的最大值2023·青海西寧·中考真題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，且對稱軸是直線．

(1)求直線l的解析式；(2)求拋物線的解析式；(3)點(diǎn)P是直線l下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為C，交直線l于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作，垂足為M．求的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)的最大值是，此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)是【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為，再利用待定系數(shù)法求解即可；（3）由題意易證為等腰直角三角形，即得出．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，從而可求出．再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，有最大值是，此時(shí)最大，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)直線l的解析式為，把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得，解得：，∴直線l的解析式為；（2）解：設(shè)拋物線的解析式為，∵拋物線的對稱軸為直線，∴．把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得，解得：，∴拋物線的解析式為；（3）解：∵

，

∴．∵在中，∴．∵軸，，∴．在中，，，∴，∴．在中，，，∴，∴．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，∴．∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值是，此時(shí)最大，∴，當(dāng)時(shí)，，

∴，∴的最大值是，此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)是．2023·四川廣安·中考真題如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對稱軸是直線，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．(2)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)最大值為，此時(shí)【分析】（1）先根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式求出，再把代入二次函數(shù)解析式中進(jìn)行求解即可；（2）先求出，，則，，求出直線的解析式為，設(shè)，則，，則；再由得到，故當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，∴，∴，∵二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，∴，即，∴，∴二次函數(shù)解析式為；（2）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，且對稱軸為直線，∴，∴，∵二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)C，∴，∴；設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，設(shè)，則，，∴；∵，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為2023·湖南永州·中考真題如圖，拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，軸于H，且．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，直線交于點(diǎn)，求的最大值；【答案】(1),(2),(3)【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)式坐標(biāo)公式和待定系數(shù)法分別求出，，值，即可求出拋物線解析式．（2）利用拋物線的解析式可知道點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線的解析式，從而設(shè)，根據(jù)直線的解析式可推出，從而可以用表達(dá)長度，在觀察圖形可知，將其和長度代入，即可將面積比轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的形式，根據(jù)橫坐標(biāo)取值范圍以及此二次函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求出的最大值．【詳解】（1）解：拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，，拋物線的解析式為：．故答案為：．（2）解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖所示，

拋物線的解析式為：，且與軸交于，兩點(diǎn)，，，設(shè)直線的解析式為：，則，，直線的解析式為：．在直線上，，在直線上，的解析式為：，，．

，．，．，，當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為：．故答案為：．2022·四川廣元·中考真題在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．(1)求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；(2)當(dāng)a＝時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PAB周長的最小值；(3)當(dāng)a＝1時(shí)，若點(diǎn)Q是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QD⊥AB于點(diǎn)D，當(dāng)QD的值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)及QD的最大值．【答案】(1)2a=b+1，c=-2；(2)△PAB的周長最小值是2+2；(3)此時(shí)Q（-1，-2），DQ最大值為．【分析】（1）先求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先利用對稱性找出△PAB周長最小時(shí)點(diǎn)P的位置，此時(shí)AP=CP，△PAB的周長最小值為：PB+PA+AB=BC+AB，根據(jù)勾股定理求出AB、BC的長即可求出△PAB最小值；（3）過點(diǎn)Q作QF⊥x軸交于F點(diǎn)，交直線AB于點(diǎn)E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，設(shè)Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，-2)，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，∴，∴2a=b+1，c=-2；（2）解：當(dāng)a=時(shí)，則b=-，∴拋物線的解析式為y=x2-x-2，拋物線的對稱軸為直線x=1，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，0)，△PAB的周長為：PB+PA+AB，且AB是定值，∴當(dāng)PB+PA最小時(shí)，△PAB的周長最小，∵點(diǎn)A、C關(guān)于直線x=1對稱，∴連接BC交直線x=1于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PA值最小，∵AP=CP，∴△PAB的周長最小值為：PB+PA+AB=BC+AB，∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），∴OA=2，OB=2，OC=4，由勾股定理得BC=2，AB=2，∴△PAB的周長最小值是：2+2．（3）解：當(dāng)a=1時(shí)，b=1，∴拋物線的解析式為y=x2+x-2，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸交于F點(diǎn)，交直線AB于點(diǎn)E，∵A（-2，0），B（0，-2），∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵QD⊥AB，∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，∴QD=ED=EQ，設(shè)Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，∴DQ=QE=-(t2+2t)=-(t+1)2+，當(dāng)t=-1時(shí)，DQ有最大值，此時(shí)Q（-1，-2）．已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，連接，點(diǎn)P在線段下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)．

(1)如圖1，連接，，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(2)如圖2，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)H，求周長的最大值．【答案】(1)或；(2)最大值為；【分析】（1）如圖，作軸，交直線于點(diǎn)D，由，得，，待定系數(shù)法確定直線解析式為，設(shè)，則，，得，解得或3，于是或．（2）如圖，可證得是等腰直角三角形，，周長，同（1），設(shè)，周長，得當(dāng)時(shí)，最大值為．【詳解】（1）解：如圖，作軸，交直線于點(diǎn)D，

由，時(shí)，，得，，則，解得或，得,設(shè)直線解析式為，則，解得∴設(shè)，則，∴，解得，或3，或∴或．（2）解：如圖，，∴∵軸∴∴∴∴周長同（1），設(shè)，則，∴周長∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段下方的拋物線上，此時(shí)周長有最大值，最大值為．

題型二【線段和差最值篇】2023·湖南張家界中考真題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，求周長的最小值；【答案】(1),(2)【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入求解即可；（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線的對稱點(diǎn)E，連接，根據(jù)點(diǎn)坐特點(diǎn)及正方形的判定得出四邊形為正方形，，連接AE，交于點(diǎn)D，由對稱性，此時(shí)有最小值為AE的長，再由勾股定理求解即可【詳解】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入上式得：，所以拋物線的表達(dá)式為；（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線的對稱點(diǎn)E，連接，∵，，，∴，∵O、E關(guān)于直線對稱，∴四邊形為正方形，∴，連接，交于點(diǎn)D，由對稱性，此時(shí)有最小值為的長，∵的周長為，，的最小值為10，∴的周長的最小值為；2022·四川遂寧中考真題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，E為邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，D點(diǎn)坐標(biāo)為，求周長的最小值【答案】(1)(2)周長的最小值為【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)為D關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，為D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)，連接、、，由對稱的性質(zhì)可知當(dāng)、E、F、在同一直線上時(shí)，的周長最小，最小值為的長度，再證明為等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可；【詳解】（1）∵，在上，∴，∴，∴拋物線的解析式為．（2）如圖，設(shè)為D關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，為D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)，連接、、，由對稱的性質(zhì)可知，，的周長為，∴當(dāng)、E、F、在同一直線上時(shí)，的周長最小，最小值為的長度．令，則，解得，．∴B的坐標(biāo)為，∴，為等腰直角三角形．∵BC垂直平分，且D的坐標(biāo)為，∴．又∵D、關(guān)于x軸對稱，∴，∴，∴周長的最小值為．2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)D（1，4）在直線l：y＝x+t上，動(dòng)點(diǎn)P（m，n）在x軸上方的拋物線上．

(1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥l于點(diǎn)N，當(dāng)1＜m＜3時(shí)，求PM+PN的最大值【答案】(1)y=x2+2x+3(2)最大值【分析】（1）利用頂點(diǎn)式可得結(jié)論；（2）如圖，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)T，連接PT，BD，BD交PM于點(diǎn)J，設(shè)，，推出最大時(shí)，的值最大，求出四邊形DTBP的面積的最大值，可得結(jié)論；【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)為D（1，4），∴根據(jù)頂點(diǎn)式，拋物線的解析式為；（2）解：如圖，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)T，連接PT，BD，BD交PM于點(diǎn)J，設(shè)，

點(diǎn)，在直線l：上，∴，∴，∴直線DT的解析式為，令，得到，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴最大時(shí)，的值最大，∵，，∴直線BD的解析式為，∴，∴，∵，∵二次項(xiàng)系數(shù)，∴時(shí)，最大，最大值為11，∴的最大值題型三【構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值】2023·山東東營·中考真題如圖，拋物線過點(diǎn)，，矩形的邊在線段上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C，D在拋物線上，設(shè)，當(dāng)時(shí)，．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形的周長有最大值？最大值是多少？【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，矩形的周長有最大值，最大值為【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求出該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）由拋物線的對稱性得，則，再得出，根據(jù)矩形的周長公式，列出矩形周長的表達(dá)式，并將其化為頂點(diǎn)式，即可求解；【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．∵當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．將點(diǎn)C坐標(biāo)代入表達(dá)式，得，解得．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：由拋物線的對稱性得：，∴．當(dāng)時(shí)，．∴矩形的周長為．∵，∴當(dāng)時(shí)，矩形的周長有最大值，最大值為．2023·四川巴中·中考真題在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)若直線與軸交于點(diǎn)，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點(diǎn)，當(dāng)取何值時(shí)，使得有最大值，并求出最大值．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，有最大值為【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）設(shè)，進(jìn)而分別表示出，得出關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，，即可求得最大值；【詳解】（1）解：拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為對稱軸為與x軸另一交點(diǎn)為

∴設(shè)拋物線為∴拋物線的表達(dá)式為（2）在拋物線上∴設(shè)在第一象限

∴當(dāng)時(shí)，有最大值為2023·湖南張家界中考真題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．

如圖，過動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．【答案】，【分析】由待定系數(shù)法確定直線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為，設(shè)，然后結(jié)合圖形及面積之間的關(guān)系求解即可．【詳解】由已知點(diǎn)，，，設(shè)直線的表達(dá)式為，將，代入中，，解得，∴直線的表達(dá)式為，同理可得：直線的表達(dá)式為，∵，∴設(shè)直線表達(dá)式為，由（1）設(shè)，代入直線的表達(dá)式得：，∴直線的表達(dá)式為：，由，得，∴，∵P，D都在第一象限，∴，∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)為.．2023·山東聊城·中考真題如圖①，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合），自點(diǎn)P分別作，交AC于點(diǎn)E，作，垂足為點(diǎn)D．當(dāng)m為何值時(shí)，面積最大，并求出最大值．【答案】(1)(2)時(shí)，有最大值，最大值為．【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；（2）如圖，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)E作，垂足為G，F(xiàn)，可證，；運(yùn)用待定系數(shù)法求直線解析式，直線解析式；設(shè)點(diǎn)，，則，，，，運(yùn)用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，從而確定時(shí)，最大值為．【詳解】（1）將，代入，得，解得∴拋物線解析式為：（2）如圖，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)E作，垂足為G，F(xiàn)，∵，∴∴∵∴，同理可得設(shè)直線的解析式為：則，解得∴直線：同理由點(diǎn)，，可求得直線：設(shè)點(diǎn)，，則，，，中，，∴，中，∴，解得，∴∵∴；中，∴，解得，∴∵∴∴，即．∵，∴時(shí)，，有最大值，最大值為．2022·湖北襄陽中考真題在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝mx-2m與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D的拋物線y＝-x2+2mx-m2+2與y軸交于點(diǎn)C．在y軸上有一點(diǎn)M（0，m），當(dāng)點(diǎn)C在線段MB上時(shí)，①求m的取值范圍；②求線段BC長度的最大值．【答案】(2)①或；②13【分析】對于（2），由（1）可知，點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)C在線段MB上，分兩種情況討論，求出①的答案即可；對于②，根據(jù)①中的情況分別表示BC，再配方二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案即可．【詳解】知B（0，-2m），C（0，-m2+2），①∵y軸上有一點(diǎn)，點(diǎn)C在線段MB上，∴需分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，解得：，∴m的取值范圍是或；②當(dāng)時(shí)，∵，∴當(dāng)m=1時(shí)，BC的最大值為3；當(dāng)時(shí)，∴，當(dāng)m=-3時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，BC的最大值為13，∴BC的最大值是13．2023·湖北荊州中考真題已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且，則的值是___________；(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，并與動(dòng)直線交于點(diǎn)，連接，，，，其中交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．設(shè)的面積為，的面積為．①當(dāng)點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求的面積；②探究直線在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由．【答案】(1)0或2或(2)①6，②存在，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)情況，分情況討論函數(shù)為一次函數(shù)和二次函數(shù)的時(shí)候，按照圖像的性質(zhì)以及與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的情況即可求出值．（2）①根據(jù)和的坐標(biāo)點(diǎn)即可求出拋物線的解析式，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出長度，再利用和的坐標(biāo)點(diǎn)即可求出的直線解析式，結(jié)合即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出長度，最后利用面積法即可求出的面積．②觀察圖形，用值表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平行線分線段成比例求出長度，利用割補(bǔ)法表示出和，將二者相減轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，利用取值范圍即可求出的最小值．【詳解】（1）解：函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，，當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，，．當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，，若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，即與軸，軸分別只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，．當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，即其中一點(diǎn)經(jīng)過原點(diǎn)，，，．綜上所述，或0．故答案為：0或2或．（2）解：①如圖所示，設(shè)直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．

依題意得：，解得：拋物線的解析式為：．點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，，，，，由，得直線的解析式為，在直線上，且在直線上，則的橫坐標(biāo)等于的橫坐標(biāo)，，，，，．故答案為：6．②存在最大值，理由如下：如圖，設(shè)直線交軸于．由①得：，，，，，，，，，，即，，，，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．2022·江蘇連云港中考真題已知二次函數(shù)，其中．(1)當(dāng)該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，求此時(shí)函數(shù)圖像的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，平移后所得函數(shù)的圖像與軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為，求面積的最大值．【答案】(1)(2)見解析(3)最大值為【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可得到答案；（2）先根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后分別證明頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)都小于0即可；（3）設(shè)平移后圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)平移后的二次函數(shù)頂點(diǎn)在直線上推出，過點(diǎn)作，垂足為，可以推出,由此即可求解．【詳解】（1）解：將代入，解得．由，則符合題意，∴，∴．（2）解：由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為．∵，∴，∴，∴．∵，∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第三象限．（3）解：設(shè)平移后圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，，∴．將代入，解得．∵在軸的負(fù)半軸上，∴．∴．過點(diǎn)作，垂足為，∵，∴．在中，,∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)，面積有最大值，最大值為．2022·湖南岳陽·中考真題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，作拋物線，使它與拋物線關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，請直接寫出拋物線的解析式；(3)如圖3，將（2）中拋物線向上平移2個(gè)單位，得到拋物線，拋物線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．①求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；②若點(diǎn)，分別為拋物線和拋物線上，之間的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)，與點(diǎn)，不重合），試求四邊形面積的最大值．【答案】(1)，(2)，(3)①或；②16【分析】（1）將點(diǎn)和點(diǎn)代入，即可求解；（2）利用對稱性求出函數(shù)頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，即可求函數(shù)的解析式；（3）①通過聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)即可；②求出直線的解析式，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)，，則，，可求，，由，分別求出的最大值4，的最大值4，即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)和點(diǎn)代入，∴，解得，∴．（2）∵，∴拋物線的頂點(diǎn)，∵頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，∴拋物線的解析式為，∴．（3）由題意可得，拋物線的解析式為，①聯(lián)立方程組，解得或，∴或；②設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖所示：設(shè)，，則，，∴，，∵，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最大值，∵，∴當(dāng)最大時(shí)，四邊形面積的最大值為16．2023·寧夏·中考真題如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在對稱軸上找一點(diǎn)，使的值最?。簏c(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點(diǎn)，的最小值為(3)【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)拋物線的對稱性，得到，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長，求出直線的解析式，解析式與對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)的坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式求出的長，即為的最小值；（3）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，設(shè)，得到，，將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，即可得解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，對稱軸為直線，∴點(diǎn)為；（2）當(dāng)時(shí)，，∴，連接，

∵，∴，∵點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長，設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴，∵點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，∴；∴點(diǎn)，的最小值為；（3）過點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)，如圖所示，

∵，設(shè)拋物線的解析式為：，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則：，由（2）知：直線：，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=-x2+2mx+3m，點(diǎn)A（3，0）．(1)當(dāng)拋物線過點(diǎn)A時(shí)，求拋物線的解析式；(2)在（1）的條件下，拋物線與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，連接AB，PD交于點(diǎn)M，PD與y軸交于點(diǎn)N．設(shè)S=S△PAM－S△BMN，問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得S有最大值？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出S的最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，4），．過程見解析【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，從而求得m，進(jìn)而求得拋物線的解析式；（2）將拋物線的解析式變形為：y=－x2+m（2x+3），進(jìn)而根據(jù)2x+3=0，求得x的值，進(jìn)而求得結(jié)果；（3）將S變形為：S=（S△PAM+S四邊形AONM）－（S四邊形AONM+S△BMN）=S四邊形AONP－S△AOB，設(shè)P（m，-m2+2m+3），設(shè)PD的解析式為：y=kx+b，將點(diǎn)P和點(diǎn)D坐標(biāo)代入，從而求得PD的解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求得S關(guān)于m的解析式，進(jìn)一步求得結(jié)果．【詳解】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，-9+6m+3m=0，∴m=1，∴y=-x2+2x+3；（2）證明：∵y=-x2+m（2x+3），∴當(dāng)2x+3=0時(shí)，即時(shí)，，∴無論m為何值，拋物線必過定點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)是；（3）如圖，連接OP，設(shè)點(diǎn)P（m，-m2+2m+3），設(shè)PD的解析式為：y=kx+b，∴，∴，∴PD的解析式為：y＝，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是（0，），∴，∵S=S△PAM-S△BMN，∴S=（S△PAM+S四邊形AONM）－（S四邊形AONM+S△BMN）=S四邊形AONP-S△AOB，∵，當(dāng)x＝0時(shí)，y=-x2+2x+3＝3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），OB＝3，，∴＝＝，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，4）．2023·湖北襄陽中考真題在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)．

(1)如圖，當(dāng)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，其頂點(diǎn)記為．①求拋物線的解析式并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；②時(shí)，的最小值為2，求的值；③當(dāng)時(shí).動(dòng)點(diǎn)在直線下方的拋物線上，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，令，求的最大值．(2)當(dāng)拋物線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，其頂點(diǎn)記為.當(dāng)直線同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)和（1）中拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為.若，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)①拋物線的解析式為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；②的值為或1；③取得最大值(2)的取值范圍為或【分析】（1）由拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，可得，即可求得，①利用配方法將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式即可求得答案；②分三種情況：當(dāng)，即時(shí)，隨增大而減小，當(dāng)時(shí)，則若時(shí)，的最小值為，不符合題意，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，分別列方程求解即可；③把代入，可得，設(shè)點(diǎn)，可得，進(jìn)而可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；（2）利用配方法可得，運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，可得，，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，則，，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在、之間，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，同理可求得答案．【詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，∴，解得：或，∵，∴，①拋物線的解析式為，∵，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)，即時(shí)，隨增大而減小，由題意得：，解得：，（舍去），∴的值為，當(dāng)時(shí)，則若時(shí)，的最小值為，不符合題意，當(dāng)時(shí)，隨增大而增