中考數(shù)學(xué)幾何專項練習(xí)：線段和最值問題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁資料整理試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁資料整理中考數(shù)學(xué)幾何專項練習(xí)：線段和最值問題一、填空題1．如圖，在矩形中，，垂足為，動點分別在上，則的長為，的最小值為．【答案】【分析】在中，利用三角形相似可求得的長，設(shè)A點關(guān)于的對稱點A′，當(dāng)時，的值最小，進而求得即可．【詳解】解：設(shè)，則，∵四邊形為矩形，且，∴，∴，∴，即，∴，在中，由勾股定理可得，即，解得，∴，，如圖，設(shè)A點關(guān)于的對稱點為，連接，則，∴當(dāng)三點在一條線上，且時，最小，∴由三角形的面積公式知，，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查軸對稱的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用最小值的常規(guī)解法確定出A的對稱點，從而確定出的最小值的位置是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在矩形中，．若點E是邊AD上的一個動點，過點E作且分別交對角線AC，直線BC于點O、F，則在點E移動的過程中，的最小值為．【答案】【分析】過點D作交BC于M，過點A作，使，連接NE，當(dāng)N、E、C三點共線時，，分別求出CN、AN的長度即可．【詳解】過點D作交BC于M，過點A作，使，連接NE，四邊形ANEF是平行四邊形，，當(dāng)N、E、C三點共線時，最小，四邊形ABCD是矩形，，，，四邊形EFMD是平行四邊形，，，，，，，，，即，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，，，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了利用軸對稱求最短距離問題，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點，準確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在正方形中，，是上的一點，且，，是，上的動點，且，，連接，，當(dāng)?shù)闹底钚r，的長為．【答案】3【分析】過點作于，設(shè)與的交點于點．證明，可得，推出的值最小時，的值最小，據(jù)此解答即可．【詳解】解：如圖，過點作于，設(shè)與的交點于點．∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴∵，，∴，∴，∴的值最小時，的值最小，以、為鄰邊作平行四邊形，則，∴，當(dāng)、、在同一直線上時，為最短，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，，∴，解得．即：，故答案為：3．【點睛】本題考查了軸對稱路線最短問題，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．4．如圖，在菱形中，，，G為邊上一動點，作于點，于點H，當(dāng)取得最小值時，．【答案】/【分析】作點O關(guān)于的對稱點，連接，，證明，，點、、F在同一直線上，且時，最小，作點O關(guān)于的對稱點，過點作，垂足為F，交于點G，交于點M，根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用三角函數(shù)和平行線的判定和性質(zhì)，求出即可．【詳解】解：作點O關(guān)于的對稱點，連接，，如圖所示：則，∵四邊形為菱形，∴，∴，∵，，∴，∴四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，∴點、、F在同一直線上，且時，最小，作點O關(guān)于的對稱點，過點作，垂足為F，交于點G，交于點M，如圖所示：∵四邊形為菱形，∴，，，，，∴為等邊三角形，∴，，∴，，∵點O關(guān)于的對稱點，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找出點G的位置．5．如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分別是邊BC和對角線BD上的動點，且BE＝DF，則AE+AF的最小值為．【答案】【分析】如圖，的下方作，在上截取，使得，連接，．證明，推出，，根據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖，的下方作，在上截取，使得，連接，．四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．6．如圖，四邊形ABCD為矩形，，，點E是AD所在直線的一個動點，點F是對角線BD上的動點，且，則的最小值是．【答案】【分析】延長至使得，連接，證明，進而可得，從而可得的最小值為的長，勾股定理求解即可．【詳解】如圖，延長至使得，連接，四邊形是矩形，，，在與中，，，在中，，，，在中，，，的最小值是．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．7．在平面直角坐標(biāo)系中，，過點B作直線BC∥x軸，點P是直線BC上的一個動點以AP為邊在AP右側(cè)作，使，且，連結(jié)AB、BQ，則周長的最小值為.【答案】【分析】先證明△AOB∽△APQ，得到，由△OAP～△BAQ，得到BQ=2OP，進而得到．作O關(guān)于直線的對稱點O’，連接，PO'，則OP=O'P，AO'=，根據(jù)兩邊之和大于第三邊即可得到，從而得到答案．【詳解】如圖所示．連接OP．在中，．又在中，又∵，∠OAB=∠PAQ，．∵OA=1．OB=，∴AB=，又P為直線上的動點．∴作O關(guān)于直線的對稱點O’，，連接，PO'．∴OP=O'P，AO'=，∴AP+OP=AP+PO'即的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是把△ABQ周長的最小值轉(zhuǎn)化為求AP+OP的最小值．8．如圖，在矩形中，，垂足為，動點分別在上，則的值為，的最小值為．【答案】3【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的長，設(shè)A點關(guān)于BD的對稱點A′，連接A′D，可證明△ADA′為等邊三角形，當(dāng)PQ⊥AD時，則PQ最小，所以當(dāng)A′Q⊥AD時AP＋PQ最小，從而可求得AP＋PQ的最小值等于DE的長．【詳解】設(shè)，則，∵四邊形為矩形，且，，，，又，，，即，，在中，由勾股定理可得，即，解得：，，如圖，設(shè)點關(guān)于的對稱點為，連接，則，是等邊三角形，,∴當(dāng)、三點在一條線上時，最小，由垂線段最短可知當(dāng)時，最小，．故答案是：3；．【點睛】本題主要考查軸對稱的應(yīng)用，利用最小值的常規(guī)解法確定出A的對稱點，從而確定出AP＋PQ的最小值的位置是解題的關(guān)鍵，利用條件證明△A′DA是等邊三角形，借助幾何圖形的性質(zhì)可以減少復(fù)雜的計算．9．如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，點E是AB邊上一動點，連接ED，將ED繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DF，CF，則DF+CF的最小值是．【答案】【分析】連接，過點作交延長線于點，通過證明，確定點在的射線上運動；作點關(guān)于的對稱點，由三角形全等得到，從而確定點在的延長線上；當(dāng)、、三點共線時，最小，在中，，，求出即可．【詳解】解：連接，過點作交延長線于點，，∴，∵，∴∠EDA=∠FEG，在△AED和△GFE中，，，點在的射線上運動，作點關(guān)于的對稱點，，，，，，，點在的延長線上，當(dāng)、、三點共線時，最小，在中，，，，的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，軸對稱求最短路徑．能夠?qū)⒕€段的和通過軸對稱轉(zhuǎn)化為共線線段是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E為BC上的一點且BE＝2，P為AD上的一動點，過點P作PQ⊥PE，且∠PEQ＝60°，則AQ+EQ的最小值為．【答案】2【分析】過點E作EF⊥AD于F，作∠FEM=60°交AD的延長線于M，連接EM，EQ，QM，證明∠FMQ=60°，推出點Q在過點M且垂直于EM的直線上運動，作點A關(guān)于直線QM的對稱點N，連接EN，MN，過點E作EG⊥NM交NM的延長線于點G，此時AQ+EQ=NE的值最小．【詳解】解：如圖：過點E作EF⊥AD于F，作∠FEM=60°交AD的延長線于M，連接EM，EQ，QM，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=5，∠B=∠A=90°，∵EF⊥AD，∴∠AFE=90°，∴四邊形ABEF是矩形，∴AB=EF=4，BE=AF=2，∵∠FEM=60°，∠EFD=90°，∴∠EMF=30°，∴EM=8，∴FM=，EM=2EF，∵∠PEQ＝60°，PQ⊥PE，∴∠PQE=30°，∴EQ=2PE，∵，∠PEQ＝∠FEM=60°，∴∠PEF=∠QEM，∴△PEF∽△QEM，∴∠PFE=∠QME=90°，∵∠EMF=30°，∴∠FMQ=60°，∴點Q在過點M且垂直于EM的直線上運動，作點A關(guān)于直線QM的對稱點N，連接EN，MN，過點E作EG⊥NM交NM的延長線于點G，∵AM=MN=AF+FM=6,∠AMQ=∠NMQ=60°,∴∠AMN=120°∴∠AMG=180°-120°=60°,∵∠EMF=30°，∴∠EMG=30°，∴EG=EM=4，MG=，∵AM=MN，∴NG=MG+MN=MG+AM=10，在RtΔEGN中，EN=．∵AQ+EQ=NQ+EQ≥EN，∴當(dāng)且僅當(dāng)E、Q、N三點共線時，AQ+EQ的最小值為2，故答案為：2．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)及最值問題，掌握它們的性質(zhì)是解決此題關(guān)鍵．11．如圖，四邊形是平行四邊形，，，，點、是邊上的動點，且，則四邊形周長的最小值為．

【答案】【分析】根據(jù)題意，將點沿向右平移2個單位長度得到點，作點關(guān)于的對稱點，連接，交于點，在上截取，連接，，此時四邊形的周長為，則當(dāng)點、、三點共線時，四邊形的周長最小，進而計算即可得解．【詳解】如下圖，將點沿向右平移2個單位長度得到點，作點關(guān)于的對稱點，連接，交于點，在上截取，連接，，∴，，此時四邊形的周長為，當(dāng)點、、三點共線時，四邊形的周長最小，，，，經(jīng)過點，，，，，，，四邊形周長的最小值為，故答案為：．

【點睛】本題主要考查了四邊形周長的最小值問題，涉及到含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握相關(guān)軸對稱作圖方法以及線段長的求解方法是解決本題的關(guān)鍵．12．如圖，在菱形中，過點作交對角線于點，連接，點是線段上一動點，作關(guān)于直線的對稱點，點是上一動點，連接，．若，，則的最大值為．【答案】/【分析】延長DE，交AB于點H，確定點B關(guān)于直線DE的對稱點F，由點B，D關(guān)于直線AC對稱可知QD=QB，求最大，即求最大，點Q，B，共線時，，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可得最大，當(dāng)點與點F重合時，得到最大值.連接BD，即可求出CO，EO，再說明，可得DO，根據(jù)勾股定理求出DE，然后證明，可求BH，即可得出答案．【詳解】延長DE，交AB于點H，∵，ED⊥CD，∴DH⊥AB．取FH=BH，∴點P的對稱點在EF上．由點B，D關(guān)于直線AC對稱，∴QD=QB．要求最大，即求最大，點Q，B，共線時，，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可得最大，當(dāng)點與點F重合時，得到最大值BF．連接BD，與AC交于點O．∵AE=14,CE=18，

∴AC=32，∴CO=16，EO=2．∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，∴∠DEO=∠CDO．∵∠EOD=∠DOC，∴，∴，即，

解得，∴．在Rt△DEO中，．∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，∴，∴，即，解得，∴．故答案為：．【點睛】這是一道根據(jù)軸對稱求線段差最大的問題，考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等，確定最大值是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在邊長為的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，則的最小值為.【答案】【分析】過C點作BD的平行線，以為對稱軸作B點的對稱點，連接交直線于點，當(dāng)三點共線時取最小值，再根據(jù)勾股定理即可求解.【詳解】如圖，過C點作BD的平行線，以為對稱軸作B點的對稱點，連接交直線于點根據(jù)平移和對稱可知，當(dāng)三點共線時取最小值，即，又，根據(jù)勾股定理得，，故答案為【點睛】此題主要考查菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平移的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用.14．如圖，直線，在直線上方作等邊，點B，C在直線上，延長交直線于點D，在上方作等邊，點F在直線上且在點D右邊．動點M，N分別在直線，上，且，若，則的最小值是．【答案】【分析】將沿直線翻折得到，則三點共線，過點作于點連接，證明四邊形是平行四邊形，推出再根據(jù)，求出可得結(jié)論【詳解】解：∵和是等邊三角形，∴∴，∴如圖，將沿直線翻折得到，則∴∴三點共線，過點作于點連接，∴四邊形是等腰梯形，，∴∴四邊形是平行四邊形，，的最小值為：，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱最短問題,等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想解決問題．15．如圖，在中，，，．D，E分別是邊，上的動點，且，則的最小值為．【答案】【分析】過作于，使，連接、，即可得到，，即最小值為的長．【詳解】方法一：過作于，使，連接、，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)三點共線時有最小值，最小值為的長∵∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴∴的最小值為，故答案為：．方法二：，則，，∴，設(shè)，∴∴可以看成點到點和的距離之和，∴當(dāng)、、三點共線時最小，最小值，∴最小值為．【點睛】本題考查三角形相似的性質(zhì)和判定、兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是準確的構(gòu)造輔助線解決最短問題，屬于中考填空題中的壓軸題．16．如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B為圓心作圓B與AC相切，點P是圓B上任一動點，連接PA、PC，則PA+PC的最小值為．【答案】【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，PB，AD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得BH為⊙B的半徑，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BH＝AC＝，接著證明△BPD∽△BCP得到PD＝PC，所以PA+PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、D共線時取等號），從而計算出AD得到PA+PC的最小值，乘以可得結(jié)論．【詳解】解：過B作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，PB，AD，∵AC為切線，∴BH為⊙B的半徑，∵∠B＝90°，AB＝CB＝2，∴AC＝BA＝2，∴BH＝AC＝，∴BP＝，∴，，∴，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，∴，∴PD＝PC，∴PA+PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、D共線時且P在AD之間時取等號），而AD＝＝，∴PA+PD的最小值為，即PA+PC的最小值為，則PA+PC的最小值．故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．解決問題的關(guān)鍵是利用相似比確定線段之間的關(guān)系．同時也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．17．在中，斜邊，，點D是AC邊上的一個動點，連接BD，將線段BD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接CE，則BE＋CE的最小值為．【答案】【分析】如圖，取AB的中點T，連接DT，CT，證明△DBT≌△EBC（SAS），推出DT=CE，欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作點B關(guān)于AC的對稱點L，連接DL．AL，TL，則DB=DL，由DT+DB=DT+DL≥LT=，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，取AB的中點T，連接DT，CT，∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∵AT=TB，∴CT=AT=TB，∴△BCT是等邊三角形，∴∠TBC=∠DBE=60°，∴∠DBT=∠EBC，在△DBT和△EBC中，∴△DBT≌△EBC（SAS），∴DT=CE，欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作點B關(guān)于AC的對稱點L，連接DL．AL，TL，則DB=DL，∵AC⊥BL，CL=CB，∴AL=AB，∵∠ABL=60°，∴△ABL是等邊三角形，∵AT=TB=1，∴LT⊥AB，∴LT=BT=，∵DT+DB=DT+DL≥LT=，∴DT+DB的最小值為，∴BE+EC的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱-最短問題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．18．在中，，，為線段上的動點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，點是上一點，連接．若，，則的最小值是．【答案】【分析】如圖所示，作點C關(guān)于直線BE的對稱點I，連接IE，然后推出當(dāng)I、E、F三點共線，且IF⊥BC時，EF+IE最小，此時點F與點J重合；連接BI，過點C作CH⊥AB于H，先求出，然后證明△ABC∽△DCE，得到∠ACB=∠DCE，從而可證△ACD∽△BCE，推出∠CIJ=∠CBE=∠A，設(shè)IJ=x，則，，由，得到，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，作點C關(guān)于直線BE的對稱點I，連接IE，∴IE=CE，∴CE+EF=IE+EF，要使CE+EF最小，則EF+IE最小，∴當(dāng)I、E、F三點共線，且IF⊥BC時，EF+IE最小，此時點F與點J重合，連接BI，過點C作CH⊥AB于H，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵AB=AC=5，∴BH=1，∴，∴由軸對稱的性質(zhì)可得，∵AC=AB，DC=DE，∴，又∵∠CDE=∠A，∴△ABC∽△DCE，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴∠CBE=∠A，∵∠BCI+∠CBE=90°，∠CIJ+∠BCI=90°，∴∠CIJ=∠CBE=∠A，∴，設(shè)IJ=x，則，，∵，∴，解得或（舍去），∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了軸對稱最短路徑問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，已知正切值求邊長，勾股定理等等，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線．19．如圖，平行四邊形ABCD，，，，點E、F為對角線BD上的動點，，連接AE、CF，則的最小值為．【答案】【分析】如圖，在直線DB的上方作，且使得．過點T作交AD的延長線于H．首先利用相似三角形的性質(zhì)證明，解直角三角形求出AT，根據(jù)，推出，即可解決問題．【詳解】解：如圖，在直線DB的上方作，且使得．過點T作交AD的延長線于H，連接ET、AT．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∴，∴，∵，∴∽，∴，∴，∵，，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題屬四邊形綜合題目，考查平行四邊形的性質(zhì)，兩點之間線段最短，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，作輔助線構(gòu)造直角三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分別以A，B為旋轉(zhuǎn)中心，把邊AC，BA逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，BD，連接BE，CD相交于點P，已知AB=3，AC=2，∠APB=120°，則PA+PB+PC的大小為．【答案】【分析】連接AD=CE，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABD和△ACE是等邊三角形，可推出∠DAC=∠EAB，利用SAS證明△ADC≌△ABE，利用全等三角形的性質(zhì)可證得∠AEB=∠ACD，可得到∠APF=60°，在PE上截取PF=PA，可推出△APF是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得到∠PAF=60°；再證明∠EAF=∠PAC，可推出△AFE≌△APC，由此可證得AP+BP+CP=BE；過點E作EG⊥BA，交BA的延長線于點G，利用勾股定理求出GE，AG的長，從而可求出BG的長，然后利用勾股定理求出BE的長，進而即可求解．【詳解】連接AD，CE，∵分別以A，B為旋轉(zhuǎn)中心，把邊AC，BA逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，BD，∴AB=BD，AE=AC，∠ABD=∠EAC=60°，∴△ABD和△ACE是等邊三角形，∴∠DAC=∠EAB=90°+60°=150°，在△ADC和△ABE中∵，∴△ADC≌△ABE（SAS）∴∠AEB=∠ACD，∵∠APB=120°，∴∠APF=60°，在PE上截取PF=PA，∴△APF是等邊三角形，∴∠PAF=60°，∴∠EAF+∠BAP=150°-60°=90°，∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，∴∠EAF=∠PAC，∵AE=AC，∠AEB=∠ACD，∴△AFE≌△APC，∴PC=FE∴AP+BP+CP=PF+BP+FE=BE過點E作EG⊥BA，交BA的延長線于點G，∵∠GAE=180°-150°=30°，∵AE=AC=，∴GE=

，，∴BG=AB+AG=3+3=6，∴，∴AP+BP+CP=．故答案為：．【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點Q是一次函數(shù)的圖象上一動點，將Q繞點順時針旋轉(zhuǎn)到點P，連接，則的最小值．【答案】．【分析】取D(2，-2)，連接CD、DQ，作C′點與點C關(guān)于直線對稱，連接QC′，則由題意可得△OCP≌△DCQ，CP=CQ=C′Q，所以當(dāng)且僅當(dāng)C′、Q、D共線時PO+PC=DQ+CQ=DQ+C′Q=DC′為最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，取D(2，-2)，則CD⊥x軸，即CD⊥OC且CD=OC=2，連結(jié)DQ，依題CQ順時針旋轉(zhuǎn)90得到CP，∴∠QCP=90°且CQ=CP，在△OCP和△DCQ中，∴△OCP≌△DCQ(SAS)，∴OP=DQ，作C′點與點C關(guān)于直線對稱，則有CQ=C′Q，∴CP=CQ=C′Q，故PO+PC=DQ+CQ=DQ+C′Q≥DC′，當(dāng)且僅當(dāng)C′、Q、D共線時取等，由題意可以得到A、B坐標(biāo)分別為（0，4）、（8，0）設(shè)C′坐標(biāo)為（x，y），則由AC′=AC，BC′=BC可得：解之可得C′為（2，0）（與C同，舍去）或，∴DC′===∴的最小值為．故答案為．【點睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，方程組思想，一元二次方程的解法，構(gòu)造全等三角形與軸對稱把PO+PC轉(zhuǎn)化成DQ+C′Q是解題關(guān)鍵．22．如圖，在中，，，，點在內(nèi)，連接、、，則的最小值是．【答案】【分析】將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．作垂直AB的反向延長線于點E．過點A作于點F．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易求出，即利用含角的直角三角形的性質(zhì)可求出，即可證明，即說明當(dāng)點D在線段上時，最小，且最小值為的長．由旋轉(zhuǎn)又易求出，再次利用含角的直角三角形的性質(zhì)可求出和的長，即求出的長．最后在中，利用勾股定理即可求出的長．【詳解】如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．作垂直AB的反向延長線于點E．過點A作于點F．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)點D在線段上時，最小，且最小值為的長．∵，，∴，∴在中，，．∴，∴在中，．故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，兩點之間線段最短以及勾股定理等知識，較難．能夠想到利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出復(fù)雜的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．23．如圖，在中，，，為邊上的一個動點（不與、重合），連接，則的最小值是．【答案】【分析】以A為頂點，為一邊，在下方作，過B作于D，交于P，由是等腰直角三角形的，即，故取最小值即是取最小值，此時B、P、D共線，且，的最小值即是的長，根據(jù)，，可得，即可得答案．【詳解】解：以A為頂點，為一邊，在下方作，過B作于D，交于P，如圖：由作圖可知：是等腰直角三角形，∴，∴，∴取最小值即是取最小值，此時B、P、D共線，且，的最小值即是的長，∵，，∴，∴，，∴的最小值是．故答案為：．【點睛】本題考查三角形中的最小路徑，解題的關(guān)鍵是作輔助線，把的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值．24．已知，點為射線上一點，點為的中點，且.當(dāng)點在射線上運動時，則與和的最小值為．【答案】【分析】作點D關(guān)于OA的對稱點D′，連接CD′交OA于點P′，連接DP,，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到P′D′=P′D，此時DP′+CP′=CD′即為PC+PD的最小值，根據(jù)已知條件計算求出結(jié)果即可．【詳解】解：作點D關(guān)于OA的對稱點D′，連接CD′交OA于點P′，連接DP′，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到P′D′=P′D，此時DP′+CP′=CD′即為PC+PD的最小值.設(shè)DD′與OA交于點E，∵∠O=30°，OD=3，由對稱性可知∠DEO=90°,∴∠ODE=60°，DE=OD=,∴DD′=2DE=3,∴DD′=CD，∴∠D′=∠DCD′=∠ODE=30°，∴∠EDP′=∠D′=30°，∴∠ODP′=∠ODE+∠EDP′=90°，∴在Rt△ODP′中，∠O=30°，OD=3，∴DP′=∴CP′=2DP′=2∴DP′+CP′=3故與和的最小值為3【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，兩點之間線段最短的性質(zhì)．得出動點所在的位置是解題的關(guān)鍵．