靜態(tài)場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解

關(guān)于靜態(tài)場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解126.1邊值問(wèn)題的類型

已知場(chǎng)域邊界面S上的位函數(shù)值，即

第一類邊值問(wèn)題（或狄里赫利問(wèn)題）已知場(chǎng)域邊界面S上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即已知場(chǎng)域一部分邊界面S1上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面S2上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即

第三類邊值問(wèn)題（或混合邊值問(wèn)題）

第二類邊值問(wèn)題（或紐曼問(wèn)題）第2頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天3自然邊界條件（無(wú)界空間）周期邊界條件銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如第3頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天4例：（第一類邊值問(wèn)題）（第三類邊值問(wèn)題）例：第4頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天5在場(chǎng)域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場(chǎng)域V具有唯一值。6.2唯一性定理

唯一性定理的重要意義給出了靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題具有唯一解的條件為靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)

唯一性定理的表述第5頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天6

唯一性定理的證明反證法：假設(shè)解不唯一，則有兩個(gè)位函數(shù)和在場(chǎng)域V內(nèi)滿足同樣的方程，即且在邊界面S上有令，則在場(chǎng)域V內(nèi)且在邊界面S上滿足同樣的邊界條件?；蚧虻?頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天7由格林第一恒等式可得到對(duì)于第一類邊界條件：對(duì)于第二類邊界條件：若和取同一點(diǎn)Q為參考點(diǎn)，則對(duì)于第三類邊界條件：第7頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天8

本節(jié)內(nèi)容

6.3.1鏡像法的基本原理

6.3.2接地導(dǎo)體平面的鏡像

6.3.3點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)平面的鏡像

6.3.4線電流與無(wú)限大磁介質(zhì)平面的鏡像

6.3.5導(dǎo)體球面的鏡像

6.3.6導(dǎo)體圓柱面的鏡像

6.3鏡像法第8頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天9當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場(chǎng)的分布。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代1.

問(wèn)題的提出幾個(gè)實(shí)例q6.3.1鏡像法的基本原理接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所示。q′非均勻感應(yīng)電荷等效電荷第9頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天10接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電荷為線電荷。q非均勻感應(yīng)電荷q′等效電荷

結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷或線電荷的作用。

問(wèn)題：這種等效電荷是否存在？這種等效是否合理？第10頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天112.鏡像法的原理用位于場(chǎng)域邊界外虛設(shè)的較簡(jiǎn)單的鏡像電荷分布來(lái)等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，在保持邊界條件不變的情況下，將邊界面移去，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無(wú)限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過(guò)程得以明顯簡(jiǎn)化的一種間接求解法。第11頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天123.

鏡像法的理論基礎(chǔ)——解的唯一性定理

在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)唯一性定理，只要找出的解答滿足在同一給定方程下問(wèn)題所給定的邊界條件，那就是該問(wèn)題的解答，并且是唯一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場(chǎng)問(wèn)題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法。第12頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天13像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小——“三要素”。4.鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)5.

確定鏡像電荷的兩條原則

等效求解的“有效場(chǎng)域”。

鏡像電荷的確定

像電荷必須位于所求解的場(chǎng)區(qū)域以外的空間中。

像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場(chǎng)區(qū)域的邊界條件來(lái)確定。第13頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天141.點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。6.3.2接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷電位函數(shù)因z=0時(shí)，有效區(qū)域qq第14頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天15上半空間(z≥0）的電位函數(shù)q導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為第15頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天162.線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像線電荷：滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得的解是正確的。電位函數(shù)當(dāng)z=0時(shí)，有效區(qū)域第16頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天17例6-7一水平架設(shè)的雙線傳輸線，距地面的高度為h，兩線間的距離為d，導(dǎo)線的半徑為a，如圖所示。求雙線傳輸線單位長(zhǎng)度的電容。設(shè)d>>a,h>>a。解：把地面作為無(wú)限大導(dǎo)體平面，電位為0，因?yàn)閍<<(d,h)，所以可近似把及看作是分別處在傳輸線軸線上，采用鏡像法求解。鏡像電荷的分布如圖所示。地面上部空間任一點(diǎn)P的電位就等于這四個(gè)線電荷所產(chǎn)生的電位之和，即導(dǎo)線1的電位第17頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天18第18頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天19第19頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天203.點(diǎn)電荷對(duì)相交半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無(wú)限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷q位于(d1,d2)處。顯然，q1對(duì)平面2以及q2對(duì)平面1均不能滿足邊界條件。對(duì)于平面1，有鏡像電荷q1=－q，位于(－d1,d2)對(duì)于平面2，有鏡像電荷q2=－q，位于(d1,－d2)只有在(－d1,－d2)處再設(shè)置一鏡像電荷q3=q，所有邊界條件才能得到滿足。電位函數(shù)

d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1第20頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天21

例6.3.1

一個(gè)點(diǎn)電荷q與無(wú)限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？

解：移動(dòng)電荷q時(shí)，外力需要克服電場(chǎng)力做功，而電荷q受的電場(chǎng)力來(lái)源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷。可以先求電荷q移至無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。q'qx

=∞

0d-d由鏡像法，感應(yīng)電荷可以用像電荷

替代。當(dāng)電荷q移至x時(shí)，像電荷

應(yīng)位于－x，則像電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度第21頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天226.3.3點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)平面的鏡像

圖1點(diǎn)電荷與電介質(zhì)分界平面特點(diǎn)：在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時(shí)，空間中任一點(diǎn)的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。圖2介質(zhì)1的鏡像電荷問(wèn)題：如圖1所示，介電常數(shù)分別為和的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無(wú)限大平面，在電介質(zhì)1中有一個(gè)點(diǎn)電荷q，距分界平面為h，求空間各點(diǎn)的電位

。分析方法：計(jì)算電介質(zhì)1中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)2中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖2所示。第22頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天23介質(zhì)1中的電位為計(jì)算電介質(zhì)2中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)1中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖3所示。介質(zhì)2中的電位為圖3介質(zhì)2的鏡像電荷第23頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天24可得到說(shuō)明：對(duì)位于無(wú)限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無(wú)限長(zhǎng)線電荷（單位長(zhǎng)度帶），其鏡像電荷為利用電位滿足的邊界條件第24頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天25圖1線電流與磁介質(zhì)分界平面圖2磁介質(zhì)1的鏡像線電流特點(diǎn)：在直線電流I

產(chǎn)生的磁場(chǎng)作用下，磁介質(zhì)被磁化，在分界面上有磁化電流分布，空間中的磁場(chǎng)由線電流和磁化電流共同產(chǎn)生。問(wèn)題：如圖1所示，磁導(dǎo)率分別為和的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無(wú)限大平面，在磁介質(zhì)1中有一根無(wú)限長(zhǎng)直線電流平行于分界平面，且與分界平面相距為h。分析方法：在計(jì)算磁介質(zhì)1中的磁場(chǎng)時(shí)，用置于介質(zhì)2中的鏡像線電流來(lái)代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，如圖2所示。6.3.4線電流與無(wú)限大磁介質(zhì)平面的鏡像第25頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天26因?yàn)殡娏餮貀軸方向流動(dòng)，所以矢量磁位只有y分量，則磁介質(zhì)1和磁介質(zhì)2中任一點(diǎn)的矢量磁位分別為圖3磁介質(zhì)2的鏡像線電流在計(jì)算磁介質(zhì)2中的磁場(chǎng)時(shí)，用置于介質(zhì)1中的鏡像線電流來(lái)代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，如圖3所示。第26頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天27相應(yīng)的磁場(chǎng)可由求得?？傻玫焦世檬噶看盼粷M足的邊界條件第27頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天286.3.5導(dǎo)體球面的鏡像1.點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q'來(lái)等效。q'

應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），且在點(diǎn)電荷q與球心的連線上，距球心為d'。則有如圖所示，點(diǎn)電荷q位于半徑為a的接地導(dǎo)體球外，距球心為d。方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定

和q′。

問(wèn)題：

PqarRdqPaq'rR'Rdd'第28頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天29令r＝a，由球面上電位為零，即

＝0，得此式應(yīng)在整個(gè)球面上都成立。qPq'aR'Rdd'O為了確定和，可在球面上取過(guò)的直徑的兩端點(diǎn)，對(duì)于這兩端點(diǎn)的電位式為第29頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天30由以上兩方程解得第30頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天31可見(jiàn)，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。球外的電位函數(shù)為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為球面上的感應(yīng)電荷面密度為第31頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天32點(diǎn)電荷對(duì)接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為a

、外半徑為b，點(diǎn)電荷q位于球殼內(nèi)，與球心相距為d(d<a)。

由于球殼接地，感應(yīng)電荷分布在球殼的內(nèi)表面上。鏡像電荷q應(yīng)位于導(dǎo)體球殼外，且在點(diǎn)電荷q與球心的連線的延長(zhǎng)線上。

|q'|>|q|，可見(jiàn)鏡像電荷的電荷量大于點(diǎn)電荷的電荷量像電荷的位置和電量與外半徑b無(wú)關(guān)（為什么？）aqdobq'rR'RaqdOd'與點(diǎn)荷位于接地導(dǎo)體球外同樣的分析，可得到第32頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天33球殼內(nèi)的電位感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上，電荷面密度為導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上的總感應(yīng)電荷為可見(jiàn)，在這種情況下，鏡像電荷與感應(yīng)電荷的電荷量不相等。第33頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天342.點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為q'的感應(yīng)電荷分布，則

導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)：導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面；球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng)電荷為零。

采用疊加原理來(lái)確定鏡像電荷點(diǎn)電荷q位于一個(gè)半徑為a的不接地導(dǎo)體球外，距球心為d。PqarRdO第34頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天35然后斷開(kāi)接地線，并將電荷－q'加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷－q'可用一個(gè)位于球心的鏡像電荷q"來(lái)替代，即球外任意點(diǎn)的電位為qPaq'rR'Rdd'q"O第35頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天366.3.6導(dǎo)體圓柱面的鏡像問(wèn)題：如圖1所示，一根電荷線密度為的無(wú)限長(zhǎng)線電荷位于半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的距離為d。圖1線電荷與導(dǎo)體圓柱圖2線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像特點(diǎn)：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線平行的無(wú)限長(zhǎng)線電荷，如圖2所示。1.線電荷對(duì)接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像第36頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天37由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng)時(shí)，電位應(yīng)為零，即

所以有設(shè)鏡像電荷的線密度為，且距圓柱的軸線為，則由和共同產(chǎn)生的電位函數(shù)由于上式對(duì)任意的都成立，因此，將上式對(duì)求導(dǎo)，可以得到第37頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天38導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：由時(shí)，故導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷為導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。第38頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天392.兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸圖1兩平行圓柱導(dǎo)體圖2兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸特點(diǎn)：由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場(chǎng)互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對(duì)的一側(cè)電荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為、且相距為2b的兩根無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)線來(lái)等效替代，如圖2所示。問(wèn)題：如圖1所示，兩平行導(dǎo)體圓柱的半徑均為a，兩導(dǎo)體軸線間距為2h，單位長(zhǎng)度分別帶電荷和。第39頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天40圖2兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸通常將帶電細(xì)線所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。由

利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像確定b

。思考：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導(dǎo)體問(wèn)題？導(dǎo)體圓柱外任一點(diǎn)的電位為第40頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天416.4分離變量法

本節(jié)內(nèi)容

6.4.1分離變量法解題的基本原理

6.4.2直角坐標(biāo)系中的分離變量法

6.4.3圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法

6.4.4球坐標(biāo)系中的分離變量法第41頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天42

將偏微分方程中含有n個(gè)自變量的待求函數(shù)表示成n個(gè)各自只含一個(gè)變量的函數(shù)的乘積，把偏微分方程分解成n個(gè)常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來(lái)，得到級(jí)數(shù)形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)。

分離變量法是求解邊值問(wèn)題的一種經(jīng)典方法

分離變量法的理論依據(jù)是唯一性定理

分離變量法解題的基本思路：6.4.1分離變量法解題的基本原理第42頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天43在直角坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z無(wú)關(guān)，則拉普拉斯方程為6.4.2直角坐標(biāo)系中的分離變量法將

(x,y)表示為兩個(gè)一維函數(shù)X(x)和Y(y)的乘積，即將其代入拉普拉斯方程，得再除以X(x)Y(y)，有分離常數(shù)第43頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天44若取λ＝－k2，則有當(dāng)當(dāng)?shù)?4頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天45將所有可能的

(x,y)線性疊加起來(lái)，則得到位函數(shù)的通解，即若取λ＝k2，同理可得到通解中的分離常數(shù)和待定系數(shù)由給定的邊界條件確定。第45頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天46

例6.4.1

無(wú)限長(zhǎng)的矩形金屬導(dǎo)體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計(jì)算此導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。解：位函數(shù)滿足的方程和邊界條件為因

(0,y)＝0、

(a,y)＝0，故位函數(shù)的通解應(yīng)取為第46頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天47確定待定系數(shù)第47頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天48將U0

在（0,a）上按展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，即其中第48頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天49由故得到第49頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天506.4.3圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法

令其解為代入方程，可得到由此可將拉普拉斯方程分離為兩個(gè)常微分方程

在圓柱坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z

無(wú)關(guān)，則拉普拉斯方程為通常

(ρ,

)隨變量

的變化是以2

為周期的周期函數(shù)。因此，分離常數(shù)k

應(yīng)為整數(shù)，即k

＝n(n＝0,1,2,…

)。第50頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天51當(dāng)n=0時(shí)

考慮到以上各種情況，電位微分方程的解可取下列一般形式

當(dāng)n≠0時(shí)

第51頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天52

解選取圓柱坐標(biāo)系，令z

軸為圓柱軸線，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與x軸一致，即

當(dāng)導(dǎo)體圓柱處于靜電平衡時(shí)，圓柱內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，圓柱為等位體，圓柱表面電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量為零，且柱外的電位分布函數(shù)應(yīng)與z無(wú)關(guān)。解的形式可取前述一般形式，但應(yīng)滿足下列兩個(gè)邊界條件：

例6.4.2均勻外電場(chǎng)中，有一半徑為a、介電常數(shù)為ε的無(wú)限長(zhǎng)均勻介質(zhì)圓柱，其軸線與外電場(chǎng)垂直，圓柱外為空氣，如圖所示。試求介質(zhì)圓柱內(nèi)、外的電位函數(shù)和電場(chǎng)強(qiáng)度。

xyaE0oεP(ρ,

)第52頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天53①由于圓柱表面電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量為零，即②無(wú)限遠(yuǎn)處的電場(chǎng)未受到擾動(dòng)，因此電位應(yīng)為那么，根據(jù)應(yīng)滿足的邊界條件即可求得系數(shù)C1、D1

應(yīng)為此式表明，無(wú)限遠(yuǎn)處電位函數(shù)僅為cos

的函數(shù)，可見(jiàn)系數(shù)，且。因此電位函數(shù)為第53頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天54代入前式，求得柱外電位分布函數(shù)為則圓柱外電場(chǎng)強(qiáng)度為E0電場(chǎng)線等位面xya

圓柱外電場(chǎng)線、等位面以及圓柱表面的電荷分布如圖所示。圓柱表面的電荷分布第54頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天556.4.4球坐標(biāo)系中的分離變量法

電位微分方程在球坐標(biāo)系中的展開(kāi)式為令代入上式，得與前同理，

的解應(yīng)為且第55頁(yè),共62頁(yè)，2024年2月25日，星期天56上式中第一項(xiàng)僅為r的函數(shù)，第二項(xiàng)與r無(wú)關(guān)。因此，與前同理第一項(xiàng)應(yīng)為常數(shù)。為了便于進(jìn)一步求解，令

式中n為整數(shù)。這是尤拉方程，其通解為且令，則上式變?yōu)樯鲜綖檫B帶勒讓德方程，其通解為第一類連帶勒讓德函數(shù)與第二類連帶勒讓德函數(shù)之和，這里m<