焦點(diǎn)三角形的面積公式-2023年高考數(shù)學(xué)高效速解突破技巧含答案

專題12焦點(diǎn)三角形的面積公式備戰(zhàn)2023年高

考數(shù)學(xué)高效速解突破技巧

專題12焦點(diǎn)三角形的面積公式

一、結(jié)論

1、橢圓中焦點(diǎn)三角形面積公式

22

在橢圓T+六=1（?！?。〉。）中，6,與分別為左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，組PF[=e,△可鳥的面

積記為邑明乃，則:

①秋11匕）=。舊1

②%內(nèi)=白尸用II尸￡|sin。

n

③S“F內(nèi)=tan5,其中6=HP6.

2、雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積公式

在雙曲線0-1=1（。>0,b>0）中，耳，工分別為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，ZFtPF2=0,

ab

反耳￡的面積記為5“尸內(nèi)，貝I：

①邑呻=；莊6舊tc舊I

③品的=--Q

tan—

2

注意：在求圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形面積時，根據(jù)題意選擇適合的公式，注意結(jié)合圓錐曲線的定義，余弦定

理，基本不等式等綜合應(yīng)用.

二、典型例題

例題1.（2023春?四川眉山?高二四川省眉山第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知橢圓。:《+片=1的兩焦點(diǎn)

126

分別為片，B，P為橢圓上一點(diǎn)，且/片質(zhì)=60。，則的面積等于（）.

A.6B.2GC.45/3D.6行

例題2.（2021?高二課時練習(xí)）已知雙曲線工-仁=1的左右焦點(diǎn)分別為6,八,若雙曲線上一點(diǎn)P使得

97

N片「6=60",求△耳/3周的面積（)

A.—B.C.773D.14百

33

例題3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線C：￡-￡=1（a>0,力0）的左、右焦點(diǎn)分別為月，居

a"b~

離心率為右.P是C上一點(diǎn),且耳瑪P.若APGB的面積為4,則。=（）

A.1B.2C.4D.8

三、針對訓(xùn)練舉一反三

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓會+《=1的焦點(diǎn)為耳、F2,尸為橢圓上的一點(diǎn)，若“用2=60。,

則△環(huán)尸死的面積為（）

A.3B.9C.3GD.9G

2.（2019秋?吉林四平?高二四平市第一高級中學(xué)?？计谥校┰O(shè)耳巴是橢圓I+[=l的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)M在

2516

橢圓上，若△胡6月是直角三角形，則△叫工的面積等于（）

4836,48T「

A.—B.—C.16D.—或16

555

3.（2022秋?江蘇南京?高二統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P為橢圓C:[+E=1（。>2）上一點(diǎn)，后，工分別為C的

a4

左、右焦點(diǎn)，且/耳空=60。，則△尸片鳥的面積為（）

A.473B.273C.D.

33

4.（2022?高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)P在橢圓江+亡=1上，耳與瑪分別為左右焦點(diǎn)，若NF\PF,=則

1643

△歷尸鳥的面積為（）

A.4aB.6>/3C.8GD.16

5.（2021秋?江蘇南京?高三金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C：E-g=l（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)為尸，直

線、=履與雙曲線C交于力，8兩點(diǎn)（其中點(diǎn)/位于第一象限），NAFB=90°,且的面積為萬/,則

直線〃'的斜率為（）

6.（2020秋?江西上饒?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線￡-《=1（。＞0］＞0）的一條漸近線方程卜=2》，

ab~

且點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，且片，月為雙曲線左右焦點(diǎn)，AAE尸的面積為百，且N片「乙=60",則雙曲線

的實(shí)軸的長為（）

A.1B.2C.4D.473

7.（2022秋?湖南懷化?高二?？茧A段練習(xí)）橢圓工+片=1的焦點(diǎn)為片、F2,橢圓上的點(diǎn)尸滿足

10064

/月尸8=60',則5,不號=（）

A166R6464691百

3333

8.（2020?吉林長春?高二長春外國語學(xué)校?？计谥校┮阎?，鳥為楠圓二+尤=1的兩個焦點(diǎn)，尸是橢

10064

圓上任意一點(diǎn),若N耳尸鳥=2,則△耳尸片的面積為（〉

646473_128128百

A.—R

3333

9.（2020秋?山西大同?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知耳、名為雙曲線C:：-V=］的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在c上,

HP%=60,則APF\F［的面積為（）

A.百B.立C.2D.2G

32

10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知雙曲線,-，=1的左、右集點(diǎn)分別為耳、F2,若雙曲線上點(diǎn)尸使

/RPR=90。，則的面積是（）

A.12B.16C.24D.32

11.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)耳，B為雙曲線X?-金=1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足

4

“尸月二90。，則△片次的面積為（）

A.2B.V5C.4D.275

專題12焦點(diǎn)三角形的面積公式

一、結(jié)論

1、橢圓中焦點(diǎn)三角形面積公式

v.2/

在橢圓*+J=l（a〉b>0）中，大，耳分別為左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，^PF2=0,△可鳥的面

ab

積記為邑移島，則:

①邑叱=5百FI匕下c|d

②見兩&=5尸"II尸居Isin。

③=b?tan5,其中6=NF\PF2.

2、雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積公式

22

在雙曲線三—4=1（。>0,b>0）中，耳，鳥分別為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，N與”=6,

ab~

△7,6的面積記為SMFF2，貝I：

①SA呻=；比凡1舊卜。舊|

②SM"2=；1P￡III尸入IsinO

③=-g

tan—

2

注意：在求圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形面積時，根據(jù)題意選擇適合的公式，注意結(jié)合圓錐曲線的定義，余弦定

理，基本不等式等綜合應(yīng)用.

二、典型例題

例題1.（2023春?四川眉山?高二四川省眉山第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知橢圓。:《+片=1的兩焦點(diǎn)

126

分別為片，B,p為橢圓上一點(diǎn)，且4戶5=60。，則的面積等于（）.

A.6B.2GC.46D.65/3

【答案】B

【詳解】由與P是橢圓上一點(diǎn)，??.|S|+|P用=2a=40，

兩邊平方可得戶片f+|尸乙『+2|尸￡||「周=48,即『+|尸閭2=48-2|尸劇|尸瑪|,

|MRpg「24

根據(jù)余弦定理可得「

由于/片「g=60’，內(nèi)用=2c=2指,

2附||吟

綜上可解得歸/訃歸閭=8,.?.△耳尸鳥的面積等于；|「用|昨忖1160。=26,

故選：B

另解：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式，求=〃tang,其中6=/片尸居，由題意知〃=6,6=?，代

2

入SSPFM=/)tan—=6-tan—=243

26

【反思】焦點(diǎn)三角形問題，常規(guī)方法往往涉及到圓錐曲線的定義，利用定義，余弦定理求解，特別提醒,

7e

在圓錐曲線中，定義是解題的重要工具.另外作為二級結(jié)論，5AsB=/tan,要特別注意記憶

°

。=/耳產(chǎn)"表示的是哪個角.另外利用結(jié)論SA外儲=〃tan§求解焦點(diǎn)三角形面積適用選擇填空題，解答

題需先證后用.

例題2.（2021?高二課時練習(xí)）已知雙曲線二一片=1的左右焦點(diǎn)分別為百,巴，若雙曲線上一點(diǎn)P使得

97

NF\PFZ=60,求叢IP*的面積（）

A.氈B.電C.7石D.146

33

【答案】C

【詳解】???《-口=1，所以。=3,b=#i，c=4,

97

??,尸在雙曲線上，設(shè)「耳|=機(jī)，儼用=〃，

\m-n\=2a=6（1）

由N"P6=60。，在△與Pg根據(jù)余弦定理可得:

國瑪『=附『+附『一2附||叫際60。

故64=/+/-②

由①②可得〃偌=28,

直角△耳尸鳥的面積S9用6=?歸用sinN耳尸乙=gmnsin60°=773

故選：C.

S上兀

另解：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式，求一。，其中6=尸月，由題意知/=7，。=不，代入

tan-3

2

S心茨=表味6

233

【反思】焦點(diǎn)三角形問題，常規(guī)方法往往涉及到圓錐曲線的定義，利用定義，余弦定理求解，特別提醒，

在圓錐曲線中，定義是解題的重要工具.另外作為二級結(jié)論，=一號要特別注意記憶夕=/片尸只

tan—

2

表示的是哪個角.另外利用結(jié)論=—）求解焦點(diǎn)三角形面積適用選擇填空題，解答題需先證后用.

tan—

2

例題3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線C：=1（a>0,垃0）的左、右焦點(diǎn)分別為冗，F(xiàn)?

/b2

離心率為右.P是。上一點(diǎn)，且瑪尸.若村入的面積為4,則。=（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】A

【詳解】?.?：=右，.”=屈，根據(jù)雙曲線的定義可得||尸片-忸閭|=2〃，

S4PFF1=3秋|?歸周=4,即ISIM用=8,

PF2\PF22

?/FXPA.F2P,tI+21=（2c）,

.?.（|尸網(wǎng)-忸用）2+2|刊訃忸段=%2,BPa2-5a2+4=0,解得。=1，

故選：A.

0TC

另解：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式，求=/tan,,其中。=/月"，由題意知SM"2=4,0=-,

代入=〃tangn4=b2tan?n〃=4,又離心率（=右，結(jié)合。2=/+〃，可求出“八

【反思】焦點(diǎn)三角形問題，常規(guī)方法往往涉及到圓錐曲線的定義，利用定義，余弦定理求解，特別提醒，

n

在圓錐曲線中，定義是解題的重要工具.另外作為二級結(jié)論，S”;/=6?tan5要特別注意記憶

夕=/月2工表示的是哪個角.另外利用結(jié)論=〃tan5求解焦點(diǎn)三角形面積適用選擇填空題，解答

題需先證后用.

三、針對訓(xùn)練舉一反三

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓片+廣=1的焦點(diǎn)為耳、F2,尸為橢圓上的一點(diǎn)，若N￡P(guān)R=60。,

259

則△片尸B的面積為（）

A.3B.9C.3拒D.9^3

【答案】C

【詳解】根據(jù)橢圓的定義有歸用+歸國=10,，=后二？=4,①

根據(jù)余弦定理得64=|P國2+歸用2-2附|朋即60。,②

結(jié)合①②解得明|叫=12,所以△耳”的面積5=%用|/sin60o=gxl2x等=35

故選:C

2.（2019秋?吉林四平?高二四平市第一高級中學(xué)?？计谥校┰O(shè)片，鳥是橢圓］+己=1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)M在

2516

橢圓上，若△町瑪是直角三角形，則△盯后的面積等于（）

483648TL

A.—B.—C.16D.—或16

555

【答案】D

【詳解】依題意，a=5,b=4,c=3,不妨設(shè)耳（一3,0）,尸（3,0）,

對于直角三角形";K，

若/耳Mg=1,

||PK|+|P引=2a=10

1'=4c2=36整理得|尸用.|「用=32,

所以S"尸產(chǎn);x|P用x|P局=16.

若或NM6片為宜角,

由粵+器=1得尤=等，=

所以久附弓=；MKB|X|W|=；X6X?=F.

4R

所以，△吟入的面積等于5或16.

故選：D

3.（2022秋?江蘇南京?高二統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P為橢圓C：W+X=l（a>2）上一點(diǎn)，不名分別為C的

a4

左、右焦點(diǎn)，且/月尸瑪=60。，則△尸耳鳥的面積為（）

A.4x/3B.20>C.D.-

33

【答案】C

【詳解】設(shè)I所I=S，I憑I=t,

根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理得

S+E=2Q

’（2c）2=府=4（/_4）=52+/-2sf.cos600'

整理得st=?,即閥|?熙|=澤

所以△產(chǎn)開；的面積為Ll^xsin6（）o=tm.

233

故選：C

4.（2022?高二課時練習(xí)）己知點(diǎn)尸在橢圓《+q=1上，耳與鳥分別為左右焦點(diǎn)，若/百在=葛，則

△片Pg的面積為（）

A.4GB.6石C.8#>D.16

【答案】A

【詳解】由橢圓的定義,設(shè)|產(chǎn)四=》，則歸周=8-x,|耳閭=46,

又NF、PF,==,所以COSNGPK=E^^^^=-L,解得X=4,

32x（8-x）2

所以I吶=4,閘|=4,S^PFi=^\PFt\-\PF2\-sinZFtPF2=1x4x4x2^=473.

故選：A.

5.（2021秋?江蘇南京?高三金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C：W-1=im>0,b>0）的左焦點(diǎn)為凡直

a,b2

3

線尸丘與雙曲線c交于4,8兩點(diǎn)（其中點(diǎn)/位于第一象限），NAFB=90°,且的面積為5a?,則

直線"'的斜率為（）

A.-B.—C.yD.—

3322

【答案】A

【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為工，連接盟，叫，由圖形的對稱性知/尸肌為矩形，則有|相|-|4月=2%

|"卜網(wǎng)=3°2,

;

,在RtA/l77^中，kAF=tanZ.AFF-,=-j,

故選:A.

22

6.（2020秋?江西上饒?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線》r-方v=1（。>0]>0）的一條漸近線方程P=2x,

且點(diǎn)尸為雙曲線右支上一點(diǎn)，且片，用為雙曲線左右焦點(diǎn)，的面積為右，且N兄尸乙=60°,則雙曲線

的實(shí)軸的長為（）

A.1B.2C.4D.4百

【答案】A

）2L.

【詳解】雙曲線5-5=1的漸近線方程為N=±2X

ab2a

由一條漸近線方程為y=2x,可得b=2”，由雙曲線定義有|尸耳|-|P用=2,兩邊平方得

2

\PF^+\PF2f-2\PFt\-\PF2\=4a

由余弦定理,有國閭2:戶用2+歸閭2_2歸周歸/cos60°

即為|對「+|列珠-|巴訃|尸周=4。2

聯(lián)立可得歸耳卜|"1=4?2_4/=4/

的面積為6,可得4E訃|「用sin60'=gx4/x*=/2=Vi

解得6=1,。=；,所以雙曲線的實(shí)軸的長2a=1.

故選：A

7.（2022秋?湖南懷化?高二?？茧A段練習(xí)）橢圓工+匕=1的焦點(diǎn)為耳、F2,橢圓上的點(diǎn)尸滿足

10064

n片p^=6（r,則邑不遲=（）

A1673竺r64Gn91后

3333

【答案】C

【詳解】解：解：=橢圓二+片=1的焦點(diǎn)為片、鳥，橢圓Hl勺點(diǎn)尸滿足/用耳=60。，

10064

???由橢圓定義得:|尸耳|十|”|=20,

2

PF^+\PF21+21PFt|.|PF21=400,①

由余弦定理得：|尸石『+|明F-2|P用?|Pg|cos3PE=4x36,②

聯(lián)立①②，得：|助卜|班|=華，

???S/的=；歸用?|”|與1160。=竽，

故選：C.

8.（2020?吉林長春?高二長春外國語學(xué)校?？计谥校┮阎?，行為橢圓工+片=1的兩個焦點(diǎn),「是橢

10064

圓上任意一點(diǎn)，若則△片尸月的面積為（）

A6464后128n已8百

A?D?rt?U?---------

3333

【答案】B

【詳解】由題意知：耳，B為橢圓的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，

TT

所以△/=；產(chǎn)鳥是焦點(diǎn)三角形，且〃=64,0=\

所以S1竹=b2tan—=64x—=祗,

"質(zhì)233

故選：B

9.（2020秋?山西大同?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知丹、名為雙曲線C:5-V=l的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C